Введение к работе
Актуальность темы. Известно, что топология общего одномерного голоморфного слоения с особенностями на неособом проективном алгебраическом многообразии, вообще говоря, довольно сложна. Например, существует область D в пространстве слоений на СР , локально определённых голоморфным векторным полем, такая что каждый лист типичного слоения из D всюду плотен в СР ([1], [2], [3]).
Один из возможных подходов к исследованию этой сложной картины состоит в униформизации листов. Результат униформизации отдельного слоя хорошо известен. Это классическая теорема о классификаціпі односвязных римановых поверхностей. Однако для исследования слоения в целом важно знать зависимость униформизущей функции от параметра.
Существует гипотеза [4], что листы слоения на аналитические кривые на СР" допускают униформизацию, такую что униформизующая функция голоморфно зависит от параметра. Один из результатов, тесно связанных с этой проблемой,—теорема о том, что объединение универсальных накрывающих над листами, пересекающими трансверсальный диск, есть многообразие Штейна [5].
В настоящей работе исследуется проблема конформного типа листов, тесно связанная с проблемой униформизации.
Цель работы. Исследовать проблему конформного типа листов одномерных голоморфных слоений в следующих вариантах:
-
Какой конформный тип имеют фазовые кривые общего полиномиального векторного поля в С"?
-
Пусть W — неособое проективное алгебраическое многообразие. Какой конформный тип имеют листы общего одномерного голоморфного
Исследования поддержаны грантом фонда Pro-Mathematica Французского Математического общества, грантами МНФ М98000, М98300, "Культурная инициатива" , грантом РФФИ N 95-01-00229а
-
Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. В кн. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 1, часть 1. Итоги науки и техники, ВИНИТИ, Москва (1985).
-
Мюллер В., О плотности решений некоторых дифференциальных уравнений в СРП . Матем. сб., 1975, т. 98, вып. 3, стр. 363-377.
-
Худай-Веренов М.О., Об одном свойстве решений одного дифференциального уравнения. Матем. сб., 1962, т. 56(98), вып. 3, стр. 301-308.
-
Ильяшенко Ю.С., Щербаков А.А., Косые цилиндры и одновременная унифор-мизация, - готовится к печати.
-
Ильяшенко Ю.С. Слоения на аналитические кривые. Матем. сб., 88, вып. 4 (1972), стр.558-577.
слоения на W1
Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
-
фазовые кривые общего полиномиального векторного поля в С" являются гиперболическими римановыми поверхностями, т.е., их универсальные накрывающие конформно эквивалентны диску;
-
для большинства естественных классов одномерных голоморфных слоений на неособом проективном алгебраическом многообразии листы типичного слоения - гиперболичны.
Методы исследования. При доказательстве основных результатов используется следующий критерий гиперболичности римановой поверхности.
Теорема 0 [6]. Риманова поверхность гиперболична тогда и только тогда, ког^а ка ней существует эрмитова метрика отрицательной гауссовой кривизны, отделенной от нуля.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, занимающимся аналитическими дифференциальными уравнениями и комплексным анализом.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном Математическом Конгрессе в Цюрихе (стендовый доклад) (август 1994 г.), на конференции "Real & Complex Dynamical Systems" (Хиллерод, Дания, июнь 1993 г.), на симпозиуме "Singularities of vector fields and Pfaffian systems" (Варшава, Польша, октябрь 1995 г.), на семинаре в семестре по аналитическим динамическим системам в Мексике (ШАМ, Мехико, январь 1995 г.), на семинаре по аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений под руководством Ю.С.Ильяшенко, на семинаре под руководством J.-F.Mattei (Universite Paul Sabatier, Тулуза, Франция).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 15 наименований. Обший обьем работы - 57 страниц.