Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа 21
1.1. Постановка задачи 21
1.2. Экстремальные свойства решений системы в области эллиптичности 23
1.3, Экстремальные свойства решений системы в области гиперболичности 28
1.4. Экстремальные свойства решений системы в смешанной области 31
1.5. Примеры 35
1.6. Об условной разрешимости задачи Трикоми 37
Глава 2. Существование решения задачи Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа 46
2.1. Постановка задачи 46
2.2. Интегральное представление решения задачи Коши - Гурса . 48
2.3. Интегральное представление решения задачи Хольмгрена . 71
2.4. Сведение задачи Трикоми к системе сингулярных интегральных уравнений 81
Глава 3. Разностный метод решения задачи Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа 92
3.1. Аппроксимация дифференциальной системы уравнений разностной. Постановка разностной задачи Трикоми 93
3.2. Принцип максимума в области эллиптичности 98
3.3. Принцип максимума в области гиперболичности 101
3.4. Принцип максимума в смешанной области и его применения . 105
Библиографический список 113
- Экстремальные свойства решений системы в области эллиптичности
- Экстремальные свойства решений системы в смешанной области
- Интегральное представление решения задачи Хольмгрена
- Принцип максимума в области эллиптичности
Введение к работе
Уравнения смешанного типа возникли в 20 - х годах прошлого века. Позже они получили значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек и в других областях физики и техники.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта».
В 40 - х годах прошлого века Ф.И. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в околозвуковой аэродинамике. Кроме того, приложения краевых задач для уравнений смешанного типа указаны в работах О.С. Рыжова, А.Д. Пилия и В.И. Федорова, М.Н. Когана, Э.Г. Шифрина, Г.Г. Черного в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы, магнитогидродинамики и другими вопросами.
В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля [63], А.В. Бицадзе [3] - [4], К.И. Бабен-ко [1] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране так и за рубежом. Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В. Бицадзе [3, 5], М.М. Смирнова [53] - [56], М.С. Салахитдинова [51], Т.Д. Джураева [13].
В целом, обобщение результатов Ф. Трикоми ведется в первых четырех из следующих направлений:
1) усложнение уравнения смешанного типа за счет: а) добавления новых слагаемых, б) повышения порядка, в) добавления новых линий вырождения; усложнение области смешанного типа, в которой ищется решение; изменение граничных условий задачи или условий склеивания искомого решения на линии вырождения; изучение спектральных свойств уравнений смешанного типа; распространение идей и методов решения краевых задач со случая уравнения смешанного типа на случай систем таких уравнений.
Следует отметить, что системы уравнений смешанного эллиптико - гиперболического типа второго порядка исследованы сравнительно мало.
Изучением задачи Трикоми для нелинейной системы уравнений смешанного типа
УЩхх "г Щуу — Jiy-Ey У» ^1) » ^njj 1 == J-» ft] занимался И.В. Майоров. В работе [29] им установлен принцип максимума мо-дуля |{/(:г,г/)| = I ^2и?(х,у)} решения. В работах [30], [31] данная система исследована в областях эллиптичности и гиперболичности соответственно.
Работы Т.Б. Зайкиной (Цымбал) [14] - [16] посвящены изучению системы уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями степенного вырождения sgn у \у\т ихх + sgn х \х\п иуу + с(х,у)и = 0, где с - квадратная матрица, и = (ui, ...ип). Исследованы экстремальные свойства модуля решения, доказано существование «слабого» решения.
В.П. Диденко функциональными методами исследовал разрешимость краевых задач для систем уравнений смешанного и смешанно - составного типов в пространстве W\ {D) [10] - [12].
В работе М.М. Овезовой [41] на основании интегральных оценок доказана единственность решения задачи Трикоми для системы уравнений sgn У ихх + иуу + а(х, у) их + Ь(х, у) иу + с(х, у) и = 0, где а,Ь,с- квадратные матрицы, и = (щу ...ип). В работе [39] того же автора получены интегральные представления решений первой и второй задач Дарбу для подобной гиперболической системы.
В работах Ф.И. Карамышева [20], З.А. Киквидзе [23] и.А.В. Рябова [43] задача Трикоми исследована для систем уравнений смешанного типа первого порядка.
В работе К.Б. Сабитова [48] установлены экстремальные свойства модуля решений задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области D, и приводятся применения этих свойств при исследовании задачи Т.
Новые экстремальные свойства решений системы уравнений смешанного типа были установлены К.Б. Сабитовым в работах [46], [47].
Приближенное решение краевых задач для систем уравнений смешанного типа методом конечных разностей ранее не изучалось. Поэтому приведём краткий обзор наиболее близких результатов для уравнений смешанного типа. Так, например, в работе В.Г. Карманова [21] предложен метод конечных разностей для определения приближенного решения Ufi задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе, при условии существования точного решения. При этом приближенное решение сводится к алгебраической системе со столькими неизвестными сколько имеется узлов сетки в области D.
В работе О.А. Ладыженской [27] задача Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе сводится к эллиптической задаче, которая решается методом конечных разностей. В работе [28] она указывает на то, что «метод конечных разностей может быть использован и как вычислительный метод, и как метод доказательства теорем существования, и, наконец, как метод исследования дифференциальных свойств решений».
Для доказательства существования решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе метод конечных разностей был впервые применен в работе В.Г. Карманова [22].
В работе А.Ф. Филиппова [62] построен разностный аналог задачи Трикоми для уравнения Т, установлены принципы максимума для сеточной системы уравнений в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области. На их основе доказано существование и единственность решения разностной задачи Трикоми.
Аналогичный результат получен для более общего уравнения смешанного типа в работах Н. Ogawa [74] и Л.И. Коваленко [24].
Диссертации By Ван Тхоа [8] и А.И. Ивлевой [19] посвящены исследованию приближенного решения краевых задач для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с отходом от характеристик и с условиями сопряжения Франкля соответственно.
В работах Ф.А. Тагиева [58], [59] методом конечных разностей исследована задача типа Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения.
В данной работе рассматривается система уравнений смешанного типа Li U = K(y)uixx + щуу + Аі(х, y)uix-\- +Bi(x,y)uiy + ^2Cik(x,y)uk = Fi(xyy)t (0.1) где у'К{у) > 0 при у ф 0, і = 1, п, п > 2, U = (ui, иг,..., ип), в области D С R2, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > О с концами в точках А(0,0) иВ(1,0), I = const > 0, и характеристиками АС и СВ системы (0.1) при у < 0. Пусть х = %(s), у = y(s) - параметрические уравнения кривой Г; s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В\ L - длина кривой Г; D* = D П {у ^ 0},
В области D~~ переходим к характеристическим координатам = х + J ^-K(t)dt, ц = х - J y/-K(t)dt,о о где К (у) Є С[уС10] П С2[ус,0), ус - ордината точки С. В этих координатах система (0.1) имеет вид LiU(, rf) = щ^ + щ(, rj)ui + bi{, г})ищ 4- ]P Cik($, rj)uk = /*(,rj), (0.2) оі(, 77) = {Ai + BiV^K - Klf2y/^K)jAK, fc(& V) = (At - Віу/^К + *Г'/2\/^)/4ІГ, сйК , »ї) = Cik/4K, f{((: г}) = Fi/AK, а область D~ отображается вА = {(^) : 0 <
В области D для системы (0.1) исследуется аналог задачи Трикоми.
Задача Т. Найти функцию U = (щ^щ,..., ип), удовлетворяющую условиям: U(x,y)C(D)nC\D)- (0.3) U(x,y) Є C2{D+) и Ци(х,у) = Ffay), (x,y)D+, і = ї~^; (0.4)
1 Є С(Д) u Z^(, ту) = fi(x, у), (, т?) Є Д, і = М; (0.5)
Щхуу)\г=Ф{з), О^з^Ц (0.6) ^.^)1^= ФСХ)' 0<*^А (0.7) г
4) разработка численного метода решения задачи Т для системы (0.1). Работа состоит из трёх глав.
Следуя работе [46] под максимумом решения U(x,y) системы (0.1) будем понимать число max maxima?, у). В главе 1 установлены экстремальные свой-* D ства решений задачи Т в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области D в классе регулярных и обобщенных решений системы (0.1). На основании этих свойств получены теоремы единственности и существования обобщенного решения задачи Т при произвольном подходе кривой Г к оси Ох, за исключением случая касания. Для доказательства существования обобщенного решения задачи Т построен альтернирующий процесс типа Шварца, который ранее применялся в теории эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа.
В 1.1 и 1.2 для системы (0.1) в области D приведена постановка задачи Т и исследованы экстремальные свойства решений системы (0.1) в области эллиптичности.
Лемма 0.1. Пусть : 1) функция U(x,y) Є С(ТҐ) C\C2(D+) и Ції = Fi в D+ при всех г = 1,тг; 2) коэффициенты системы (0.1) в области D+ ограничены и
Сф,у)> 0 npuk^i, J^CafayJ^O, ^>0«0), (0.8) при этом функции щ(х,у) не равны постоянной в любой подобласти области D+. Тогда если max max щ (х) > 0 (тіптіпиДх) < 0), то этот максимум (минимум) достигается только на границе области D+,
Лемма 0.2. Пусть : 1) U{x,y) C(D+ )ClC1{D+V AB)r\C2(D+), LtU ~ F{ в D+ при І — 1,іг; 2) в области D+ коэффициенты системы (0.1) ограничены и удовлетворяют условию (0.8); 3) тэх.т&х.щ{х,у) — uj{xq, 0) > 0 (minrainui = Uj(xq,Q) < 0), 0 < xq < L Тогда lim ujy(x0, y) < 0 (> 0). (0.9) B 1.3 исследованы экстремальные свойства решений системы (0.1) в области гиперболичности. В области Д введем обозначения: аі = афі, / = exp/&j
Оі(0,т/)+ / Pi{t,r})2^Cik{t,r))dtо k=l *- " (0.10) ы >0, 0 < <т?< f. о *=1
Предполагается, что функции /j(, т?) интегрируемы по на каждом отрезке [0, о] прямой 77 = ?7о» 0 < о < *7о < I-
Определение 0-1. Под регулярным решением системы (0.2) в области Л будем понимать функцию U(,r]) = (uiyU2,...,un), удовлетворяющую условиям: uU(t, г]) ~ fi(x,y), (, »/)еА,г = М, и, кроме того, производная Un Є C(A\AqBq).
Лемма 0.3. Пусть: 1) коэффициенты системы (0.2) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (0.10); 2) /і (,??) ^ 0 (^ 0) в А; 3) U(,T}) -регулярное в А решение системы (0.2), равное нулю на характеристике AqCq. Тогда если гаахтахиД^т;) > 0 (ттттпщ{^,г]) < 0), t д * д то этот максимум (минимум) достигается только на отрезке AqBq.
В 1.4 исследованы экстремальные свойства решений системы (0.1) в смешанной области в классе регулярных и обобщенных решений.
Определение 0.2. Регулярным в области D решением системы (0.1) назовем функцию U(x,y), которая удовлетворяет условиям (0.3) - (0.5) и, кроме того, производная Uv непрерывна на Д \ Aq Bq.
Теорема 0.1. Пусть : 1) коэффициенты системы (0.1) в области D+ удовлетворяют условиям леммы 0.1; 2) коэффициенты системы (0.1) в области D~ в характеристических координатах (, rf) удовлетворяют условиям леммы 0.3; 3) Fi{x,y) ^ 0 (Fi(x,y) < 0) в D+ U D~\ 4) U{x,y) ~ регулярное в D решение системы (0,1), равное нулю на характеристике АС. Тогда если maxrnaxuj(ar, у) > 0 (minminuj < 0), то этот максимум (минимум) * D * D достигается на кривой Г.
Определение 0.3. Обобщенным в области D решением системы (0.1) назовем функцию f/(x,j/), если существует последовательность регулярных в области D решений {1/р(х,у)} системы (0.1), равномерно сходящаяся к U{x%y) в замкнутой области D.
Теорема 0.2. Пусть выполнены условия 1)-3) теоремы 0.1 и U(x,y) -обобщенное в D решение системы (0.1), равное нулю на характеристике АС. Тогда если max max щ (ж, у) > 0 (ттттщ(х,у) < 0), то этот максимум і D * _ D (минимум) достигается на кривой Г.
В 1.5 приведен ряд примеров систем уравнений смешанного типа на которых показано выполнение теории принципа максимума.
В 1.6 получена теорема существования обобщённого решения задачи Т при произвольном подходе эллиптической границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.
Пусть К(у) = sgny \у\т, т - const ^ 0, Fi{x,y) = 0, Д(х,у), Ві(хіУ) Cl{D+)nC2(D~), Cik(x,y) Є C(D*\JD~) и удовлетворяют условиям теоремы 0.2; Го - «нормальная» кривая системы (0.1), заданная уравнением (х — //2)2 + 4ут+2/(т + 2)2 = {1/2)2; Г - кривая из класса Ляпунова.
Определение 0.4. Регулярное в D решение системы (0.1), удовлетворяющее условиям (0.6) и (0.7), назовем регулярным решением задачи Т для системы (0.1).
Определение 0.5. Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи Т назовем обобщенным решением задачи Т.
Теорема 0-3, Пусть в области D при условии, когда кривая Г оканчивается в точках Л и В сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой и гладких краевых данных Ф(«) Є C^fOjL] и Ф(х) Є С2[0;//2] существует регулярное решение задачи Т для системы (0.1). Тогда если функция Ф(з) Є C[0,L] и Ф(я) Є С2[0,//2], Vi(0) = Доказательство этого утверждения проводится на основании принципа максимума альтернирующим методом типа Шварца. Лемма 1.1. Пусть : 1) коэффициенты системы (1.1) в области D+ ограничены и 2) функция U(x,y) C(D ) f]C2(D+) и Ь{и = Fi в D+ при всех і = l,n. Тогда если тгхтах.щ(х,у) 0 (тіпттщ(х,у) О), то этот максимум (минимум) достигается только на границе области D+. Доказательство. Пусть тэх.тэх.щ(х, у) = Uj(Q) 0. Допустим, что точ i д+ ка Q Є D+. Тогда в точке Q и в силу условий (1.8) и (1.10) Но, с другой стороны, Lj[U(Q)] = Fj{Q) 0. Полученное противоречие доказывает справедливость принципа максимума с условиями (1.8). Аналогично показывается справедливость принципа максимума при выполнении условий (1.9). Лемма 1.2. Пусть : 1) коэффициенты системы (1.1) в области D+ ограничены и 2) функция U(x,y) є C(W)C\C2(D+) и LtU = 0 в D+ при всех г — 1,п. Тогда если тахтах ] щ{х у) 0, то этот максимум достигается только на границе области D+. Замечание 1.1. Лемма 1.1 при выполнении условий (1.8) и Fj = 0, і = 1, п и лемма 1.2 впервые получены К.Б.Сабитовым [47J. Лемма 1.3. Пусть : 1) коэффициенты системы (1.1) в области D+ огра ничены и 2) функция U(x, у) eC(D ) ПC2(D+) и Ції = F{ в D+ при всех г= 1, п, при этом функции щ(х, у) не равны постоянной в любой подобласти области D+. Тогда если maxmaxu a;) = Uj(Q) О (тіптіпііДа:) = Uj{Q) О), то этот максимум (минимум) достигается только на границе области D+. Доказательство. Введем вспомогательную функцию W(x,y) = (wi, ,... , wn), где W{(x} у) = щ(х, у) — Uj(Q), которая в области D+ является решением системы и W((x,y) 0 в Z?+, maxmaxti;j(a:,y) = Wj{Q) = 0. Отсюда легко заметить, ТҐ что функция Wj(x,y) в D+ является решением эллиптического уравнения где В силу условий (1.12) правая часть уравнения (1.13) неотрицательна в области D+. Пусть точка Q Є D+. Поскольку оператор Mj локально равномерно эллиптичен при у 5 0, где 5 - достаточно малое число, его коэффициенты ограничены в D , то в силу теоремы Хопфа [73] функция Wj(x, у) = 0, чего быть не может. Значит, Q 8D+. Лемма 1.4. Пусть : 1) коэффициенты системы (1.1) в области D+ ограничены и 2) функция U(x, у) C(D )C\C2(D+) и LiU = 0 в D+ при всех і = Т/п, при этом функции щ(х, у) не равны постоянной в любой подобласти области D+. Тогда maxmax [«j (ж,у}\ О достигается только на границе области D+. Доказательство. Пусть тахтах \щ(х7у)\ = \UJ(Q)\ 0. Не теряя общно сти, будем считать, что Uj(Q) 0. Тогда max max щ(х, у) Uj(Q) и \щ(х, у)\ _ Uj{Q) в D . Теперь, рассуждая аналогично доказательству леммы 1.3, введем новую функцию W{x, у). При этом функция Wj(x,y) = Uj(x,y) — Uj(Q) является решением эллиптического уравнения (1.13), правая часть которого в силу условия (1.14) в области D+ неотрицательна. В самом деле, Если теперь Q Є D+, то в силу теоремы Хопфа [73] функция Wj(x,y) = 0 в D+, что невозможно. Замечание 1.2. В леммах 1.1 - 1.4 условия на коэффициенты системы (1.1) существенны, ибо их нарушение влечет за собой несправедливость утверждений данных лемм. В качестве примера рассмотрим в области D С Я2, содержащей в себе начало координат, систему Рассматриваемая система имеет решение щ = u i = ехр[-а(х2 + у2)}. Функции щ и щ достигают своего положительного глобального максимума внутри области D. Замечание 1.3. Если в лемме 1.3 сумма 2Сц (х,у) = 0 в области D+ при любом і, то нет необходимости в условии тахтахщ(х,у) О (max max «((я, у) 0). Замечание 1.4. Отметим, что экстремальные свойства модуля решений эллиптических и параболических систем изучались в работах [26], [68j, /707,/72/, /75/. Лемма 1.5. Пусть : 1) U{x,y) Є C{7f) C\C\D+U AB)C\C2(D+), UXJ = F{ в D+ при і = l,n; 2) в области D+ коэффициенты системы (1.1) ограничены и удовлетворяют условию (1.12); 3) тахтахи (х,у) — UJ(XQ,0) (mmminw; = UJ(XQ,0) 0),0 хо L Тогда Доказательство. Пусть max max щ (х, у) = uAQ) 0. Рассуждая анало-гично доказательству леммы 1.3, введем новую функцию W(x,y). При этом функция wj(x,y) является решением эллиптического уравнения (1.13), правая часть которого в силу условия (1.12) в области D+ неотрицательна. Тогда коэффициенты уравнения (1.13) и функция Wj(x,y) удовлетворяют условиям леммы 1 [49]. Поэтому Отсюда уже следует неравенство (1.15). Лемма 1.6. Пусть : 1) U{x,y) Є C{D+)nC1(D+UAB)nC2(D+), ЦІЇ = 0 в D+; 2) в области D+ коэффициенты системы (1.1) ограничены и удовлетворяют условию (1.14); 3) тахтах\щ(х,у)\ = itj(a;o,0) 0, 0 xQ I, Тогда Доказательство. Пусть maxmax[ (ж,у)\ = \UJ(Q)\ 0. В силу усло i р+ вий леммы можно считать Uj(Q) 0. Тогда max maxщ(ж, у) = Uj(Q) и Jttj(cct у)[ v.j(Q) в области D+. Как и при доказательстве леммы 1.3 введем функцию W = (w\,W2i.. ,wn), где Wi — щ(х,у) — Uj(Q). При этом функция Wj{x,y) является решением эллиптического уравнения (1.13) и Wj{x,y) 0 в D , majcwj(x,y) — Wj(Q) = 0. В силу условия (1.14) правая часть уравнения ТҐ (1.13) неотрицательна в D+. Тогда коэффициенты уравнения (1.13) и функция Wj(xyy) удовлетворяют условиям леммы 1 [49], в силу которой Из последнего неравенства следует (1.16). Замечание 1.5. Отметим, что доказательства лемм 1.1 -1.6 основаны на результатах К.Б. Сабитова [45J - [47J, [Щ. 1.3. Экстремальные свойства решений системы в области гиперболичности В области D перейдем к характеристическим координатам {,г]). Обозначим через AQ = (0,0), BQ = (1,1), CQ = (0,1) - вершины треугольника Д; Будем предполагать, что коэффициенты щ bj, с непрерывны в Д, кро ме, может быть, отрезка AQBQ, где они могут обращаться в бесконечность, и Определение 1.2. Регулярным в области D решением системы (1.1) назовем функцию U(x1y), удовлетворяющую условиям (1.3) - (1.5), и, -кроме того производная U С(А \AQBQ). Теорема 1.1. Пусть : 1) коэффициенты системы (1.1) в области D+ удовлетворяют условиям леммы 1.3; 2) коэффициенты системы (1.1) в области D в характеристических координатах (, г}) удовлетворяют условиям леммы 1.7; 3) Fi(x,y) 0 {Fi{x,y) 0) в D+ U D \ 4) U(xty) - регулярное в D решение системы (1.1), равное нулю на характеристике. АС. Тогда если max maxщ(х, у) 0 (minmintij 0), то этот максимум (минимум) і D і D достигается на кривой Г. Доказательство. Пусть maxmax«t(x, у) = uAQ) 0. В силу леммы 1.7 точка Q Є D . На основании леммы 1.3 точка Q $ D+. Следовательно, Q Є АВ U Г. Пусть Q Є АВ, т.е. Q = (XQ, 0), 0 XQ І. В этой точке из области D в силу леммы 1.7: что на основании леммы 1.5 противоречит неравенству (1.15). Теорема 1.2. Пусть : 1) коэффициенты системы (1.1) в области D+ удовлетворяют условиям леммы 1-4; 2) коэффициенты системы (1.1) в области D в характеристических координатах (, т?) удовлетворяют условиям леммы 1.8; 3) Fi(x,y) = 0 в D+VD \ 4) U{x y) -регулярное в D решение системы (1-І), равное нулю на характеристике АС. Тогда если тахтах гц(э;, у)\ » D О, то этот максимум достигается па кривой Г. Доказательство. Пусть maxmaxwj(a;,у)\ — \UJ(Q)\ 0. На основании » D леммы 1.8 точка Q находится на множестве D . В силу леммы 1.4 точка Q D+. Тогда Q Є АВиТ. Допустим, что точка Q Є АВ, т.е. Q = (х0,0), 0 XQ 1.В этой точке из области D" в силу леммы 1,4 имеем что на основании леммы 1.6 противоречит неравенству (1.16). Следовательно, точка Q Є Г. Следствие 1.1. а) Если выполнены условия теоремы 1.1 и Fi(x,y) = 0 в D4" U D } то для любой точки (х, у) D справедлива оценка б) Если выполнены условия теоремы 1.2, то для любой точки (х, у) 6 D 1.1 или теоремы 1.2 и в классе регулярных в D решений системы (1.1) су ществует решение задачи Трикоми, то оно единственно. Следствие 1.2. а) Пусть : 1) коэффициенты системы (1.1) удовлетворяют условиям 1) и 2) теоремы 1.1; 2) i fx, у) 0 ( 0) в D+ U D \ 3) t/(x, у) - регулярное в D решение системы (1.1), равное нулю на характеристике АС. Тогда если щ 0 ( 0) Г, то щ 0 ( 0) в D. б) Пусть: 1) коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям теоремы 1.1; 2) L{U LjV в области D U D+, где U — (щ, щ,...,ип), V = (ui, V2,..., vn); 3) щ = Vi на ЛС 4) Щ i ив Г. Тогда щ Vi в области D. Определение 1.3. Обобщенным в области D решением системы (1.1) назовем функцию U(%, у), если существует последовательность регулярных в области D решений {Up(x,y)} системы (1-1), равномерно сходящаяся к U(x,y) в замкнутой области D. Теорема 1.3. Пусть выполнены условия 1)-3) теоремы 1.1 и U(x,y) обобщенное в D решение системы (1.1), равное нулю на характеристике АС. Тогда если тахтахи4(х,у) 0 (гтпттщ(х,у) 0), то этот максимум D і D (минимум) достигается на кривой Г. Доказательство. Пусть max max « (х, у) = Uj(Q) = М 0 и допустим, » D что Q g Г. Тогда Q Є D \ Г. Обозначим через ЕІ = {(х, у) Є D\V\ щ(х,у) = М} и Е — [jEi. Множество Е замкнуто и не имеет общих точек с кривой Г. Поскольку множества Г и Е замкнуты, ограничены и не имеют общих точек, то расстояние между ними больше нуля. Поэтому существует простая кривая т, лежащая в области JD+, С концами в точках А и В такая, что а Г\ Е = \Ь и Е С Da, где Da — область, ограниченная кривыми а, АС и СВ. Так как U(x,y)— обобщенное решение системы (1.1), равное нулю на АС, тогда существует последовательность регулярных в D решений {Up(x,y)} = {(uj,ii2»--own)} системы (1.1) таких, что ир{х,у) = 0 на АС и {Up(x, у)} в D равномерно сходится к С/(т, у). Поскольку в области Da выполнены условия теоремы 1.1, то maxmaxitf(x,y) достигается на кривой а при любом р Є N. Пусть max max г (ж, у) = Мд. Ясно, что MQ М. Обозначим є = (М — і а MQ)/2. В силу равномерной сходимости последовательности {Up(x,y)} в Da для взятого є О существует номер ро, что для всех р Ро, 1 г п и (х,у) Є Da выполняется условие Отсюда max max и? (х, у) Wy(Q) Wj(Q) — є = (М + MQ)/2 при р р0. На кривой о : и\(х, у) щ(х,у) + є (M + Af"o)/2, прир ро Ї = 1 п- Следовательно, max max uf (ж, г/) при p ро не достигается на кривой т, что противо-речит теореме 1.1. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. Принцип минимума доказывается аналогично. Теорема 1.4. Пусть выполнены условия 1)-3) теоремы 1.2 и U(x,y) -обобщенное в D решение системы (1.1), равное нулю на АС. Тогда если тахтах и$(а;, г/) 0, то этот максимум достигается на кривой Г. і D Доказательство проводится аналогично теореме 1.3 с применением теоремы 1.2. Следствие 1.3. а) Если выполнены условия теоремы 1.3, при этом Fi(xyy) = 0, то для любой точки {х, у) Є D справедлива оценка (1.20). б) Если выполнены условия теоремы 1.4, то для любой точки (х,у) Є D справедлива оценка (1.21). в) Если коэффициенты системы (1.1) удовлетворяют условиям теоремы 1.3 или теоремы 1.4 и в классе обобщенных в D решений системы (1.1) су ществует решение задачи Трикоми, то оно единственно. Следствие 1.4. а) Пусть : 1) коэффициенты системы (1.1) удовлетворяют условиям 1) и 2) теоремы 1.1; 2) Fi(x,у) 0 ( 0) в D+ U D ; 3) U(x, у) - обобщенное в D решение системы (1.1), равное нулю на характеристике АС. Тогда если щ 0( 0) на Г, то щ 0 ( 0) в D. б) Пусть: 1) коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям теоремы 1.3; 2) LiU LiV в области D U D+, где U = («ь«2, --, ), У = В дальнейшем относительно кривой Г будем предполагать, что выполнены условия (Б): 1) функции x(s), у($) имеют непрерывные производные xf(s), y (s) на отрезке [0, L], не обращающиеся одновременно в нуль; производные x"(s), y"(s) удовлетворяют условию Гельдера на [0tL], L- длина кривой Г; 2) в окрестности точек А и В на кривой Г выполняется условие В области D+ для системы (2.1) поставим задачу Хольмгрена. Задача N. Найти функцию U(xty) = (ui(x,y),U2(x,y),... ,un(x,y))t удо fc где fJ.i{j7]} ограниченная в D функция. Справедлива следующая Лемма 2.1. Пусть: Ці(х,у) ограничена в . Тогда щ Є С( ), Є C{D+). Если ta{x,y) Є C(D ) П Cl{D+), mo z{ Є C{D+) Г) С2( +) и удовлетворяет уравнению Доказательство проводится аналогично соответствующей теореме теории потенциала для уравнения Лапласа [25, т.1, гл.У, 14, л.5] и приводится в [37]. Решение задачи N для системы (2.1) будем искать в виде вектор - функции с компонентами ду Такие решения известны [56, гл.2, 10, с.73]. Будем предполагать, что функции д (, г}) ограничены в замкнутой области D и имеют непрерывные частные производные первого порядка в области D+. Для отыскания /г (, г}) продифференцируем (2.44) достаточное число раз и подставим в (2.1). В силу леммы 2.1 получим систему где (0) ,( Таким образом исходная задача сводится к отысканию решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода с неизвестными функциями fii(x,y), г-Т п. 0. Тогда в D справедливы неравенства СІ г где d постоянные, не зависящие от , г}у х, у. Доказательство. Дифференцируя q(x,y, XQ, уо) по переменной х и используя представление для гипергеометрической функции F(a,b, a+b\ 1-а) вблизи особой точки а = 0 [2, стр.86] /т=:+ч Atfay) C{W). Учитывая (2.47), (2.50) (2.51), а также непрерывность функций Bi(x,y), Cik{x y) в C(D ) получим требуемые оценки. В силу леммы 2.2 ядра К г х у) системы (2.45) имеют слабую особенность [36, гл.1, 15]. Для того что бы перейти к системе с ядрами из L,2{D+), следует рассмотреть итерированные интегральные уравнения где D+ Из (2.48), согласно [36, гл.I, 15] следует неравенство где Сі, ( - постоянные, не зависящие от , ту, х, у. Из последней оценки следует квадратичная интегрируемость ядер К ,г);х у) и применимость к системе (2.52) теории Фредгольма. Лемма 2.3. Число 1 не является собственным значением уравнений системы (2-45). Доказательство. Рассмотрим соответствующую (2.45) однородную систему интегральных уравнений Пусть:.Мо(2 у) - {fM i{x,у),й)2(ж.У). ...,#ъ(:С2/)) -решениесистемы (2.56) из класса C1(D+). Тогда в силу леммы 2.1 функция Я — (zi, Z2, .--,) будет решением задачи iV с нулевыми граничными данными. Из теоремы единственности решения задачи N следует, что все Zi(x, у) = О в D+, Из (2.47) и (2.56) имеем Таким образом функции /ІОЇ = 0, г — 1, п в D . Число 1 не является собственным значением и для системы уравнений (2.52) [57]. Тогда система уравнений (2.52) имеет единственное решение, определяемое формулой щ{х,у) = hi(x, у) + JJhi( ,Ї])ПІ{У т?;х, у) d drj, (2.58) где TZi( 7j;x,y) резольвента ядра К{(,т);х,у). Функции (2.58) являются решениями и системы (2.45) [25, Т.2, гл.Г/, 6]. Лемма 2.4. Пусть: 1) коэффициенты Ai{x,y), Bi(xty), Cij{x,y) Є C(D ), коэффициенты Ai(x,y) вблизи линии у = 0 имеют нуль порядка т/2; 2) функции щ{х) непрерывны в интервале (0,1) и абсолютно интегрируемы с показателем 5, 1 8 (т + 2)/2; 3) функции ipi(s) непрерывны на 0 з L. Тогда функции // , являющиеся решением системы уравнений (2.45), непрерывны в области D+ и ограничены в замкнутой области D . -FT+ Доказательство. В силу указанной гладкости коэффициентов АІ(Х, г/), Bi(x,y), Cij(x,y) и функций щ Є C2(D+) функции /і(х,г/), определяемые формулой (2.46) непрерывно дифференцируемы в области D+. В силу леммы 2.2 и (2.53) непрерывно дифференцируемыми в области D+ являются так лее и функции hi(x,y), а следовательно и (х,у) [25, Т.2, гл.ІУ, 6]. Покажем ограниченность &(х,у) в замкнутой области D . Из (2.43) следует, что функции Щ ЛхіУ) ограничены в замкнутой области D . Для ограниченности м(х,у) в области D достаточно показать ограниченность произведений АІ(Х, у)иіх и ВІ(#1 у)щч в области D . В любой замкнутой области, целиком содержащейся внутри области D , эти произведения ограничены в силу их непрерывности. Требуется дополнительно исследовать их ограниченность при стремлении точки (х, у) к границе области D . Для дальнейших рассуждений удобно преобразовать систему (3.9) к виду RiU = К(т)щхх- + (1 + tm)uiyy + Ai(kt m)(uix + u&)f2+ (3.14) +Bi(fc,m)[(l - tm)uiy +(1 + tm)uiy]/2 + 2 dj(k,m)uj = Fj(Aj,m), гдет = (/m- m+i)/( m+ m+i) t = 1, n; ««, «Й, u - разделенные разности КОМПОНенТЫ Щ фуНКЦИИ U ПО X, U{yi Щу, Щуу — по у, т.е. Щу [щ(к, т + 1) - u»(fc, т)]/ т+і, «ф = [щ(к,т) - щ(к,т l)]/fm, Щуу = [щу{к, т) - щу(к, т - 1)]/Jm. Теорема 3.1. Пусть: 1) RiU 0 в D ; 2) выполнены условия в D для всех і = 1,п. Тогда, если max max щ 0, то on достигается на ThUAB. Доказательство. Пусть max max щ — Uj(k,m) 0. Допустим, что точка Q — (к,т) $ Г/t U ЛВ. Эта точка не является граничной, поэтому найдутся Четыре ЄЄ СОСедНИе ТОЧКИ В КОТОрЫХ Щ Uj(Q), г = 1,п. Но не во всех из этих соседних точек Uj = Uj(Q). В силу условий (3.15)-(3.17) вычислим RjU{Q) = но с другой стороны RjU(Q) 0. Полученное противоречие и доказывает принцип максимума. Если предположить, что во всех соседних с точкой Q узлах выполняется Uj = j(Q), то проводя аналогичные действия для этих узлов придем к противоречию или к тому, что функция U{к, т) постоянна в области D. Заметим, что принцип максимума для общего сеточного уравнения эллиптического типа приведен во многих работах, например, [44, с.226]. Лемма 3.2. Пусть выполнены условия 1), 2) теоремы 1 и кроме того щ(к,т) 0 на Г , щ(х,0) М, М = const О на АВ. Тогда, если Uj(Q) = М, Q = (xq,Q) Є АВ, то Uj(xq,0) щ{хя,у2). Доказательство. Согласно теореме 3.1 имеем щ{к,т) М, і = 1,п в D. Если точка (хя,у2) Є Гл, то утверждение очевидно. Пусть (xq, j/2) Є D, предположим что Uj(xqty2) = М. Тогда из (3.9) с учетом (3.15), (3.16) получим RjU(Q) 0, что противоречит условию RjU(Q) О или, что щ = М в каждой из четырех соседних с узлом (xq, j/2) точках. В частности, Uj(xq, J/4) = М. Продолжая подобные рассуждения конечное число раз, мы придем к противоречию с RjU(Q) 0 в Dfo или получим щ = М в некоторой точке из Гд, что противоречит условию следствия. Замечание 3.2. Если коэффициенты Д-, Bi, Cij системы (3.1) в области D+ непрерывны, ограничены и то при достаточно малом шаге h коэффициенты системы (3.11) в области Щ, удовлетворяют условиям (3.15), (3.16) теоремы 3.1. В самом деле, условие (3.16) очевидно выполняется в силу ограниченности В силу выполнения условия (3.18) существует такое 8 О, что при 0 ут 5 справедливо ( ). При ут S и достаточно малых h условие (3.15) справедливо в силу ограниченности К(ут) снизу положительной постоянной и ограниченности Aj. Заметим, что условие (3.18) автоматически выполняется при /3 2 и ограниченных А;. Но при /3 2 это условие накладывает дополнительные ограничения на коэффициенты А . В области D перейдем к характеристическим координатам (, 77). При этом область D преобразуется в Д = {(, rf) : 0 г) 1}. Пусть AQ = (0,0), BQ = (1,1), Со = (0,1) - вершины треугольника Д. Ячейки сетки D становятся квадратными сдлиной стороны h = h- /2. Множество узлов принадлежащих Д (Д) обозначим Д (Дл). Пронумеруем узлы Д следующим образом: сначала узлы лежащие на AQCQ в порядке возрастания i): (0,0),(0,1), (0,2), ..., (О,N); затем узлы лежащие на = h в том же порядке: (1,0), (1,1), (1,2), ..., (l,N — 1) и так далее. В дальнейшем, под значением какой-либо функции в узле (к, т) будем понимать ее значение в точке с координатами (kh, (m + k)h). Рассмотрим узел (А;, гп) Є Дл (см. рис. 3). Заменим значения частных производных в этом узле на соответствующие разностные отношения: где г = l,n, через a», 6 , Су, /» обозначены значения соответствующих коэффициентов системы уравнений (3.2) в узле (к,т). Система разностных уравнений (3.19) аппроксимирует систему дифференциальных уравнений (3.2), т.е. если /(,7?) Є С2(А), то Утверждение доказывается аналогично лемме 3.1. Теорема 3.2. Пусть: 1) функция U(k,m) определена в А и R?U(k,m) 0 в Ад, і = 1,п; Sj коэффициенты системы (3,19) в области Дь удовлетворяют условию 1 + a-i(k, m)h + bi(k, m)h + h2 Cij( , »"") 0; / Uj(0,m) 0, [і + аі(1,т)Л]иі(0,ттг + 1) Ki(0,m) на -AQCQ, где m = Тогда есе компоненты функции U(k, т) неотрицательны в А . Доказательство. Требуемое неравенство докажем по индукции относительно к. Пусть неравенства имеют место при к = 1,2,..., ко — 1, m = 1, 2,..., N — к — 1. Покажем их справедливость для к = А;о- Будем рассматривать последовательно узлы (&о,1), (&о 2), ..., (&о ),-- » (fco,- — &о — 1)- Пусть mmщ(ко,т) = і ир(ко,т). Из того, что cpj(kQ1m) 0, р J получаем, что В силу (3.23), неотрицательности RpU(ko,m) и индуктивного предположения будем иметь: Чтобы распространить последнее соотношение на остальные компоненты функции /(&0)т) следует, рассматривая их в порядке возрастания, провести рассуждения аналогичные вышеизложенным. Используя условие 4) в качестве базы индукции при помощи подобных шагов получаем требуемое. Следствие 3.1. Пусть выполнены условия 2) - 4) теоремы 3.2 uU(k,m) -решение системы (3.19), равное нулю на характеристике AQCQ; fi(k,m) 0, (к, т) Є Ah, і = 1,7г. Тогда если max max щ(к,т) 0, то этот максимум достигается на AQBQ. Доказательство. Пусть Обозначим maxmaxttj(fc, гп) через P и докажем что Р 0. Предположив противное, введем в рассмотрение функцию V(kym) = —U(k,m). Очевидно для функции V(&,m) выполнены все условия теоремы, поэтому Vi(k7m) 0 в Д/j, но это противоречит (3.24). Для функции и(к,т) — (Р — ui(k,m), Р — U2(k,rn) . ..,Р — ип(к,т)) так же выполнены все условия теоремы 3.2, поэтому щ(кут) 0 и щ(к, т) Р в A/j. Следовательно Замечание 3.3. Если коэффициенты а$, 6j, ( и а системы (3.2) непрерывны в области Д и то при достаточно малом шаге h коэффициенты системы, (3.19) в области Ад удовлетворяют условиям 2), 3) теоремы 3.2. В самом деле, рассмотрим условие (3.22). Для его выполнения достаточно п Последнее справедливо в силу IL{ 0 и Остальные условия выполняются в силу малости h и ограниченности указанных коэффициентов.Экстремальные свойства решений системы в области эллиптичности
Экстремальные свойства решений системы в смешанной области
Интегральное представление решения задачи Хольмгрена
Принцип максимума в области эллиптичности
Похожие диссертации на Задача Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа
