Введение к работе
Актуальность теич. Работа посвящена исследованиям анолп-_ тической теории дифференциальных уравнений нэ риманозых поверхностях. Простнаство модулей римановых поверхностей и пространство модулей голоморфных расслоений над ршановми лозерхносттш яеляется ваЕныал составляющими топологической квантовой теорга ПОЛЯ. Результаты, полученные для сфери Рішана с выколотцип точками, иояно применить в конформной теории поля. Анализ на отмеченных риманозых поверхностях и G - систены дифференциальных уравнений, введенные в диооертации, иозно. применять для исследования иногйт. задач современной матеаатичеокой физики. В частности, они язлл-птоя чзстьп гштвматичеокого апарате кзапзозоіі калибровочной теории поля. В приложении указано применение G -систем дифференциальных уравнений в двумерной теории Лнгз-Унллса. Один из результатов, полученных в диссортации, иоию использовать для изучепия действий Черна-Саймопса и, следовательно, Ь'осто применять для исследования инвариантов 3-мс)рннх многообразий. Полученные з диссертации результаты позволяв? полностьз последовать связности з голоморфных^глазных расслозниях пзд римановими поверхностс:!.
Цель работа; .исследованию спетой дифференциальных урэзнеглЯ с регулярными сообкми точками при поаося пространства модулей голоморфных расслоений над компактными римаиозкии поверх!!ост пая любого рола и связь пространства модулей голоморфных расслоений с задачей факторизации.
Метода исследования. Использовались современные методы теории аналитических дкффзреяцпальшлЕ уравнений, применена теория функций комплексного переменного, особенно теорга пучкоз я д^фор-гации комплексах структур, і:ето;у злгзбраичзскс топологии -і
ч -
алгебраической геометрии.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результати:
-
По -зеєні:ю задачи Ркыано-Гильбертэ и соответствующей факторизации матрицы-Функции явно строится голоморфное векторное расслоение над сферой Рииана. При помоет теории пучков исследуется гранична г. задача и топология пространства реаенкй. Получен критерий устойчивости частных индексов и доказанаконформная инвариантности частных индексов для двумерной аадачи Римана-Пніь-берта.
-
Для устойчивых голоморфных векторных расслоепий на ри-ыановых поверхностях рода $^ 2 доказано существование системы дифференциальных уравнений, которая имеет одну регулярную особую точку. Это даст возможность охарактеризовать ванный класс овязвосгеи в голоморфных векторных расслоениях. Объяснена причина неразрешимости задачи векторизации матриц-функций на компактных римзлтаых поверхностях произвольного рода.
-
Ксслодувіся связности в голоморфных главных расслоениях. Для этого вводятся G -систолы дифференциальных уравнений. Доказывается, что для любого устойчивого голоморфного главного рэсслоокия существует G-система дифференциальных уравнений, из которой индуцируется данное расслоение. Ставится проблема Рима-на-Гильберга для таких систем.
-
Доказывается, что пространство реиеняй однородной задачи Рииана-Гильберта для римаковых поверхностей родэ Э>1 в точности совпэдзет с пространством реибний уравнения Богомольного, хорошо известного в теории Янга-Миллое-Хягсз. Доказано такае, что решения двумерного уравнения Янга-Мкллса являются связностя-ми главного расслоения, имеющими одну регулярнуп особую точку.
Указанные шпа результаты являются новыми к могут Сыть использованы для исследования в теории функций комплексного по-роменного, квантовой тоории Янга-Ниллсз на рпмзновых поверхностях любого рода.
Теоретическое и практическое значение исследования. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей развитии аналитической теории дифференциальных уравнении на рниановых поверхностях, при исследовании связностей в голоморфных расслоениях над римановьши поверхностями и для изучения автоморфных функций, а также при исследовании киральшх полей, хорошо известных в теоретической физике.
Апробаиия то боты. Результаты диссертации докладывались в разное время на семинарах в Институте кибернетики АН Республики Грузия, на семинара отдела теории функции комплексного переменного Математического института им.А.Рззиадзе АН РГ, на семинара "Фуксовые системы и приложения" МГУ им.М.В.Ломоносова, на семинаре отдела обыкновенных дифференциальных уравнения Математического института иц.В.А.Стеклова Российской АП.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, spex глав и приложения. Объем'работы 92 стр. машинописного токо-28. В списке литературы 76 наименований.
