Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Разработка теории термоупругости многослойных тонких пластин на основе метода асимптотической гомогенизации 10
1.1. Постановка трехмерной задачи линейной теории термоупругости для многослойной пластины 10
1.2. Асимптотические разложения для многослойной пластины
1.3 Формулировка локальных задач 14
1.4 Решение задачи нулевого приближения 17
1.5 Решение задач первого, второго и третьего приближений 19
1.6 Осредненные уравнения равновесия многослойных пластин 21
1.7 Осредненные определяющие соотношения 22
1.8 Осредненные кинематические соотношения 23
1.9 Осредненная система уравнений равновесия для пластин 23
1.10 Напряжения межслойного сдвига и поперечные напряжения в пластине 25
1.11 Пластины с симметричным расположением слоев 26
1.12 Однослойная пластина при воздействии равномерного температурного поля 26
Глава 2. Моделирование напряженно-деформированного состояния многослойных тонких пластин при изгибе 28
2.1 Задача об изгибе симметричной пластины равномерным давлением 28
2.2 Сравнение решения задачи об изгибе многослойной пластины с трехмерным решением 30
2.3 Задача об изгибе многослойной пластины при неравномерном нагреве 44
Глава 3. Разработка теории гармонических колебаний многослойных тонких пластин на основе метода асимптотической гомогенизации 49
3.1 Постановка трехмерной задачи линейной теории упругости при установившихся колебаниях 49
3.2 Асимптотические разложения для многослойной пластины 50
3.3 Формулировка локальных задач колебаний пластины 52
3.4 Решение задачи нулевого приближения 53
3.5 Решение задачи первого, второго и третьего приближений 54
3.6 Осредненные уравнения установившихся колебаний многослойных пластин 57
3.7 Осредненные определяющие соотношения теории пластин 58
3.8 Осредненные кинематические соотношения теории пластин 59
3.9 Осредненная система уравнений для установившихся колебаний многослойных пластин 60
3.10 Напряжения межслойного сдвига и поперечные напряжения в пластине 60
Глава 4. Моделирование гармонических изгибных колебаний многослойных тонких пластин 62
4.1 Изгибные колебания симметричной многослойной тонкой пластины 62
4.2 Собственные колебания симметричной многослойной пластины 65
4.3 Вынужденные изгибные колебания симметричной многослойной пластины 72
4.4 Разработка программного комплекса 77
Выводы и заключение 79
Список литературы
- Асимптотические разложения для многослойной пластины
- Сравнение решения задачи об изгибе многослойной пластины с трехмерным решением
- Формулировка локальных задач колебаний пластины
- Собственные колебания симметричной многослойной пластины
Введение к работе
Актуальность проблемы. Задача динамики твердых тел, имеющих полости наполненные жидкостью, является классической задачей механики. В настоящее время актуальность рассматриваемой задачи подчеркивается возросшими требованиями к транспортировке полезных грузов и вынуждает создателей ракетно-космической техники предлагать новые конструкции заборных устройств (ЗУ) ракет-носителей (РН), разгонных блоков и космических аппаратов (КА). Однако влияние новых конструкций топливных отсеков, наполненных жидкостью, на динамику механических систем «твердое тело-жидкость» является по существу мало изученным.
Целью работы является создание математических моделей динамики
твердого тела с полостью, частично наполненной жидкостью,
взаимодействующей с заборными устройствами и внутрибаковыми элементами (ВБЭ). Для достижения указанной цели:
Разработаны упрощенные конструктивные схемы опорожнения топливных баков, учитывающих влияние ЗУ на динамику жидкого наполнителя.
Поставлены новые краевые задачи о колебаниях идеальной жидкости в осесимметричных полостях произвольной формы, с производной по времени от потенциала скорости в граничных условиях как на свободной поверхности так и на поверхности слива.
Разработана методика решения поставленных задач для баков сферической формы.
Разработаны математические модели динамики твердого тела с полостью, частично наполненной жидкостью, взаимодействующей с заборными устройствами и внутрибаковыми элементами.
Составлены вычислительные программы с использованием пакета Matlab для вычисления динамических характеристик жидкости и твердого тела с жидкостью для сосудов сферической формы.
Метод исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные вычислительные и математические методы: вариационный метод, метод конечных элементов, метод Рунге – Кутта, метод разделения переменных и метод обобщенных потенциалов.
Научную новизну диссертационной работы имеют следующие результаты:
Разработана математическая модель малых движений тяжелой идеальной несжимаемой жидкости, частично заполняющей неподвижную осесимметричную полость с заборным устройством.
Разработаны методики вычисления собственных частот и форм волн тяжелой идеальной несжимаемой жидкости в сферических полостях при наличии внутрибаковых элементов.
Разработана математическая модель малых движений жидкости, частично заполняющей неподвижную осесимметричную полость с заборным устройством, в условиях микрогравитации.
Исследованы малые колебания жидкости, частично заполняющей подвижную осесимметричную полость с заборными устройствами, в условиях макро и микрогравитации.
Исследованы динамические характеристики твердого тела с жидкостью и заборными устройствами в условиях макро и микрогравитации.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть
использованы при исследовании управляемого движения проектируемых разгонных блоков, КА и РН, а так же в учебных процессах студентов, обучающихся по направлениям ракетно-космической техники.
Достоверность полученных результатов следует из сравнения с известными аналитическими и численными решениями, полученными для идеальной жидкости.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на международных научных конференциях, в том числе: XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 2015; 50-е научные чтения памяти К.Э. Циолковского, 2015; XL академические чтения по космонавтике «Королёвские чтения 2016»; Всероссийская научно-техническая конференция «Механика и математическое моделирование в технике», посвященная 100-летию со дня рождения В.И. Феодосьева, 2016.
Публикации по теме работы. Список научных трудов по
диссертационной работе составляет 8 публикаций, в том числе 4 публикации, в рецензируемых научных изданиях и журналах из перечня ВАК.
Личный вклад работы. Постановка задачи была проведена совместно с научным руководителем. Все результаты работы получены автором лично. Программная реализация разработанных методов и алгоритмов выполнена автором лично.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов, списка литературы (93 наименований), содержит 156 машинописных страниц, 75 рисунков и 16 таблиц.
Асимптотические разложения для многослойной пластины
Рассмотрим многослойную пластину постоянной толщины, введем малый параметр tc = h/L«1, как отношение общей толщины пластины h к характерному размеру всей пластины L (например, к ее максимальной длине). Введем прямоугольные декартовы координаты хк, ориентированные таким образом, что ось Ох3 направлена по нормали к внешней и внутренней плоскостям пластины, а оси Ох,, Ох2 принадлежат срединной поверхности пластины. Кроме L введем следующие характерные величины: t0 - характерное время исследуемого процесса нагрева, характерное значение плотности р0, удельной теплоемкости с0, температуры в0, теплопроводности я0, напряжения а0. Тогда можно ввести соответствующие им безразмерные величины: t = t/t0 - время, xt=xt/L координаты, р = р/р0- плотность, с = с/с0- теплоемкость, в = в/в0- температуру, . =ДУ/ - компоненты тензора теплопроводности, q1=q1L/Aoeo- компоненты вектора теплового потока, т =dv/ r0- компоненты тензора напряжений, CIJkl=CIJkl/a0 - компоненты тензора модулей упругости, Uj=uj/L- компоненты вектора перемещений, V,.=d/cbt,- оператор дифференцирования по декартовым координатам. Волной сверху обозначены соответствующие размерные величины.
Рассмотрим для многослойной пластины трехмерную задачу линейной теории термоупругости, которая в безразмерном виде записывается следующим образом: к s..=L(yjUi+ViUjy l 2 gj = V .0, (т,=Ст{еы-еты), (1.1) Z3±:cri3=-K3p±Si3, Чз=±Че± HT \ut =uei, qjHj = 0; L5:[ 7,.3] = 0, [w3] = 0, fe] = 0, [ 9] = 0 и состоит из уравнений равновесия, нестационарного уравнения теплопроводности, соотношений Коши, выражения для градиента температуры, определяющих соотношений термоупругости, закона Фурье, граничных условий на внешних поверхностях пластины оболочки - на внешней и внутренней поверхностиЕ3+ (их уравнение имеет вид х3 =±h/2), на торцевой поверхности Ег, а также граничных условий идеального контакта на поверхности раздела zs слоев пластины ([м. ] - скачок функций), которые могут и отсутствовать, например, для однослойной пластины.
В системе (1.1) обозначены: Р±- давление и q0± - тепловой поток на внешних поверхностях пластины, ие1- заданные компоненты вектора перемещений на торцах пластины. Торцы предполагаются теплоизолированными. В уравнениях (1.1) также обозначены: є{.- компоненты тензора малых деформаций, єта=ааАв- компоненты тензора тепловой деформации, которые являются функциями перепада температуры Ав = в-в0, где в0- начальная отсчетная температура, аы- компоненты тензора теплового расширения. Компоненты тензора модулей упругости суН, теплопроводности Xv, тепловой деформации єтк1, а также массовая теплоемкость C = pc/Fo0 ( Fo = 0t0/0c0fi критерий Фурье) - различны для каждого слоя многослойной пластины. Никакого специального допущения об анизотропии материалов слоев не делаем. Малые латинские индексы пробегают значения 1,2,3, а большие : I,J,K… - принимают значения 1,2. В системе (1.1) приняты 3 основных допущения: 1) давление на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет третий порядок малости 0(tc3) т.е. 0-33 = К3Р± , 2) продолжительность нагрева не слишком велика, в том смысле, что критерий Фурье Fo = /у0 /p0c0L2 процесса нагрева имеет один порядок малости с л-2, т.е. Fo = K2FO0 , где Fo0 число порядка 1: Fo0 = 0(1) ; 3) давления р± и тепловой поток q0± - мало изменяются на расстояниях порядка h. Эти допущения, как правило, соответствуют реальным условиям нестационарного термонагружения тонких пластин во многих приложениях, в частности в задачах аэродинамического нагрева теплозащиты высокоскоростных летательных аппаратов [19].
Введем безразмерную локальную координату: % = х3/к. Координаты х3и %, как обычно, в методе асимптотического осреднения [11] рассматриваются как независимые переменные. Координата по толщине пластины изменяется в диапазоне -0.5 0.5 Тогда термоупругие характеристики пластины можно рассматривать как функции координаты :
Сравнение решения задачи об изгибе многослойной пластины с трехмерным решением
Для анализа точности разработанной теории многослойных пластин было проведено сравнение результатов расчетов напряжений по формуле (2.5) с результатами расчетов по точной трехмерной теории упругости. Для нахождения численного решения по трехмерной теории использовался программный конечно-элементный пакет ANSYS, с тетраэдальным 10-ти узловым конечным элементом SOLID 187. Пластина в этом случае рассматривалась как трехмерное тело (параллелепипед), торцы которого х = оиі = і были жестко защемлены, на одной внешней поверхности =0.5 было задано равномерное давление р_ =кър_, вторая поверхность 4= - 0.5 полагалась свободной, а боковые грани x2=+b/2 (Ь-ширина пластины) были защемлены со свободным скольжением: w2=0, сг12=0, сг13 = 0. Пластина состояла из 3-х слоев с симметричным их расположением относительно срединной плоскости (рисунок 2.1): толщина средней пластины была выбрана в 2 раза большей, чем толщина внешних слоев. Числа к = к/ьи ъ/ь были выбраны равными: к = ъ/ь = 0.04, что обеспечивало условие "тонкости" пластины. Материалы слоёв были выбраны ортотропными, с главными осями ортотропии совпадающими с осями симметрии пластины, значения упругих характеристик слоев приведены в таблице 2.1 для внешних слоев и в таблице 2.2 для внутреннего слоя.
Таблица 2.1 – Упругие характеристики материала внешних слоев Д1,ГПа 2,ГПа Е3 ,ГПа (?12,ГПа С13,ГПа G23 ,ГПа 12 V31 23 14 14 5,3 1,8 0,75 0,75 0,08 0,14 0,15 Таблица 2.2 – Упругие характеристики материала внутреннего слоя д1,ГПа 2,ГПа Е3 ,ГПа С12,ГПа G13,ГПа G23 ,ГПа 12 V31 23 21 21 7,95 2,7 1,125 1,125 0,12 0,21 0,225 В процессе проведения трехмерных конечно-элементных расчетов с помощью пакета ANSYS была установлена существенная зависимость решения от использованной при расчетах конечно-элементной сетки. В начале расчеты проводились с равномерной КЭ сеткой с числом элементов по толщине пластины равным N=12 (что соответствует минимум 3-м КЭ по толщине на каждый из 4-х слоев пластины). Общее число КЭ для всей пластины в такой сетке составило 492544 (693634 узла). Однако точность решения, получаемого на такой сетке, оцениваемая по отклонению от решения (2.5), полученного по с помощью асимптотической теории (далее АТ-решение), оказалась крайне не удовлетворительной (см. далее). Для повышения точности КЭ-решения оказалось необходимым существенное измельчение сетки с N=80 КЭ по толщине пластины. Однако при этом резко возрос общий размер КЭ – примерно до 50 млн. КЭ, что сделало затруднительным не только решение задачи на персональном компьютере, но и само хранение КЭ сетки в оперативной памяти компьютера.
Для того, чтобы избежать необходимости применения параллельных вычислений, было предложено создать специальную неравномерную КЭ-сетку, для которой сгущение реализуется только вблизи 9 нормальных сечений пластины (рисунок 2.1), названных "опорными", для остальных частей пластины использовалась существенно более крупная сетка. Так для N=12 число КЭ по толщине и ширине пластины вне областей опорных сечений составляло 4 (9 узлов) (рисунок 2.1).
Число N КЭ в опорном сечении выбиралось исходя из условия близости скачка напряжения а22 на поверхности раздела слоёв, рассчитанного по АТ-решению (2.5) и с помощью комплекса ANSYS: A[a22] = I "22 ansys"22 AT\ 100% 20% . (2.8)
В таблице 2 приведено сравнение невязки А[сг22] вычисления скачка поперечного нормального напряжения [ т22] в зависимости от числа N конечных элементов в опорных сечениях. На рисунке 2.3 приведены соответствующие распределения поперечного напряжения сг22 по толщине трехслойной пластины, в окрестности сечения хх = о, 25 (стык слоев 1 и 2 пластины), полученные с помощью разработанной теории (АТ) и с помощью пакета ANSYS для различных КЭ сеток с разным числом N. Для относительно крупных сеток с N=12 и 20 величина невязки А[сг22] является достаточно большой и не удовлетворяет условию (2.8). Выполнение этого условия обеспечивает только достаточно мелкая сетка с N=80. Таблица 2.2 - зависимость невязки А[сг22] вычисления скачка напряжения [ т22] от измельчения КЭ сетки
Исходя из полученных результатов число конечных элементов по толщине и ширине пластины в опорных сечениях, было выбрано равным N=80 (по 20 элементов на слой). Общее число КЭ в такой неравномерной сетки оставалось относительно не большим - 224733 (число узлов – 319869), что позволяло относительно быстро проводить расчеты на этой сетке. Сравнение распределений напряжений, рассчитанных по АТ -решению с ANSYS- решением, приведено на рисунках 4 - 7 для 4-х различных сечений х= Xl =[0,125; 0,25; 0.375; 0.5], (у =x2, z =х3 ).
На этих рисунках, как и ранее, поперечная безразмерная координата изменяется в пределах [-0.5; 0.5]: значение = 0,5 - соответствует верхней плоскости, на которой задано равномерно распределенное давление: к3р+ = 10б Па; а значения Е, = ±0,25 - соответствуют плоскостям стыка слоев. Так как материалы слоев выбраны ортотропными, то два касательных напряжения отсутствуют во всех слоях: а12 = а2з = 0.
Распределения остальных 4-х напряжений т13, аи, а22, т33, рассчитанные с помощью разработанной асимптотической теории (АТ) по формулам (2.5) и с помощью пакета ANSYS для сетки с N=80 достаточно хорошо совпадают (рисунки 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11). В качестве количественное характеристики близости решений кроме невязки (2.8) рассматривалась также среднеинтегральная по толщине невязки численного решения для напряжений в различных сечениях Xj (по поперечной координате х2в данной задаче напряжения не изменяются): Я( гаа) = ——05 100%- (2-9) -0.5 Для N=80 значение среднеинтегральной невязки s(aaa) составило: для ё(а22) = 8,8 %, S(an)= 3,5 %, ё(а33) = 0,6 %, s(au) = 0,7 % в сечении хх = 0,25. Решение, показанное на рисунке 4г, отражает тот факт, что теоретически нулевое распределение касательного напряжения ( т13) в центральном сечении Xl =0,5 при численной КЭ-реализации близко к машинному нулю, максимальное значение отклонений от нуля, есть величина примерно на 3 порядка меньшая, чем максимальное значение касательных напряжений в сечении хх = 0,375 (рисунок 2.4в).
Формулировка локальных задач колебаний пластины
Ввиду того, что задачи (3.9)-(3.11) являются одномерными по локальной переменной , их решение можно найти аналитически. Решение уравнений равновесия с граничными условиями в локальной задаче (3.9) имеет вид 40)=0, V:-0.5 0.5. (3.15) Подставляя сюда выражение ( 3.7) для г3 , получим Ci3KLeJb)+Ci3k3e(0)=0. (3.16) Выразим из этой системы уравнений деформации є(0) 3=-ck31 3cl3KL40 ) , (3.17) где С:313 матрица компонент, обратная к Cl3k3. Подставляя в (3.17)выражения для деформаций є(03) из задачи (3.9), после интегрирования с учетом условий и(1) =0, находим перемещения ui(1) (1) =-Ы3 0, ) +24L( \ Cf3l3Cl3KLd -\ C;3l3Cl3KLd), (3.18) (1) (0) 3 KL = &) ( J c331l3cl3KLd -1 c331l3cl3KLdo -0.5 -0.5 здесь учтено, что деформации s (Xj), согласно (3.9), не зависят от . Подставляя выражение (3.17) в первую группу соотношений (3.7), находим, что напряжения a( 0), в отличие от er(30 ), являются ненулевыми )=С/М.) , (3.19) Г(0) =С -С С 1 С (320) IJKL IJKL ІЛ3 к3і3 і3КЬ . . 3.5 Решение задачи первого, второго и третьего приближений Решение уравнений установившихся колебаний (3.10), (3.11) и (3.12) вместе с граничными условиями наЕхи = -0.5 имеет вид i1)=-j (4VAA(0V+ 0)(+0.5), (3.21) -0.5 42)=-j (о-( 1 ,)+ Ч(1)Ж + 1) ( + 0.5), (3.22) { r(33 )=-p_Si3- ) (a( 2 ) + pco2u(2))d + 2) ( + 0.5). (3.23) -0.5 Условия существования решения (3.21)-(3.23) задач (3.10)-(3.12), удовлетворяющих граничным условиям af31) = 0, а\32) = 0, af31 ) = -р+ на внешней поверхности = 0.5, приводят к следующей системе уравнений для вычисления функций t(;0) ,h(1) ,t(;2) Ц0) = v( 0,)j + Р a?u(0), (3.24) H1) = 41 ,)/ +«2 P , (3.25) H2) =«?Z +co2 pu(2) -Лрд3, Ap = P+ -p_ . (3.26) т.к. мг(0)- не зависит от . С учетом формул (3.24)-(3.26), напряжения c(f(321)-(3.23) принимают вид = j («r( 0,) -40Х Р -Р Ч(0)Ж, (3.27)
Если подставить выражения (3.19) в (3.27), то с учетом (3.15) получим для напряжений of следующую формулу г% = 41 J ( C( 0 ). -C( 0 )WU + J ( Р -P)CO2U(0)CU; , (3.30) 3(13) = } ( р -р)(о2и3(0Ч . -0.5 Заметим, что в отличие от квазистатической задачи [15], для установившихся колебаний напряжение а3(13) отлично от нуля. Выразим деформации є( 13) из 4-й группы соотношений (3.7), тогда с учетом формул (3.27), получим
Если подставить теперь (3.31) в 3-ю группу соотношений (3.7), то найдем оставшиеся напряжения 1-го приближения =СМ + 1ZM40 )V +а?Ои$) , Сш =С!Л3Ск1Р3 } ( CZL -&&КЬЖ -0.5 (3.32) Ои,=Ст3Ск113] ( p -p)d{. -0.5 (3.33) (3.34) (3.35) Деформации sfL с учетом формул (3.10), (3.18) можно представить в виде SKL ъЛкЬ + Ф KLMNSSMN,S VKL = 3 0кь ФKLMNS (#) = ФKLMNS ()" ФKLMNS (#) , ФкшмМ) = - J (CK13,AL C 31 3sSK)C 3MNdu . -0.5 С учетом формул (3.33), выражения (3.32) принимают вид (3.36) Nw =(0) +Ф lyIJKLM lyIJKLM IJKLM Вычислим перемещение ui(2) второго приближения, используя третью формулу (3.7), и пятую формулу в (3.5), тогда получим (1) (1) -1 (1) /3=-u 3,+2C k 1 ( -C,3KLs ), (2) uy/3=-i3 1)+2CJ1 3 ( T3-C 3KLe%), После интегрирования этого выражения с учетом условий и;) = 0, находим перемещения u (2) J J J J u(2) = J u3( 1, ) - J «3( 1, )rff -2 J С 3( -Сг3 Ж +2 J С 3(оі1) -Сг3 Ж -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 І Uj — J u3Iag — J u3Iag—2 J ь/3г3(ст3 — L i3KLSKL)ug +2 { І3І3(Р І3 І3КЬКЬ) Ь . -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 3.6 Осредненные уравнения установившихся колебаний многослойных пластин. Подставляя выражения (3.24)-(3.25) в асимптотическое разложение (3.14) уравнений равновесия, получим а(0, ) + р со2и(0) + к( а( 1 ), +со2 ри(1) ) + 2 m 2 , (3.37) +к2( о(2, ): +со2 ри(2) -ApSi3) + ... = 0. Домножим уравнения системы (3.8) на %к и проинтегрируем их по толщине, тогда получим следующее вспомогательное уравнение к( ( 0,)j +а2 pu(1) - а% ) + +к2 ( fr( 1 )j +о2 pu(2) - а(2) ) + ... = 0, ( . ) Здесь учтено, что /3 = - 41) , 3/3 = - 42) в силу граничных условий на Е3± :сг(30) = 0, 3 = 0. Введем обозначения для усилий Ти , моментов Ми и перерезывающих сил Qj в пластине Тц = af +к afj +..., Qt = к т(13) +к2 а(2) +..., (3.39) Мц=к o( 0) +к2 +..., а также обозначения для обобщенных перемещений пластины pUi = р u(0) + к pu(1) +к2 ри(2) +... pTj = к ри(1) +к2 ри(2) +... где р= р . Если в этих выражениях сохранить только главные члены асимптотических разложений, то, с учетом (3.18), получим рГ1=к pu(1)% = -Ru3( 0, ) + s( RIKL, RIKL =2к ] cJ31 3c,3KLd х p -2tc p ] C;31i3Ci3KLdg , -0.5 -0.5 R = к р%2 . Тогда уравнения (3.37)-(3.38) можно записать в традиционном для теории пластин виде уравнений равновесия и уравнений моментов при установившихся колебаниях T +pa2U 0 , QJJ+pco2U3=Ap , MIJJ-QI +ро}2Г7 =0, (3.40) Это и есть искомые осредненные уравнения установившихся колебаний многослойной пластины, здесь обозначено Ар = к2Ар. Эти уравнения отличаются от традиционных уравнений колебаний пластин [10 ] только наличием слагаемого S(0 )R1KL в коэффициентахГ.
Собственные колебания симметричной многослойной пластины
Для анализа точности асимптотической теории многослойных пластин проведем сравнение результатов расчетов напряжений по формулам (4.9) с результатами расчетов по точной трехмерной теории упругости. Для нахождения численного решения по трехмерной теории используем программный конечно-элементный пакет ANSYS, с тетраэдальным 10-ти узловым конечным элементом SOLID 187. Пластина в этом случае рассматривалась как трехмерное тело (параллелепипед), торцы которого х = 0 и х = 1 были шарнирно закреплены, внешние поверхности 4= 0.5, 4= -0.5 полагались свободными, а боковые грани x2=±b/(2L) ф- ширина пластины) были защемлены со свободным скольжением: w2=0, т12=0, т13 = 0. Пластина состояла из 3-х слоев с симметричным их расположением относительно срединной плоскости (рисунок 2): толщина средней пластины была выбрана в 2 раза большей, чем толщина внешних слоев. Числа K = h/Lи b/L были выбраны равными: к = ъ/ь = 0.04, что обеспечивало условие "тонкости" пластины. Материалы слоёв были выбраны ортотропными, с главными осями ортотропии совпадающими с осями симметрии пластины, значения упругих характеристик слоев соответствовали 2-м типам стеклопластика и приведены в таблице 4.1 для внешних слоев и в таблице 4.2 для внутреннего слоя.
В процессе проведения трехмерных конечно-элементных расчетов с помощью пакета ANSYS была установлена существенная зависимость решения от использованной при расчетах конечно-элементной сетки. В начале расчеты проводились с равномерной КЭ сеткой с числом элементов по толщине пластины равным N=12 (что соответствует минимум 3-м КЭ по толщине на каждый из 4-х слоев пластины). Общее число КЭ для всей пластины в такой сетке составило 492544 (693634 узла). Однако точность решения, получаемого на такой сетке, оцениваемая по отклонению от решения (4.9), полученного по с помощью асимптотической теории (далее АТ-решение), оказалась крайне не удовлетворительной. Для повышения точности КЭ-решения оказалось необходимым существенное измельчение сетки с N=80 КЭ по толщине пластины. Однако при этом резко возрос общий размер КЭ – примерно до 50 млн. КЭ, что сделало затруднительным не только решение задачи на персональном компьютере, но и само хранение КЭ сетки в оперативной памяти компьютера. Для того, чтобы избежать необходимости применения параллельных вычислений, было предложено создать специальную неравномерную КЭ-сетку, для которой сгущение реализуется только вблизи 9 нормальных сечений пластины (рисунок 4.1), названных "опорными", для остальных частей пластины использовалась существенно более крупная сетка. Так для N=12 число КЭ по толщине и ширине пластины вне областей опорных сечений составляло 4 (9 узлов) (рисунок 4.1).
Для сравнения АТ-решения и решения ANSYS число конечных элементов по толщине и ширине пластины в опорных сечениях, было выбрано равным N=12 (по 3 элемента на слой). Общее число КЭ в такой неравномерной сетки оставалось относительно не большим - 24677 (число узлов - 38735), что позволяло быстро проводить расчеты на этой сетке.
Сравнение распределений напряжений, рассчитанных по АТ -решению с ANSYS- решением, приведено на рисунках 2 - 5 для 2-х различных сечений х = xi = [О,25; 0,5], ( у = х2, z = х3 ).
На этих рисунках, как и ранее, поперечная безразмерная координата изменяется в пределах [-0,5; 0,5]: значение Е, = 0,5 - соответствует верхней плоскости; а значения = ±0,25 - соответствуют плоскостям стыка слоев. Так как материалы слоев выбраны ортотропными, то два касательных напряжения отсутствуют во всех слоях: т12 = т2з = 0. Распределения остальных 4-х напряжений т13, аи, а22, т33, соответствующие низшей частоте собственных колебаний, рассчитанные с помощью разработанной асимптотической теории (АТ) по формулам (4.9) и с помощью пакета ANSYS для сетки с N=12 достаточно хорошо совпадают (рисунки 4.2-4.5).