Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Однонаправленные волокнистые композиты, фундаментальные проблемы и возможные способы их решения 10
1.1. Классификация композитных материалов и их применение 10
1.2. Фундаментальные проблемы механики однонаправленных волокнистых композитных материалов и обзор методов их решения 17
1.2.1. Фундаментальные проблемы механики композитов 17
1.2.2. Краткий обзор методов решения некоторых проблем механики волокнистых композитов 27
Глава 2. Основные соотношения теории упругости и подходы, использованные при выполнении работы 39
2.1. Основные соотношения теории упругости гетерогенной анизотропной среды 39
2.2.1. Дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия и определяющие соотношения 40
2.1.1. Эффективные определяющие соотношения и метод прямой гомогенизации для определения эффективных упругих характеристик 42
2.2. Применение метода конечных элементов для решения задач, необходимых для анализа волокнистых композитов 48
2.2.1." Основная концепция метода конечных элементов, построение конечно-элементной модели 49
2.2.2. Решение системы конечно-элементных уравнений 53
2.3. Элементы теории вероятностей и математической статистики, используемые в данной работе при статистическом изучении характеристик композитов 56
2.3.1. Основные используемые при статистическом изучении ОВКМ понятия теории вероятностей и математической статистики 57
2.3.2. Выбор функций плотности распределения вероятностей для стохастической задачи композитных материалов 60
2.3.3. Метод Монте-Карло 62
Глава 3. Определение эффективных упругих характеристик стохастических упругих однонаправленных волокнистых композитов 65
3.1. Эффективные определяющие соотношения и определение эффективных упругих характеристик 66
3.2. Эффективные упругие характеристики композитов 73
3.3. О возможности определения эффективных характеристик стохастических композитов на основе их регуляризованных моделей 86
Глава 4. Метод "локальных гетерогенизации" для восстановления микрона пряжений в однонаправленных волокнистых композитах 92
4.1. Принцип локальности в механики волокнистых композитов 95
4.2. Метод локальных гетерогенизации 101
4.3. О связи между микронапряжениями периодических и непериодических упругих однонаправленных волокнистых композитов 107
Глава 5. Верификация метода "базовых решений" и "регулярных разложений" 117
5.1. Фундаментальные базовые задачи для ячейки периодичности композита 118
5.2. Построение периодических базовых решений для композита и линейная комбинация решений базовых задач 123
5.3. Регулярные разложения и их применение к проблеме гомогенизации периодического композита 129
5.4. Регулярные разложения и их применение к проблеме вычисления микронапряжений в гомогенизированном композите 139
5.5. Численный алгоритм вычисления микронапряжений в периодическом однонаправленном волокнистом композите и его апробация 143
Глава 6. Метод итерирования условий сопряжения 156
6.1. Применение регулярных разложений к формулировке и решению граничной задачи при анализе композитов 156
6.2. Рекомендации к процедуре восстановления микронапряжений для упругих однонаправленных волокнистых композитов 172
Заключение 175
Список литературы
- Фундаментальные проблемы механики однонаправленных волокнистых композитных материалов и обзор методов их решения
- Эффективные определяющие соотношения и метод прямой гомогенизации для определения эффективных упругих характеристик
- Эффективные упругие характеристики композитов
- О связи между микронапряжениями периодических и непериодических упругих однонаправленных волокнистых композитов
Введение к работе
Представленная диссертационная работа посвящена изучению и решению актуального вопроса корректного определения микронапряженного состояния однонаправленных упругих волокнистых композитов с высокой объемной плотностью, как периодических, так и хаотически армированных волокнами.
Актуальность темы исследования. Применение композитных материалов, обладающих высокой удельной прочностью и жесткостью, позволяет в современных машинах и конструкциях снизить материалоемкость и повысить коррозионную стойкость, открывает принципиально новые возможности по оптимальному проектированию и созданию новых конструкций. Современные инженерные подходы к расчету композитов позволяют найти приближенные результаты, аналитические подходы дают точные результаты лишь для периодических структур с достаточно простой геометрией. С развитием вычислительной техники и численных методов, прежде всего, метода конечных элементов (МКЭ), появилась возможность получать решения с высокой степенью точности как в случае макронапряженного состояния, так и в случае микронапряжений в компонентах композитов, которые играют определяющую роль для оценки прочности.
Фундаментальным вопросом механики композитов является вычисление эффективных упругих характеристик. Разработка моделей и методов для определения эффективных упругих характеристик периодических и, особенно, хаотически армированных композитов с высокой объемной концентрацией волокон, по-прежнему остается актуальной задачей механики композитов, которую эффективно можно решить лишь с помощью конечно-элементного (КЭ) моделирования.
За предыдущие десятилетия предложен и апробирован ряд подходов к нахождению эффективных характеристик композитов с регулярной периодической структурой (Ж.-П. Лионе, Н.С. Бахвалов, Г.А. Ванин, Э.И. Григолюк, Б.Е. Победря и др.), а также полей макронапряжений и макродеформаций, возникающих при эксплуатации в элементах конструкций, содержащих такие композитные материалы (Н.А. Алфутов, В.В. Васильев, В.Д. Протасов, Р.Б. Рикардс и др.). Влияние же случайной микроструктуры реальных композитов, а, именно, произвольного расположения волокон на их эффективные характеристики, изучено еще недостаточно полно. Для исследования хаотически армированных (стохастических) композитов наиболее рациональным является совместное применение метода конечных элементов и метода Монте-Карло.
Актуальной проблемой механики композитов является разработка методов гомогенизации и гетерогенизации, которые позволяют проводить анализ механического поведения композитов на микроуровне (характерные размеры - диаметры волокон, расстояния между волокнами и др.) и на макроуровне (характерными размерами являются размеры конструкции), осуществляя переходы с микроуровня на макроуровень (гомогенизация), а также с макроуровня на микроуровень (гетероге-
низация). В работе под гомогенизацией понимается замена реальной микроструктуры композита на эквивалентный материал с эффективными упругими характеристиками.
Объект исследования диссертационной работы - упругий однонаправленный волокнистый композитный материал (ОВКМ), применяемый для изготовления различных слоисто-волокнистых конструкций (рис. 1). Определение напряженно-деформированного состояния в поперечной плоско- Ш%-сти такого композита является весьма сложной про- ИЛ-блемой. В работе рассмотрены представительные Шк" элементы объемов (ПЭО) композитных материалов. %&' Проведено прямое КЭ моделирование микрострук- If/ie гуры стохастических ОВКМ ("эталонная" задача, в К?%
результате решения которой получается "эталон- Рис. 1. Увеличенное ссчснис стохастического ОВКМ сборными ное" решение). Помимо геометрических моделей
F н волокнами (V ! =0.4)
ПЭО с реальным хаотическим расположением волокон, использованы регуляризованные геометрические модели (хаотическая микроструктура заменена на периодическую при условии сохранения объемной концентрации волокон). Расчетные исследования выполнены для широкого спектра упругих ОВКМ со значениями отношения модулей Юнга волокна и матрицы /,„={ 10"\ 10"', 10" , 10, 10"", 10'1) и переменной для каждого из этих отношений объемной концентрацией волокон в матрице V, =(0.1, 0.3, 0.5, 0.7).
Цели исследования:
разработка конечно-элементных моделей периодических и стохастических упругих ОВКМ, позволяющих корректно определять микронапряжения и микродеформации в компонентах этих композитов;
исследование зависимости эффективных упругих характеристик стохастических ОВКМ от геометрических размеров и упругих свойств компонентов;
обоснованный выбор регуляризованной геометрической модели для анализа упругих стохастических ОВКМ;
разработка новых и численная верификация уже существующих методов нахождения "точных" значений микронапряжений в компонентах упругих ОВКМ при гетерогенизации, их сравнение.
Задачи исследования:
разработка математических и конечно-элементных моделей упругих ОВКМ, учитывающих все основные элементы их микроструктуры;
разработка алгоритма определения эффективных упругих характеристик периодических и стохастических упругих ОВКМ; программная реализация алгоритма, выбор рациональных параметров (размера минимально необходимого ПЭО, числа случайных реализаций произвольного расположения волокон в ПЭО при определении эффективных характеристик композитов с применением метода Монте-Карло)
и исследование практической сходимости получаемых результатов;
исследование зависимости значений эффективных упругих характеристик композитов, хаотически армированных волокнами, от геометрических размеров и упругих свойств их компонентов;
многовариантное исследование (рассматриваются композиты с Е/Е„,= {103, 10"2, 10"', 10, 102, 101) и V!. = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7}) возможности использования регу-
ляризованных моделей стохастических упругих ОВКМ для нахождения их эффективных упругих характеристик и оценки микронапряженного состояния, оценка погрешностей при сравнении с эталонными решениями;
разработка и применение метода "локальных гетерогепизаций" для нахождения полей микронапряжений в однонаправленных волокнистых композитных материалах на основе принципа локальности в механике композитов (Боровков А.И., Пальмов В.А., 1999 г.) и концепции гибридной (одновременно содержащей эквивалентный эффективный материал и фрагмент реальной микроструктуры) модели композита, оценка погрешности по сравнению с эталонными значениями;
реализация алгоритма нахождения микронапряженного состояния периодического упругого ОВКМ на основе метода "базовых решений" (решение трех задач на растяжение и трех задач на сдвиг для двоякосимметричной ячейки периодичности композита) и "регулярных разложений" (комбинация получаемых базовых решений), оценка погрешности при сравнении с эталонными значениями;
разработка и программная реализация метода "итерирования условий сопряжения" для устранения разрыва микронапряжений на границе раздела гетерогенной и гомогенизированной сред гибридной математической модели упругого периодического ОВКМ.
Методы исследования. В диссертационной работе применены математический аппарат теории упругости гетерогенной анизотропной среды, метод Монте-Карло. Численное моделирование выполнено с помощью метода конечных элементов, который позволяет учитывать случайное и плотное расположение волокон в матрице композита, изменение их диаметра и относительной жесткости Е/Е,„. Для решения задач использована лицензионная версия программной системы конечно-элементного анализа ANSYS, прошедшей тщательную верификацию и валидацию.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем;
на основе объединения МКЭ и метода Монте-Карло разработан алгоритм
определения эффективных упругих характеристик стохастических ОВКМ; получе
ны точные выражения для вычисления 13 эффективных упругих характеристик
стохастических ОВКМ, обладающих свойством моноклинной симметрии; установ
лен минимально необходимый размер ПЭО композитов и число реализаций произ
вольного расположения в них волокон при статистическом определении этих ха
рактеристик; выявлен характер зависимости значений эффективных упругих ха
рактеристик от геометрических размеров и упругих свойств компонентов стохас-
тических ОВКМ;
предложен и обоснован метод "локальных гетерогенизаций" нахождения полей микронапряжепий периодических упругих ОВКМ на основе применения принципа локальности в механике композитных материалов и концепции гибридной математической модели композита, проведена верификация и продемонстрирована его эффективность;
реализован метод "базовых решений" и "регулярных разложений" нахождения микронапряженного состояния периодического упругого ОВКМ, проведено сравнение получаемых значений микронапряжений со значениями эталонных решений;
на основе метода "базовых решений" и "регулярных разложений" разработан и реализован алгоритм устранения разрыва микронапряжений на границе раздела гетерогенных и гомогенизированных сред гибридных математических моделей упругих композитов с использованием специально сконструированного функционала (метод "итерирования условий сопряжения").
Достоверность результатов, выводов и рекомендаций определяется адекватностью разработанных математических и КЭ моделей реальной микроструктуре композитов в рамках теории упругости; строгостью используемого в работе математического аппарата теории упругости гетерогенных анизотропных сред; обоснованным применением современного численного метода (МКЭ); обязательным исследованием практической сходимости КЭ результатов и результатов применения метода Монте-Карло; сравнительным анализом результатов, полученных в диссертационной работе, с экспериментальными данными, аналитическими оценками и результатами, приведенными в публикациях других авторов.
Практическая ценность работы связана с применением разработанных методов для анализа микро- и макро- напряженно-деформированного состояния композитов и элементов конструкций, содержащих однонаправленные волокнистые композитные материалы. Результаты работы широко используются в качестве методов проектирования и оптимизации конструкций в научно-исследовательской деятельности кафедры "Механика и процессы управления" СПбГПУ в рамках выполнения НИР по заказам различных организаций.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Разработанная конечно-элементная модель и алгоритм, позволяющий определять эффективные упругие характеристики хаотически армированных ОВКМ. Методика определения минимально необходимого размера представительного элемента объема композитов и числа реализаций произвольного расположения волокон в ПЭО при статистическом поиске этих характеристик;
Результаты многовариантного исследования зависимости эффективных упругих характеристик от параметров стохастического композита;
3. Результаты многовариантного исследования возможности использования
регуляризованных геометрических моделей стохастических ОВКМ для нахождения их эффективных упругих характеристик и оценки микронапряженного состояния;
Метод "локальных гетерогенизаций" нахождения полей микронапряжений в ОВКМ, разработанный на основе принципа локальности в механике композитов и концепции гибридной математической модели композита;
Результаты решения задач с помощью реализованного алгоритма метода "базовых решений" и "регулярных разложений" нахождения микронапряженного состояния периодического упругого ОВКМ;
6. Метод "итерирования условий сопряжения" для устранения разрыва мик
ронапряжений на границе раздела гетерогенной и гомогенизированной сред гиб
ридной математической модели периодического упругого ОВКМ.
Апробация. Основные результаты работы были представлены автором на XXXIV-XXXV Всероссийских межвуз. научно-техн. конф. "Неделя науки СПбГПУ" (С.-Петербург, 2005-2006 гг.); 38-й Межд. научной конф. аспирантов и студентов (С.-Петербург, СПбГУ, 2007); XI Всероссийской конф. "Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах" (С.-Петербург, 2007); научных семинарах кафедры "Механика и процессы управления" СПбГПУ (С.-Петербург, 2006-2009 гг.); научных семинарах в научно-исследовательском центре компании Schlumberger (Москва, 2008-2009 гг.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 184 машинописных страницах, содержит 60 рисунков, 13 таблиц. Библиографический список использованных источников имеет 96 наименований. К диссертации прилагается два приложения общим объемом 11 страниц, содержащих 15 рисунков и 3 таблицы.
Фундаментальные проблемы механики однонаправленных волокнистых композитных материалов и обзор методов их решения
Соответственно, было установлено, что величина v f сильно различается в случае, когда ПЭО маленький и содержит лишь несколько волокон; рассеивание же искомой величины вокруг среднего уменьшается с его ростом. Значение объёмной концентрации vf сходится к 0.71 в случае, когда ПЭО приближается к размеру, содержащему 35 или более волокон [94].
Таким образом, в принципе, минимальный объём (характерный размер) композитной структуры, для которого значение объёмной концентрации включений не зависит от выбора его местоположения, может рассматриваться как ПЭО. В этом случае можно сказать, что для ПЭО с таким числом во локон выполняется принцип статистической независимости.
Следует заметить, что выбранные ПЭО или ячейки периодичности (в случае периодических композитов) рассматривают отдельно от композитной структуры при нахождении эффективных упругих характеристик. Для получения микронапряжённого состояния к ним прикладывают особые граничные условия [11,24,31,50,78]. В [4,24], например, показано, что одной ЯП вполне достаточно для точного численного определения эффективных свойств периодического волокнистого КМ в случае использования особых кинематико-статических граничных условий, впервые предложенных и положенных в основу метода прямой гомогенизации в работе [24].
Помимо обозначенной проблемы нахождения эффективных упругих характеристик КМ, в механике композитов существует ещё одна не менее важная задача — переход с макроуровня на микроуровень, т. е. поиск полей микронапряжений, микродеформаций и микроперемещений. В частности, при анализе результатов решения задач, где композит заменён на гомогенизированный материал с эквивалентными эффективными упругими характристи-ками (макрозадача), зачастую возникает необходимость нахождения "точных" значений микронапряжений, которые получались бы в результате решения исходной негомогенизированной задачи "в лоб" (эталонное решение). Ведь именно на микроуровне решаются проблемы прочности композитной структуры. Данная задача, например, в случае периодических ОВКМ может быть решена путём локального введения гетерогенных ячеек периодичности (ЯП) вокруг интересующей точки или области модели [72] (гетерогенизация или De-homogenization) - один из используемых методов называется процедурой прямой последовательной гетерогенизации (ППГ) [70]. Но при таком моделировании возникает ряд проблем, требующих решения и глубокого анализа. Одной из них, например, является разрыв ("скачок") напряжений на границе сопряжения гетерогенной и гомогенизированной областей, оказывающий значительное влияние на необходимые искомые значения [70,72].
Таким образом, второй фундаментальной задачей механики композит ных материалов является задача вычисления микронапряжений, в первую очередь, задача исследования концентрации микронапряжений в окрестности включений (как "жестких" (волокна), так и "мягких" (полости, отверстия)) и поверхностях сопряжения композитных структур [20].
При использовании ППГ зачастую встаёт вопрос о том, как провести её наиболее рационально. В этом случае необходимо ещё на макроуровне определить опасные, например, с точки зрения высоких уровней напряжений (а, значит, и с точки зрения прочности), области композитной структуры. Пределы прочности при простейших напряженных состояниях (растяжение, сжатие, сдвиг) для различных конструкционных материалах могут быть получены путем непосредственного эксперимента. Когда же приходится иметь дело со сложным напряженным состоянием, непосредственное экспериментальное определение условий разрушения для различных напряженных состояний связано с большими трудностями (например, в случае равномерного или неравномерного всестороннего сжатия и др.) [31]. В связи с этим возникли некоторые гипотезы о характере напряженного состояния, при котором наступает разрушение, получившие названия механических критериев прочности. Каждый такой критерий имеет общее значение для некоторой определенной группы или класса конструкционных материалов одного типа. Они позволяют с той или иной точностью определить области композитной структуры, которые являются потенциально опасными с точки зрения прочности и требуют дополнительного исследования на микроуровне. Среди таких критериев можно выделить тензорно-полиномиальные критерии в терминах напряжений и деформаций Цая [93] и Хашина [75].
Соответственно, один из возможных Алгоритмов анализа ОВКМ может быть сформулирован следующим образом (рис. 1.4):
Переход от гетерогенной модели КМ к гомогенизированной модели (определение тензора эффективных упругих модулей) - так называемый дМ-switch [74] (переход с микро- на макроуровень); ? Анализ полученных полей макронапряжений, макродеформаций и макроперемещений для нахождения опасных (критических) с точки зрения прочности зон композитной структуры (применение тензорно-полиномиальных критериев, экспериментальных данных и т. п.); Переход от гомогенизированной модели ОВКМ к микронеоднородной для уточнения микрополей в потенциально опасных зонах КМ - так называемый Мц-switch [70].
Эффективные определяющие соотношения и метод прямой гомогенизации для определения эффективных упругих характеристик
Систематическое исследование ОВКМ с применением двоякопериодических функций (эллиптических функций Вейерштрасса) можно найти в работах Г.А. Ванина (Ван Фо Фы) [25-29] и Э.И. Григолюка, Л.А. Фильштинского [31,32]. Преимущество такого аналитического подхода состоит в том, что он позволяет не только определить эффективные упругие характеристики, но и выяснить характер локального напряженного состояния в микронеоднородной среде. Недостатком же является то, что точные аналитические решения удается получать сравнительно редко и лишь для простых в геометрическом отношении гетерогенных сред.
Вопрос изучения реальных микронапряжений, микродеформаций и микроперемещений ОВКМ, как уже отмечалось выше, в аналитических методах зачастую сводится к замене в той или иной степени хаотического армирования на периодическое с последующим рассмотрением периодической (регу-ляризированной) математической модели. При численных же расчётах такая замена не обязательна - микронапряжения и микродеформации с учётом реальной микроструктуры могут быть получены непосредственно, например, с помощью методода конечных элементов. При невозможности прямого решения, гетерогенный материал композита заменяют на эффективный эквивалентный, находят усреднённые поля (макрополя), анализируют полученные результаты, и в местах, где по тем или иным причинам необходимо уточнить микронапряжения, проводят процедуру обратной гетерогенизации. В результате получается "Homo-Het -модель [72] КМ, которая позволяет найти поля микронапряжений, микродеформаций и микроперемещений. Данный подход можно найти, например, в [72].
Помимо упомянутого выше подхода к регуляризации структуры КМ существует и другой подход к оценке эффективных упругих характеристик — статистический подход. Он был рассмотрен независимо друг от друга целой группой исследователей. Среди трудов, посвещённых этой тематике, следует отметить работы Хорошуна [60-62], Левина [43], Ломакина [45], Берана [66], Крёнера [83] и др. Общая постановка задачи у всех перечисленных авторов одна и та же - они основываются на предположении статистической независимости и малости флуктуации свойств фаз [53]. В качестве объекта исследования рассматривается упругая неоднородная среда, где компоненты тензора упругих модулей рассматриваются как случайные функции координат. Суть данного подхода заключается во включении в используемые для нахождения эффективных упругих характеристик системы дифференциальных уравнений теории упругости некоторых корреляционных функций [53]. При этом корреляционные функции можно определить только экспериментально.
Попытки использовать для ОВКМ модели с произвольным расположением волокон были предприняты в работах Адамса и Цайя [65], Стивенсона [89] и Сендецки [87]. Полученные ими результаты, к сожалению, носят чисто академический интерес.
Как уже отмечалось выше, оценка полей микронапряжений, микродеформаций и микроперемещений на основе получаемых макрорешений (решения задач для гомогенизированных моделей КМ), является, кроме того, и одной из ключевых задач при анализе конструкций, содержащих ОВКМ. Один очевидный, но непрактичный подход к решению этой проблемы состоит в отказе от макромоделей и прямом рассмотрении композита со всей микроструктурой в масштабе "волокно-матрица" без какой-либо гомогенизации. При реальном же анализе он подходит лишь для небольших участков композитов в силу сложности таких моделей, так что гомогенизация всё-таки необходима.
Ещё 50-т лет назад, в силу ограниченности вычислительных мощностей ЭВМ, данный вопрос носил чисто теоретический характер. Сегодня же широко используется практический подход, заключающийся в локальной замене гомогенизированного материала на исходный в математической модели рассматриваемого объекта (более подробно об этом будет рассказано в главе 4). Из альтернативных подходов можно отметить работу [74] (J. Fish, К. Shek, 2000 г.), где была предпринята попытка связать микрополя регулярного ОВКМ на уровне "волокно-матрица" с макрополями при помощи специального оператора (interscale operator). Данный оператор соединял два набора уравнений для микрополей ЯП и макрополей бесконечной области с эквивалентными эффективными свойствами, которые решались одновременно. Этот теоретический подход применим только для бесконечных областей без геометрических или иных неоднородностей на макроуровне и носит чисто академический характер.
Похожий подход был сформулирован в [86]. В данной работе было предложено использовать специально сконструированную ячейку ("Voronoi cell"), которая строится на основе микроструктуры непериодического ОВКМ и фактически является ПЭО. Макро-область (объект исследования) в этом случае содержит ограниченное число связанных между собой ячеек данного типа и имеет чётко определённые границы, к которым могут быть приложены киниматические или статические ГУ. Ячейки совместно деформируются в соответствии с условиями соединения, которые и выступают в качестве операторов, связывающих микро- и макроуровни. При этом сформулированная задача опять же должна решаться одновременно для микро-областей (Voronoi cells) и макро-области (рассматриваемый объект). Данный подход, однако, был обоснован лишь теоретически и не имеет практической ценности в силу трудности осуществления в вычислительном отношении.
Эффективные упругие характеристики композитов
Рассмотрим несимметричный однонаправленный упругий волокнистый КМ, компоненты которого идеально связаны между собой. Композит представляет собой матрицу, армированную волокнами, которые имеют хаотический характер распределения - структура КМ обладает моноклинной симметрией. В [73], например, можно найти описание реально существующего ОВКМ такого вида, имеющего хрупкую полимерную матрицу и высокопрочные армирующие волокна. На рис, 3.2а представлена увеличенная фотография части зашлифованного сечения вышеупомянутого КМ, где чётко видны границы круглых волокон, объёмная концентрация которых равна v f =0.2827. Геометрические размеры выделенного на данном рисунке участка сечения композита - Лі=17.7 мкм, Аг= 17.7 мкм. При этом диаметр всех волокон одинаков и равен #"=1.5 мкм.
Компоненты КМ имеют следующие упругие свойства: матрица - модуль Юнга „=3.4 ГПа, коэффициент Пуассона vm=0.35; волокно - модуль Юнга /=210 ГПа, коэффициент Пуассона v/=0.3.
Часть увеличенного сечения однонаправленного волокнистого композита с концентрацией волокон V =0.2827 (а) и созданная КЭ модель (б).
На начальном этапе изучения вопроса определения эффективных упругих характеристик в качестве объекта исследования рассматривался пред ставленный выше ОВКМ с описанными свойствами. При этом первым шагом при вычислении обсуждаемых упругих характеристик, как уже отмечалось выше, является выбор размера ПЭО. В качестве такого объёма для тестирования приведённого выше алгоритма поиска упругих характеристик эквивалентного эффективного материала (для КМ с моноклинной симметрией структуры) был принят выделенный на рис. 3.2а участок структуры композит. Для выбранного ПЭО была построена КЭ модель в программной системе конечно-элементного анализа ANSYS, которая использовалась для численного решения задач (1.21) - (1.22), (2.17) и (3.9) - (3.10) по определения значений усреднённых компонентов тензора напряжений. При этом геометрические размеры матрицы ПЭО были немного увеличены с целью достижения заявленного значения концентрации волокон 0.2827. Созданная КЭ-модель приведена на рисунке 3.26.
Следует отметить, что для КЭ модели проводилось исследование сходимости получаемого решения от числа степеней свободы — при решении задачи (1.21) сравнивались значения вычисляемых напряжений в нескольких выбранных геометрических точках для различных параметров КЭ разбиения. В результате получено, что сходимость достигается при наличии NE=28580 конечных элементов, NN=86355 узлов и, соответственно, NDF=172710 степеней свободы. Соответственно, КЭ модель с такими приведёнными характеристиками и была использована в дальнейшем.
В результате гомогенизации рассматриваемого ПЭО упругого ОВКМ были найдены упругие характеристики искомого эквивалентного эффективного материала (см. Таблицу 3.1).
Из анализа данных в таблице 3.1 видно, что все вычисленные эффективные упругие характеристики, как и ожидалось, отличны от нуля. Кроме того, прослеживается попарная близость значений некоторых из них друг к другу (особенно коэффициентов Пуассона), что может свидетельствовать о возможности наличия некоторой специфики в тензоре упругих модулей данного эквивалентного материала. Таблица 3.1. Полученные эффективные упругие характеристики
Очевидно, что найденный эффективный эквивалентный материал на основе лишь одного выбранного случайно ПЭО (одна реализация) не может рассматриваться в этом качестве для ОВКМ в целом. Более того, представленная на рис. 3.2а область композита была специально приведена авторами работы [73] лишь с целью иллюстрации заявленной концентрации волокон. При выборе же ПЭО для нахождения заявленных характеристик эквивалентного материала необходимо учитывать, что он может содержать не только целые волокна, лежащие внутри, но и волокна, которые находятся на границе. Очевидно, что тогда эффективные упругие характеристики будут отличаться от приведённых выше, так как они непосредственно зависят от геометрии образца. Соответственно, каждый выбранный ПЭО будет иметь собственные уникальные характеристики эквивалентного материала. Но, в то же время, задание индивидуальных свойств для каждого участка при моделировании и расчёте реальных конструкций с макрооднородным КМ не рационально, поэтому возникает потребность в нахождении только одного эквивалентного материала. С этой точки зрения абсолютно логично, как уже отмечалось выше, искать его на основе нескольких равновероятных стохастических реализаций (вычислений эффективных упругих характеристик для различных выбранных ПЭО) с использованием методов математической статистики.
Для осуществления данного подхода в представленной работе был разработан специальный алгоритм, реализованный на встроенном в программный комплекс ANSYS языке APDL, который "генерировал" ПЭО задаваемой концентрации с учётом возможности попадания волокон на его границу. Распределение волокон по матрице задавалось равновероятным, т.е. было взято равномерное распределение. Для этого использовался встроенный в ANSYS программный генератор псевдослучайных чисел. Кроме того, контролировалось отсутствие пересечений волокон друг с другом.
Для вероятностного исследования значений эффективных упругих характеристик ПЭО упругих ОВКМ в рамках пакета ANSYS использовалась созданная подпрограмма, включающая в себе вышеописанный алгоритм задания геометрии и алгоритм вычисления самих характеристик. При её запуске после построения геометрии производилось автоматическое КЭ разбиение области с задаваемым размером конечных элементов, после чего решался ряд задач, и вычислялись необходимые значения. Размер же конечных элементов, как и в первом случае, выбирался путём исследования получаемых решений на сходимость в зависимости от этого параметра.
Следует заметить, что статистическая обработка выходных данных (методом Монте-Карло) осуществлялась на каждом шаге для контроля сходимости искомых значений характеристик. Таким образом, решалась детерминистическая задача получения эффективных упругих характеристик.
О связи между микронапряжениями периодических и непериодических упругих однонаправленных волокнистых композитов
Очевидно, что описанный выше метод локальных гетерогенизаций применим, прежде всего, для периодических ОВКМ. Но регулярным симметричным распределением волокон по матрице обладает лишь небольшая часть реально существующих КМ такого типа. Соответственно, возникает вопрос о применимости метода к нерегулярным однонаправленным волокнистым композитным структурам. Логичнее всего заменить хаотическое расположение волокон внутри матрицы таких КМ на регулярное, т. е. использовать ре 107 гуляризированные математические модели. В третьей главе показано, что при статистической гомогенизации стохастического ОВКМ получается эквивалентный материал, характеристики которого близки (с допустимой погрешностью) к эффективным упругим характеристикам периодического КМ, обладающего той же концентрацией волокон. В качестве ЯП периодического ОВКМ, которые могут использоваться для нахождения характеристик эквивалентного эффективного материала для стохастического композита, были предложены ЯП с квадратной укладок волокон (рис. 3.11). По этой причине, было решено сравнить микронапряжения, возникающие в стохастических и регуляризированных конечно-элементных моделях ОВКМ, причём для второго случая выбран именно этот тип укладки.
При анализе напряжённо-деформированного состояния конструкций, как правило, прежде всего, интересны возникающие максимальные напряжения. Соответственно, при сравнении регуляризированных и стохастических -ских моделей композитной структуры следует оценивать именно такие ми-напряжения, возникающие при решении задач в одинаковой постановке. Следует иметь в виду, что регуляризированная модель будет иметь максимумы компонентов тензора напряжений, положения которых чётко определено геометрически. Более того, в ней чётко можно выделить ЯП, и, соответственно, волокна в матрице будут находиться на одинаковом расстоянии друг от друга. В случае же стохастического композита, в силу случайности распределения волокон по матрице, значения и положения максимумов непостоянны и зависят от конкретной выбранной конфигурации (геометрической модели). При этом отдельные волокна могут быть расположены сколь угодно близко друг к другу, что может являться причиной появления дополнительных концентраторов напряжений, а это, в свою очередь, источник завышенных уровней микронапряжений. Данный фактор особенно важен при расположении концентраторов такого типа около зон приложения локальных нагрузок. Кроме того, ясно, что вероятность появления концентраторов не одинакова для композитов с различной объёмной концентрацией волокон. При произ 108 водстве стохастических ОВКМ иногда используются технологии, которые позволяют ограничить сближение волокон в матрице [41]. Но такие технологические решения дороги и применяются только в специфических случаях. Чаще же производители ставят ограничения на предельно допускаемые нагрузки. Кроме того, в физические свойства матрицы закладываются некоторые "компенсационные" свойства, которые позволяют предотвратить распространение трещин (разрушения) в случае их зарождения в результате возникновения концентраторов [41].
При расчётах напряжённо-деформированного состояния таких конструкций, естественно, все факторы учесть не представляется возможным в силу случайности распределения волокон. В данном случае, абсолютно логичным шагом является использование опять же статистического подхода к анализу конструкций, т. е. поиск наиболее вероятных максимальных уровней микронапряжений. Но при этом всегда остаётся опасность, что в реальном композите этот уровень будет значительно превышен, поэтому при решении стохастической задачи так же искались и анализировались максимальные по модулю значения микронапряжений.
В качестве объекта исследования выступал опять же стохастический ОВКМ с концентрацией волокон v f =0.2827 и приведёнными в Главе 3 свойствами материалов компонентов (рис. 3.2). Для математического моделирования была взята область этого композита (ПЭО), содержащая 64 волокна (рис. 4.12а). Данное число волокон выбрано не случайно, так как оно близко к тому, которое было получено как необходимое для статистического определения свойств эффективного эквивалентного материала. Кроме того, есть возможность заменить стохастическую модель КМ регуляризированной с 64-мя ЯП (со стороной 2.5 мкм и диаметром волокна 1.5 мкм), то есть областью квадратной формы с размером стороны в 8 ЯП (рис. 4.126). Всего было рассмотрено три типа нагружения. В качестве внешней нагрузки для первого типа прикладывалось локальное распределённое давление с максимумом на границе симметрии (рис. 4.12, а,б) и спадающее до нуля на расстоянии двух