Введение к работе
Актуальность работы. Как известно, при решении конкретных прикладных задач большой практический интерес представляет исследование устойчивости движения не только по отношению к мгновенным возмущениям, но и по отношению к возмущениям, действие которых не прекращается. С математической точки зрения устойчивость по отношению к таким постоянно действующим возмущениям отличается от устойчивости по Ляпунову тем. что возмущаются не только начальные .условия движения, но п сами дифференциальные уравнения движения. Постановка задачи о сохранении устойчивости невозмущенного движения при постоянно действующих возмущениях вызвана тем. что реальная система всегда находится под воздействием малых возмущающих сил. которые невозможно учесть при ее математическом моделировании. Эти силы, называемые возмущениями, могут действовать мгновенно, что сведется к малому изменению начального состояния рассматриваемой материальной системы при неизменных дифференциальных уравнениях движения: могут действовать п непрерывно, что будет означать, во-первых, изменение начальных значений, во-вторых, составленные дифференциальные уравнения отличаются от истинных, и в них не учтены некоторые малые поправочные члены.
Устойчивость систем при постоянно действующих возмущениях, малых в каждый момент времени, посвящены работы Г.Н. Дубошпна. И.Г. Малкина. СИ. Горшина. Н.П. Еругпна. Х.Л. Массера и многих других. И.Г. Малыш и СИ. Горшин доказали, что если условие о существовании бесконечно малого высшего предела у функции V фигурирующее в теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости невозмущенного движения, заменить несколько более жестким условием ограниченности частных производных первого порядка по переменным хі,...,хп, то не-
_ 4 -возмущенное движение устойчиво п при малых постоянно действующих
возмущениях.
Н.Н. Красовский доказал, что если невоімущснное движение асимптотически устойчиво равномерно по ta и х(/о), то оно устойчиво при постоянно действующих возмущениях, -малых в среднем. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях, малых интегрально, рассмотрена в работе И. Вркоча.
Из вышеизложенного следует, какое важное значение имеет устойчивость в смысле Ляпунова не только в задачах устойчивости, но и во всякой другой задаче, когда точные уравнения по тем пли иным причинам приходится заменять приближенными.
Цель работы. Исследование вопросов устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения при постоянно действующих возмущениях малых в среднем и исчезающих на бесконечности, исследование устойчивости по квадратпческому и более высокому приближению при постояпно действующих возмущениях, а также вопросы устойчивости по отношению к части переменных при постоянно действующих возмущениях. Применение полученных результатов для исследования электроэнергетических систем, электрогпдравлпческпх систем, нелинейных регулируемых систем с различными типовыми нелпнейвостямп.(Прпмеры приложения теорем об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.)
Методы иссследования. Теоретические исследования проводились на основе общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории матриц, теории устойчивости движения и теорпп управляемости нелинейных систем.
Научная новизна. Доказаны различные теоремы устойчивости п неустойчивости при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности, где ослаблены соответсвуюшие
- 5 -условия классических теорем.. Впервые поставлена и решена задача
об устойчивости по квадратпчегкому приближению прп постоянно действующих возмущениях на основе некоторых лемм, обобщающих леммы Бел.чмана-Гронуолла. Доказаны теоремы об устойчивости и неустойчивости по ш-му приближению прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности. Впервые поставлена и решена задача об устойчивости по отношению к части переменных прп постоянно действукшптх возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности. Рассмотрена задача об устойчивости синхронного генератора п задача об устойчивости сложной электроэнергетической системы прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности, па основе новой функции Ляпунова. Рассмотрены вопросы устойчивости прп постоянно действующих возмущениях малых в среднем и исчезающих на бесконечности для эпектрогпдравлпческпх, нелинейных регулируемых систем с различными типовыми нелпнрнно-
СТЯМП. '
Теоретическая и практическая ценность. Все основные полученные результаты сформулированы в виде теорем и лемм, которые сопровождаются строгими математическими доказательствами. Практическая ценность заключается в решении конкретных прикладных задач, рассматриваемых при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.
Положения, выносимые на защиту. Исследование устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем п исчезающих на бесконечности, исследование устойчивости по квадратпческому и более высокому приближению, по отношению к части переменных прп постоянно действующих возмущениях.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались н обсуждалпсь на Украинской научной конференция "Моделирование и исследование устопчпвостц процессов" (24-28 мая 1993 г., 15-19 мая 1995 г., г.Киев); на конференции -конкурсе молодых ученых и специалистов по математике и механике (25-26 марта 1993 г.,г.Алматы); на первой, третьей и пятой научных конференциях молодых ученых Западного Казахстана (28-30 июня 1990 Г..29-30 пюня 1992 г., 28-29 июня 1994 г., г.Актюбе): на научной конференции, посвященной 60-летию Казахского Нацпонального университета именп Аль-Фараби (12-14 октября 1994 г.,г. Алматы); на семинарах кафедры кибернетики (рук.д.т.н. проф. Т.Н.Бпяров) и теории управления (рук.д.т.н. проф. С.А.Апсагалпев)
Публикации. По теме диссертации опубликованы 7 печатных работ, список которых приводится в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и изложена на 105 страницах машинописного текста. Список использованной литературы содержит 87 наименований. .