Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І. Распрвделение собственных частот оболочки произвольного очертания 37
I. Система дифференциальных уравнений теории оболочек. Граничные условия 37
2. Эллиптичность по Дуглису-Ниренбергу. Условия нормальной разрешимости 50
3. Асимптотика" функции распределения. Формулировка результата 63
4. Переход к постоянным коэффициентам 70
5. Вспомогательная задача с постоянными коэффициентами в ячейке 75
6. Оценка функции распределения задачи в ячейке снизу 34
7. Оценка функции распределения задачи в ячейке сверху 90
8. Уточнение оценки сверху ИЗ
9. Оценка остаточного члена в формуле (3.3) II8
ГЛАВА II. Связь моментной задачи с безмоментной 128
I. Вырождение моментной задачи в безмоментную 128
2. Структура спектра безмоментного оператора 139
3. Сверхнизкие частоты 173
ГЛАВА III. Распределение частот колебаний оболочек вращения 179
I. Основные уравнения и граничные условия. Некоторые результаты 179
2. Асимптотика нижней части спектра безмоментной системы 188
3. Асимптотика функции распределения при фиксированном числе волн по параллели 200
4. Формула для числа частот свободных колебаний оболочки вращения с небольшим числом волн по параллели 209
5. Монотонная зависимость собственных значений от длины отрезка 225
6. Исследование осесимметричной системы в окрестности точки 3- <х 242
7. Формулы для числа частот осесимметричных колебаний оболочки вращения при различных граничных условиях 251
8. Нули -компоненты 257
9. Асимптотика функции распределения в случае сферического пояса 261
ГЛАВА ІУ. Распределение частот свободных колебаний 0б0л0чш, взаимодействующей с жидкостью 281
1. Постановка задачи. Формулировка
результата 281
2. Вспомогательная задача. Вариационный принцип 286
3. Доказательство теоремы I 299
Литература
- Асимптотика" функции распределения. Формулировка результата
- Оценка функции распределения задачи в ячейке сверху
- Структура спектра безмоментного оператора
- Формула для числа частот свободных колебаний оболочки вращения с небольшим числом волн по параллели
Введение к работе
Настоящая работа посвящена математическому анализу краевой задачи, к которой сводится изучение линейных свободных колебаний тонкой упругой оболочки.
Под оболочкой понимается твердое тело, ограниченное двумя поверхностями, которое обладает малой по сравнению с другими характерными размерами толщиной. Всюду толщинам оболочки считается постоянной. Поверхность О , точки которой равноотстоят от поверхностей, ограничивающих оболочку, называется срединной поверхностью оболочки. На поверхности О выбирается некоторая криволинейная система координат / , р так, что координатными линиями являются линии кривизны. Область изменения параметров X , в обозначается через Q .
Далее, предполагается, что материал оболочки однороден и изотропен и что оболочка не имеет подкреплений.
Систему уравнений, описывающую свободные колебания оболочек указанного типа, можно записать в виде (см. [ 1,2,3,4J )
(a/+X)u=Au, (x,fi)& CI)
Здесь U{/fp)=[Uif Uit U3J - координаты вектора перемещения точки срединной поверхности и ; X и А/ - дифференциальные операторы, содержащие дифференцирования по X и р , причем X содержит не более двух дифференцирований, а А/ - не более четырех. Коэффициенты, входящие в выражения для операторов X и N , зависят от геометрических характеристик поверхности о .
Далее,Л - спектральный параметр, пропорциональный квадрату частоты колебания оболочки.
Уравнения системы (I) основаны на линейной теории упругости
и используют классическую гипотезу Кирхгофа - Лява, согласно которой всякое нормальное ко волокно (отрезок прямой, перпендикулярной к срединной поверхности) сохраняет после деформации свою прямолинейность, длину и нормальное положение к срединной поверхности.
Система (I) является эллиптической в смысле Дуглиса - Нирен-берга (Гб]) и формально самосопряженной. Однако, существенно, что вырожденный оператор X , а также оператор /V, стоящий при малом параметре, не являются эллиптическими.
Система (I) рассматривается при четырех граничных условиях, которые зависят от характера закрепления краев оболочки (fl,4,6, 7]). Соответствующая задача оказывается самосопряженной и имеет дискретный неотрицательный спектр:
О* К* \г±.. 4 \п .-. (2)
с предельной точкой в + ос ,
В первой главе настоящей работы изучается структура множества собственных частот свободных колебаний оболочки произвольного очертания; получена асимптотическая формула распределения частот и найдены оценки остаточного члена в различных зонах изменения спектрального параметра.
Во второй главе изучается проблема вырождения задачи при п-» + 0и полностью исследована структура спектра вырожденной задачи. Найдены также условия существования у оболочки сверхнизких частот.
Третья глава посвящена колебаниям оболочек вращения. Здесь получены точные "одномерные" асимптотические формулы распределения частот оболочки вращения при фиксированном числе т волн по параллели. С точки зрения приложений эти формулы наиболее сущест-
венны. Найденные формулы сопоставляются с численными расчетами.
В главе ІУ рассматриваются свободные колебания оболочки, взаимодействующей с невязкой, сжимаемой жидкостью. Найдена асимптотическая формула распределения частот. При некоторых условиях выделен второй член асимптотики.
Анализ системы дифференциальных уравнений (I) и вывод асимптотических формул распределения частот потребовал привлечения разнообразных математических средств (спектральная теория линейных дифференциальных операторов, вариационные методы, методы асимптотического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений).
Как отмечалось выше, система (I) не является однородной эллиптической. Это затрудняет привлечение к ее исследованию развитых в последние годы методик [8,9J . Для вывода основной "двухмерной" асимптотической формулы распределения частот в диссертации усовершенствован вариационный метод Гильберта - Куранта (flOj).
Перейдем к более подробному изложению результатов.
Асимптотика" функции распределения. Формулировка результата
Пусть последовательность собственных значений оператора Ц Обозначим через t( )1 П, (л) число собствен ных значений последовательности (I), меньших данного А : П М = 1. / (2)
Функция П, (А) называется функцией распределения собст-венных значений оператора L. . Ближайшие параграфы п посвящены доказательству следующей асимптотической формулы для /7, [А] при условии, что толщина оболочки стремится к нулю ( 25 ) Теорема 2. При любом фиксированном А О и п +0 ІЇЇ \ (А)-щ Ш/& vww№)№cudfi + ЧП] (3) В формуле (3) ЩОАРН І (4) показатель 0 , а постоянная в 0 -члене не зависит от А при 0 А Л0 .
Наметшл план доказательства теоремы 2. Он близок к классическому построению Гильберта - Куранта (/ I0j). Заметим сначала, что собственные значения (I) обладают мини - 64 максимальным свойством С/537» стр. 233). А именно: А у=сп/ sup (lf и,и) (5) UCRn рном і ft/ / .
Здесь супреглум берется в фиксированном П -мерном подпространстве опера дп, принадлежащем области определения &(L. ) тора L . После чего находится инфимум по всем таким Г) подпространствам. Заметим, что минимакс в (5) достигается, когда дЛ совпадает с подпространством, натянутым на первые /7 собст-венных векторов оператора L, Справедлива также формула (U,U(& ) = 0 /0 fj /7-/ тде U ri ty - собственные функции оператора L/ Формулы (5) и (6) легко получить, используя следующие равенства, вытекающие из теоремы I: П і п-1 (7) — /і - где Cn - (utU(PJ J и (U."hl cn (8) /9=/
Вывод соотношений (5) и (6) из (7) и (8) можно найти, напри мер, в [53/ или /lOOj . ,,JJJ\ І (1,1,7,1/ Б случае защемленной задачи (оператор L. ) минимакс в (5) можно искать на гладких вектор-функциях U( fJ$J t ж че - 65 Из зающих в окрестности границы V области & (финитных в & ) леммы I можно заключить, что соответствующая последовательность собственных значений Ah П І,Л,... при этом не из менится, а собственные функции будут удовлетворять условиям (1.34). Доказательство этих фактов, кроме леммы I, использует свойства пространств Соболева
Поскольку финитные функции удовлетворяют любым самосопряжен-ным граничным условиям, то собственные значения Лп располагаются правее собственных значений любой другой задачи с теми же номерами. . . . t\ " I U,JL,W
В случае свободной задачи (оператор и, ) мини макс в (5) можно искать на произвольных гладких в Ь вектор-фун кциях (при этом минимизирующие функции автоматически удовлетво ряют граничным условиям (1.35)). В силу этого последовательность собственных значений Л n . П-f ,,. свободной задачи распо лагается левее собственных значении с теми же номераьш задачи с любыми самосопряженными граничными условиями рассматриваемого типа. В результате приходим к неравенствам , MAU) уы, . ЦІЛІ) Из неравенств (S) для собственных значений вытекают соответствующие неравенства для функций распределений Покроем теперь, как и в /"юУ, область изменения параметров d, Р квадратной сетью со стороной квадратов А . При этом область (г разобьется на конечное число ячеек Qp (число ячеек, n/mesGr \ . п&р) /X ) очевидно, равно U( TZ— ) ) Обозначим через її (Л) - 66 функцию распределения собственных значений оператора L. рассматриваемого на ячейке Qp , а через Л {AJ - функцию распределения собственных значений оператора L, , также рассматриваемого на ячейке UP . Тогда по аналогии с /ioj имеем ппШ //) пьр) (А) п НАМ) 2 п(е,р) (А) «2)
Действительно, правая часть в (II) совпадает с числом собственных значений, не превосходящих А , в задаче на минимакс для функционала (I.I) в предположении, что вектор-функции U(fCfp) удовлетворяют граничным условиям (1.34) не только на границе области иг , но и на границах всех ячеек Qp . Это сужает множество, на котором ищутся минимумы, и соответствующая последовательность минимумов сдвигается вправо. Этим рассуждением устанавливается справедливость неравенства (II).
Если теперь искать минимумы функционала (I.I), не накладывая на Ц ( , ) ограничений на границе и" и допуская разрывы на границах ячеек Qp , то класс допустимых функций расширится; последовательность минимумов сдвинется влево, что приведет к неравенству (12).
Оценка функции распределения задачи в ячейке сверху
Из леммы 14 легко вывести оценку сверху для функции распределения собственных значений задачи (13), (8). Справедлива Лемма 18. Существуют постоянные fij , А, и /L такие, что справедливо неравенство А/. (А п/ V Ai&J+Atj +Aj (II0) Доказательство. Очевидно, что для любой вектор-пункции f // _л/ М " (А) ч ) , учш) (ш) Если /V- /А) не удовлетворяет неравенству (НО), то прихо дим к противоречию с леммой 14 при Р=А , Ч.Т.Д.
Суммируя неравенства (НО) по всем внутренним квадратным ячейкам и учитывая вклад приграничных ячеек, приходим к следующей оценке. Лемма 19. Пусть А удовлетворяет условию (6.1). Тогда для функции распределения П. [AJ справедлива оценка сверху 11 П Є , (112) - IOS Доказательство. Из неравенств (3.13) и (4.1) вытекает следующая оценка сверху для функции распределения П. (А) ((3.2)): U.W) (А)±М& (AJ (пз) (?) где суммирование ведется по всем ячейкам, на которые разбита область и . Перепишем неравенство (ИЗ) следующим образом v (Р) Здесь символ 2" означает, что суммирование ведется лишь по внутренним ячейкам, а - по приграничным ячейкам.
Приграничные ячейки можно выбрать так, чтобы каждая из них содержала квадрат со стороной Л . Тогда для квадратичного функционала Jo о (и) с постоянными коэффициентами ((4.3)), определенного на соответствующей приграничной ячейке, справедливо левое неравенство (2.9) с константами С. и Сч , допускающими оценки СГ ( ) Сч о(#& ) (П5) (подробнее об этом см. [&], стр. 35).
Далее, формула (4.1) в сочетании с левым неравенством (2.9) для функционала Х /0 (0 с учетом оценок (115) дает 10 (и) І $ 6"11д\ /Л с I Иди, И1 -С$ й11 Ш1 - Сч fa Uldu, IIі- Cs& l/us t. (не) Здесь уже все константы положительны и ограничены при Л 0 . Мы учли также то обстоятельство, что при п о fa 3 О (П7) - no Из неравенства (116) вытекает следующее утверждение, которое мы используем для оценки второй суммы из правой части неравенства (114). Лемма 20. Пусть область Qp содержит квадрат со стороной _А . Тогда справедливо неравенство где ID6S Qp - площадь области fio , а ч - постоянные из неравенства (116). peз 0/ (у и Од (О обозначены ограниченные функции такие, что при фиксированных Ci и С йт Oji)-0 , tiff) О J і) = 0 (119)
Доказательство леммы 20 тривиально и основано на том, что правая часть неравенства (116) представляет собой прямую сумму трех функционалов, функции распределения которых известны (см. [Ї0/, стр. 374, 390, а также [ь]). Квадратичный функционал относительно Цз является функционалом типа свободной пластинки, а функционалы относительно U f U - типа свободной мембраны. Из неравенства (118) следует, что для приграничных ячеек MM{A)6CaW (120) Заметим теперь, что число приграничных ячеек есть 0[й J . Поэтому, внеся под знак второй суммы из правой части неравенства (114) оценку (120) и произведя суммирование, приходим к оценке 2_ AC l\)±Cuh1 (I2i) (Р) - Ill Обратимся теперь к первой сумме из правой части неравенства (114). Для функций распределения М. (A) , входящих под знак указанной суммы, справедлива лемма 18. Следовательно, (Р) (PJ пап При выводе (122) мы учли, что число внутренних ячеек есть О (A J для функций распределения Пр (лJ справедлива оценка , где № - число целых точек внутри области jy . Используя оценку (6.26), легко находим в результате / + eou+A ik\-bk]. (123) Мы включили погрешность, возникающую при суммировании 0 -члена из (6.26) в последнее слагаемое из правой части (123). Аналогично, мы распространили интеграл на всю область & и возникающую погрешность 0(Дп J включили в предпоследнее слагаемое. Сложим неравенства (121) и (123); в результате, учитывая (114), получим оценку сверху nh " M l)))fo Sl[e;ctJ)t/l1MBded djZ + + ЄойтААН1кдЧ \ №4 Пусть X удовлетворяет условию (6.1). В этом случае разность между интегралами в правых частях {3,3) и (124) есть 0(A) . Можно поэтому отбросить под радикалом в правой части (124) слагаемое Лу А и добавить в правую часть О [AJ .
Структура спектра безмоментного оператора
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (I.I.27), описывающую свободные колебания тонкой упругой оболочки. Будем считать, что усилия и деформации связаны соотношениями, предложенными Л. И. Балабухом / 49j и В.В. Новожиловым [l2] . В этом случае операторы ft-л ( I, I =1,2,3) отличны от нуля и определяются по формулам (11.9)-(11.17) из /4J.
Заметим, что все результаты настоящей главы справедливы при любых вариантах записи закона Гука, при которых имеет место теорема Бети о взаимности работ /1027. Обозначим через L. оператор, порожденный системой О 0 (I },к,е) (I.I.27) и граничными условиями о U-0 (см. главу I, I, формулы (I.I.36), а также (I.I.34) и (I.I.35). Положим в (I.I.27) h = 0 , получим так называемую безмоментную систему 3 ujUi = AuL і-іі,3 (і) Отбросим в граничных условиях (I.I.34) и (I.I.35) последние два и положим в формулах (І.І.ІЗ), (I.I.I4), определяющих обобщенные усилия Q и Q , п-0 . Получим в результате два 1 сі (2) типа граничных условий: uilrcuJr=0 Q - Иг - - 129 Здесь І} = (і- F)rttinK t tfa tсгёл)cos/ (4) #f = Л(Щ t e Jsin/ +(/- r)tfcosx (5)
Будем, по аналогии с моментной задачей, рассматривать всевозможные комбинации граничных условий (2) и (3) (таких условий будет четыре типа; снова для определенности ограничиваемся случаем, когда каждое из условий выполняется вдоль всей границы). Указанные четыре типа граничных условий запишем в единообразной форме (ср. с формулой (I.I.36)): В 1 U--0 [L,j Ч,Л) (6)
Рассмотрим систему (I) при граничных условиях (6). Так возникающая задача оказывается самосопряженной. Соответствующий оператор условимся обозначать через L0 . Чтобы было ясно, какие граничные условия ему отвечают, будем, по аналогии с принятым вы-ше обозначением для моментной задачи, писать L0
Для пары вектор-функций u(oL,ft) r / ,, U , и3] и [ ,fi) ((Ї. V if) введем скалярное произведение по формуле где л , В - коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности оболочки. Соответствующее гильбертово пространство обозначим через (бу , а норму в нем через //U/l . При о 0 положим - 130 Справедливо следующее утверждение. Теорема I. При любом U {и } U t U J Є Xd ((г) Л ґ Я е) річ}) йт (г. и = и и , (9) где предел понимается в смысле нормы (Grj
Для оператора L, , порожденного граничными услови ями (I.I.34), теорема I была установлена в работе / 57У, см. так же [4J. Для остальных операторов L, теорема I была до казана в работе [58І. , (U, , t) Доказательство теоремы I. Обозначим через 7) ( L , j , К , Є =1,2) множество произвольных вектор-функций U - ( t U;L) 3/ (v ос5лаДаЕ0Щих следующими свойствами: а) первые две компоненты вектор-функции U один раз, а третья - два раза непрерывно дифференцируемы; б) если один из индексов L , Ї , К , равен I, то вектор функция И удовлетворяет соответствующему граничному условию из (I.I.34) (например, если L = I, то h -О , если / = I, то uAf -О и т.д.); в) если один из индексов і ,/,, равен 2, то соот ветствующее граничное условие из (І.І.34) отбрасывается. Следуя Като (/59J), введем в рассмотрение билинейный функционал -(і-Щ(и)і[(іг) +Z(u)6p)-a(u)u( )]h8cUdji - 131 і -dt(ujt{ir)]lA8cUdp + г , ff)f определенный на произвольных вектор-функциях и, & $ (10) мл ) .. Отметим, что при вещественном U квадратичный функционал ±1Ч к е гп и 7 ZL L и,и і лишь постоянным множителем отличается от выраже ния для потенциальной энергии деформации оболочки (см. (I.I.I)). По терминологии Като, С " [U, ІХІ - полуторалинейная форма. Форма С. симметрична: для любых Uf 0 ./0 і L4 С формой t, v можно связать самосопряженный оператор плотно определена и замкнута. Равенство (II) непосредственно следует из формул (10) и (7). . С фо— d с областью определения 7Ц1. С ,; ; »е\ так, что при любых и ь % / ) и t Lu,rl = lTh и, if J . Оператор Л имеет ограниченный обратный (V / Эти утверждения вытекают из общих предложений, доказательст - 132 во которых можно найти в [59] (теорема 2.1, стр. 404 и теорема 2.6, стр. 405). Обозначим через # множество произвольных вектор-функций [Ui, , )е і"v » обладающих следующими свойствами: а) первые две компоненты вектор-функции U один раз непре рывно дифференцируемы, а третья - непрерывна; б) если один из индексов t ,i равен 2, то соответствующее граничное условие из (2) отбрасывается; в) если один из индексов і ,j равен І, то вектор-функция удовлетворяет соответствующему граничному условию (2).
Формула для числа частот свободных колебаний оболочки вращения с небольшим числом волн по параллели
Заметим, что формула (19) пригодна для подсчета А -нулей Ajt (і, А) лишь в зоне А j6f . При нарушении этого условия теряют силу формулы (II), (13). Асимптотический анализ решений системы (1.6) наталкивается на значительные трудности, поскольку при Аё % возникают точки поворота (см. ИЗ ). Однако, для отыскания значений Pj/ (A, mj при A fo1 можно не искать собственных значений, лежащих в зоне т , а воспользоваться /3JJ следующей осциллявдонной теоремой: число PJJ [A,mj собственных значений задачи (1.6), (1.8), меньших данного А , равно числу с? -нулей функции (14) на интервале (а, 6) , с учетом спектральной кратности каждого 6 -нуля (f4j, стр. НО). Спектральная кратность і -нуля всегда не превосходит аналитической кратности. Однако, как показывает простой пример, построенный в 4 , (стр. III) спектральная кратность cf -нуля может быть меньше аналитической. При малых возмущениях избыточные 6 -нули уходят в комплексную область. Поэтому применение теоремы Руше в этом случае дает лишь одностороннюю оценку числа вещественных і -нулей функции (14). Замечательно, однако, что в рассматриваемой нами краевой задаче (1.6), (1.8) при условии А А (20) ситуация, описанная в указанном примере, невозможна. А именно, справедлива Лемма 12. При фиксированном Л из области (20) и всех достаточно малых J/ і -нули функции (14) вещественны в комплексной окрестности отрезка [&, $ ] и спектральная кратность каждого нуля равна его аналитической кратности. Предпошлем доказательству леммы следующее утверждение. Предложение I. Пусть X ($01 А0)=О при некоторых Зр є [й,&] - 215 и_ А0 из области (20). Тогда аналитическая кратность 0 как корня уравнения гЦз,Л0\-о не превышает двух и совпадает со спектральной, т.е. с кратностью А как корня уравнения
Доказательство предложения I следует из леммы 26.7 /"4 J . Доказательство леммы 12. Зафиксируем произвольное Ai JB . Пусть і [А Л - первый в порядке возрастания і -нуль функции и(5,АА , Ж - его аналитическая кратность (# - / или 2, см. предложение I). Зафиксируем точку /- Л/ -C/JU » так, чтобы выполнялось равенство leu(y f(S,.A)l = t Можно доказать, используя предложение I и результаты п. 3.3 (лемма 13), что функция Aj/ ($,АЛ имеет на интервале (&, t4) простых нулей. Следовательно, утверждение леммы 12 для указанного интервала верно.
Перейдем к оценке числа і -нулей функции Aju (s, Л/) в окрестности точки І , где d(3# t лЛ-0 . Согласно лемме 26.7 (f4j) уравнение J, (j(A)-0 определяет на (f,A) плоскости в окрестности точки [3 t Ai) одну (в случае Х- - / ) или две (%=&) гладкие монотонные кривые (рис. 2, кривые I и 2). При этом для обеих ветвей Ш \і 3% + Подберем далее А. , удовлетворяющее условиям: а Ал Аі ; б) Лл А4 оОи )-, - 216 )leos(ji- (t,,A,))l = t г) кривые I и 2 пересекают вертикаль У - ti внутри отрезка [/1,81 (рис. 2). S Рис. 2. Положим для этой цели -% № + lw) fi (21) где С - положительная константа, удовлетворяющая неравенству І (22)
Условия а) и б), очевидно, выполнены; нетрудно проверить, что неравенство (22) обеспечивает выполнение условия г). При этом С можно выбрать так, чтобы имело место также и условие в). - 217 Рассмотрим теперь на плоскости ($t А) кривую, определяемую уравнением ?( , ) -?( „ К) С23.) (рис. 2, кривая 3). Пусть - абсцисса точки С , в которой кривая 3 встречает горизонталь А - Ai . Положив в (23) А = А и использовав (21) и малость параметра JU , найдем, что Уравнение Aj/ {&, А)-0 определяет на (i, A J - плоскости гладкие монотонные кривые (/4], лемма 26.2). На рис. 2 эти кри вые обозначены пунктиром. При увеличении і от &4 до все указанные кривые, выходящие из вертикального отрезка [А8] , и только они пройдут через горизонтальный отрезок [АС ] .в са мом деле, используя предложение I, можно доказать, что вдоль кривой 3 2 U(t,A)l С.СЛ JJ (24) где С0 - некоторая положительная постоянная, не зависящая от и JJ .Из неравенства (24), условия в) и (23) следует, что на кривой 3 Ар (з, A) f О
Следовательно, число А -нулей (с учетом кратности) функции 4jj [ii% А) , лежащих на интервале (А f A J , равно числу / -нулей (с учетом спектральной кратности) функции Aj/ [і, A J , лежащих на интервале /Р/ , fyj . Заметим, что при фиксированном і -s&i число А/ А -нулей функции 6jJ ($f,A) (см. (19) npHw/= Sj ), лежащих на интервале /И/, Ал ) , может быть найдено по теореме Руше
Используя теорему Руше, легко показать, что число j -нулей функции _Aju [i, A4J в комплексной окрестности отрезка iift 4-7 также равно /v . Отсюда, учитывая, что спектральная кратность 6 -нуля всегда не превосходит аналитическую, заключаем, что в достаточно малой комплексной окрестности интервала (6/ 6Л) все .. 3 -нули функции Aju (Jt А 4 ) вещественны, а их спектральная кратность совпадает с аналитической.