Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аппроксимация сверху дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью 14
1.1 Аппроксимация сверху дифференциальных включений с медленными переменными 15
1.2 Аппроксимация сверху системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными 28
1.3 Теоремы об аппроксимации сверху для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 44
Глава 2. Аппроксимация снизу дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью 50
2.1 Аппроксимация снизу дифференциальных включений с медленными переменными 51
2.2 Аппроксимация снизу системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными 61
2.3 Теоремы об аппроксимации снизу систем обыкновенных дифференциальных уравнений 78
Глава 3. Взаимная аппроксимация дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью 84
3.1 Взаимная аппроксимация дифференциальных включений с медленными переменНЫМИ 84
3.2 Взаимная аппроксимация системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными 98
3.3 Пример на применение взаимной аппроксимации дифференциальных включений в задаче о минимизации терминального функционала 102
Заключение 105
Список литературы
- Аппроксимация сверху системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными
- Теоремы об аппроксимации сверху для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- Аппроксимация снизу системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными
- Взаимная аппроксимация системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными
Введение к работе
Актуальность темы. Известно, какое большое значение в асимптотических методах имеет принцип усреднения Крылова-Боголюбова для обыкновенных дифференциальных уравнений, строго обоснованный Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым в 30-е годы XX века. Это объясняется тем, что согласно этому принципу, при рассмотрении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром исходная задача
х = fif(t, х), х(0) =х0 (х Жт)
на асимптотически большом промежутке времени [0,1///] заменяется на более простую (которая называется усредненной задачей), достаточно адекватно отражающую основные свойства решений исходной задачи.
Теоремы, устанавливающие близость в определенном смысле решений исходной и усредненной задач, получили название теорем усреднения. В дальнейшем были получены многочисленные результаты по обобщению принципа усреднения в различных направлениях. Отметим лишь некоторые из них.
М. М. Хапаевым принцип усреднения для обыкновенных дифференциальных уравнений был обоснован в случае нелипшицевой правой части вида fo(t, х) + f(t, х) исходной задачи (/о предполагается липшицевой по х).
В. М. Болотов обобщил его на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными при условиях, обеспечивающих липшицевость правых частей исходной задачи. Случай нелипшицевых правых частей в задаче об усреднении такой системы обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривался М. М. Хапаевым и О. П. Филатовым.
Одна модификация принципа усреднения для дифференциальных уравнений некоторого вида была предложена М.И. Каменским.
Развитие теории дифференциальных вклюненийдкадгеовало обобщения
РОС. НАЦИОНАЛ,.? 3
"%d%9;
БИБЛИОТЕК!. С Пете OS
и принципа усреднения на случай дифференциальных включений. При этом исходная задача
х Є p,F(t, х), х(0) = х0 (хе Rm)
также заменяется на усредненную.
Первые результаты в этом направлении были получены В. А. Плотниковым в начале 70-х годов XX века. Им была доказана теорема усреднения для указанной выше исходной задачи. Им же было найдено применение теоремы усреднения дифференциальных включений в некоторых задачах оптимального управления.
На случай систем дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными вида
і Є fiF(t, х, у, ц), х(0) = х0,
у G(t, х, у, ц), у(0) = у0 (хе Rm, у Є R»)
принцип усреднения был обобщен О. П. Филатовым и М. М. Хапаевым.
В перечисленных выше результатах по усреднению систем дифференциальных включений одним из основных условий доказанных теорем усреднения является лишпицевость правых частей исходной и усредненной задач. Однако правая часть исходной задачи может оказаться нелипшицевой. Кроме того, стандартная процедура усреднения, позволяющая в ряде случаев построить усредненную задачу, может привести также к задаче с нелипшицевой правой частью. Теоремы усреднения для липшицева случая в такой ситуации не работают. Изучению этого случая и посвящена диссертационная работа. В ней, следуя О. П. Филатову и М. М. Хапаеву, принцип усреднения представляется в виде трех самостоятельных задач: аппроксимации сверху, аппроксимации снизу и взаимной аппроксимации.
Аппроксимация сверху означает, что для любого решения исходной задачи существует решение усредненной задачи, которое отличается от медленной составляющей взятого решения исходной задачи не более, чем на заданное число є > 0 на асимптотически большом промежутке [0,1/ц]- Это значит, что любое решение исходной задачи может быть приближено по медленным переменным с любой степенью точности некоторым решением усредненной задачи.
Аппроксимация снизу означает существование для любого решения усредненной задачи решения исходной задачи, причем близкого в указанном выше смысле к взятому решению усредненной задачи.
Наконец, взаимная аппроксимация исходной задачи усредненной означает аппроксимацию ее как сверху, так и снизу.
Заметим, что случай нелипшицевой правой части привлек в последние годы внимание болгарских математиков Ц. Дончева и И. Славова, доказавших
теорему о взаимной аппроксимации сингулярно возмущенных дифференциальных включений при отсутствии липшицевости правой части.
Цель работы. Доказательство новых теорем усреднения для систем дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью. При этом рассматриваются как системы с медленными переменными, так и системы с медленными и быстрыми переменными.
Методика исследования. В диссертационной работе используются методы многозначного анализа и теории дифференциальных включений. Существенную роль при этом играет доказанное болгарскими математиками Ц. Дончевым и Э. Фархи обобщение теоремы А. Ф. Филиппова о непрерывной зависимости от исходных данных решения задачи Коши для дифференциальных включений на случай дифференциальных включений с односторонне липшицевой правой частью.
Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми. Это— теоремы усреднения для систем дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными и нелипшицевой правой частью, а также систем дифференциальных включений только с медленными переменными и нелипшицевой правой частью:
-
теоремы об аппроксимации сверху;
-
теоремы об аппроксимации снизу;
-
теоремы о взаимной аппроксимации.
Как частный случай, получены новые теоремы усреднения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Установленные в ней теоремы расширяют границы применимости принципа усреднения для дифференциальных включений и их частного случая — обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты диссертации могут найти свое применение в задачах, для решения которых применяется метод усреднения. В частности, в теории гироскопов, в некоторых задачах оптимального управления.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики. (ОПУ-2003)"(г. Тамбов), Воронежской зимней математической школе 2004 года, XXVI конференции молодых ученых механико—математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова 2004 года, Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХУ'2004 года, XV международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"2004 года (г. Саранск), Воронежской зимней математической школе 2005 года.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в рабо-
тах [1J—[11].
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав, объединяющих в общей сложности 9 параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации 112 стр. Библиография содержит 72 наименования. В диссертационной работе используется тройная нумерация теорем, лемм, формул. Первая цифра означает номер главы, вторая—номер параграфа, третья—порядковый номер теоремы, леммы, формулы в этом параграфе.
Аппроксимация сверху системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными
Теперь находим интересующую нас оценку отклонения найденного решения иціі) задачи (1.1.2) от взятого первоначально решения а () задачи (1.1.1) для любого і Є [0, l/p] : ЇМ ) - «Л )ІІ 1Ы0 - Wll + 1Ы ) - «ЛОІІ 35 + ехр(с)(с + 1) =е(3 + ехр(с)(с + 1)). В силу произвольности є, произвольности /І Є (0, /го] и произвольности взятого решения х(1(і) задачи (1.1.1), это и означает, что задача (1.1.2) аппроксимирует сверху задачу (1.1.1). Теорема доказана.
Замечание. Условия 3), 4) для отображения F будут выполняться, в частности, если F : Ш+ X Жт X [0, а] -+ К (Ж"1) — равномерно полунепрерывно сверху по х на Rm равномерно по t на Ж+ и равномерно по ц в нуле, то есть если V є 0 3 6 О V хи Х2 Є Km, V t Є R+, V /А Є [0, а] : \\хі - х2\\ S, 0 ft 5 (1.1.12)
Действительно, выполнение условия (1.1.12) означает выполнение для отображения F условия (1.1.4) из леммы 1.1.1 с ар{1) = 1, а это, согласно утверждению леммы, равносильно выполнению для F условий 3), 4) с aF(t) = 1.
Аналогично, условие 3) для отображения FQ будет выполняться если Fo : R+ xRm —у Kv(Rm) — равномерно непрерывно по и на Шт равномерно по t на Ш.+ , то есть если Ve 0 3 6 0 щ,и2ЄШт, VieK+ : IK - «2 5 = a(F0(t, щ), F0(t, и2)) є (в силу леммы 1.1.2 это означает выполнение для отображения FQ условия 3) с aFo(t) = 1). Пример. В качестве исходной задачи (1.1.1) рассмотрим такую: х Є fiF(t,x,v), x(Q) = 0; (1.1.13) здесь отображение F : R+ х R х [0, а] -у К (Ж) задается равенством F(t, х, р) = д{х) (sin(t + 11) + [-1; -0,5]) с функцией д : Ш. — R, определяемой условием 0, если х 0, д{х) = { у/х , если 0 х 1, (1.1.14) 1, если ж 1. Стандартная процедура усреднения приводит к усредненной задаче ufiF0{u), u(0) = 0, (1.1.15) в которой отображение FQ : Ж — Kv(M) задается таким равенством Jb(«) = s(«)[-l;-0,5].
Правая часть дифференциального включения исходной задачи (1.1.13) не является липшицевым по х отображением. Поэтому теорема об аппроксимации сверху задачи (1.1.13) задачей (1.1.15) в липшицевом случае здесь не работает. Вместе с этим для задач (1.1.13) и (1.1.15) выполняются условия доказанной теоремы. Согласно этой теореме, усредненная задача (1.1.15) будет аппроксимировать сверху исходную задачу (1.1.13).
Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными: х Є nF(t,x,y,n), х(0) -x0l [і.АЛ) у eG{t,x,y,v,), у(0) = у0, в которой отображения і :К+хГхГх [0, а] - ЛГ(Ет), G:R+xRmx MP х [0, а] - К(Жп). Ей сопоставим задачу Коши и }J,Fo(t,u), и(0) XQ; (1.2.2) здесь отображение F0 : Ж+ х Жт - Kv(Rm). Пусть для отображений F7G a FQ из правых частей дифференциальных включений этих задач выполняются следующие условия: 1) отображения F, G и FQ измеримы по t на R+ соответственно для любых (х, у, ft) Rm х Жп х [0, а] и любых и Є Rm; 2) F, G и FQ интегрально ограничены функциями Л , XG, F0 LA(TSL+)j то есть выполняются неравенства \\F(t,x,y,fi)\\ XF(t), \\G(tyx,y,fi)\\ \G(t) для любых (t, х, у, ц) Є Ж+ х Ет хК"х [0, а] и Fo(t,u) Af0(i) V (t,«) Є R+ X Rm; 3) условие близости средних для F и Fo Для формулировки этого условия [66, с. 28] вводится понятие порождающей задачи І = 0, фо) = 6, J? Є ?( ,& ?,0), 7j(t0) = r}o (эта задача получается из исходной задачи (1.2.1) при ц = 0; при этом начальные данные (OJO) Є R+ х Мт, щ Є К" здесь произвольные). Если, следуя [66], обозначить через Z(to, 7]o) множество всех решений дифференциального включения из порождающей задачи, то отмеченное выше условие близости средних от F и FQ формулируется в таком виде: to+A t0+A /3( Uі I F(t,0, »?( ), 0) Л, f Fo(Uo) ft)- 0 to к (1.2.3) при Д — со; равномерно по начальным условиям (оіо) Є + х "\ % Є Rn; здесь объединение берется по всем решениям 7] Є Z(to,о) %);
Теоремы об аппроксимации сверху для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Поскольку дифференциальные уравнения являются частным случаем дифференциальных включений, результат, изложенный в 1.1 и 1.2 настоящей работы для дифференциальных включений, имеет место и для дифференциальных уравнений. В этом случае правые части исходной и усредненной задач Коши являются однозначными функциями, и поэтому часть условий теорем 1.1.1 и 1.2.1 записывается проще : полуотклонение по Хаусдорфу в них заменяется па норму.
Рассмотрим сначала задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения при отсутствии быстрых переменных: x = iif(t,x,p), х(0)-х0 (1.3.1) (функция / : R+ х Rm х [0, а] —У Rm), и соответствующую ей усредненную задачу Коши « = A /o(t, «)i и{0) = XQ (1.3.2) с функцией /0:l+xRm Rm. Предположим, что для функций / и /о выполнены следующие условия: 1) функции /и /о измеримы по t на Ш+ для любых (ж, /л) Жт X [0, а] и любого и Є Шт соответственно; 2) функции / и /о интегрально ограничены функциями Лу, А/0 Є LJ4(R+), т.е. 11/(4, ,/1)11 X/(t) V (t,x,fi) еМ+хГх [0, а]; /о( ,«) A/o(t) V(i,«) ЄІ+ хЁга; 3) модули непрерывности по х и и соответственно функций f(t,x) f(t,x,0) и fo(t,u) допускают оценки: Wf(t,&) (Tf(t)-7]f(t,Sy: wfo(t,5) afo(t) »//„( , J), в которых неотрицательные функции 7}f(t,S) и rj/0(t, 5) при 5 - +0 стремятся к нулю равномерно по t на М.+ , а положительные функции т/(-), Tf0(-) Є LA(R+)4) функция /(і, х, fi) удовлетворяет условию: ІІЖа?, /О - №»»0)11 cr/W "/( ж, М) V ( ,x,ju) GR+x»mx [0, а], где Vf{t, х, fi) —) 0 при ju —у 0 равномерно по (i, х) па R+ х Rm; t0+A t0+A 5) lim f f(t,0,0)dt-± / /0(t,o)di = 0 равномерно no ( o,o) на R+xKm. Частным случаем теоремы 1.1.1 является
Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия 1)-5) и функция / такова, что задача (1.3.1) имеет хотя бы одно решение на [0, 1//І]. Предположим также, что функция /о односторонне липшицева по и, то есть найдется локально интегрируемая по Лебегу на Ш+ функция lf0 : Ш+ — R+ такая, что для любых щ, U2 Є Rm, V t Є Ш+ выполняется неравенство в котором функция lj0 такова, что д — / lf0{t)dt = O(l) при Д - +оо. о Тогда для любого є 0 существует / 0 такое, что для любого // Є (0, до] и для любого решения xfl(t) задачи (1.3.1) найдется решение u (t) задачи (1.3.2), для которого М )-иД ) є У є[0,1//л]. Пример. Для исходной задачи і = jj,g(x)(sm(t + ft) — 0,5), х(0) = О (функция р(х) определяется равенством (1.1.14)) с помощью стандартной процедуры усреднения строится усредненная задача и = —0,5цд(и), и(0) = 0.
Правая часть исходной задачи g(x)(sin(t + ,,)-0,5) — нелипшицева по х, поэтому теорема усреднения для обыкновенных дифференциальных уравнений в липшицевом случае [31] здесь не работает. Однако, для функций g(x)(sin(t + //)-0,5) и —0,5д(и) выполняются все условия теоремы 1.3.1 и, поэтому для любого є 0 при всех достаточно малых \х 0 для любого решения x t) исходной задачи найдется решение ufl(t) усредненной задачи, близкое на асимптотически большом отрезке [0,1/д] к решению Хц{р).
Теперь рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии как медленных, так и быстрых переменных: я = / /(, ж, у, д), x{0) = xQ, (1.3.3) y = g(t,x,y,v), у(0) = уо, в которой функции / : R+xRmxM"x[0,a] -+ Rm, д : R+xRmxRnx[0,a] - R". Предположим, что эта задача имеет хотя бы одно решение на [0,1//ф Наряду с задачей (1,3.3) рассмотрим усредненную задачу й /i/o(t, и), и(0) = XQ, (1.3.4) где функция /о : R+ х Rm -+ Rm. Предположим, что для функций f,g и /о выполнены такие условия; 1) функции /, д и /о измеримы по t на Ш+ для любых (х,у,ц) Є Шт X R X [0, а] и любого и Кт соответственно; 2) /,5 й /о интегрально ограничены соответственно функциями АД ), V0. л/оО) Є A(R+), то есть ІІ/вя.їмОИ Л/( ) IW ,s.0./ )ll Ap(t) при каждых ( , ,2/,//) Є R+ х Мт х К" х [0,a]; /0(i,u) А/0() при каждых (t,u) ЄІ+Х Rm; 3) модули непрерывности по (х, у) и и соответственно функций /(, ж, г/) = f(t, x, у,0), g(t,x, у) = g(t,x, у, 0) и f0(t, и) допускают оценки: Uf(t,5) Tf(t) -7//( ,6); uy(,5) Tg(t)-r}g(t,S) в которых неотрицательные функции i)f(t, 6), t]g(t, б) и J]f0(t, 6) при 5 —» +0 стремятся к нулю равномерно по t на R+, а положительные функции оу(-)
Аппроксимация снизу системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными
Пусть имеется задача Коши для системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными xefiF(t,x,y,fj,), х(0) = х0, у Є G0 + fiG(t,x,y,ti), /(0) = уо; здесь F : R+ х Rm х Еп х [0,а] - Kv(Rm), Go — выпуклый компакт из Rn, G : R+ X Г X Г х [0,а] -у Кь(Жп), р, [0,а] (а 0) — малый параметр. Рассмотрим наряду с задачей (2.2.1) усредненную задачу й д о( ,«), «(0)=я0 (2-2-2) с F0 :Ш+ xRm -э К(Шт).
Предположим, что для F, G и FQ выполняются следующие условия: 1) F, G и FQ измеримы по t на R+ для любых (х, у, ft) Є Rm хКпх [0, а] и для любого и Rm соответственно; 2) F, G и 7 интегрально ограничены функциями А , Л ?, А 0 Є Л(М+), то есть 11 г, У,/Oil Ajr( ), G(i,z,!/,p) AG(t) V {t, x, у, /і)І+хГхГх [0, а]; ll o(t,u) A oW v ( .«) Є M+ x Mm; 3) условие близости средних от отображений Fo и F для задачи об ап проксимации снизу: fo+Д t0+A дИт І J F0(t, )dt,\J J F(t,bMt),0)dt) = Q to v t0 равномерно no (to, o, ?o) Є E+ xMm xR"; объединение здесь берется по всем решениям r](t) дифференциального включения из порождающей задачи = 0, (t0) - о, г} Є С0, t](to) щ] 4) модуль непрерывности (jjF(ty5) отображения F(t,x,y) = F(t,x,y,Q) по (ж, у) и модуль непрерывности ojp0(t, 5) отображения Fo(t, и) по и допус кают оценки UJFO (, ) сг ( ) r)F{t, 5), OJFO(t, S) aFo(t) T]FO (t, 6) с положительными функциями TF( ), crFo( ) Є ІіА(Ш+) и неотрицательными функциями r)F, rjFo, стремящимися к нулю при S —У +0 равномерно по t наЖ+; 5) для отображения F(t:x,y fi) выполняется оценка: a(F(t, х, у, /г), F(t, х, у, 0)) aF(t) vF(t, х, у, ц) V (t, х, у, /і)еІ+хГх1пх [0, а] с неотрицательной функцией vF, стремящейся к нулю при /2 — 0 равномерно по (, ж, у) на 1+ х Г X Rn; 6) отображение G полунепрерывно сверху по (х, у) на Rm х Ж" при каждых фиксированных fj, Є (0,а\ и t Є [0,1/fi]; 7) отображение F при каждых д Є (0, а], у Є М" — односторонне лип-шицево по я, причем существуют положительная функция В(ц), стремящаяся к нулю при (л — 0 и константа А 0 такие, что V (хьУі)) (#2) Уг) Є Жт х Ж", V t Є R+, V Є F(t, хи уі, /л) В w Є F(t, х2, у2, fj) : (хі -x2lv-w) A\\xi - x2\\2 + В(/і)\\уг - y2f; 8) отображение G при каждых ft (0,а], х Є Rm — односторонне липшицево по у, причем существуют константы С О, D 0 такие, что V (хъУ1),(х2,У2) Є Шт х R", V і М-и V и GfaxuVup) 3 ш Є G(t,X2,V2,/J ) {Vl -V2,V-W} C\\xi - Ж22 + Яї/і - rf Заметим, что выполнение для FQ перечисленных выше условий 1), 2), 4) обеспечивает, в силу теоремы 2.0.1, разрешимость на [0,І/fi] задачи (2.2.2) при каждом \ь Є (0,а]. Основным результатом этого параграфа является Теорема 2.2.1. Пусть для F, G и F0 выполняются условия 1)-8). Тогда задача (2.2.2) аппроксимирует снизу задачу (2.2.1).
Для доказательства понадобится лемма 1.1.2 для отображения Fo и следующая лемма для отображения F, доказываемая аналогично лемме 1.2.1. Лемма 2.2.1. Выполнение для F условий 4), 5) теоремы равносильно выполнению для него условия V e 0 3 5 0V xux2eRm, Ууъу2 Є К", V t Є R+, V fi Є [0,о] : \\xi - х2\\ 5, \\yi -y2\\ S, 0 ft S =» a{F(t, xu yi, /i), F{t, X2t 2/2,0)) eaF(t) (2.2.3) с функцией 0\р() из условия 4). Заметим, что если в этом условии (2.2.3) функция ap(t) = 1, то условие (2.2.3) — это условие равномерной непрерывности отображения F по (х, у) на Жт х Шп, равномерной по t на Ш+ и равномерной по ц в нуле.
Доказательство теоремы 2.2.1. Доказательство проводится по определению аппроксимации снизу задачи (2.2.1) задачей (2.2.2), то есть состоит в проверке выполнения условия (А2) из введения: для любого є 0 существует о 0 такое, что для любого fi Є (0, /х0] и для любого решения u t) задачи (2.2.2) найдется решение (xfl(t), Уц{р)) задачи (2.2.1) такое, что IM )-«„( ) II г Vie [0,1/ ]. Сначала найдем константы к и До так, что для любого Д До и любого to Є К.+ выполняется t0+A t0+A j XF(t) dt k, і У XFo(t) dt к, to to to+A to+A f aF{t) dt k, і j aFo{t) dt к; to to такие константы А; и До найдутся в силу того, что функции AF(0,M-W(-WO( ) Є LA(WL+). Теперь возьмем произвольное 0 є 1. По нему найдем число SF(s) 0 из выполнения для F условия (2.2.3) леммы 2.2.1. По этому же є найдем число fii 0 из условия B(fi) —ї 0 при ji —У 0. По числу 7 = min{ ,e}/(l + fe) найдем число SFo(y) 0 из выполнения условия (1.1.5) из леммы 1.1.2 для отображения FQ. Возьмем число N N настолько большим, чтобы — min{dir0(7)) —g-,} По числу 7 найдем число Ді(7) Ао из выполнения условия 3) о близости средних ОТ FQ и F, После этого берем число До 0 настолько малым, чтобы Это }IQ — искомое. Для доказательства этого возьмем произвольное д Є (0, до] и произвольное решение ufl(t) задачи (2.2.2).
Взаимная аппроксимация системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными
Рассмотрим сначала задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения при отсутствии быстрых переменных x yf(t,x,ti), x(Q)=x0 (2.3.1) (функция / : R+ х Шт х [0, а] — Жт) и усредненную задачу « = vfo(t, и), и(0) = х0 (2.3.2) с функцией /0:Ё+хГчГ. Пусть для / и /о выполнены условия 1)-5) теоремы 1.3.1 из 1.3: 1) функции / и /о измеримы по t на R+ для любых (х, у) Є Rm X [0, а] и любого и Шт соответственно; 2) функции / и /о интегрально ограничены функциями Л/, Л/0 Є LJ4(R+), т.е. И/ва!,/ )!! А/й V ( ,ar, ) E+ x Mm x [0,a]; /o( ,«)ll AA0) V (t, u) M+ x Rm; 3) модули непрерывности по x и и соответственно функций f(t,x) = /(,#, 0) и /o( )u) допускают оценки: f(ttS) af(t) t}f(t,S)\ ufo(t,5) rfo(t) 7}fo{t,8), в которых неотрицательные функции rff{t,8) и rffQ(t,8) при 8 — +0 стремятся к нулю равномерно по t на R+, а положительные функции 7/(-), 7Л(.) Є A(R+); 4) функция f(t, х, у) удовлетворяет условию: \\f(t,x )-f(t,x,0)\\ f(t)- , ) V {t,x,tt) ЄЕ+ хГ х[0,а], где Vf(t, x,fi) -» 0 при її -л 0 равномерно по (і, ж) на Ж+ х тї (0+Д to+Д 5) ЛИт IIІ / /С» о» )d - і / /0() # =0 равномерно по (г0,о) на 1+ х 1т, При этих условиях из теоремы 2.1.1 вытекает Теорема 2.3.1. Предположим, что для / и /о выполнены условия 1)-5), и пусть при каждом фиксированном ft Є [0,о] функция / односторонне липшицева по х, т.е. найдется локально интегрируемая по Лебегу на R+ функция If : R+ — R+ такая, что для любых хі,Х2 Є Mm и для любого і Є R+ выполняется неравенство {Х! X2jf(t,Xi,ll) - f(t,X2,tl)) (І)Х1-Ж22, в котором функция /у такова, что д — / Щ{Ь) dt = 0(1) при Д — +оо равномерно по /г на [0, а]. о Тогда для любого є 0 существует до О такое, что для любого д Є (О, до] и для любого решения u t) задачи (2.3.2) найдется решение Хц(і) задачи (2.3.1), для которого \W{t)-Up(t)\\ e Vte[0,l//i]. Замечание. Выполнение для функции /о условий 1)-3) теоремы 1.3.1 обеспечивает, в силу теоремы 2.0.1, разрешимость на [0,1/д] задачи (2.3.2) при каждом д Є (0, а]. Пример. Для исходной задачи х = n(g(x)\f/2sm2(t-{- д) + sin2;c), х(0) = — 7г/2 с функцией д(х), определяемой равенством 1, если х 0, д{х) = 1 — д/jc, если 0 х 1, 0, если X 1, усредненная задача имеет вид u — //sin2u, и(0) = —7г/2.
Функция (а /дзіп2 + д) + sin2ж — нелипшицева по ж, поэтому теорема усреднения [31] для липшицевого случая здесь не работает. Но для исходной и усредненной задач выполняются все условия теоремы 2.3.1. Согласно этой теореме, для любого є 0 для всех достаточно малых д 0 и для любого решения Un(t) усредненной задачи найдется решение x(l{t) исходной задачи, близкое на асимптотически большом отрезке [0,1/д] к решению и ). Например, функция Up(t) = — arcctg(fit) — решение усредненной задачи. малых fi 0 найдется решение х (і) исходной задачи, которое отличается от Up{t) = — arcctg(/i) на асимптотически большом отрезке [0,1/р] меньше, чем на е.
Теперь рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии быстрых переменных: x = yf(t,x,y,(i), #(0) = 2:0, У = 9о + №&х,У,и), 2/(0) = ї/о, в которой функции / : Ж+хЖтхЖпх[0,а] -» Жт, д : Ж+хЖтхЖ"х[0,а] -Э-Ж", до єШп — произвольная постоянная. Наряду с этой задачей (2.3.3) рассмотрим также усредненную задачу u = tif0{t,u), и{0) = х0 (2.3.4) с функцией /о : Ж+ х Жт -)- Жт. Предположим, что для /, д и /о выполнены следующие условия:
1) функции /, д и /о измеримы no t на Ж+ для любых (х, у, (і) Є Жт X Жп X [0, а] и любого и Є Жт соответственно;
2) /,д и /о интегрально ограничены соответственно функциями ЛД-), V0 Л/о(0 Є ЬА(Ж+), то есть /( ,х,у,/0 А,( ), №( ,я,у,А0 А,( ) при каждых (t,x,y,ft) є I4 х Г х І" х [0, а]; /о( ,«) A/0(t) при каждых (і,и)ЄІ+х Жт;
3) модули непрерывности по (х, у) пи соответственно функций f(t, х, у) = f(t,x,y,0) и fa(t,u) допускают оценки: up(t,8) 7f(t) Tjf(t,5); U)fo(t,S) tTf0(t)-7jf0(t,6), в которых неотрицательные функции rjf(t,S) и i]fa(t,5) при S — +0 стремятся к нулю равномерно по t на Ж+, а положительные функции сг/(-), т/о(.) Є A(R+);
4) для /(f, ж, Ї/, д) выполняется оценка V (t, х, у, fi) Є Ж+ х Ж" х Ж" х [0, а] \\f{t,x,y,fj) - f(t,x,y,0)\\ (rf{t)-Vf(ttX,y,fi), в которой неотрицательная функция Vf{t, х,у, (л) при \i — 0 стремится к нулю равномерно по (t,x,y) на R+ х Em х Е";
5) функция д непрерывна по (х, у) на Rm х Жп при каждых фиксированных д Є (0, а] и t Є [0,1/д];
6) для функций /о и / выполнено условие близости средних д1іт i J /0( ,0) й-і у /( , Со, flu ( - о) + 4to, 0) d = 0 (2.3.5) to ta равномерно no (to, o r/o) Є R+ x Rm x M". Кроме того, от f и g требуется выполнение следующих двух условий:
7) функция / при каждых д Є (0, а], у Rn — односторонне Липшице ва по ж, причем существуют положительная функция ?(д) — 0 при д — 0 и константа А 0 такие, что V хі, х і R"\ V y\, y2 Є Rn, V t Є R+ : (m - ж2,/( ,#ъ Уир) - № «2,2/2, / ) Н і - яг2 + (д)уі - Ї/2ІІ2;
8) функция д при каждых д Є (0, а], я Rm — одностороннє лип шицева по у, причем существуют константы С 0, D 0 такие, что Vzi,x2Rm, Vai,ifeRn, VteR+: (уі -y2,g(t,xi,yi,v) -g{t,x2,y2,ti)) С\\хх - x2\\2 + D\\yt - y2\\2.
