Содержание к диссертации
Введение
1. Задача Коши для абстрактных диференциальных уравнений первого порядка 12
1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства 12
1.2 Оператор-функции и полугруппы 18
1.3 Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка 28
2. Пространства Степанова со специальным введенным весом 35
2.1 О невозможности одного неравенства в пространствах Lpr 36
2.2 Пространства Spip 41
2.3 Функциональная норма интегрального оператора и ее оценка 45
2.4Пространства Sptp{Rx) 49
3. Оценка решений дифференциальных уравнений 56
3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения 56
3.2 Уравнение в банаховом пространстве 59
3.3 Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с вырождением 64
3.4 Волновое уравнение 66
Литература
Введение к работе
Часто решения эволюцинных уравнений записываются в виде
u(t)^B(t)f, ';; (і)-
где /-элемент некоторого банахова пространства F с нормой jj + jjjF, B(t)~ семейство линейных ограниченных при каждом t Є [0, со) операторов действующих из F в некоторое банахово пространство U.
Представление (1) используется при исследовании различных свойств решений соответствующих задач. Например, при изучении поведения решения задачи Коши при^ t —> со для абстрактного дифференциального уравнения вида
^^«ю+/(*), ; (2)
40) = 0, (3)
где А- генератор Qj- полугруппы U(t) действующей в банаховом пространстве Е, f(t)- векторнозначная функция со значениями в Е.
Как известно (см. [2]), в этом случае решение задачи (2)-(3) имеет вид
u(t) = J*U(t-s)f(s)ds = B(t)f> W
Так как оценку поведения решения u(t) при t —> со желательно получить наиболее точную, то здесь важной характеристикой оператора B{t) является функция
ил mt)f\\u
rn[t) = sup
fF \\J\\F
которая вводится в настоящей диссертации и называется функциональной нормой оператора В'().
Очевидно, что имеет место оценка
1К*)1Ь< "»(4)11/11,, (5)
при этом она является наилучшей в классе оценок вида
\№\\и < рШП\р, (6)
в том смысле, что если установлена оценка (6), то необходимо p(t) > m(t).
В диссертации изучается вопрос о поведении решений уравнения вида (1) при і —\ со в случае когда А является производящим оператором Со полугруппы. Как известно, уже для ограниченных операторов А, когда, по выражению С.Г. Крейна (см. [1], стр. 274) "... вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда решались положительно и поэтому основное внимание уделялось поведению решений при t —> со, то для неограниченного оператора эти вопросы становятся центральными". Поэтому в последние десятилетия этому вопросу уделяется большое внимание.
В частности, его изучению посвящена теория стабилизации решения задачи Коши для параболических и гиперболических однородных (/(<) = 0) уравнений [14]-[16], где результаты формулируются в терминах начальных данных Коши.
В диссертации исследуется вопрос о поведении решений уравнения (2) в зависимости от свободного члена f(t).
С этой целью здесь изучается вопрос о нахождении явного вида функ-
циональных норм некоторых интегральных операторов вида
B(t)u= K(t,s)u(s)ds, (7)
в специальных весовых пространствах Степанова SPitfiE определяемых нормой
Nk*.= suP[/!(i+1)|K(s)||Mi (8)
*Є[0,оо) "W)
где р > 1,
Очевидно, что классические пространства Степанова определяемые нормой (см. [1],[2])
Mlsp=sup[/ \u(s)\pds]t, (9)
. rt+l
tea '"
являются частным случаем пространств SPi^e пРи v(^) =t,E = R1.
Одним из основных отличий классических Sp~ пространств Степанова от Lv- пространств с нормой
\Hlp = [^Hs)\4s]1 (10)
является то, что Sp- пространства содержат ограниченные на всей действительной оси или полуоси функции в отличие от пространств Ьр.
Желание включить ограниченные, а также растущие при t —> оо функции в пространстве типа Ьр приводит к введению весовых пространств LPjV [0, оо) с нормой
Ии-[/0 lis) Ь (р>1), (н)-
где ^(s)~ некоторые весовые функции.
В тоже время, очевидно, что пространства Sp^ при соответствующем выборе функции
Таким образом, с точки зрения включения неограниченных при t —> со функций пространства SP:(p и Lp%1/ являются похожими, однако между ними оказывается есть одно существенное различие ( и это показывается в диссертации) заключающееся в том, что точные оценки поведения решения задачи Коши, для уравнений рассматриваемых в диссертации, в принципе не возможны для LPiV~ пространств, в то время как для SPi(p— пространств они имеют место и здесь получены.
Например, уже для простейшей задчи Коши
u'(t) = f(t)} і Є [0,оо) (12)
u(0) = 0, (13)
для f Є Li)V не существует точной оценки роста решения на бесконечности в том смысле, что если есть оценка вида
l«(i)|
где p(t)- функция не зависящая от f(t), то не существует функции / Є Lit„ и числа с > 0, чтобы имело место обратное неравенство
ер(*)||/||і,„<|Ц*)|. В тоже время в случае пространств Sit
при і < ір(п + 1) имеем
Выбирая f(t) = (tp~l(t+ 1))', получаем \\f\\itip ~ 1 и
J*f(s)ds =
Следовательно оценка (15) не улучшаема.
В этом случае функциональная норма m(t) оператора B(t)f = Jq f(s)ds действующего из Sijtp в С[о>(Х)} равна m(t) = <>_1( + 1).
Диссертация состоит из трех глав и десяти параграфов.
Первая глава содержит факты изложенные в монографиях С.Г. Крей-на, Хилле, Филлипса, Иосиды и др. (см [1]-[3]), необходимые в дальнейшем для постановки и решения задач рассматриваемых в диссертации.
Самостоятельные, новые результаты содержатся во второй и третьей главах.
Вторая глава посвящена изучению векторнозначных функций f(t) со значениями в некотором пространстве Е для которых конечны нормы:
а) в случае t є R+ = [0, оо)
и/»*,=P[/:''+1)ii/(S)im*, (і?)
где функция
lim^oo tp{t) = оо' _
б) в случае . R = (—оо, оо)
-=sC1' и/мм*. (18)
где tp(t) где функция tp(t), такая, что
Так введенные весовые пространства Степанова, в зависимости от веса
В тоже время здесь доказывается принципиальная разница SP}(p и Lp,v (см. теорему 2.1.1 и теорему 2.3.1).
В главе II также доказываются эквивалентные (17) и (18) нормировки, которые помимо различных приложений имеют и самостоятельный интерес.
Так в качестве следствия 2.2.1 из леммы 2.2.3 получен результат принадлежащий X. Массера и Х.Шефферу и приведенный в [10].
Результаты полученные во второй главе применяются в третьей главе к точным оценкам решений дифференциальных уравнений, в следующем направлении.
Как известно Sp пространства были введены Степановым В.В. при изучении почти-периодических функций на всей действительной оси R.
В дальнейшем эти пространства были использованы X. Массера, X. Шеффером, М.Г. Крейном, Ю.Л. Далецким, Е.А. Барбашиным и др. при изучении устойчивости решений эволюционного уравнения
^ = A(t)u(t) + №, (19)
где A(t)- линейный и ограниченный, при каждом і Є R, в некотором банаховом пространстве Е оператор.
Б.М. Левитан и В.В. Жиков (см. [9]) применили Sp~ пространства
при изучении устойчивости решения уравнения (19) в случае когда A(t), вообще говоря, неограниченный оператор в і?, в предположении, что разрешающие операторы t/(, s), (t > s) сильно непрерывны по t,s Ли удовлетворяют оценке
\\U(tts)\\ <Ме^~з) (t>s) (20)
При этом были введены понятия корректного и усиленно корректного оператора L = ^ — А.
По Ж икову-Левитану оператор L называется корректным, если справедлива ОЦеНКа ДЛЯ Любых U, Lu Є С[(-оа,оо),Е]
\\и\\с < М^Щс, (21)
где С- пространство непрерывных и ограниченных функций и(х) с нормой
||u||c = sup||u(a;)||;. (22)
И оператор Lr- усиленно корректный, если для любых и Є С, Lu Є S% выполняется оценка
МсЄМ2||ц||й. (23)
Очевидно, что когда L имеет обратный оператор Хг1, то оценка (23) эквивалентна оценке
Ili-Vllc^Mall/IU- (24)
Однако 52 не является максимально широким пространством из котсь рого оператор Ь~х ограниченно действует в С, так как при выполнении (20) в случае и < 0, справедлива более сильная оценка
\\L-lf\\c
Оказывается, что именно 5i является максимально широким пространством для которого справедливы неравенства типа (24), (25). В связи с этим операторы L для которых выполняется оценка
||«||с < Af4||i«||jr, (26)
для всех и Є С, Lu Є F, где F наиболее широкое пространство при котором выполняется (26) названы в [18] максимально корректным.
Пусть А- одно из множеств R+ — [О, оо) или R ~ (—со, оо),"р(ж) > 0-достаточно гладкая весовая функция.
Обозначим через СР(А,Е) пространство непрерывных и ограниченных с весом р(х) функций для которых конечна норма
\\u\\cp = suV\\p(x)u{x)\\E. (27)
По аналогии с определением максимальной корректности оператора L, дадим-
Определение 1. Оператор L будем называть максимально корректным на паре пространсвт СР(А^Е) и F, если для всех и Є СДД,Г), Lu Є F выполняется оценка
\\u\\Cp
Нетрудно видеть, что для B(t) = (^ — A{t))~l = і-1 задачи определения функциональной нормы оператора B(t) и максимальной корректности оператора L являются" эквивалентными, при этом имеем равенство р(х) = ^щ и, следовательно, эти задачи сводятся к нахождению веса р(х) по пространству F.
Таким образом возникает проблема указания класса пространств в котором определяется пространство F.
Естественно, что это должны быть "весовые"прострнсвта.
В диссертации показано, что решают эту проблему не пространства LPil/i a SPiV>- пространства.
Оператор-функции и полугруппы
Оператор-функции A(t) ( то есть функции, значениями которых являются ограниченные операторы) являются частными примерами функций со значениями в банаховом пространстве ограниченных операторов, действующих из Е\ в Е%. Для оператор-функций определяются три вида непрерывности; а) непрерывность по норме, б) силная непрерывность, в) слабая непрерывность. Определение 1.2,1. Будем говорить, что оператор-функция A(t) непрерывна по норме в точке Q Є [а, 6], если Определение 1.2.2. Оператор-функция A(t) сильно непрерывна в точке to Є [а, Ь], если при любом фиксированном х Є Е\ Определение 1.2.3. Оператор-функция A(t) слабо непрерывна в точке to Є [а, Ь], если при любых фиксированных х Є Е\, І Є Щ Аналогично определяются понятия дифференцируемости (дифференцируемости по норме операторов), сильной дифференцируемости (дифференцируемости всех фунций A(t)x, A(t)x, х Є Е\) и слабой дифференцируемости (дифференцируемости скалярной функции l(A(t)x)i х Є Е\, ІЄЕ 2). Справедлива Теорема (Банах-Штейнгауз). Оператор-функция A{t) сильно непрерывна при to Є [а, Ь] на всем Е\, если ее нормы равномерно ограниченны, то есть и функции A(t)x непрерывны для х и некоторого плотного в Е\ множества. Неограниченные операторы. Пусть Е- банахово пространство и А-линейный оператор, определенный на некотором линейном множестве D(A) С Е и принимающий значения в Е. Определение 1.2.4. Говорят, что А замкнут если из того что хп Є D(A), \\хп — XQ\\ - 0 И Справедливы следующие утверждения: (см [], 13.2) Если при некотором А Є С оператор XI -+- А имеет обратный, то-оператор А замкнут. Пусть значения функции x(t) при каждом t Є [a, b] принадлежат D(A) и функция Ax(t) интегрируема на [а,Ь].
Тогда выполняется равенство Наиболее важными характеристиками линейных операторов, определенных на линейном многообразии D(A) комплексного банахова пространства Е и действующих в это же пространство Е являются спектр и резольвента оператора. Понятие спектра оператора связано с рассмотрением уравнения где А- комплексное ЧИСЛО." Определение 1.2.5, Число А называется регулярной точкой оператора А, если уравнение (1.2.1),корректно и плотно разрешимо. То есть однородное уравнение имеет только нулевое решение, для любого х Є D{A) справеделиво неравенство и замыкание области значений оператора А — XI совпадает с Е, Определение 1.2.6. Совокупность всех регулярных точек называется резольвентным множеством оператора А. Определение 1,2.7. Дополнение на комплексной плоскости к резольвентному множеству называется спектром оператора А. Если оператор А замкнут, то его резеольвентное множество состоит из тех и только тех точек А, для которых существует ограниченный оператор (А — А/)-1, заданный на всем пространстве Е. Определение 1.2.8. Определение при регулярных А, оператор (А — А/)-1 называется резольвентой оператора А и обозначается R(X, А). Для замкнутого оператора резольвентное множество является открыты подмножеством комплексной плоскости, спектр- замкнутое множество. Резольвента R(X,A) является на резольвентном множестве аналити ческой функцией со значениями в пространстве L(E, Е) линейных огра ниченных операторов. - Для любых двух регулярных точек А и \х справедливо резольвентное тождество Гильберта Из этого тождества выводится формула для производных (М). 1. А принадлежит точечному спектру, если оператор А — XI не имеет обратного. 2. Л принадлежит остаточному спектру, если оператор {А — А/)"1 определен не на плотном множестве. 3. А принадлежит непрерывному спектру,, если оператор (Л — \1) 1 определен на плотном множестве, но неограничен. Таким образом, вся комплексная плоскость разлагается в сумму четырех взаимно непересекающихся множеств: резольвентное множество, точечный, остаточный и непрерывный спектры. Если оператор задан каким-либо аналитическим выражением, то структура его спектра существенно зависит от того пространства в котором он исследуется. Экспоненциальная функция, группы и полугруппы операторов. Если оператор А, действующий в банаховом пространстве Е, ограничен, то можно ввести с помощью ряда экспоненциальную функцию оо +п Ап Эта функция непрерывна по і в смысле нормы оператора и удовлетворяет групповому соотношению Оказывается, что вообще семейство операторов U(i) (—со і со), непрерывное по норме и удовлетворяющее соотношениям представимо в виде etAy где Л- ограниченный оператор.
Оператор А можно найти основываясь на том, что группа U(t) удовлетворяет дифференциальному уравненго для экспоненты поэтому оператор А можно определить как производную от группы U(t) внуле, то есть В связи с этим оператор А называется производящим оператором (или генератором) группы U(t). Если отказаться от непрерывности по норме экспоненциальной функции-и потребовать только ее сильную непререрывность по і, то объект оказывается значительно более богатым. Производящий оператор А является замкнутым и имеющим плотную в Е область определения. Дальнейшее обобщение понятия экспоненциальной функции от опе ратора связано с отказом от требования определения этой функции при В связи с этим возникли следующие определения: Определение 1.2.9. Семейство ограниченных операторов U(t) (t 0), действующих в банаховом простраснтве Е, называется сильно непре- рывной однопараметрической полугруппой операторов, если U(t) сильно непрерывно зависит от і и удовлетворяет условию U(t)U(s) — U(t 4- s) {t,s 0). Определение 1.2.10. Говорят, что U(t)- полугруппа класса Со если она сильно непрерывна и при любом х Е. Для полугрупп класса Со также вводится понятие производящего оператора по формуле (1.2.3) как производной справа от полугруппы в нуле. Существует классический критерий опеределения производящего оператора CQ- полугруппы, принадлежащий пяти авторам: Э. Хилле, Р. Филлипс, К. Иосида, В. Феллер, И. Миадера, который содержится в следующей теореме Теорема (ХФИФМ) (см. [1] стр. 133). Для того чтобы линейный оператор А был производящим (генератором) операторм поллугруппы U(t) класса Со, необходимо и достаточно, чтобы он был замкнутым с плотной в Е областью определения, имел спектр лежащий в полуплоскости ReX и) и резольвенту, удовлетворяющую условиям
Пространства Spip
Пусть Ф- класс дважды непрерывно дифференцируемых функций p(s), s Є [0, со) таких, что Обозначим через Sp совокупность всех измеримых на [0, оо) вектор функций f(x) со значениями в банаховом пространстве Е для которых конечна норма В скалярном случае эти пространства впервые рассматривались в [12], [13]. Очевидно, что при tp(s) = s эти пространства являются простран ствами Степанова ( [8], стр. 197). _ Лемма 2.2.1. Пространства SPJV JE являются банаховыми. Доказательство. Делая замену х = р(), получаем Отсюда отметим, что что соответствует равенству (1.1.1) для Е — Р)/5[0,1] с весом р(х) .= .ip (x), которое как известно является банаховым. В силу замечания 1.1.1 получаем доказательства леммы. Приведем некоторые нормы эквивалентные норме (2.2.1). Для этого докажем несколько лемм. Лемма 2.2.2. Пусть функция р{х) 0 при х Є [0,оо) и р (х) О, тогда для того чтобы норма Степанова была эквивалентна норме необходимо и достаточно чтобы Доказательство проведем для I — 1. Пусть конечна норма (2.2.2). Тогда для п — 1 і п (п = О,1,...) имеем Учитывая, что условие (2.2.4) обеспечивает сходимость ряда Е 0 р{к) ; К из (2.2.5) получаем оценку в другую сторону. Пусть конечна норма (2.2.3), тогда Отсюда получаем Для доказательства необходимости условий (2.2.1) нужно положить / — 1. Таким образом лемма доказана для / = 1. Из (2.2.8) следует доказательство достаточности условий (2.2.1) леммы для / = 1. В общем случае доказательство следует из эквивалентности норм Степанова при различных I. Аналогично доказывается Лемма 2.2.3. При выполнении условий леммы 2.2.2 норма Степанова (2.2.2) эквивалентна норме Этот параграф посвящается определению функциональной нормы оператора В р. Для этого получим некоторые вспомагательные результаты.
Обозначим через Ф"1 класс функций h(x) таких, что к г(х) Є Ф, то есть h(x) Є Ф-1, если Цх) из приведенных свойств функции h(x), в частности следует, что предел 0 =-0. Если 0 0 то из (2.3.5) следует, что с одной стороны Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения. Для дальнейшего нам понадобятся следующие факты: Определение 2.3.2. Будем говорить, что положительные функции f(x) и д(х) эквивалентны и обозначать f(x) д(х), если существуют константы C i, ( такие, что выполняются неравенства Для доказательства сначала заметим, что в силу неубывания функции hf(t), имеем С другой стороны, используя правило Лопиталя, имеем Следствие 2. Если [h(ip(x) — lnp((p(x))] Є Ф-1, то доказательство следует из очевидного равенства и применяя неравенства (2.13.12) к функции f(x) = [{ф-1 (х)) }- Аналогично теореме 2.3.1 доказывается Теорема 2.3.2. Если для h(x) и р(х) выполняются условия теоремы (2.3.1) то для оператора справедливо равенство В этом параграфе для функций f(t) заданных на всей действительной оси R — (—со,оо), по аналогии с пространствами SPtip(Rl[) рассмотренными на полуоси R+ = [0, оо), мы введем пространства Sp R1) и установим некоторые свойства их норм. Обозначим через Ф- класс функций р(х), х Є (—оо, оо) удовлетворяющие условиям: 49 Через SP (R) обозначим класс векторнозначных функций со значениями в банаховом пространстве Е локально интегрируемых по Бохнеру и для которых конечна норма Также как и в случае пространств SPtip, показывается, что эти пространства банаховы. Кроме того, в них можно ввести эквивалентные нормы А, также, справедлива следующая Лемма 2.4.1. Пусть функция р(х) Є Ок такая, что 0 р(х) р(0) оо, р\х) 0 и тогда нормы (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3) эквивалентны. Докажем сначала для p(t) = t, р 1. Пусть конечна норма (2.4.1), тогда ip l{t) = і и Из (2.4.10) и (2.4.11) следует доказательство леммы для р — 1. Общий случай доказывается буквально также.
Уравнение в банаховом пространстве
В банаховом пространстве Е рассматривается уравнение где А- производящий оператор полугруппы U[t) класса Со, а ()- О, скалярная непрерывная функция, f{t)- непрерывно дифференцируемая вектор-функция со значениями в Е. Определение 3.2.1. Ослабленным решением уравнения (3,2.1) будем называеть функцию u{i) непрерывную на [0, со), сильно непрерывно дифференцируемую и удовлетворяющую уравнению (3.2.1) на [0, оо). Под ослабленной задачей Коши на [0, со) будем понимать задачу о нахождении ослабленного решения, удовлетворяющую начальному условию где щ может не принадлежать области определения оператора А. Также как и в случае задачи Коши (1.3.1)-(1.3.2), в соответствии с определением 1.3.7 дадим следующее Определение 3.2.3. Ослабленная задача Коши (3.2.1)- (3.2.2) равномерно корректно разрешима для множества М на [0, со), если она однозначно разрешима на каждом компакте [0,Т] для начальных данных из М и непрерывно зависит от начальных данных равномерно по каждому компакту [О, Т]. Теорема 3.2.1. Ослабленная задача Коши (3.2.1)-(3.2.2) равномерно корректно разрешима и ее решение имеет вид Доказательство. Делая замену приводим уравнение (3.2.1) к виду а начальные данные (3.2.2) переходят в равенство Так как А- генератор Со- полугрупы, то в силу теоремы 1.3.1 задача Коши для однородного уравнения равномерно корректна. А так как f(t) непрерывно дифференцируема, то по теореме 1.3.2 ослабленная задача Коши (3.2.5)-(3.2.6) является равномерно корректной и ее решение имеет вид отсюда следует, что и задача Коши (3.2.1)-(3,2.2) равномерно корректна и заменяя в (3.2.7) v(t)} пользуясь (3.2.4), получаем представление решения этой задачи в виде (3.2.3). Теорема доказана.
Далее исследуем поведение решения задачи Коши при і — со. Справедлива следующая Теорема 3.2.2. Если для полугруппы U(t) в представлении (3.2.3) имеет место оценка и о(і) и у а функции f(t) Є і, ,, где обобщенный вес (p(t) такой, что то решение (3.2.1) ограничено и справедлива оценка Далее переходя к супремуму по t во втором слагаемом в (3.2.10), получаем (3.2.10). Следующий пример показывает точность оценки (3.2.10). Пусть Е = LP(R}} (р 1), а оператор А задается дифференциальным выражением jp- с областью определения D(A) = И Ді?1) = { (ж) : ip{x)eLp{R1)tif/ {x)eLp{R1)}. Как известно (см. [5], стр. 325), так заданный оператор является генератором Со полугруппы Вейерштрасса для которой в оценке (3.2.8) ш = О, М — 1. При этом решение (3.2.3) имеет вид Для задачи Коши щ = О эта оценка примет вид Для доказательства точности этой оценки достаточтно взять /(і, х) = ka(t), где ft произвольная начальная константа. Тогда f(ttx) Є Sij(p, так как в силу (3.2.12) и при подстановке /(, г) — ka(t) в решение (3.2.12) при щ = 0 получаем 3.3, Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с вырождением . Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение где /()- вектор функция со значениями в банаховом пространстве Е и непрерывно дифференцируема. А- генератор сжимающей CQ полугруппы U(t) для которой выполняется оенка Определение 3.3.1. Ослабленным решением уравнения (3.3.1) будем называть функцию u(t), непрерывную на [0, со), сильно непрерывно дифференцируемую и удовлетворяющую уравнению на [0,оо). Определение 3.3.2. Под ослабленной задачей Коши на [0, со) будем называть задачу о нахождении ослабленного решения уравнения (3.3.1) удовлетворяющую начальному условию где щ Є М С Е.
Определение 3.3.3. Ослабленная задача Коши (3.3.1)-(3.3.3) равномерно корректно разрешима на каждом компакте [0,Т], (Т со) и непрерывно зависит от начальных данных равномерно на каждом компакте [О, Г]. Теорема 3.3.1. При сделаных предположениях на оператор Л, коэффициент a(t) и свободный член /(f), ослабленная задача Коши (3.3.1)-(3.3.4) равномерно разрешима и ее решение имеет вид Доказательство. Делая замену переменной приведем уравнение (3.2.15) к виду где й[х)-= u(x(t))} а начальное условие (3.3.4) принимает вид Условия теоремы позволяют заключить, что ослабленная задача (3.2.21)-(3.2.22). равномерно корректна и ее решение имеет вид подставляя в (3.3.9) x(t), пользуясь (3.3.6), получаем решение задачи Коши в виде (3.3.5). Теорема 3.3.2. Если в уравнении (3.3.1) /() Є SPtV и x[y (t)] Є Ф 1, где х(ір) определяется (3.3.6), то для решения задачи Коши (3.3.1)-(3.3.4) имеет место оценка Доказательство, Пользуясь (2.3.13) и (2.3.19), оценим Подставляя в (3.3.11) х{), пользуясь (3.3.6), получаем оценку решения задачи Далее оценивая второе слагаемое в правой части равенства (3.3.11) с помощью неравенства (2.3.13) при h(t) x(t), p(t) = -4 , получаем оценку (3.3.10). Теорема доказана. 3.4. Волновое уравнение. Как отмечено в 1.2 (Пример 2) оператор А заданный дифференциальным выражением - 2 , х R с областью определения D(A) = {и(х) : и(х) Є Cj-ocoo], jp С[-оо,оо]} является производящим оператором полугруппы класс Со в пространствах Cf- oo] равномерно непрерывных и ограниченных на действительной оси R функций. И, следовательно задача Коши
Волновое уравнение
Для t 0 рассмотрим интегральные операторы в пространствах Sp ip. здесь h(x) 0, р(х) 0 некоторые весовые функции класс которых будет описан ниже. Будем изучать поведение функции u(t) при і —у оо для / 6 Sp,v в зависимости от функций h(x) и При этом нас интересуют наиболее точные оценки. В связи с этим введем следующие определения: Определение 2.3.1. Функциональной нормой оператора В„, в S пространствах, будем называеть функцию Очевидно, что имеет место оценка при этом она является наилучшей в классе оценок вида в том смысле, что если установлена оценка (2.3.4), то необходимо M(t) m{t). Этот параграф посвящается определению функциональной нормы оператора В р. Для этого получим некоторые вспомагательные результаты. Обозначим через Ф"1 класс функций h(x) таких, что к г(х) Є Ф, то есть h(x) Є Ф-1, если Цх) Кроме того существует предел из приведенных свойств функции h(x), в частности следует, что предел 0 =-0. Если 0 0 то из (2.3.5) следует, что с одной стороны Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения. Для дальнейшего нам понадобятся следующие факты: Определение 2.3.2. Будем говорить, что положительные функции f(x) и д(х) эквивалентны и обозначать f(x) д(х), если существуют константы C i, ( такие, что выполняются неравенства Для доказательства сначала заметим, что в силу неубывания функции hf(t), имеем С другой стороны, используя правило Лопиталя, имеем Откуда следует, что существует С\ О такое, что выполняется неравенство Следствие 2.3.1. Бели функция р(х) непрерывна на [0, со), положительна, h[(p i(t)] Є Ф \ где Доказательство. Учитывая равенство р(х) — р (х), и делая замены /?() = г, р(х) = s, получаем Аналогично, для + (, ft, 1) имеем Далее, используя правило Лопиталя, получаем далее используя (2.3.8), получаем отсюда следует, после замены ір[т) = і Следствие 1. Если h(x) = х и р — 1, то Следствие 2. Если [h(ip(x) — lnp((p(x))] Є Ф-1, то доказательство следует из очевидного равенства и применяя неравенства (2.13.12) к функции f(x) = [{ф-1 (х)) }- Аналогично теореме 2.3.1 доказывается Теорема 2.3.2. Если для h(x) и р(х) выполняются условия теоремы (2.3.1) то для оператора справедливо равенство 2.4. Пространства SPttp{R}). В этом параграфе для функций f(t) заданных на всей действительной оси R — (—со,оо), по аналогии с пространствами SPtip(Rl[) рассмотренными на полуоси R+ = [0, оо), мы введем пространства Sp R1) и установим некоторые свойства их норм. Обозначим через Ф- класс функций р(х), х Є (—оо, оо) удовлетворяющие условиям:
