Введение к работе
Актуальность работы. Вариационные неравенства возникают в различных задачах физики, таких, как, например, задачи о полупроницаемых стенках, задачи фильтрации, задачи управления температурой. Вариационные неравенства для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств соответствуют задачам о равновесии пластины или мембраны, расположенной над препятствием При большом числе подмножеств, на которых заданы ограничения, области, в которых ставятся подобные задачи, имеют весьма сложную структуру. Сложная структура области не вносит дополнительных трудностей в доказательство теорем существования и единственности этих задач, однако нахождение этих решений как точными, так и приближенными методами не представляется возможным. Лишь привлекая различные физические соображения, иногда удается приближенно найти основные характеристики изучаемого процесса при помощи замены решений исходных задач решениями более простых приближенных задач. В одних случаях задачи с ограничениями типа неравенств на подмножествах заменяются решениями вариационных неравенств с ограничениями на всем пространстве или на поверхности, вдоль которой были расположены эти подмножества, в других - решениями краевых задач с "усредненными"граничными условиями или условиями сопряжения на некоторой поверхности
Подобными задачами занимается теория усреднения, начало которой было положено в работах Пуассона, Максвелла, Релея. Как самостоятельная наука теория усреднения была развита в работах таких математиков, как О.А. Олейник, Н.С Бахвалов, В В Жиков, В А Марченко, Е Я Хруслов, Е. Де Джорджи, Ж. Лионе, Э Санчес - Паленсия, Г Дель Мазо , Л. Тартар и многие другие
Основы теории вариационных неравенств были заложены в 60-х годах прошлого века в работах Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи1,
'Lions J -L. and Stampaccia, G. Inequations vanationelles non coeraves // С. В.. Acad. Sci Paris, voL 261, 1965, pp 25-27
Г. Дель Мазо2, Г Фикеры3, Б Санчес - Паленсия4. Впервые задачи усреднения вариационных неравенств с ограничениями, зависящими от параметра, были рассмотрены в работах Г Дель Мазо5, К Пи-кар6 Так, например, в работах Г. Дель Мазо изучалась асимптотика решений задачи о минимизации функционала / | Du |2 +д(х, u)dx на множестве функций с двусторонними ограничениями ф„ < и < фп, в случае, когда ограничения являются элементами некоторых функциональных последовательностей В монографии К Пикар были рассмотрена задача усреднения вариационного неравенства для бигармонического оператора с односторонними ограничениями на подмножествах, зависящих от малого параметра, периодически расположенных по всей области Для этого использовалось понятие Г -сходимости, емкости множеств и техника интегральных представлений В работе К Пикар и Г Аттач7 изучено асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для эллиптических операторов с односторонними ограничениями, составляющими сходящуюся в некотором пространстве последовательность и заданными на всей области В зависимости от предельного поведения функций, задающих ограничения, были выделены несколько качественно различных типов предельных задач.
Асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для операторов второго порядка с периодическими быстро меняющимися коэффициентами в случае, когда функции, задающие препятствие, являются элементами некоторых функциональных последовательностей или ограничения заданы на перфорированной части границы, изучались такими авторами, как ГА Иосифьян8, Г В
2G Dal Maso, Trebeschi P Г - limit of periodic obstacles // Acta Appl Math 2001 v 65 p 207-215
3Fichera G Problemi elastostatici con vmcoli umlaten її problema di Signonni con ambigue condizom al contorno // Mem Accad Naz Lmcei, ser 8, vol 7, pp 91-140
4Sanchez - Palencia E Bovalue problems m domain containing perforated walls // Nonlinear P D E and their applications CoU'ege de Prace Seminar, Vol III (Research Notes m Mathematics, Vol 70, pp 309-32 Pittman, London, 1982)
5G Dal Maso Asymptotic Behaviour of Minimum Problems with Bilateral Obstacles //Annali di Matematica Рига ed Applicata 1981, v 129, N 1, p 327-366
6Colette Picard "Probleme biharmonique avec obstacles variables", These, Universite Pans-Sud, 1984
rH Attouch - С Picard Variational inequalities with varying obstacles The general Form of the limit problem // J of Functional Analysis 50, 1983, pp 329-386
Иосифьян Г А Об усреднении некоторых задач с быстро осциллирующими ограничениями // Труды семинара имени И Г Петровского выл 23, 2003
Сандраков9, С Е Пастухова10 Проблема усреднения решений задачи Дирихле для бигармонического и полигармонического оператора в области, перфорированной вдоль многообразий, была изучена в работах О А Олейник11, ТА Шапошниковой12
В диссертации рассмотрена задача усреднения вариационных неравенств для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств, заданными на подмножествах, которые расположены вдоль многообразий произвольной размерности При этом диаметр подмножеств, на которых заданы ограничения и период, с которым эти подмножества расположены, зависят от малого параметра. В работе рассмотрены все возможные случаи качественно различного асимптотического поведения решений в зависимости от размерности многообразия, от периода струкутрьт и от диаметра подмножеств, на которых заданы ограничения.
Цель работы. Целью настоящей работы является исследование асимптотического поведения решений вариационных неравенств для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств, заданными на периодически расположенных вдоль некоторого многообразия подмножествах, когда диаметр подмножеств, на которых заданы ограничения, а также период, с которым расположены эти множества, стремятся к нулю.
Методы исследования. В работе используются методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных, а также методы функционального анализа и теории пространств Соболева.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно, приведены с полным доказательством и состоят в следующем.
1. Исследовано асимптотическое поведение решений вариацион-
9Сандраков Г В Осреднение вариационных неравенств для задач с препятствиями // Мат сборник т 196, 2005г, № 4, с. 79 - 98
1 "Пастухова С Е Об усреднении одного вариационного неравенства для упругого тела с периодически расположенными трещинами // Матем сб , 2000, т 191, в 2, с 149 - 164
'10лейник О А , Шапошникова Т А. Об усреднении бигармонического уравнения в области, префорированной вдоль многообразий малой размерности // Дифференциальные уравнения т 32, № 6, с 830-842
12Т A Shaposhmkova On the averaging of the Dinchlet problem for a multiharmonic equation in regions perforated along a manifold with large codimention // Труды Москов Матем Общ т 61,с 139-195
ных неравенств для оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств на є - периодически расположенных вдоль некоторого многообразия подмножествах. Диаметр подмножеств 2o)S, aSiS < е. Рассмотрены все качественно различные типы поведения решения допредельной задачи при є -+ 0, определяемые соотношением между аЄ)Я и є, а также коразмерностью многообразия, вдоль которого расположены подмножества, получены постановки усредненных задач, доказана сходимость решений исходных неравенств к решению предельной задачи в соответствующем Соболевском пространстве Во многих случаях получены оценки скорости сходимости решений допредельной задачи к решению усредненной задачи
2. Исследовано асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для бигармонического оператора с ограничениями типа неравенств на є периодически расположенных вдоль некоторого многообразия подмножествах Диаметр ПОДМНОЖеСТВ л&)5, dg^s *^ є Рассмотрены все качественно различные типы поведения решения допредельной задачи при є — 0, определяемые соотношением между aiS и є, а также коразмерностью многообразия, вдоль которого расположены подмножества; получены постановки усредненных задач и доказана сходимость решений исходных вариационных неравенств к решению усредненной задачи в соответствующем Соболевском пространстве Во многих случаях установлены оценки скорости сходимости решений допредельной задачи к решению усредненной задачи.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, результаты диссертации относятся к теории усреднения вариационных неравенств. Методика исследования, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении других вариационных неравенств с ограничениями различного типа.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре "Уравнения с частными производными и теория усреднения "кафедры дифференциальных уравнений механике - математического факультета МГУ под руководством Жикова В В., Шамаева А С, Шапошниковой ТА , 17 марта 2006г, на международной конференции Functional Differential Equations, Россия, Москва, проходившей 14 - 21 августа 2005г, на международной кон-
ференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 103 - летию со дня рождения И.Г. Петровского, Россия, Москва, проходившей 16 - 22 мая 2004г
Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 5 работах Список работ приведен в конце диссертации
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, вспомогательных утверждений и двух глав, разбитых на 13 параграфов, а также из приложения с иллюстрациями и списка цитируемой литературы Параграфы имеют двойную нумерацию, а формулы, теоремы, замечания и рисунки - сквозную Диссертация содержит 15 теорем и 7 лемм. Кроме того, текст снабжен 3 рисунками Список литературы включает 49 наименований, общий объем диссертации 99 страниц
