Введение к работе
s. mi\
иссерта^ІІ
^"^^~дктУальность теш. Асимптотические метода нелинейной механики, развитие в работах Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова, положили начало новому большому направлению в теории возмущений. Они глубоко проникли в различные.прикладные области (теоретическую физику, механику, прикладную астрономию, динамику космических полетов и др.) и поелуяялп основой для многочисленных обобщений и создания разнообразных вариантов этих методов. Существует большое число подходов и методик; при этом рассматриваются различные 1слассы математических объектов (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, уравнения с запаздыванием и др.}. В настоящей диссертации предлагается новый метод исследования систем дифференциальных уравнений о малым параметрам, являющийся дальнейшим развитием метода усреднения Н.Н.Боголюбова. Ид&ч нового подхода залозена в самом методе усреднения Н.Н.Боголюбова, однако, ее реализация потребовала привлечения существенно нового аппарата - теории непрерывных груш преобразований, развитой в основополагаицих трудах Сіп и его учеников.
Соединение двух конструктивных методов, имевдях иирокое применение в современной.математике и его приложениях, с одной стороны, расширяет возможности теории возмущений, а о другой стороны,- может оказаться интересным Я для теорий непрерывных групп преобразований, так как позволяет рассматривать новые задачи, например, почти инвариантные системы. <
Цель работы. Исследование декомпозиций широкого класса линейных, и нелинейных систем дифференциальных уравнений без малого параметра. Разработка нового метода исследования нелинейных систем с малым, параметром, получишело название метода асимптотической декомпозиций. Комплексное развитие предложенного метода: разработка конструктивного алгоритма метода для различных классов . систем; доказательство' ряда фундаментальных положений, показываю^ щих преимущества метода в исследовании возмущенной системы; математическое обоснование метода и изучение с его помощью известных и новых классов систем дифференциальных уравнений.-.
Методы исследования. В работе применяются методы классической теории дифференциальных уравнений, теории возмущений, методы непрерывных групп преобразований (теория групп и алгебр Ли и их представлений), методы геометрической теорш уравнений с частными производными.
Научная новизна. Разработаны критерии декомпозиции іяирокого класса линейных и нелинейных дифференциальных систем. Предложен метод асимптотической декомпозиции для исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с малым параметрам. Доказаны новые теореми об экспоненциальном представлении решения централизованной системы и теоретико-групповые критерии разделения движений на быстрые и медленные, получены условия декомпозяруемости централизованной системы. Проведено обоснование алгоритма асимптотической декошозящ.и. Рассмотрена задача возмущения алгебр Ли и получен алгоритм эффективной реализации метода в пространстве представлений конечномерных групп Ли. Рассмотрен новый класс почти инвариантных систем. Впервые разработана теория возмущений для .пфаффовых систем уравнений.
Практическая и теоретическая ценность. Разработанный в диссертации метод асимптотической декомпозици приметім для исследования широкого круга нелинейных процессов в науке и-технике. Привлечение аппарата теории прадскшвнш групп Ли преобразований сводит реализацию алгоритма метода асимптотической декомпозиции к простейшим задачам линейной алгебры. Разработанные методы и алгоритми принципиально новые и в общей ситуации, ("которые .изучены в работе) ранее имевшиеся результаты, как правило, неприменимы. Проведено сравнение с существующими методами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 6-ІІ международных конференциях по нелинейным колебаниям (Познань, 1972; Берлин, 1975; Прага, 1978; Киев, 1981; Софии, 1984; Будапешт, 1987); Международном симпозиуме по теоретико-групповым методам в физике (Звенигород, 1980); на Меадународном съезде механиков (Алма-Ата, 1981), на Международной конференции по теоретической и прикладной механике (Варна', 1982), на Всесоюзной конференции "Лаврентьевокие чтения по математике, механике, физике" (Киев, 1ШЬ); на ряде всесоюзных школ по малому параметру; на се-ышнрцх Белорусского государственною университета (Минск,1978,
1982), Киевского государственного университета ям.Т.Г.Шевченко (1983), по геометрическим методам в теории управления Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР (Москва,1987), по качественной теории дифференциальных уравнение Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова (1987).
Дубликацли. Основные результаты диссертации освещены в рабо- ' тах [ 1-32, 34} , а такие вошли в монографию [33].
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 302 страницах машинописного текста и состоит из предисловия> введения, шести глав и списка литературы, содержащего 155 наименований.
