Введение к работе
Пусть А — замкнутый линейный оператор с плотной областью определения D{A), действующий в гильбертовом пространстве Н. Рассмотрим задачу:
— = Ли(/), *>0; «(0) = «о. (1)
К абстрактному уравнению (1) сводятся многие начально-краевые задачи для эволюционных уравнений с частпымл производными. Пусть оператор А имеет дискретный спектр и удовлетворяет следующему условию (R), которое, в частности, гарантирует однозначную разрешимость задачи (1) (см.[1]):
It. Для некоторых вещественных /ЗиR(A,\) — (А — \1)~1 оператора А существует, а величина ||АД(Л,А)|| равномерно ограничена в секторе |агз(А — /?)| < 9.
Нас интересует устойчивость по Ляпунову задачи (1). Она зависит от расположения спектра оператора А. Если все точки спектра лежат в левой полуплоскости, то решение устойчиво, если же часть из них попадает в правую .юлуплоскость, то решение неустойчиво. Индексом неустойчивости оператора А назовем коразмерность подпространства начальных возмущений, для которых задача (1) устойчива. Если А имеет дискретный спектр, то индекс неустойчивости равен сумме лгебраических кратностей собственных значений, расположенных в полуплоскости Re(\) > 0, минус число линейно независимых собствен' мх векторов, отвечающих мнимым собственны-* числам.
Вопрос о подсчете индексов неустойчивости, не связанный с неэффективным вычислением точек спектра является сложной и актуальной задачей даже для несимметричных матриц. В бесконеч. jMepHOM случае наиболее полно этот вопрос изучен для самосопряженных дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций с одной независимой переменной. Первые результаты в этом направлении были получены Якоби. Затем М. Морс [2]-[3], и пользуя методы вариационного исчисления, сформулировал основные положения теории индексов неустойчивости. Он свел эту проблему к нахождению числа с ряженных точек некоторой краевой задачи. Близкие результаты, но из дру-
гнх соображений, были получены М.Г. Крейном [12]. Т.й. Зеленяк (5j и В.Я. Беле [6] завершили теорию индексов неустойчивости для одно-ме, ных самосопряженных операторов, рассмотрев ранее не изученные критические случаи.
Отметим здесь известный результат, связанный с дифференциальным оператором второго порядка. Пусть А — самосопряженное дифференциальное выражение типа Штурма-Лиувмлля, а порожденный им в L-і самосопряженный дифференциальный оператор с граничными условиями типа Дирихле имеет нулевой индекс неустойчивости, тогда индекс неустойчивости любого самосопряженного оператора, порожден-ного тем же дифференциальным выражением, но с другими краевыми условиями, не может быть больше двух. Т.И. Зеленяком [13] показано, что для того же дифференциального выражения с нераспадающимися граничными условиями, порождающими несамосопряжешшй оператор, в правую полуплоскость может попэ чать сколько угодно собственных значений в зависимости от коэффициентов в граничных условиях. Этот результат явился причиной возникновения интереса к исследованию спектра несамосопряженного оператора и определил выбор темы диссертации.
Исследование спектра несамосонряженного оператора осложняется трудностями использования вариационных методов. Эти трудности можно преодолеть, заменив несамосопряженный оператор каким-нибудь самосопряженным, имеющим тот же индекс неустойчивости. Конструктивный подход к отысканию такой замены был предложен Л.М.Ляпуновым при изучении несимметричных матриц. Он заключается в построении решения уравнения Ляпунова:
A*U + UА = V, ' (2)
где А и А' — заданные операторы, V = V*, V > О, a U — искомый самосопряженный оператор. Ляпуновым показано, что в случае, когда А и А* матрицы, из устойчивости А следует устойчивость V, и наоборот. Аналогичная теория развита М.Г. Крейном [12] для ограш: тешшх операторов в бесконечномерных пространствах.
В [8] были получены обобщения этих результатов на случай неограниченных операторов. Если U является решением уравнения (2), вы-
полнено условие (It), и спектры операторов А* и (—А) не пересекаются, то индексы неустойчивости А и U совпадают. Добавляя к перечисленным условиям ограниченность оператора V, мы получим достаточные условия существования и единственности решения уравнения (2). Там же было получено явное решение уравнения (2) в случае дифференциальных операторов с распадающимися граничными условиями.
Цель диссертации заключается в решении уравнения Ляпунова в случае, когда А и А* — несамосопряженные дифференциальные операторы второго порядка с нераспадаюш татся. регулярными краевыми условиями.
В диссертации получены следующие результаты:
доказано существование и единственность решения уравнения Ляпунова для несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка с нераспадающимися регулярными краевыми условиями
найден явный вид этого решения и указан конструктивный подход к его отысканию.
Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы для исследования индекса неустойчивости несамосопряженных дифференциальных операторов.
Диссертация докладывалась на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Институте математики СО РАН под руководством профессора Т.Н. Зеленяка, в Институте гидродинамики на сгминаре под руководством член-корреспондента РАН П.И. Плотникова, член-корреспондента РАН В.Н. Мочахова, профессора А.В. Ка-жихов? на семинаре лаборатории волновых процесс"* под руководством'член-корреспондента В.Г. Романова, на семинаре под руководством академика АТН РФ В.Н. Врагова, в Новосибирском госуниверситете на кафедре теории функций комплексного переменного лод руководством академика М.М. Лаврентьева, на семинаре лаборатории обратных задач математической физики под руководством профессора Ю.Е. Аниконова.