Введение к работе
Актуальность темы. Нелинейная задача о волнах установившегося вида на поверхности тяжелой глдкрсти (так называемых гравитационных волнах), описывающая плоские потенциальные течения, била решена в 20-х годах нашего столетия в работах А.И.Некрасова, Т.Леви-Чивита и Д.Стройка. В 1920 году Н.Е.Кочиным методами теории функций комплексного переменного исследована плоская подача о движении двух несмеетвашуіхея носшаїаеімх Уидко'стеЯ с плотностями 2і н Гя п слое» ограниченно!.! горизонтальными плоскостями. Линия раздела жидкостей обладает периодом и перемещается без изменения Форш с постоянной горизонтальной скоростью. Было доказано существование реканий задачи.
С начала XX пока развивается теория ветвления решений нелинейных уравнений, основы которой были заложены в работах Л.М.Ляпунова и Э.Емидта. Спи показали, что исходная задача о ветвлении решений нсяинєЯілгй интегральных уравнений эквивалентна исследовании уравнения разветвления (УР) - системо неявних аналитических функций, ['отод построения УР стали Называть Методом Ляпунов а-Ші;здта. Далее теория ветвления развивалась в работах Л.Лихтенштейна, А.И.Некрасова, !5.А.Красносельского, В.А.Треногина, М.М.Вайнберга. Наиболее интересным и трудным является случай кратного сыроядения линеаризованного оператора, так называемое многомерное ветвление, полностью не исследованное и до наших дней. В конкретных приложениях tino-гсмєрнсго ветвления нелинейное уравнение может иметь семейство реяений. Как правило параметры семейства имеют групповой сиыел, нелинейная задача допускает непрерывную группу преобразований. Первый результат по использованию иеирерзвімх груші в теории
ветвления принадлежит В.И.Ццовичу { 0 возникновении конвеки - ШШ, 1966, т.30 , вып.6, с.1000-1005; Свободная конвекция і ветвление. -ІШ, 1967, т.ЗІ, вып.1, с.ІОІ-Ш), рассмотревшему "один случай ветвления нри наличии кратного спектра",
Общая теория ветвления с групповой симметрией была разработана В.А.Треногиным и Б.В.Логиновым (см. Б.В.Логинов. Т ория ветвления.решений нелинейных уравнений в условиях груп повой инвариантности. Ташкент: Фая, 1985, 184 с). В послед ствии , Б.В.Логиновым на основе методов группового анализа дифференциальных уравнений, разработанных в трудах Л.В.Овся никова и Н.Х.Ибрагимова, был предложен прием построения общего вида УР по допускаемой им группе симметрии, нашедший применение в различных задачах математической физики.
В диссертации теория многомерного ветвления в условиях групповой симметрии применяется к решению систем нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в задачах о волнах . границе раздела двух жидкостей.
Цель работы, заключается в построении асимптот ки периодических решений задач о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, ограниченных гори зонтальными плоскостями и на поверхности бесконечного цилин, pa. В исследовании порядков вырождения линеаризованных опер торов, соответствующих задачам.
; Методика исследования. В работе испо эуются методы теории линейных дифференциальных операторов, функционального анализа, теории ветвления решений нелинейны уравнений и методы группового анализа дифференциальных уравн
ИМИ. ,
Научная новизна- и практическая' а .н а ч и мо с т ь. В работе впервые построенаас
отика решений технически слогкной задачи о капиллярно-грави-пионных волнах ча границе раздела двух жидкостей в слое, ог-ниченнсм гпризонтальними плоскостями. Доказано существование 6,8,12 и 16-кратного вироадения отвечающего задаче линеари-ванного дифферентовльного оператора. Доказано отсутствие оских волн при размерностям вырождения болытих 4. Построена нмптотнка решений задачи о волнах н» границе раздела двух дкостсЯ на поверхности бесконечного гилиндра и доказано от-тствие высоких внроздений отвечающего этой задаче линеари-паннсго оператора. Результата работы могут найти применение теории задач со свободной границей.
Апробация работы. Основные результаты дне-рташи докладывались на Всесоюзной конференции по д;:|фереіі~ ольннм уравнениям и оптимальному управлению (г. Ашхабад, 90 г.), на конференции по моделированию !1 иселедсванн::) ус-Ичивости процессов (г. Киев, 1992 г.), на научном семинаре статута математики АН РУз (сентябрь, 1992 г.), на кон.рареи-пх молодая ученых Института математики АН РУз.
Публикации. По тепе диссертации опубликовало пять бот, в которых отраяено основное содержание.
Структура и объем работы. Диссер-Ш1Я состоит нэ введения, двух глав н приложения и изложена
