Содержание к диссертации
Введение
I. Топологически транзитивные косые произведения с инвариантной границей относительно отображений в слоях 17
1. Топологическая транзитивность и равномерная аппроксимируемость фазового пространства периодическими орбитами 17
2. Общие свойства факторотображения и отображений в слоях, вытекающие из топологической транзитивности косого произведения 19
3. Критерий топологической транзитивности косых произведений из класса Т (1п)
3.1. Необходимые сведения из одномерной динамики 24
3.2. Специальные свойства отображений в слоях 28
3.3. Доказательство теорем 1 и 2 32
II. Топологически транзитивные косые произведения с неинвариантной границей относительно отображений в слоях 40
1. Вспомогательные утверждения 41
2. Доказательство теоремы
3 3. Ещё об одном типе топологической транзитивности 49
III. Транзитивные аттракторы, являющиеся п-мерными клетками 65
1. Пример косого произведения с аттрактором из класса Тм3(/П), п 2 65
2. Пример косого произведения с аттрактором из класса Tjb(ln), п 2 76
Литература
- Общие свойства факторотображения и отображений в слоях, вытекающие из топологической транзитивности косого произведения
- Специальные свойства отображений в слоях
- Ещё об одном типе топологической транзитивности
- Пример косого произведения с аттрактором из класса Tjb(ln), п 2
Общие свойства факторотображения и отображений в слоях, вытекающие из топологической транзитивности косого произведения
В данном разделе изучаются свойства одномерных отображений, которые используются при доказательстве критерия топологической транзитивности косых произведений из класса Т (1п).
При доказательстве топологической транзитивности отображений в слоях косых произведений из класса Т (1п) используются понятия блуждающего интервала и периодического аттрактора, здесь же приведено связанное с ними понятие гомтервала (см. 3 главы II). Приведём необходимые определения, следуя монографии [54, гл. 2].
Определение 1.15 [54, гл. 2]. Пусть— отрезок числовой прямой), J G I. Интервал J называют гомтервалом, если отображение р п монотонно на J при всех п 0. Определение 1.16 [54, гл. 2]. Пусть р : I — I (I — отрезок числовой прямой). Интервал J G I называют блуждающим интервалом отображения (р, если множества J, ty?(J), (/? (J), ... попарно не пересекаются и последовательность { (-J)}к () не стремится к периодической орбите.
Определение 1.17 [54, гл. 2]. Пусть отображение— отрезок числовой прямой) имеет периодическую точку х (наименьшего) периода /. Периодическая орбита Orb(p(x ) = {ж , ip (x ),..., pn г(х )} называется периодическим аттрактором периода /, если множество содержит окрестность (возможно, одностороннюю) орбиты OrЬ р(х ). Множество В(х ) называют областью притяжения орбиты Orb(p(x ) Обозначим через BQ{X ) связную компоненту В(х ), содержащую точку х . Будем называть Во(х ) областью непосредственного притяжения точки
Следующее утверждение указывает на взаимосвязь понятия гом-тервала с понятиями блуждающего интервала и периодического аттрактора и будет использовано при доказательстве теоремы 4.
Предложение 1.18 [54, гл. 2]. Пусть р : I — I (I — отрезок числовой прямой) имеет гомтервал J, тогда реализуются одна из следующих возможностей: 1. J — блуждающий интервал; 2. любая точка из J содержится в области притяжения периодического аттрактора. Предложение 1.19 указывает способ перехода от комбинаторной эквивалентности (см. определение 0.5) двух унимодальных (мульти-модальных) отображений к их топологической эквивалентности (см. определение 0.7). — унимодальные (мулътимодалъные) отображения. Если д\ и g i комбинаторно эквивалентны и не имеют блуждающих интервалов и периодических аттракторов, то д\ и g i топологически эквивалентны.
Предложения 1.20 и 1.21 используются в доказательстве теоремы 1 и позволяют показать отсутствие блуждающих интервалов и периодических аттракторов соответственно у отображений в слоях косых произведений из класса Т (1п). Предложение 1.20 [54, гл. 4]. Пусть— отрезок числовой прямой) — С2-гладкое отображение имеет невырожденные критические точки. Тогда ip не имеет блуждающих интервалов.
Заметим, что предложение 1.20 расширяет результаты Данжуа для С -гладких отображений окружности [77], [78], [79] и Гукенхей-мера для С3-гладких унимодальных отображений с отрицательным шварцианом [80] на случай С -гладких эндоморфизмов отрезка. Предложение 1.21 [81]. Пусть ip : I — / (I — отрезок числовой прямой) — С2 -гладкое отображение с отрицательным на I шварцианом, тогда 1. бассейн непосредственного притяжения BQ{X ) периодического аттрактора х содержит точку экстремума отображения if или границу отрезка I; 2. каждая негиперболическая периодическая точка является притягивающей; 3. на I не существует интервала, состоящего только из периодических точек. Отметим, что знак шварциана композиции отображений с отрицательным (положительным) шварцианом — отрицателен (положителен) (см. [55, гл. 4, 1]). Приведём необходимые условия комбинаторной эквивалентности отображений Предложение 1.22 [54, гл. 2]. Пусть ip, ifj : I — I (I — отрезок числовой прямой) — мультимодальные (унимодальные) отображения. Если существует сохраняющая ориентацию биекция h : [J ifk{C{if)) — [J фк(С(ф))6, задаваемая формулой h (ipk(C(ip))) =
Определим отображение h (см. предложение 1.22), полагая h(ai) = di, h(bi) = bi, h(ci(g)) = сі(дк) при любом 1 / 2k + 1. Тогда, в силу предыдущих рассмотрений, отображение h корректно определено и является сохраняющей ориентацию биекцией множеств С(д) и С(дк). Следовательно (см. предложение 1.22), отображение h устанавливает комбинаторную эквивалентность между отображениями д и дк. Лемма 1.23 доказана.
В данном разделе изучаются свойства одномерных отображений, являющихся отображениями в слоях косых произведений класса Т (1п). Полученные результаты используются при доказательстве критерия топологической транзитивности косых произведений из класса Тм3(/П).
Лемма 1.24. Пусть F Є Т (Іп) — топологически транзитивное (то есть F удовлетворяет условию (А.1)) косое произведение. Тогда отображение /п,жп_і(жп) унимодально по хп при всех
То гда найдется х п_і Є Iа такая, что fn,x _Л%п), как функция переменной хп, имеет критическую точку c(a4-i) int Іп- Для определённости, будем считать, что при хп с(ж _1) верно неравенство -j rfn.x n) 0, тогда при хп с(х п_г) справедливо неравенство я—fn,x _ (хп) 0. Последнее вместе с условием (С.З) и определением 0.4 влечёт за собой унимодальность fn (хп) по жп, и справедливо
Заметим, что выполнение равенства (1.5) не зависит от выбора точки х п_1. Последнее является следствием условия (С.З) и непрерывности функций fn#n_x{an) и fnn_x{bn) по жп_і Є In l. Тогда, используя классическую теорему Ролля и условие (С.2) теоремы 1, получаем, что при каждом хп-\ Є Іп существует единственная критическая точка с(хп-\) отображения Д,ж„_і( п) по переменной хп, причем эта точка невырожденная. Лемма 1.24 доказана.
С использованием следствия 1.7 получаем следующее утверждение Следствие 1.25. Пусть F Є Т (Іп) топологически транзитивное косое произведение, тогда отображение Д ІО І) унимодально ПО Хі При всех Xi-i Є Г 1, І = 2, П. Далее, для определённости, будем считать, что если F Є Т (Іп) топологически транзитивно, то при каждом 2 і п и Х{-\ Є I справедливо Д Да») = Д ДЬ») = а». На рис. 1 приведены эскизы графиков отображения Дж._1(ж ), обладающего указанными выше свойствами (рис. 1а), и отображения Дх4_ь2(Жг) = Д/г-і( -і) Лх -і(Жі) (РИС- 1Ь) Обратим внимание на то, что операция композиции (использующаяся при переходе к итерациям отображения F, см. формулу (0.2)) выводит из класса унимодальных отображений в слоях, приводя к мультимодальным отображениям. Используя следствия 1.14, 1.25 и предложение 0.6, убеждаемся в том, что справедлива
Специальные свойства отображений в слоях
Лемма 1.27 показывает, что в рассматриваемом классе косых произведений существует единственное отображение д\ (у), произвольные итерации которого определяют «схему складок» отображений в слоях над произвольными точками Х{-\ соответствующих итераций косого произведения F.
Следуя [54], отметим, что комбинаторная эквивалентность унимодальных (мультимодальных) отображений отрезка является более слабым свойством, чем топологическая эквивалентность. Из комбинаторной эквивалентности в общем случае не следует топологическая эквивалентность. Комбинаторно эквивалентными могут быть два унимодальных (мультимодальных) отображения, не являющиеся топологически эквивалентными, одно из которых содержит периодические аттракторы (см. рис. 2а), а другое - нет (см. рис. 2Ь).
Доказательство теорем 1 и 2 начато в 1 главы I, где для произвольного непрерывного отображения, действующего нап-мерной клетке, указывается связь свойства равномерной аппроксимируемости фазового пространства периодическими орбитами со свойством топологической транзитивности (лемма 1.1) и свойством плотности в фазовом пространстве множества периодических точек (лемма 1.2).
Для завершения доказательства теоремы 1 покажем, что в рассматриваемом классе динамических систем свойство топологической транзитивности влечёт за собой равномерную аппроксимируемость фазового пространства периодическими орбитами системы. Для этого сначала убедимся в том, что топологическая транзитивность косого произведения из класса Т (1п) влечёт плотность множества его периодических точек.
Лемма 1.28. Пусть F Є Т (Іп) удовлетворяет условию (АЛ) (то есть F топологически транзитивно). Тогда при каждом 2 і п и Хі-і Є P l отображение Джі_і(#г) we имеет блуждающих интервалов.
Действительно, в силу условия (С.2) и предложения 1.20 отображение fiyXi-i(xi) не имеет блуждающих интервалов при всех ХІ-\ Є . Таким образом, условия предложения 1.21 не выполняются, а значит, у отображения fi x% (хі ) нет периодических аттракторов. Лемма 1.29 доказана. Получаем, что при каждом отображение fi i-X i) топологически эквивалентно логистическому отображению вида. предложение 1.19), а значит, топологически транзитивно и обладает плотным множеством периодических точек. Тогда топологически транзитивным и обладающим плотным множеством периодических точек является отображение fi,Xi_uk{%i) при всех 2 г п, к 2.
Какую бы периодическую точку х\ отображения j\ (наименьшего) периода к мы ни взяли, отображения Дж (2 і п) обладают плотным множеством периодических точек на отрезках 1{ (2 і п). Кроме того, и отображение j\ обладает плотным мно-жеством периодических точек (лемма 1.9). Следовательно, рассматриваемое топологически транзитивное косое произведение обладает плотным множеством периодических точек.
Таким образом доказано, что в рассматриваемом классе косых произведений условие (А1) влечёт за собой выполнение условия (A3). Последнее, вместе с с теоремой 1.3 означает, что в рассматриваемом классе косых произведение свойство (А.1) влечёт за собой свойство (А2).
Далее покажем, что при добавлении условия (СЛ) плотность множества периодических точек косого произведения из выделенного класса влечёт за собой как топологическую транзитивность, так и равномерную аппроксимируемость фазового пространства периодическими орбитами.
Лемма 1.30. Пусть F Є Т (Іп) удовлетворяет условиям (СА) и (A3). Тогда отображение F удовлетворяет каждому из условий (АЛ) и (А.2).
Доказательство. Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции по размерности пространства п. Покажем, что лемма справедлива для п = 2.
Пусть х = (х\ х\) Є intl2 — периодическая точка отображения F, удовлетворяющая условию (СА). Тогда х\ — внутренняя /і-периодическая точка (обозначим через / её период), правостороннее и левостороннее неустойчивые многообразия которой равны всему отрезку 1\. Покажем, что какую бы периодическую точку (х\,Х2) Є Per(F) мы ни взяли, правостороннее и левостороннее неустойчивые многообразия Х\ равны всему отрезку 1\: т.е. любая F-периодическая точка удовлетворяет условию (СЛ).
Предположим противное. Пусть (жі,Ж2) Є Per(F), х\ Є Per(fi) периода к такая, что W (x\, fi) 1\. Положим W+(iE,/f) = J, где J — вполне инвариантный относительно / интервал отличный от 1\. Очевидно, что J не содержит точку х\. Пусть Orbfi(J) = J U /і {J) U U Л (J) вполне инвариантное относительно отоб-раж;ения j\ множ;ество. Множество Orbfi(J) не сод ежит точку х\, следовательно, существует правосторонняя окрестность U+ (х\) такая, что U+ (xl)f)Orbfi(J) = 0. Кроме того, в силу условия (СЛ), существует s Є N такое, что fflU+ (х\) = 1\. Значит, в U+ (х\) существует некоторый прообраз отрезка J. Обозначим его через J- С U+ (ж). Тогда существует jo Є N такое, что при любом j jo fl(J-) Є Orbfi(J), то есть J_ — блуждающий относительно j\ интервал (J_ состоит из блуждающих точек). Следовательно, в J_ не существует периодических точек отображения /і, что противоречит условию (A3). Таким образом, любая периодическая точка факто-ротображения j\ имеет правостороннее неустойчивое многообразие, совпадающее со всем отрезком 1\. Аналогичным образом это свойство доказывается и для левосторонних неустойчивых многообразий /і-периодических точек.
Возьмём два произвольных открытых множества U, V С І\. В U возьмём произвольно периодическую точку Ж] . Пусть к — её период. Тогда, какую бы правостороннюю окрестность U+(xi) С U мы ни взяли, в силу условия (СЛ) и предыдущих рассуждений существует натуральное число s такое, что f(k (U+(xi)) = I\ D V. Последнее в силу предложения 0.2 означает, что отображение j\ топологически транзитивно.
Ещё об одном типе топологической транзитивности
Таким образом, в силу предложения 0.2, косое произведение F топологически транзитивно.
Покажем, что отображение F имеет плотное множество периодических точек. Возьмём произвольно периодическую точку х\ отображения /і, пусть её период (наименьший) равен /. Рассмотрим множество {х{\ х J, J С [ct2, &2І В силу леммы 2.14 и следствия 2.13, существует натуральное число к такое, что Fk({Xi} X J) = {Л (Жі)} X /2 5l jfe(J) = {/i (i)} X famini max]. А для любого к к, в том числе и для к = 1г к} г Є N, справедливо F ({ali} х J) = {/ftali)} х /2 Sl A(J) = {xi} x [02,63]. Следовательно, на интервале J существует периодическая точка отображения f2-j.
Таким образом, какую бы периодическую точку Х\ Є [ 2і,&і] (периода /) мы ни взяли, в слое над этой точкой существует плотное множество периодических точек отображения /2 j. Плотность множества периодических точек отображения j\ (следует из условия (4.2), замечания 1.8 и леммы 1.9) завершает доказательство плотности множества периодических точек отображения F. Таким образом, справедливость теоремы 4 установлена для п = 2.
Предположим, что в условиях теоремы 4 отображение F Є Т?6(/п), 3 п т — 1 (т Є N) топологически транзитивно и обладает плотным на Iа множеством периодических точек. Покажем, что и отображение F Є T?&(/m) топологически транзитивно и имеет плотное на Тт множество периодических точек.
Обозначим через U и V — непустые открытые подмножества т-мерной клетки 1т. Отображение /m_i (т — 1)-мерной клетки 1т 1 на себя в силу предположения индукции топологически транзитивно и имеет плотное множество периодических точек. Тогда в силу теоремы 1.3 периодические орбиты отображения fm-i равномерно аппроксимируют (т — 1)-мерную клетку 1т . Следовательно, существует периодическая точка хт-\ Є prfm-iU (наименьшего) периода I такая, что f Xm-i) Є pr V, 0 к\ I, здесь pr/m_i(-) — естественная проекция множества () на (т — 1)-мерную клетку
Таким образом, в силу предложение 0.2, отображение F топологически транзитивно. Покажем, что отображение F имеет плотное множество периодических точек. Возьмём произвольно периодическую точку Хт-\ отображения /то-1, пусть её период (наименьший) равен /. Рассмотрим множество {хт-і} х J, J С [ 2ТО, bm]. В силу леммы 2.14 и следствия 2.13, существует натуральное число к такое, что
Таким образом, какую бы периодическую точку хт-\ Є Im l (периода /) мы ни взяли, в слое над этой точкой существует плотное множество периодических точек отображения f г. Плотность множества периодических точек отображения /m_i (см. предположение индукции) завершает доказательство плотности множества периодических точек отображения F. Теорема 4 доказана. Подчеркнём, что топологическая транзитивность, возникающая в условиях теоремы 4 принципиально отличается от видов топологической транзитивности, рассматриваемых в предыдущих параграфах своей «двумерностью». Здесь, в отличие от рассмотренных ранее случаев, могут существовать слои отображения над которыми не являются топологически транзитивными (хотя имеют плотное множество периодических точек). При этом само косое произведение топологически транзитивно. III. Транзитивные аттракторы, являющиеся n-мерными клетками
В данной главе доказаны теоремы существования С3-гладких косых произведений, заданных на n-мерных клетках, каждое из которых обладает n-мерным топологически транзитивным аттрактором, представляющим собой единичную n-мерную клетку. Первое из косых произведений имеет аттрактор, динамическая система на котором обладает свойством полной топологической транзитивности, а второе — топологически транзитивный аттрактор, динамическая система на котором не обладает свойством полной топологической транзитивности.
Пример косого произведения с аттрактором из класса Tjb(ln), п 2
Проверим условие (С.1) (отрицательность шварциана отображений в слоях) для построенного косого произведения F2. Для доказательства нам потребуются следующее вспомогательное утверждение.
Теорема Декарта [86, 41]. Число положительных корней многочлена с вещественными коэффициентамид(у) = апуп+ап-\уп 1 + ... + 2о равно числу перемен знаков во множестве (равные нулю коэффициенты не учитываются) или на чётное чис ло меньше этого числа. 12Для определения числа отрицательных корней многочлена д{у) достаточно применить теорему Декарта к многочлену д(—у). Лемма 3.6. Пусть косое произведение F определено в силу равенств (3.25), где дх(у) определено в силу равенств (3.26) с функциями а{х), Ь(х), с{х), d{x), е{х), h(x) и р(х), определёнными в силу равенств (3.29). Тогда Sgx{y) 0 при всех (х,у) Є [О, I]2 за исключением точек, где 9 = О. Доказательство. Обозначим через Рх{у) частную производную д . Имеем ду Рх{у) = 6а(х)у5 + 5Ь(х)у4: + 4с(ж)у3 + 3d(x)y2 + 2е(х)у + h(x). Покажем, что Рх(у), как полином пятой степени по переменной у, имеет пять действительных корней на прямой К. . Для этого нужно доказать, что коэффициенты полинома Рх(у) сохраняют знак при всех х Є [0,1]. Покажем, что а(х) 0 при всех х Є [0,1]. (3.30)
Пусть А(х) = 750400 -29473604+31656364-2839964-9017274+ 2083984 + 572494 - 56700 + 24300. Поскольку знаменатель функции а(х) равный D(x)tx не имеет действительных корней на отрезке [0, 1] изменения х, то знак а(х) совпадает со знаком А(х) при каждом х Є [0,1]. Докажем знакопостоянство функции А(х) на интервале изменения tx от 0, 499 до 0, 5 (соответствует изменению х от 0 до 1). Для этого докажем отсутствие корней функции А{х) на указанном отрезке. Воспользуемся теоремой Штурма13.
Определение 3.7 [86, 40]. Пусть полином с действительными коэффициентами д(у) = апуп + ап-\уп 1 + ... + 2о не имеет кратных корней. Конечная упорядоченная система отличных от нуля полиномов с действительными коэффициентами
Штурма определения числа действительных корней полинома описан, например, в монографии [86, 40]. называется системой Штурма для полинома д(у), если выполняются следующие условия: 1. Соседние полиномы системы (3.31) не имеют общих корней. 2. Полином gs(y) не имеет действительных корней. 3. Пусть полином д , 1 к s — 1 имеет действительный корень а, тогда gk-\(ot) и д +і{а) имеют разные знаки. 4. Пусть а — действительный корень полиномад (у)- Тогда произведение д(у)ді(у) 0 при х а и д{у)д\{у) 0 при х а
Пусть (3.31) — система полиномов Штурма некоторого полинома с действительными коэффициентами д(у). Пусть с Є Ж. не является корнем полинома д(у). Обозначим через W(c) число перемен знаков во множестве {д(с), ?i(c), «72(c), ..., gs(c)} (нули при подсчёте не учитываются). Тогда справедлива следующая
Теорема Штурма [86, 40]. Пусть полином с действительными коэффициентами д(у) не имеет кратных корней. Числа а, Ь Є WL, а Ь не являются корнями д(у). Тогда W(a) W(b), а на интервале (а, Ъ) существует ровно W(a) — W(b) действительных корней полинома д(у).
Согласно [86, 40] систему полиномов Штурма можно строить методом, с точностью до знака совпадающим с алгоритмом Евклида . Построим систему полиномов Штурма для многочлена Л (ж). Всвя-зи с громоздкостью коэффициентов значения приведём лишь для первых четырёх полиномов Ао(х)—Аз(х).
Из неравенств (3.30) и (3.35) следует, что в множестве указанных коэффициенты знак меняется дважды, следовательно в силу теоремы Декарта полином Рх(у) имеет или два положительных корня, или не имеет их вовсе. В силу уравнения gg \y=tx = 0 (см. (3.27)) при любом х Є [О,1] у = 0,001ж + 0,499 — положительный корень полинома Рх{у). Тогда из теоремы Декарта следует существование и второго положительного корня.
Из неравенств (3.30) и (3.35) получаем, что во множестве коэффициентов функции Рх(—у) знак меняется трижды. Следовательно, в силу теоремы Декарта полином Рх(—у) имеет или три, или один отрицательный корень.
В силу непрерывности функции дх(у) и первого равенства из условия (3.27) для любого х Є [0,1] существует Є (—0,5, 0) такая, что дх{С) = 1- Так как gx(tx) = 1, то при каждом х Є [0,1] к функции дх(у) можно применить теорему Ролля (см. [87, гл. 5, 3, п. 2]). Тогда существует точка у\ Є (—0,5, tx) (tx Є [0,499, 0,5]) в которой 9х Уі = 0 при всех ж Є [0,1]. В силу условия (С.2) на отрезке [0,1] изменения у существует единственная точка экстремума tx. Следовательно y\ Є (—0,5, 0), где у\ = у\{х) — отрицательный действительный корень функции Рх(у) при каждом х Є [0,1].
Заметим, что при каждом х Є [0, 1] выполнены следующие неравенства: д Q 0 и д 0. Тогда в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса (см. [87]) существует точка у і Є (—1, —0,5], у і = У2(х), такая, что 9х = 0. Точка у = Уъ(х) — второй отрицательный действительный корень полинома по у равного Рх(у). Таким образом, при каждом х Є [0,1] указаны два отрицательных действительных корня полинома по у равного Рх{у). Тогда в силу теоремы Декарта существует и третий отрицательный действительный корень полинома Рх{у) по переменной у.
Таким образом, полином пятой степени Рх(у) при каждом х Є [0,1] имеет пять действительных корней. В силу предложения 3.2 последнее влечёт за собой отрицательность шварциана функции дж (у) при всех х Є [0,1] (там, где он определён). Лемма 3.6 доказана.
Последнее утверждение завершает доказательство принадлежно сти построенного косого произведения F2 классу Т ([0,1] ).
Отображение f(x) = 4ж(1 - х), взятое в качестве факторотобра-жения, обладает свойством полной топологической транзитивности [56, гл.6, п.6.1.1]. Таким образом, построенное косое произведение F2 удовлетворяет условию (УЗ). В силу задания отображения дх(у) (см. (3.27)) F2 удовлетворяет и условиям (У.1), (Y.2) и (YA).
Следовательно, построенное косое произведение F2, заданное равенствами (3.25)-(3.26), на квадрате [0,1] удовлетворяет условиям теоремы 3. Тогда і 2[о,і]2 топологически транзитивное, но не обладающее свойством полной топологической транзитивности, отображение.