Содержание к диссертации
Введение
1 Проблемы исследования движения неуправляемых наноспутников 15
1.1 Классификация спутников. Особенности наноспутников. 15
1.2 Движение неуправляемых наноспутников под действием моментов внешних сил. 19
1.3 Задача обеспечения аэродинамической ориентации продольной оси неуправляемого наноспутника 23
2 Математические модели движения неуправляемого наноспутника на низких круговых орбитах 26
2.1 Системы координат и матрицы перехода 26
2.2 Силы и моменты, действующие на наноспутник при движении на низких круговых орбитах 2.2.1 Определение аэродинамических характеристик с учётом характера взаимодействия молекул газа с поверхностью наноспутника 32
2.2.2 Определение аэродинамических характеристик для наноспутников стандарта CubeSat 37
2.3 Уравнения движения 47
2.3.1 Уравнение плоского движения под действием гравитационного и восстанавливающего аэродинамических моментов 49
2.3.2 Уравнения пространственного движения на высотах, где аэродинамический момент является преобладающим 50
3 Исследование плоского углового движения относительно центра масс наноспутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов 52
3.1.1 Невозмущённое движение 52
3.1.2 Возмущённое движение 54
3.2 Анализ изменения характера плоского углового движения наноспутника с бигармонической моментной характеристикой 60
4 Формирование требований к проектным параметрам и начальным условиям углового движения для обеспечения аэродинамической ориентации 67
4.1 Детерминированная постановка задачи 67
4.2 Вероятностная постановка задачи
4.2.1 Плоское угловое движение 73
4.2.2 Пространственное движение 84
4.3 Методика исследования динамики неуправляемого динамически симметричного наноспутника 97
Заключение 100
Список использованных источников
- Движение неуправляемых наноспутников под действием моментов внешних сил.
- Определение аэродинамических характеристик с учётом характера взаимодействия молекул газа с поверхностью наноспутника
- Анализ изменения характера плоского углового движения наноспутника с бигармонической моментной характеристикой
- Методика исследования динамики неуправляемого динамически симметричного наноспутника
Движение неуправляемых наноспутников под действием моментов внешних сил.
Исследованию динамики движения неуправляемых спутников посвящено большое количество работ. Основополагающие вопросы, связанные с анализом движения спутников под действием сил различной природы рассмотрены в работах: Д. Е. Охоцимского, В. А. Ярошевского, В. В. Белецкого, И. А. Нейштадта, В. В. Сазонова, С. А. Мирера, М. Ю. Овчинникова, В. А. Сарычева, В. С. Асланова и др.
Монография В.В. Белецкого [16] посвящена исследованию движения спутника относительно центра масс под действием моментов гравитационных, магнитных, аэродинамических сил и моментов сил светового давления.
В книге [17] изложена теория вращательного движения искусственного спутника Земли в её магнитном поле при взаимодействии с собственным магнитным полем спутника. Анализируются эффекты магнитной пассивной стабилизации, резонансные и не резонансные движения. Результаты, полученные в данной монографии легли в основу большого количества работ М. Ю. Овчинникова, среди которых есть работы [18-20] посвящённые методам пассивной магнитной ориентации и стабилизации наноспутника. Такие исследования необходимы для проведения экспериментов, которые связаны с изучением ионосферы, радиационных поясов Земли, солнечного ветра в магнитосфере и т.д., поэтому в данных экспериментах желательна ориентация наноспутника по геомагнитному полю. Использование магнитного поля Земли для пассивной ориентации эффективно при движении наноспутника на тех орбитах, где действие магнитного момента является преобладающим.
В работе В. В. Белецкого [21] изложена теория относительного движения спутника в гравитационном поле. Системы пассивной гравитационной ориентации и стабилизации получили наибольшее распространение среди систем стабилизации и ориентации искусственных спутников с помощью моментов внешних сил. Первая модель гравитационной стабилизации искусственных спутников и исследование динамики этой системы приведены в работах Д. Е. Охоцимского и В. А. Сарычева [22, 23], которая стала основой многих пассивных систем ориентации наноспутников, использующих гравитационное поле Земли для создания восстанавливающего момента. Использование гравитационного момента для пассивной стабилизации и ориентации эффективно на спутниках в таких экспериментах, в которых важно чтобы спутник постоянно был обращён одной стороной к Земле (спутники связи, метеорологические спутники). В статье В. А. Сарычева [24] приведён обзор работ, посвящённых разработке пассивных систем гравитационной ориентации спутника.
При движении на низких околоземных орбитах там, где аэродинамический момент является преобладающим, более эффективно использовать аэродинамическую систему ориентации. Такая система ориентации необходима для решения задач, связанных, например, с исследованием верхних слоёв атмосферы. Основополагающие вопросы, связанные с исследованием движения спутника под действием аэродинамического момента, рассмотрены в работах В. А. Ярошевского, Г. Е. Кузмака [25-28]. Большое количество работ посвящено аналитическим методам исследования изменения характера движения спутника, который во многом определяется формой зависимости восстанавливающего аэродинамического момента от угла атаки. Данная зависимость является нечётной функцией и в общем случае аппроксимируется нечётным рядом Фурье по углу атаки. В работах В. С. Асланова, И. А. Тимбая, Е. А. Кеньшова, А. С. Ледкова, Е. В. Бариновой исследованы случаи возмущённого движения спутника под действием аэродинамического момента, который описывается нечётным рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками [29-32], тремя первыми гармониками [33-36], с двумя первыми синусоидальными и первым косинусоидальным членами [37]. При этом действием гравитационного момента пренебрегается.
Наибольший интерес представляет изучение движения относительно центра масс неуправляемого наноспутника на высотах, где гравитационный и аэродинамический моменты оказывают одинаковое влияние. В этом случае, при отклонении наноспутника от положения равновесия гравитационный момент пытается совместить продольную ось наноспутника с радиус-вектором центра масс, стремясь придать ему положение гравитационной устойчивости, в то время как аэродинамический момент пытается совместить продольную ось с вектором скорости набегающего потока, придавая наноспутнику положение аэродинамической устойчивости. Таким образом, возникает третье «промежуточное» устойчивое положение равновесия, что приводит к возникновению ряда новых случаев движения наноспутника.
Возмущённое движение наноспутника под действием гравитационного и восстанавливающего аэродинамического моментов описывается системой нелинейных уравнений с переменными коэффициентами, общее решение которой получить не представляется возможным. Найти приближённые аналитические решения этих уравнений возможно только при использовании тех или иных допущений. Основные результаты исследований в этой области, приведены в работах В. В. Белецкого, В. А. Сарычева, С. А. Мирера, И. А. Нейштадта, В. В. Сазонова и др. В работе [16] методом фазовой плоскости исследованы случаи плоского углового движения наноспутника на низких круговых орбитах под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, имеющего синусоидальную зависимость от угла атаки, при этом изменением плотности атмосферы в процессе движения пренебрегается. В работах [38-41] исследуется динамика вращательного движения осесимметричного спутника на круговой орбите под действием гравитационного и аэродинамического моментов. В зависимости от расположения центра давления определены положения равновесия спутника, а также условия их существования. При этом вопрос, связанный с вероятностью попадания в колебания относительно того или иного положения равновесия по углу атаки при снижении с орбиты не рассматривается.
Анализ показывает, что в известной литературе не исследованы случаи плоского движения относительно центра масс неуправляемого наноспутника при снижении с низких круговых орбит под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который описывается нечётным рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками.
В диссертационной работе рассматривается плоское возмущённое движение относительно центра масс неуправляемого динамически симметричного наноспутника под влиянием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который описывается нечётным рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками. Получены формулы, позволяющие определить высоты полёта, на которых происходит изменение характера углового движения наноспутника, а также формулы для вычисления вероятности попадания в колебания относительно того или иного положения равновесия по углу атаки.
Определение аэродинамических характеристик с учётом характера взаимодействия молекул газа с поверхностью наноспутника
Значение коэффициента осе 1 зависит от физических свойств газа и стенки. Его величину определяют только экспериментально. Исследования показывают, что значения коэффициента аккомодации для воздуха, взаимодействующего с алюминием и сталью, составляют от 0.87 до 0.97 [51].
Существует множество моделей взаимодействия молекул с поверхностью. В работах [52-53] приведён обзор и сравнение некоторых моделей. Одной из наиболее распространённых моделей взаимодействия молекул с поверхностью является модель зеркально-диффузного отражения Максвелла. Она основана на предположении того, что часть молекул а, падающих под углом 0 к поверхности, при столкновении с поверхностью отражается диффузно с распределением Максвелла и температурой Тг, отличной от температуры поверхности Т , а остальные молекулы 1-а - отражаются зеркально под
Диффузно отражённая часть соответствует передаче тангенциальной составляющей импульса между молекулами и поверхностью. Остальная часть 1-а соответствует передаче только нормальной составляющей импульса. Однако, существует несколько экспериментальных доказательств того, что ситуация является более сложной и одного параметра а не достаточно, чтобы охарактеризовать адекватным образом передачу нормального и тангенциального импульса. Для того, чтобы адекватно определить касательные и нормальные компоненты аэродинамических сил, действующих на тело, вводят два коэффициента аккомодации нормального ап и тангенциального аг импульса следующим образом [55]: величины тангенциальной составляющей импульса падающих (/) и отражённых (г) потоков за единицу времени на единицу площади; р , р -величины нормальной составляющей импульса падающих и отражённых потоков за единицу времени на единицу площади; р - величина нормальной составляющей отражённого потока, который бы уходил с распределением Максвелла и температурой поверхности Т . Значения коэффициентов ап, ат в выражениях (2.4) зависят от физических свойств газа и поверхности наноспутника (материала и рельефности). Величину коэффициентов определяют экспериментально. В работе [56] экспериментально определены значения коэффициентов ап и ат для поверхностей из натурных материалов, используемых в наружных покрытиях спутников, при различных углах падения молекул 0 в условиях сходных с условиями полёта на орбитах высотой 250-300 км. Результаты экспериментов показали, что для большинства материалов значения коэффициентов ап и ат лежат в диапазоне от 0.8 до 1.
Для наноспутников на высотах от 200 км и более длина свободного пробега молекул значительно больше характерного размера наноспутника, а значит можно полагать, что набегающий на поверхность наспутника поток является свободномолекулярным. Считая, что характер взаимодействия молекул с поверхностью - зеркально-диффузный, то значения нормального Рп и касательного Рт напряжений, действующих на единицу площади dS равны Рт = qaT2siny/j cosy/І, (2.6) где ш - это угол между вектором нормали к поверхности и направлением набегающего потока; ап, ат - коэффициенты аккомодации нормального и касательного импульсов; / - показатель адиабаты воздуха; t =Т /Т0 температурный фактор, Т0 - температура при адиабатическом торможении.
Показатель адиабаты для воздуха на высотах 200-300 км равен 1.36-1.32. Значения температурного фактора tw могут изменяться от 0.001 до 1 [58]. При таких значениях величин ап, ат и tw взаимодействие молекул с поверхностью наноспутника является не абсолютно неупругим.
С помощью формул (2.5) и (2.6) определяются локальные характеристики Р и Р . Интегрируя их по поверхности наноспутника, обтекаемой потоком газа, можно вычислить аэродинамические характеристики наноспутника. В случае когда ап = 1, ат = 1, tw = 0, то есть когда пренебрегается действием отражённых молекул, взаимодействие молекул с поверхностью наноспутника является абсолютно неупругим (все молекулы полностью теряют свою энергию при столкновении с наноспутником и не отражаются). В этом случае коэффициенты нормальной сп и тангенциальной ст составляющих аэродинамической силы определяются проекцией площади наноспутника на плоскость перпендикулярную вектору скорости набегающего потока и могут быть вычислены по «упрощённым» формулам: сп = c0S(an,(pn)sin(an), ст = c0S(an,(pn)cos(an), (2.7) гдес0 - постоянный коэффициент, зависящий от характера взаимодействия молекул набегающего потока газа с поверхностью наноспутника, полученный при ап =0 и рп =0 (в случае абсолютно неупругого удара с0 =2), S(an,(pn) площадь проекции наноспутника на плоскость перпендикулярную направлению вектора скорости центра масс наноспутника, отнесённая к его характерной площади S.
Для проведения аналитических исследований движения наноспутника относительно центра масс, необходимо аналитическое представление аэродинамических коэффициентов. В связи с этим часто прибегают к аппроксимации коэффициента восстанавливающего аэродинамического момента та(ап, рп) степенными или тригонометрическими рядами. 2.2.2 Определение аэродинамических характеристик для наноспутников стандарта CubeSat.
Анализ изменения характера плоского углового движения наноспутника с бигармонической моментной характеристикой
С помощью аналитических выражений, полученных в 3.1, проведём анализ изменения характера плоского углового движения наноспутника при снижении с круговой орбиты под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который описывается нечётным рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками. Рассмотрим движение с высоты H0 =300 км. 1) Определяем коэффициент восстанавливающего аэродинамического момента наноспутника методом, изложенным в пункте 2.2.1. Аппроксимируем его тригонометрическим рядом Фурье. Получаем коэффициенты a 1" и a2 уравнения (2.24). 2) Зная инерционно-массовые характеристики наноспутника и начальную высоту полёта H0, вычисляем коэффициенты а и b по уравнениям (2.24) и коэффициент с. Пусть значения коэффициентов a = 1,6-10" с-2 , b = 5,8-10" с-2 , c = -1,0 -10 с . 3) Из соотношения коэффициентов а, b и с определяем вид фазового портрета на начальной высоте движения. В нашем случае это фазовый портрет, изображённый на рисунке 3.3. 4) Строим фазовый портрет (рисунок 3.4). Пусть наноспутнику придали начальную угловую скорость а0 = 0,04 град/с и начальный угол атаки а0 =20. На фазовом портрете обозначим это точкой. По формуле (3.2) и начальным условиям движения определяем значение интеграла энергии E0 на начальной высоте. Подставляя E0 в уравнение (3.2) строим кривую а(а), проходящую через точку (а0, а0) (рисунок 3.4 пунктирная линия). Как видно, при выбранных начальных значениях угла и угловой скорости на высоте 300 км наноспутник будет совершать колебания относительно угла атаки а = 0 с амплитудой аm =151, которая определяется из решения уравнения (3.2) при а = 0. Такое движение наноспутника соответствует движению фазовой точки в колебательной области A3, изображённой на рисунке 3.3.
Фазовый портрет для наноспутника со значениями коэффициентов a = 1,6 10" , b = 5,8-10" , c = -1,0 10" на высоте 300 км 5) Вычислим высоты, соответствующие переходам между фазовыми портретами. Высота перехода из фазового портрета, изображённого на рисунке 3.3, в фазовый портрет, изображённый на рисунке 3.1, вычисляется по формуле (3.4) и равна 7/on1 _ on3 = 282 км. Высота перехода из фазового портрета, изображённого на рисунке 3.1, в фазовый портрет, изображённый на рисунке 3.2, вычисляется по формуле (3.3) и равна ФШ ФП2 = 270 км. На рисунке 3.5 показано изменение характера движения наноспутника в процессе снижения с круговой орбиты. Пунктирной линией отмечены высоты перехода между фазовыми портретами.
Изменение характера плоского углового движения наноспутника в процессе снижения с круговой орбиты
Далее будем рассматривать движение наноспутника в рамках каждого из полученных фазовых портретов.
Движение в фазовом портрете, изображённом на рисунке 3.3 1) Вычисляем значение 0/ по формуле (3.15) для (b+c) 0. По знаку величины 0; определяем направление движения фазовой траектории. В нашем случае фазовая траектория «выталкивается» из внутренней области во внешнюю, следовательно, должен быть переход из колебания относительно положения равновесия по углу атаки а = 0 во вращение. 2) По начальным условиям движения вычисляем значение интеграла действия I0 по формуле (3.5) или по аналитическим выражениям для интеграла действия, приведённым в [29]. В нашем случае интеграл действия равен I0 = 0,0041. 3) Решая трансцендентное уравнение (3.6) для (b+c) 0, определяем высоту, соответствующую изменению характера движения наноспутника. На интервале 300-282 км уравнение не имеет решения, значит перехода во вращение в рамках фазового портрета, изображённого на рисунке 3.3, не будет. Переходим к исследованию движения на интервале 282-270 км, которому соответствует движение фазовой траектории в фазовом портрете, изображённом на рисунке 3.1. Движение в фазовом портрете, изображённом на рисунке 3.1 1) Из решения трансцендентного уравнения (3.6) для (b+c) 0, определяем высоту H = 274 км, которая соответствует изменению характера движения наноспутника - переход из колебательного движения относительно положения равновесия по углу атаки а = 0 во вращательное движение. 2) Вычисляем значение величины &l по формуле (3.15) для (b+c) 0. По знаку величины &l определяем направление движения фазовой траектории. В нашем случае фазовая траектория «выталкивается» из внутренней области во внешнюю, а значит перехода в колебания в рамках фазового портрета, изображённого на рисунке 3.1, не будет. Переходим к исследованию движения наноспутника на интервале 270-250 км, которому соответствует движение фазовой траектории в фазовом портрете, изображённом на рисунке 3.2. Движение в фазовом портрете, изображённом на рисунке 3.2 1) Из решения трансцендентного уравнения (3.10), определяем высоту H =261 км, которая соответствует изменению характера движения наноспутника - переход из вращательного движения в колебательное движение относительно положения равновесия либо по углу атаки а = 0, либо по углу атаки а = 180. 2) На рисунке 3.6 приведены две траекторий изменения характера плоского углового движения наноспутника с различными начальными значениями угловой скорости. Сплошная линия построена при начальном значении угловой скорости а0 = 0,03896 град/с. В этом случае наноспутник на высоте 261 км перейдёт в колебательное движение относительно положения равновесия по углу атаки а = 180 (донной частью вперёд). Пунктирная линия построена при начальном значении угловой скорости а0 = 0,03893 град/с. В этом случае наноспутник на высоте 261 км перейдёт в колебательное движение относительно положения равновесия по углу атаки а = 0 (носовой частью вперёд).
Как видно из рисунков 3.6-3.8 при различных начальных значениях угловой скорости наноспутник на высоте 261 км может совершать колебания либо носовой частью вперёд, либо донной. При отделении наноспутника начальные значения угла и угловой скорости носят случайный характер. Определить вероятность попадания в колебания относительно того или иного положения равновесия по углу атаки можно по формуле (3.11) с учётом P 1 + P2 =1 и значений величин 0l 1 и 0l , вычисленных по формулам (3.17) и
Таким образом, вероятность попадания в колебания относительно положения равновесия по углу атаки а = 0 равна 32%, а в колебания относительно положения равновесия по углу атаки а = 180 - 68%.
Значения высот перехода, полученные по аналитическим выражениям, с точностью до периода колебаний совпадают с результатами численного интегрирования уравнения (3.1). Значения вероятности перехода в колебания относительно того или иного положения равновесия, полученные по аналитическим выражениям, совпадают со значениями вероятности, полученной путём многократного численного интегрирования дифференциального уравнения (3.1) при незначительном варьировании начальных условий (значения а0 задавались равномерно из промежутка [0,039; 0,045]).
Таким образом, полученные в данной главе формулы позволяют определить высоты полёта, на которых происходит изменение характера углового движения наноспутника под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, имеющего вид бигармонического ряда по углу атаки, а также вероятности попадания в ту или иную колебательную область без применения численного интегрирования и статистических расчётов.
Зная, как будет меняться характер движения наноспутника при снижении с орбиты, можно определить область начальных условий движения так, чтобы в начальный момент времени обеспечить аэродинамическую ориентацию продольной оси неуправляемого наноспутника.
Методика исследования динамики неуправляемого динамически симметричного наноспутника
Усредняя аэродинамический момент по углу собственного вращения и аппроксимируя его синусоидальной зависимостью от угла атаки, изменение пространственного угла атаки наноспутника можно описать следующим уравнением (2.25): a + (G - R cos a)(R - G cos a) / sin3 a - a(H) sin a = 0. Изменение высоты круговой орбиты вследствие сопротивления атмосферы происходит очень медленно, и при рассмотрении углового движения наноспутника на одном или нескольких витках можно принять Н = const. В этом случае для системы (2.25) имеет место интеграл энергии: а2/2 + (R2 + G2 - 2RG cos а) /(2 sin2 а) + a cos а = Е. (4.6) Значение Е определяется по начальным условиям, при этом сс0 = со cos p0 + coz sin /90. Максимальное значение угла атаки определяется из уравнения (R2 +G2 - 2 RG cos а max)/(2 sin2 аmax) + a cos аmax - Е = 0, (4.7) которое следует из интеграла энергии (4.6) при а = 0.
Для определения функции распределения максимального угла атаки наноспутника было проведено статистическое моделирование (10000 численных экспериментов) по соотношениям (4.6) и (4.7). Предполагалось, что компоненты начальной угловой скорости наноспутника независимы и распределены по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и в начальный момент времени продольная ось наноспутника направлена по вектору скорости центра масс. Предполагалось, что начальное значение коэффициента а(Н) - это случайная величина, распределённая равномерно в диапазоне от минимального значения, соответствующего минимальному значению коэффициента нормальной сп аэродинамической силы и ночной плотности атмосферы при минимальной солнечной активности, до максимального значения, соответствующего максимальному значению коэффициента нормальной с аэродинамической силы и дневной плотности атмосферы при максимальной солнечной активности.
На рисунках 4.23-4.40 показано изменение функции распределения максимального угла атаки динамически симметричных наноспутников Cube Sat 1U, 2U, 3U. Функции распределения построены в зависимости от величин среднеквадратичных отклонений составляющих начальной угловой скорости наноспутника: кривая 1 для 3 тю = 3 тю = 2,5 град/с и 3 тю = 0,5 град/с; кривая 2 для 3 тю = 3 тю =1,5 град/с и 3 тю =0,3 град/с; кривая 3 для продольный момент инерции 1Х которого равен 1,66710 кгм . Отношение продольного к поперечному моменту инерции 1х/1п принималось равным 0,6, 0,5 и 0,4, а относительный запас статической устойчивости 0,1 и 0,2. На рисунках 4.23-4.25 графики построены для высоты 245 км. ; і: :: : -:. г.. с .. so 90 атах,град
Функция распределения максимального угла атаки на высоте 245 км для наноспутника CubeSat-1U с отношением моментов инерции 0.4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ат , град Рисунок 4.24 - Функция распределения максимального угла атаки на высоте 245 км для наноспутника CubeSat-1U с отношением моментов инерции 0,5 Рисунок 4.25 - Функция распределения максимального угла атаки на высоте 245 км для наноспутника CubeSat-1U с отношением моментов инерции 0,6 На рисунках 4.26-4.28 графики построены для высоты 330 км.
Функция распределения максимального угла атаки на высоте 330 км для наноспутника CubeSat-1U с отношением моментов инерции 0,4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 атах , град Рисунок 4.27 - Функция распределения максимального угла атаки на высоте 330 км для наноспутника CubeSat-1U с отношением моментов инерции 0,5
Функция распределения максимального угла атаки на высоте 330 км для наноспутника CubeSat-1U с отношением моментов инерции 0,6 На рисунках 4.29-4.34 графики построены для наноспутника CubeSat -2U, продольный момент инерции Ix которого равен 3,310 кгм . Отношение продольного к поперечному моменту инерции Ix / In принималось равным 0,4, 0,3 и 0,2, а относительный запас статической устойчивости 0,1 и 0,2. На рисунках 4.29-4.31 графики град Рисунок 4.29 - Функция распределения максимального угла атаки на высоте 245 км для наноспутника CubeSat-2U с отношением моментов инерции 0,2
Функция распределения максимального угла атаки на высоте 245 км для наноспутника CubeSat-2U с отношением моментов инерции 0,4 На рисунках 4.32-4.34 графики построены для высоты 330 км. 30 4 С :: в: ".. 80 90 ат ,град Рисунок 4.32 - Функция распределения максимального угла атаки на высоте 330 км для наноспутника CubeSat-2U с отношением моментов инерции 0,2 О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 атш , град Рисунок 4.33 - Функция распределения максимального угла атаки на высоте 330 км для наноспутника CubeSat-2U с отношением моментов инерции 0,3