Введение к работе
Актуальность твми.В 1938 году Петровским И.Г. йыла поставлена слелу»«ая задача.
Гіусть & -ос рассмотрим задачу Коши
PN0>)«
atm n4 ' ш
где (^)(^) = 2 i)n «* — «*-»-ih. - иультииндекс
\-\ ±'
( p - достаточно большое), коэффициента Q - Постоянные P
л TiUtw -=2Г «^«^Іч» Тії =ь н ^Пр. о)
Задача (1)-(2) поставлена коррекїно по АДамар/, если для каждой системы Ц>к (Ч) на 2 решение U. (і, X) этой задачи буйестйу-et її найдутся такие чиола^й-і.^ р » чтй 'прй 4аа«ан^[й,ТІ выполняется неравенство
liULCt.^i}^ ^mZ2 . (4) "
Константа M мойет зависеть дявь b Т .
И«Г.Петровский ставится вопрос е наимеиьвбм" * ri неравенстве (<)) При заданном 2 .
2 В случае (S| = W.=2 , *Z=0 ответ
следует из результатов Соболева С.Ji. (1938 г.).
Важным классом уравнений (I) является те уравнения, для которых задача Ковш равномерно корректна при л.- Ч. . Такие задачи будем называть точно равномерно корректными (ТРК) или ТРК разре» иимыми.
Из (5) следует, что ТРК разрешимая задача Коти приМ-*пвЕ*
«>=» Q МОЖЄТ бЫТЬ ЛИШЬ При ГИа \
Хорово известно, что при т~ 1 ТЫ разрешимость задачи (I)-(2) имеет место, если Hj {D) - эллиптический оператор.
Из результатов М.Совы, С.Куреппа, Г.Фатторини следует, что для тз^З задача (1)-(2) 1Ш разрешима Чагдй и только тогда, когда Ы = О .
Оставался открытым вопрос о существовании операторов Ijn^W при M^Z » Л> 1 і Дли которнх бадача Коши ТРК разрешима в про-стванствах с метрикой,отличной от (_,« (например, в ^5 ).
Этот вопрос перешел в одну из проблем, связанней с абстрактной косинус-функцией (К0$) после работ Э.Хилле (1948 г.), б.Курвппы (1958 г.), М.Совы (168 г»), Г,$атторйни (1969 Г.), С.Г.Крейна (І967 ґ.)„начавших изучать С помодьй абстрактных специальных функций, (полугруппы» К0$» функция Митт&Ч - Леффлера) ТРК разрешимые задачи Коши для дифференциального уравнения
,». -=А*<«
(6)
где А - линейный оператор, действующий в некотором банаховом пространстве, №~ U2-,.
При отом получены следующие результаты: задача Копи для уравнения (6) ТРК разрешима в банаховом пространстве d если і
а) ViX^-i , А - генератор Со - полугруппы;
б) ГП=2 . Д - генератор КОФ ;
в) 141 3 , А " ограниченный оператор.
В овйзи с этим весьма важным стал вопрос о критериях генератора
соответствующей абстрактной функции. і
В случае ^-о - полугруппы ответ дает теорема Хилле - Иосиды » Филлипса - Феллера - Миадеры (ХЙФФМ). в которой основным уолови-ен является оценка на степени резольвенты оператора f\
1(Л\1А)ИИ(Х-соу1Л (Х>(о), (7)
Константа (4^ не зависит от Л='1ч2,.>
Отсйда следует довольно просто проверяемое достаточное условие генератора С0 - полугруппы
ШШК(Х-и>)"'. (8)
В случае КОФ ймевгместо теорема Совы - Куреппа - Фатторини
(СКФ), аналогичная теореме ХИФФМ, в которой (?) заменяется условн
ей ,
А>(лі , М - константане аависядая ot h. .
Однако (9) значительно проиграьаег условие (7) с точки зрения еґо проверки. И здесь нет хобово проверяеиих достаточных условна і типа (8). Одним из наиболее часто применяемых условий является
условие: A ^ генератор сильно непрерывной группы Т-,^6R 4 При этом для КО* справедливо представление
Этот критерии использовался в теоретических исследованиях Г.ат-торини, С.Тревиса, Ж.Вебба, С.Г.Крейна. Однако основной "недостаток' отого критерия следует из одной теоремы Л.Хермандера, позволявшей утверждать, Что из всех дифференциальных операторов К, (ф) геие-раторам Н0$ э |аР(р?.|)р<Ло<5ладавщиМ свойством (10), является только одномерный оператор ? .
Таким образом сложилось впечатление, что не суиествует многомерных дифференциальных операторов г^Ш) . являвиихся генераторами KOf в Lp ( РМ . Р* О
В связи с этим в 1970 г. С.Г.Крейном били сформулированы следусйие проблемы, связанные с сильно непрерывной АОФ:
$. Суиеетвувт ли многомерные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами,являющиеся генераторами К0$ в пространствах Lp (ргИ , РФ ) в частности, в пространствах с равномерной метрикой?
2). Попытаться найти критерий генератора НОФ, содержащий лишь конечнсіе число проверяемых условий, в отличив от (10), где число таких условий бесконечно.
3), Получить достаточное условие генератора К0$ не в терминах квадратного корня оператора.
Наряду с задачей Коши, другоя класс классических задач для
уравнения Ji_Jr.— AlA . при it t.0iTl составляв^ краевые задачи. Корректной разрешимости таких задач посвящены многочисленные исследования С.Г.Крейна, П.Е.Соболевского, М.Л.Горбачука и их учеников,
а такие В.К.Борок, И.В.Мельниковой.
Вместе о тем основополагающие работы М.В.Келдыша (1951 г.), В.$еллера (1952 г.), С.Г.Михлина к.195к г.). А.Д.йентцеля (1956 г.) положили начало исследование вырождающихся дифференциальных уравнений и, в частное. ., изучению оператора
tU(t)= aft)u'ft)4(MWcft)urt) (и)
о точки зрения постановки "граничных" условий в. зависимости от степени вырождения коэффициентов.
фундаментальные результаты в этом направлении получены В.П.Глушкг Он также рассиотрел коэрцитивную разрешимость краевых з_дач, связанных с абстрактным дифференциальным уравнением
tUrt) + Au.lti*;?CO, CI2)
где Д - линейный оператор, дейатвуощии в гильбертовом пространстве. Аналогичные вопросы; для уравнения (12), рассмотренного в банаховом пространство со опециальным порядком вырождения коэффициента cKt) , изучались в работах П.&.Йоболевского и его учеников.
Цель работы. Решить указанные выше проблемы, ояязанныа
иений олучае =. X - О . '
Изучить ТРИ разрешимость краевых задач, связанны* о уравнение» (12) при наивайое олабііх ограничениях на ппэратор А . .действуя*!»* в Санахбйом пространство!
йсслеловпть свойства гляпкости решений со&тйвтотиуийй* тпчяс (ічвчомерно корректны?! задач.
Методика и с ft л р д о в а н и я. В рчб^те wo по і иу ?.';:
методы функционального анализа, обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных; методы комплексного анализа, в частное-тя,метод абстрактного преобразования Лапласа.
Конечно разностные методы и метод мульти - аддитивных неравенств типа Ландау - Адамара - Колмогорова.
Метод регуляризации некорректных задач в соответствии с теорией А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, Б.К.Иванова.
Научная новизна. Бее результаты, полученные в диссертации,новые.
1. Решена, приведенная выше, проблема сильно непрерывной КОФ.
В связи с этим получены: а) новый критерий генератора ИОФ;
б) новый критерий генератора аналитической полугруппы, более естественный с точки зрения приложений и теоретических исследований по сравнению с классическим критерием Иосиды -Соломяка; в) удобные в приложениях достаточные условия генератора КОФ и аналитических полугрупп для широкого класса дифференциальных операторов;
г) найден алгоритм построения генераторов КОФ, соответствующих
многомерным дифференциальным операторам с постоянными коэффициен
тами в пространствах с равномерной метрикой. Тем самым в одном
важном частном случае дан ответ на проблему И.Г.Петровского;
д) применяемый здесь метод регуляризации некорректных задач с
помоиь» Со - полугрупп позволил исследовать ТРК разрешимость
задачи Коши для, абстрактного уравнения с дробныни прбизводными и
получить необходимые и достаточные, а также легко проверяемые
достаточные условия такой разрешимости.
2. Доказана ТРК разрешимость соответствующих краевых задач
для уравнения (12), где оператор ^ является генератором Со *.
полугруппы, а коэффициенты оператора х.\ имеет порядок вырождения,
изученные М.Ь.Келдышем и В.П.Глушко.
3. Получены оценки производных решений приведенных ваше задач,- о помощью доказанных здесь иульти - аддитивных неравенств, обобщающих неравенства Коши - Адамара - Колмогорова, Гальперина -фон Неймана, Бреэис - Роэенкранца - Зингера.
Практическая и теоретическая значимость. Результаты работы носят как теоретический так и прикладной характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследовании корректной разрешимости начально- краевых задач для уравнений различных типов.
Вместе с тем методы доказательств, применяемые здесь (метод регуляризации, конечио-р&зностный метод)тносят конструктивный характер и позволяют строить алгоритмы приближенного решения исследуемых задач. Отметим, что точно равномерно корректные задачи не требуют повышений гладкости начальных данных в зависимости от слол при доказательстве сходимости соответствующих разностных схем.
Аппробация работы. Результаты работы систематически обсуждались на научных семинарах кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского госуниверснтета (рук. проф. П.Е.иобо.'іЄВСкий), неоднократна на семинаре под руководством С.Г.Йреина (Воронежский ЛТИ), на семинаре по дифференциальным уравнениям в Институте мате-зтики и механики ВТУ (рук.Проф. С.В.Позорный), на семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных ВГУ (руководители проф.Й.А.Килриянов и проф/В.З.Мешков), на семинаре по дифференциальнчм уравнениям (Воронежский политехнический институт, рук.проф. В.Д.Репникоь), на семинаре под руководством проф. Я.Б.РутицкОГо (Воронежская строительная акаде-чип), на сенйнпре под руководством М.Л.Горбачука 9 Кчёвсмн инсти-
8 туте математики Укр. АН.
Результаты работы докладывались на международных конференциях і по дифференциальным уравнениям и их приложениям (г.Русе,Болгария, 1981 г.)* по дифференциальным и интегральным уравнениям (Самара, 1992 г.). Во Всесоюзных математических школах: Воронежская зимняя математическая школа (1967-199^ гг), ХІУ школа по теории операторов (Новгород, 1989 г,), ХУ школа по теории операторов (Ульяновск, 1990 г), ІУ Крымская Осенняя математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (п.Ласпи, 1993 г).
Основные результаты диссертации обсуждались с ведущими специалистами в области операторных уравнения и их приложений профессорами Дж. Да Лрато (Нормальная школа, г.Пнза, Италия), Дж.Голстейн (Университет, Новый Орлеан, США),
П у бликации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 19] .В диссертационную работу вклочены только те результаты, которые принадлежат лично автору.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти-глав и списка литературы. Она изложена на 230 страницах машинописного текста. Список литературы вклочает 1*1 название.