Введение к работе
Актуальность темы. К настоящему времени теория и практика решения задач оптимизации достигли весьма ощутимых успехов и продолжают быстро развиваться. Например, сейчас интенсивно разрабатывается область параллельных методов оптимизации в связи с широким внедрением суперЭВМ. В частности, наблюдается повышенный интерес к многошаговым методам, адаптированным к векторно-конвейерным суперЭВМ, эффективность работы которых существенно зависит от степени загруженности всех функциональных устройств. В этих методах на каждой итерации используются направления движения на предыдущих итерациях. Все эти направления можно сохранять на векторных регистрах и использовать в векторных операциях, улучшая загруженность суперЭВМ. В диссертации исследован метод "тяжелого шарика".
С другой стороны, нет еще полного понимания поведения даже простейших методов как конечномерной оптимизации (градиентного, штрафных функций и др.), так и бесконечномерной (отказ от использования неустойчивых разностных схем - решение линейных уравнений в бесконечномерном пространстве можно рассматривать как задачу оптимизации). Например, считалось, что типичная траектория градиентного метода при минимизации "овражной" функции представляет собой "пилу", т.е. точки минимизирующей последовательности перескакивают со "склона" на "склон". Это верно для метода скорейшего спуска. Однако, в диссертации показано, что минимизирующая последовательность, построенная градиентным методом с постоянным шагом определенной длины, по крайней мере для квадратичных сильно выпуклых функций, не покидает тот ортант (в системе координат из собственных векторов с началом в точке решения), в котором находилась начальная точка. Кроме того, антиградиент функции в точках такой последовательности стабилизируется своим направлением на точку минимума. Эти свойства важны и для теории, так как позволяют получать новые результаты, и для практики, так как служат обоснованием предложенных методов.
Одним из наиболее распространенных методов решения задач математического программирования является метод штрафных функций. Известные варианты этого метода сталкиваются с серьезными трудностями при выборе параметра штрафа - самой ответственной операции метода. В диссертации исследуется эта проблема.
Целью работы является выяснение новых важных свойств градиентного метода как для безусловной конечномерной (монотонность относительно множества Лебега, стабилизация градиента) и бесконечномерной (использование неустойчивых разностных схем), так и условной (общий итеративный метод штрафных функций) выпуклой оптимизации.
Методика исследования базируется на изучении геометрических свойств градиентного метода для выпуклых функций в конечномерном пространстве и для квадратичных функционалов в бесконечномерном гильбертовом пространстве. В работе применялись аналитические и вычислительные методы линейной алгебры, функционального и математического анализа и методы теории математического программирования.
Практическая значимость. Предложенные в диссертации алгоритмы предъявляют лишь естественные требования к целевой функции, что гарантирует весьма широкую область применимости методов. Теоретические результаты диссертационной работы могут быть использованы при построении новых численных методов, а также для дальнейшего развития математического аппарата исследования выпуклых задач оптимизации.
Аппробвция работы. Материалы диссертации обсуждались на семинаре отдела прикладной математики института проблем кибернетики РАН, на 1-й Всесоюзной школе-семинаре по численным методам для многопроцессорных ЭВМ (Вийтна ЭССР, 1986), на IV Симпозиуме по методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации (Вильянди, ЭССР, 1987), на 2-й Всесоюзной школе-семинаре по численным методам для многопроцессорных ЭВМ (Вийтна ЭССР, 1987), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (1988г., Москва).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из списка обозначений, введения, двух глав, объединяющих 7 параграфов, заключения и списка литературы из 143 названий и содержит 128 страниц машинописного текста.
Нумерация формул и утверждений диссертации и автореферата не совпадают.