Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 . Задача на собственные значения для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения 20
1.1. Постановка спектральной задачи Т\ 20
1.2. Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в эллиптической части 21
1.3. Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в гиперболической части 22
1.4. Построение собственных значений и собственных функций в смешанной области 24
1.5. Исследование собственных функций на полноту в смешанной области 30
Глава 2. Задачи на собственные значения для оператора смешан ного типа с негладкой линией вырождения 40
2.1. Постановка спектральной задачи ТІЛ и
построение собственных функций 40
2.2. Исследование на полноту в Li системы собственных функций задачи Гц 42
2.3. Постановка спектральной задачи Тіх и построение собственных функций 55
2.4. Исследование на полноту в Ь2 системы собственных функций задачи Т2д 57
Глава 3. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения 63
3.1. Задача Ті 63
3.2. Задача Т2 77
3.3. Задача TNX 82
3.4. Задача TN2 88
Литература
- Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в эллиптической части
- Построение собственных значений и собственных функций в смешанной области
- Исследование на полноту в Li системы собственных функций задачи Гц
- Задача TNX
Введение к работе
Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [55, 56] и С. Геллерстедта [70], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми" и "задача Геллерстедта".
В 50 - е годы XX столетия в работах Ф.И. Франкля [58], А.В. Бицад-зе [4, 5] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, В.И. Жегалов, Т.Д. Джура-св, Т.Ш. Кальменов, А.И. Кожанов, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, СМ Пономарев, СП. Пулькин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Л.И. Чибрикова, Р.С Хайруллин, Вагапов В.З., О.А. Репин и другие), так и за рубежом (S.Agmon, L.Nirenberg, M.N.Protter, CS.Morawetz, P.Germain, R.Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M, Schneider, Г.Д. Каратопракли-ев, Г.Д. Дачев, Н.И. Попиванов и другие). Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В. Бицадзе [5, 6], Л. Бсрса [3], К.Г. Гудерлея [И], М.М. Смирнова [50] - [52], М.С Сала-хитдинова [45], Т.Д. Джураева [13], Моисеева Е.И. [31].
Вместе с тем краевые задачи для уравнения смешанного типа с несколь- кими линиями изменения типа изучены сравнительно мало.
Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались М.М. Зайнулабидов [15] - [17], В.Ф. Волкодавов [9],О.И. Маричев [25], Н.И. Поливанов [33], Т.Б. Ломоносова [22], Хе Кан Чер [61, 60]. И.А. Макаров [23], С.С. Исамухамедов [18], С. И. Макаров [24], М.С. Салахитдинов [46] [47], К.Б. Сабитов, А.А. Гималтдинова (Карамо-ва). Г.Г. Биккулова (Шарафутдинова) [35] - [43] и другие авторы.
Зайнулабидов М.М. [15] - [17] для уравнений уихх + хиуу = 0, (0.1) ихх + sgn (ху) -иуу = 0 (0.2) в области D, ограниченной простой кривой Жордана с концами в точках Лі(1,0), Ві(0,1) при х,у > 0, характеристиками ОСі, С\АЪ ОС<і и В\Сч уравнения (0.1) или (0.2), исследовал задачи Трикоми (задачу 7\ с данными на Г U С\Сч и задачу 7 с данными на Г U B\Ci U А\С\). Им доказаны единственность и существование решений задач Т\ и Т% для уравнений (0.1) и (0.2), когда дуга Г - ляпуновская и оканчивается сколь угодно малой длины дужками "нормальной"кривой. Доказательство единственности решения задачи Ті для уравнений (0.1) и (0.2) проведено на основании принципа экстремума А.В. Бицадзе, а при доказательстве единственности решения задачи Тч использовался метод интегральных тождеств Франк ля. Существование решения доказано методом интегральных уравнений.
Салахитдиновым М.С, Хасановым А. [47] в области О = D П {х > 0} для уравнения sgn у\у\пихх + хтиуу = 0, m, п — const, m > п > 0, (0.3) изучена задача Трикоми с условиями Дирихле на Г, ОВ\ и ОС\. Единственность решения доказана методом интегралов энергии при п > т. Существование решения сведено к разрешимости интегрального уравнения Фредголь-ма второго рода.
Сабитов К.Б. [36] изучал краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Для уравнения Lu ~ К(у)ихх + N(x)uyy + Аих + Виу -\-Си — F, (0.4) где у К (у) > 0 при у ф 0, хК (х) > 0 при х ф 0, в области D, ограниченной при х,у > 0 кривой Г с концами в точках Л\(а:0), Б(0,Ь), а, Ь > 0, при ж > 0, у < 0 - характеристиками ОСі и С\Лі уравнения (0.4), при х < 0,у > 0 -характеристиками ОС2 и С%В, были изучены задачи 7\ и Тг. Установлены принципы экстремума для решений задач Ті и Тг, при этом предполагалось, что уравнение (0.4) является слабо вырождающимся. На основе принципа экстремума при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (0.4) доказаны единственность решения задач 7\ и 7.
Сабитовым К.Б., Гималтдиновой (Карамовой) А.А., Биккуловой (Шара-футдиновой) Г. Г. [38] установлены принципы экстремума для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения
1и = щпу- \y\nuxx + sgp.x- \х\тиуу+ +А sgn {ху) \х\т\у\пи = 0 (0.5) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области при всех п.гт> 0, n + m > 0, А = 0 и получены утверждения о единственности решения краевых задач типа Трикоми в классе регулярных и обобщенных решений уравнения (0.5) при произвольной эллиптической границе. В работе Сабитова К.Б., Биккуловой (Шарафутдиновой) Г,Г. [43] доказано существование регулярного решения задачи Трикоми для уравнения (0.5), в случае, когда А = 0 и "нормальная" кривая уравнения целиком содержится в эллиптической части области.
Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение спектральных задач, которые позволяют строить решения краевых задач в специальных областях в виде сумм биортогональ-ных рядов. Моисеевым Е.И. [27] -[29] были решены спектральным методом задачи Трикоми и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике.
Сабитов К.Б., Гималтдипова (Карамова) А.А. [40] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Ими были изучены спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения и показаны применения при построении решения задачи Трикоми, а в работе [41] исследована краевая задача для уравнения (0.5) при х > 0, п = т > 0, А — 0. На основании функциональных соотношений между следом решения и следом нормальной производной решения задачи Дарбу на линиях изменения типа краевая задача сводилась к новой нелокальной эллиптической задаче. В случае, когда область эллиптичности является четвертью круга с центром в начале координат, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи.
Задачи на собственные значения и краевые задачи для уравнения (0.5) ранее при А ф 0 не были изучены.
Целью данной диссертационной работы является исследование следующих вопросов:
Нахождение собственных значений и собственных функций спектральной задачи для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями степенного вырождения и исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве Li-
Нахождение собственных значений и собственных функций спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения с различными граничными условиями па эллиптической границе; исследование построенных систем собственных функций на полноту в Li,
Построение решений задач Трикоми и Трикоми - Неймана для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения методом рядов по собственным функциям.
Обоснование единственности регулярных решений поставленных краевых задач с различными граничными условиями для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения.
Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.
В главе 1 найдены собственные значения и собственные функции спектральной задачи для уравнения (0.5) в области D, ограниченной "нормальной" кривой Го : (ха/а)2 + (у13/(З)2 — 1, лежащей в первой четверти х,у > 0 с концами в точках А(а1^а,0) и Б(0,/31/,,й), характеристиками ОС\, СіА,ОС2иС2В уравнения (0.5), где (9(0,0), Сх {xc^ycj , С2(хС2,ус2), где xCl = (aV^i/2)-, УСі = -(№1*12)*, хСї = -(^/^/2)% ус2 = {Р<*1/а/2)К a = (m + 2)/2, /3 = (n + 2)/2.
В 1.1 приводится постановка спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми.
Спектральная задача (Задача Т\). Найти собственные значения А и соответствующее им собственные функции и\(х,у) — и(х,у), удовлетворяющие условиям: и{х, у) Є C(D) П Cl(D) П C\D+ UDXU D2):, (0.6) Lu(x., y) = 0, (ж, у) Є D+ U A U Дг; (0.7) и{х,у) = 0, {х,у)еГ0иОС1иОС2, (0.8) г+ = D Г\ {х > 0, у > 0}, D{ = D Г\ {х > 0, у < 0}; >2 - D П {х < о, у>о}.
В 1,2, 1.3 методом разделения переменных построены многообразия частных решений уравнения в эллиптической и гиперболических областях соответственно.
В 1.4 для уравнения (0.5) найдены собственные значения и построена соответствующая система собственных функций спектральной задачи Т\ :
Ч/(ж> у) = <** (>Aw^(^)2 + (^)2 xJ2,JV^^u)2 + (^/3)2)><
Г^+рОГ^ + і + йМі-р) r(l-±2 + Pfc)r(-V + i + P*)r(i+p) 2 +P*i 2 ^2+^(1^)2 + (1^)2 + + ' фЛ2 V(^)2+(^)S g-p ,1,. g-*> , і з (^)2 + к + Рь
2 2 в области D+,
2 +2 №'2 p; (1^)2 + (1^)2 (0.9) 1кЛ } ' 1 2 ^ Г(2^ + 1)Г(і+р) xfy^y^-^HW *А» U^)M±(-,W (1^5 -**-/* xF|^« + ft,~^ + i + ft,2ft + i;
1^Q,2 (^) (0.10) в области Di,
Г(|-р)Г(-? + | + Р>) cosfc + ftfrainf
1 л,д л х I V\^(-/)2 - у-*))2 I x №)
2 \ -4»-W V+^ *-*> і 9 ,, (K)a-&-*: у + Pk, -j- + ~ + pa, 2/?a + 1; ^т^— в области D^, где c-2,k ф 0 -произвольная постоянная, 2q = (а — 1}/а, 2р = (/3-1)//3, Л(-) - функция Бесселя первого рода порядка и, Г(-) - зялілій -функция Эйлера, F(-) - гипергеометрическая функция Гаусса.
Теорема 1.1. Собственными значениями спектральной задачи (0.6) -(0.8) являются полооюительные корпи X^i уравнения J^(vA) = 0, где pk = р-\- q 4- к и І Є JV, к = 0,1,2,... . Соответствующие собственные функции определяются по формулам (0.9) - (0.11).
Теорема 1.2. Система собственных функций спектральной задачи (0.6) - (0.8) при п — т не полна с весом хтут в пространстве г (*)> причем размерность дефекта равна бесконечности.
Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в эллиптической части
Система собственных функций спектральной задачи TN2x полна с весом хтут в пространстве L2(G+) и не полна с весом хтут в пространстве L2(G), причем размерность дефекта равен равна бесконечности.
Для уравнения (0.23) в области G рассмотрена задача (0.24), (0.25), (0.20), (0.27) и (0.32). В классе регулярных решений доказана теорема единственности данной задачи. В случае, когда Г совпадает с нормальной кривой Го и п — т, Ь — а1 ", аналогично 3.3, при некоторых ограничениях на граничную функцию 5ж[и]р0 = и2( р), 0 ір 7г, получены представление решения задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи TN2x.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Найдены собственные значения и построена соответствующая система собственных функций для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения; показано, что система собственных функций не полна с весом в L2 в смешанной области.
2. Найдены собственные значения и построена система собственных функций для оператора смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения; доказано, что система собственных функций полна с весом в ч в области эллиптичности и не полна с весом в Li в целом в смешанной области.
3. Построены решения краевых задач типа Трикоми и Трикоми - Неймана для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения.
4. Доказаны теоремы единственности регулярных решений краевых задач с различными граничными условиями при произвольной эллиптической границе для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения типа. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44], [62] - [66]. Работа [44] выполнена в соавторстве с научным руководителем Сабитовым К.Б., которому принадлежит постановка задачи и идеи доказательства.
Автор выражает сердечную признательность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору, чл. - корр. АН РБ Камилю Басировичу Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы и постоянное внимание к работе.
Как известно по теореме Ломмеля [8, с. 102] из теории бесселевых функций Ju(z) при v — 1 имеет только вещественные нули. В нашем случае
У = 2pk, — у/ім\ + {p + q}2 0. Поэтому равенство (1.41) имеет место при А 0. Обозначим через a i -1 - ый корень уравнения (1.41). Тогда Afc?/ — of. {. Итак, найдены собственные значения X i спектральной задачи как корни уравнения (1.41). Теперь подставив полученные собственные значения в равенства (1.14), (1.20) и (1.21), получим систему собственных функций спектральной задачи (1.2)— (1.6)
Задача (2.2) — (2.6) решается так же методом разделения переменных, полученное многообразие частных решений уравнения (2.1) в областях G+ и G- совпадает соответственно с многообразием частных решений уравнения (1.1) в областях D+ и D\ . Удовлетворяя решения (1.14) и (1.20) граничному условию и(0 + 0,у) — 0, 0 у /З1 3, и условиям склеивания (1.22), (1.24), найдем значения р для спектральной задачи Т\х Следовательно, сумма ряда в формуле (2.38) непрерывна, тогда и функция /+ непрерывна в замкнутой области G. Подставляя выражения функций /+1 Л и учитывая лемму 2.2 , имеем J = 0.
Поскольку существует бесконечномерное подпространство функций F(x,y) L2(D) и F(x,y) ф 0, тогда размерность дефекта равна бесконечности. Для уравнения (2.1) в области G поставим следующую спектральную задачу. Задача Т2Х, Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х:у), удовлетворяющие условиям (2.2) — (2.5) и
Задача Г2л решается так же методом разделения переменных, полученное многообразие частных решений уравнения (2.1) в областях G+ и 7_ совпадает соответственно с многообразием частных решений уравнения (1.1) в областях D+ и D\ . Удовлетворяя решения (1.14) и (1.20) граничному условию (2.39) и условиям склеивания (1.22), (1.24), найдем значения р для спектральной задачи Т2х Рк2 = к2 + ф + 1/4, к2 = 0,1,2,... (2.40) где 2/ = yVjta+V 0.
Собственные значения А&2); задачи Т2\ определяются как корни уравнения WVX) = 0-Теперь подставив найденные собственные значения в равенства (1.14) и (1.20), получим систему собственных функций спектральной задачи Т2х:
Построение собственных значений и собственных функций в смешанной области
Отсюда при выполнении (3.20) вытекает справедливость условия (3.22), следовательно, для уравнения (3.1) при т — п и условии (3.20) имеет место принцип экстремума в гиперболической области.
Лемма 3.4. Пусть: 1) и— регулярное решение системы уравнений (3.8) при т п 0 в области G ; 2) и(х, у) удовлетворяет условию (3.2) и равна нулю на ОС\\ 3) т — п 0, Ai 0 гг выполнено (3.20). ТЙЙ Й тахи(а;,з/) _ G достигается па Г U ОВ. Доказательство. Пусть maxw(a;,i/) — u(Q), тогда в силу леммы 3.3 имеем Q Є G+. В силу принципа максимума для эллиптических систем уравнений модуль и(ж,у) не может в G+ достигать своего максимума, т.е. Q G+. Значит Q eTUOAUOB. Пусть Q Є ОА, т.е. Q = (ж,0), 0 Ш а. В этой точке из гиперболической области G- lim и(ж,у)у 0, что в силу леммы 3.2 противоречит неравенству (3.19). Следовательно, точка QefliOB.
Теорема 3.1. Если в классе регулярных решений уравнения (1.1) существует решение задачи (3.2) - (3.5), то оно единственно в случаях 1) Р Я. (п т) и условии (3.9); 2) р = q (п — т) и условии (3.20). Доказательство. Пусть и - решение однородной задачи 71.
1. Пусть р q (п т). Рассмотрим уравнение (3.1) в области G+. Вырежем из области G+ круги радиуса S с центрами соответственно в точках и оставшуюся часть области обозначим G+. По лемме 3.1 первый интеграл, стоящий слева в равенстве (3.26), не отрицателен, второй интеграл по области G+ также неотрицателен, когда Аі 0. Из (3.26) следует, что их — иу = 0 в области б?+, то есть и = const — С в G+, Поскольку и = 0наГии ?((?+), получаем, что С = 0. Значит и(ж, у) = 0 в замкнутой области G+, тогда w(a;,0) — иу(х, 0) = 0. В силу единственности решения задачи Коши или Дарбу для уравнения (3.1) в области G- получаем, что и(х,у) = 0 в области G_.
Поскольку и — 0 на Г U ОВ, то получим и(х, у) = 0 в области G. Отсюда вытекает единственность решения задачи Ті в классе регулярных в области G решений уравнения (3.1), если выполнено условие (3.20). Теорема доказана. \
Условия (3.33) и (3.38) будут выполнены, если fi( p) Є С1[0,7г/2], функция fi( -p) в малой окрестности точек р — 0 и (р — 7г/2 дважды непрерывно дифференцируема, Л(0) - 0, /{(0) = 0, Л(тг/2) - 0, /(тг/2) = 0, р Є ((1 — g)"1, (1 — 2g) l). Поэтому ряд (3,34) сходится равномерно. Биор-тогональная система 1 (0) равномерно ограничена по &ь следовательно коэффициенты fkx равномерно ограничены по к\. Используя асимптотическое поведение функции при v — +оо и фиксированном ж, получим
По признаку Вейерштрасса ряд (3,28) при г 1 сходится равномерно. Так же равномерно при г г$ 1 сходятся ряды, полученные путем дифференцирования ряда (3.28) по переменным г и (р любое натуральное число раз. Поэтому ряд (3,28) является решением задачи Ті в области G+. Решение задачи 71 для уравнения (3.1) в гиперболической области будем v H i-e Л 3 ЪРЪ (VA) Щ - q)T(pkl + 1)Г(1 -q-Pkl) искать в виде суммы ряда: Коэффициенты ряда (3.43) равномерно ограничены по к\, функция 9( ) = (1- + ,5 + ,12 + 11 1 равномерно ограничена по к\ при 9 0. Используя (3.39), получим, что ряд (3.43) мажорируется гармоническим рядом а 2ч+2 кі} 0 х 1. Таким fci=0 образом получили, что ряд (3.43) равномерно сходится при 0 ОиО ег 1. Так же равномерно при сг 7о 1и# 0 сходятся ряды полученные путем дифференцирования ряда (3.43) по переменным а и в любое натуральное число раз. Поэтому ряд (3.41) является решением задачи Ті в области G-.
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 3.2. Если ф\(ф) Є Са[0,тг/2]. функция f\{ p) в малой окрестности точек = 0 и 1/з = 7г/2 дважды непрерывно дифференцируема, /i(0) = Л(0) — /і(тг/2) = 1[{ТТ/2) = 0. выполнено условие (3.37), п = щ то существует единственное решение задачи (3.2) — (3.6) в области G и оно определяется формулами (3.28) и (3.41) соответственно в области G+ и (5_? где коэффициенты / определяются по формулам (3.35).
Исследование на полноту в Li системы собственных функций задачи Гц
По теореме Ломмеля [8, с. 102] уравнение (3.57) при / 0 имеет только счетное множество положительных корней. Обозначим через Xkui І- ьій корень уравнения (3.57), соответствующий значению /. Тогда получим, что значения А&ь/ и соответствующие им функции (2.8) и (2.9) при А = А удовлетворяют всем условиям задачи TN\X. Итак, справедлива
Теорема 3.5. Собственными значениями спектральной задачи TNix являются положительные корни А ь; уравнения (3.57), где р = &i —д/2 + 3/4 ul Є N, k\ = 0,1,2,.. . Соответствующие собственные функции в областях G+ и G- определяются по формулам (2.8) и (2,9).
Построенная система собственных функций исследована на полноту в пространстве L2{G).
Теорема 3.6. Система собственных функций спектральной задачи TNix полна с весом хтут в пространстве L2{G+) и не полна с весом хтут в пространстве (G), причем размерность дефекта равна бесконечности.
Доказательство проводится аналогично доказательству теорем 2.2 и 2.3. 2. Краевая задача TN\X В области G для уравнения (3.1) поставим следующую задачу. Задача TJVi- Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (3.2), (3.3), (3.5), (3.6) и W ,»)] = -«-g=«.(«.»)"ar, (3.58) где и}\(х,у) - заданная достаточно гладкая функция.
Теорема 3.7. Если в классе регулярных решений уравнения (1.1) существует решение задачи (3.2), (3.3), (3.5), (3.6) и (3.58), то оно единственно в случаях 1) и 2) теоремы, 3.1.
Далее доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1. 2. Пусть р = q (т — я). Докажем, что и = 0 в G+. По лемме 3.4 максимум модуля maxu(:E,7/) = \u(Q)\ системы уравнений (3.8) достигается на Г U
ОВ. Аналогично (см. теорема 3.3, случай, когда р = q) можно показать, что Q . ОВ. Пусть Q Є Г, тогда в силу граничного принципа экстремума для эллиптических систем уравнений, если и ф const в G+, то Щи( 2)] 0, что противоречит условию (3.55).
Можно показать, что Q ф В. Если точка Q = В, то на основании работы [42] снова получится противоречие с однородными граничными условиями на ОВ и Г. Следовательно, и(х,у) = const в G. Теорема доказана.
Доказательство существования решения задачи TNi проведем для случая, когда кривая Г = Г0 : {ха/а)2 + {у /р)2 = 1, п = т, Ь = а1/".
После замены cos — z, cos г — t уравнение (3.63) примет вид . . л/2/тг /1 f2i(arccost)d wi(z) то решением интегрального уравнения Абеля является функция [49, с. 11] S2i(arccosz)
Ряд в левой части равенства (3.64) сходится равномерно на [0,7г] к функции Оі(-0), если она принадлежит классу Гёльдера Я7[0,7г], 7 Є (0,1], Ui{0) — О, Пі(7г) = 0. Если р 1/(1 — g), wi (arccosv) Є р[0,7г], то в силу теоремві [49, с 65] функция Qi(arccosu) Н1 УР[0,ТГ}.
Если ш\{ір) Є С1 [0,7г/2], функция fi{ p) в малой окрестности точки р — 7г/2 дважды непрерывно дифференцируема, wi(0) = 0, cc»J_(0) — 0, ші(тг/2) — О, wi(ff/2) - 0, Ш; (тг/2) = 0, Ц"(тг/2) - 0, рє((1- ,(1 - 2 ), то ряд (3.64), являющийся биортогональпым разложением функции І1\(ф) по системе синусов {sin[(fci - g/2 - 5/4)u + f]}g=1 = {cos[(fci - g/2 - l/A)v]}fi=0) сходится равномерно, при этом коэффициенты Ukx вычисляются по формулам [26]: шъ = \1\щ1ъ,ъ{вЩВ)М (3.65) о в fii(0) = sin0 f u[( - \{cost cos9)qdt, о биортогональыая система h O) выражается (3,36), причем выполнено условие (3.37). Решение уравнения (3.1) в гиперболической области будем искать в виде суммы ряда: h , ью гй - «)г(«.+w -«- Л.) / J.20 \- -«i / j 2a _ 2a \ ХЫ 2«) F + №,2+pfcl,l + 2pfcl;- J, (3.66) где ujki - коэффициенты, найденные из эллиптической области. Таким образом, справедлива следующая
Теорема 3.8. Если oJ\(ip) Є Cl[0, тг/2], функция toi( p) в малой окрестности точки ip = 7г/2 двао/сды непрерывно дифференцируема, і(О) — 4(0) — u)i(ir/2) = CJ[(TT/2) — CJ"(7T/2) — иі" (7г/2) — 0, выполнено условие (3.37), п = m, mo существует единственное решение задачи (3.3), (3.5), (3.6) и (3.58) б области G и оно определяется формулами (3.60) и (3.66) соответственно в области G+ и G-, где коэффициенты 0 определяются по формулам (3.65). 3.4. Задача TN2 1. Спектральная задача T7V2A
Для уравнения (2.1) в области G (см. 2.1) поставим следующую спектральную задачу Задача TN2x. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям: и(х,у) Є C{G) П C[{G) Г) C2(G+ U G-), Lu(x, y) 0, (x, y) G+ U G_, u{x, y) - 0, (xt у) Є ОСІ U OB, Проводя аналогичные рассуждения (см. 2.3, 3.3) получим
Теорема 3.9. Собственными значениями спектральной задачи TN2x являются положительные корни Xk2,i уравнения (3.57), где pk2 = &2 + ?/2-Ы/4 и І Є N, k2 — 0,1,2,... . Соответствующие собственные функции в областях G+ и G- определяются по формулам (2.41), (2.42). Построенная система собственных функций исследована на полноту в пространстве L2(G).
Теорема 3.10. Система собственных функций спектральной задачи TN2x полна с весом хтут в пространстве L i{G+) и не полна с весом хтут в пространстве bx{G), причем размерность дефекта равна бесконечности.
В области G для уравнения (3.1) поставим следующую задачу. Задача TN2. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (3.2), (3.3), (3.5), (3.44) и U U (ill (71L ОТ .[Ф,У)] = vnxTs-xmTyTs =ш у) иа г где и)2(х,у) - заданная достаточно гладкая функция.
Теорема 3.11. Если в классе регулярных решений уравнения (1.1) существует решение задачи TN2, то оно единственно в случаях 1) и 2) теоремы 3.1.
Доказательство теоремы аналогично доказательству теорем 3.3 и 3.7. Доказательство существования решения задачи TN2 проведем для случая, когда кривая Г = Го : (ха/а)2 + (у /Р)2 — 1, п — т, Ь — а1 а. Используя функции щ2(х, у), решение задачи TN2 в области G+ при А / А&2];, где \k2!t -собственные значения спектральной задачи TN2x будем искать в виде суммы равномерно сходящегося на G+ ряда (3.45).
Задача TNX
Сабитовым К.Б., Гималтдиновой (Карамовой) А.А., Биккуловой (Шара-футдиновой) Г. Г. [38] установлены принципы экстремума для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области при всех п.гт 0, n + m 0, А = 0 и получены утверждения о единственности решения краевых задач типа Трикоми в классе регулярных и обобщенных решений уравнения (0.5) при произвольной эллиптической границе. В работе Сабитова К.Б., Биккуловой (Шарафутдиновой) Г,Г. [43] доказано существование регулярного решения задачи Трикоми для уравнения (0.5), в случае, когда А = 0 и "нормальная" кривая уравнения целиком содержится в эллиптической части области.
Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение спектральных задач, которые позволяют строить решения краевых задач в специальных областях в виде сумм биортогональ-ных рядов. Моисеевым Е.И. [27] -[29] были решены спектральным методом задачи Трикоми и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике.
Сабитов К.Б., Гималтдипова (Карамова) А.А. [40] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Ими были изучены спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения и показаны применения при построении решения задачи Трикоми, а в работе [41] исследована краевая задача для уравнения (0.5) при х 0, п = т 0, А — 0. На основании функциональных соотношений между следом решения и следом нормальной производной решения задачи Дарбу на линиях изменения типа краевая задача сводилась к новой нелокальной эллиптической задаче. В случае, когда область эллиптичности является четвертью круга с центром в начале координат, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи.
Задачи на собственные значения и краевые задачи для уравнения (0.5) ранее при А ф 0 не были изучены.
Целью данной диссертационной работы является исследование следующих вопросов:
1. Нахождение собственных значений и собственных функций спектральной задачи для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями степенного вырождения и исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве Li 2. Нахождение собственных значений и собственных функций спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения с различными граничными условиями па эллиптической границе; исследование построенных систем собственных функций на полноту в Li,
3. Построение решений задач Трикоми и Трикоми - Неймана для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения методом рядов по собственным функциям.
4. Обоснование единственности регулярных решений поставленных краевых задач с различными граничными условиями для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения.
Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. найдены собственные значения и собственные функции спектральной задачи для уравнения (0.5) в области D, ограниченной "нормальной" кривой Го : (ха/а)2 + (у13/(З)2 — 1, лежащей в первой четверти х,у 0 с концами в точках А(а1 а,0) и Б(0,/31/,,й), характеристиками ОС\, СіА,ОС2иС2В уравнения (0.5), где (9(0,0), Сх {xc ycj , С2(хС2,ус2), где xCl = (aV i/2)-, УСі = -(№1 12) , хСї = -( / /2)% ус2 = {Р 1/а/2)К a = (m + 2)/2, /3 = (n + 2)/2.
