Введение к работе
Актуальность темы. Одной из наиболее важных задач теории автоматического управления является задача априорного качественного анализа динамики управляемой системы, по результатам которого обеспечивается устойчивый режим работы сложного технического объекта, адекватная математическая модель которого описывается нелинейными уравнениями. Наиболее мощным и универсальным методом исследования устойчивости нелинейных систем является второй (или прямой) метод A.M. Ляпунова, требующий построения функций, обладающих специальными свойствами на траекториях исследуемой системы. Первоначально этод метод был ориентирован на исследование устойчивости систем ОДУ. В дальнейшем, показав свою большую эффективность, он был развит для систем с распределенными параметрами (А.А. Мовчан, Т.К. Сиразетдннов и др.), систем автоматического управления (Н.Н. Красовский, A.M. Летов), импульсных систем (Я.З. Цыпкин, В.М. Кунцевич, А. Халанай и др.), стохастических систем (И.Я. Кац, Г.Н. Милылтейн, Е.Ф. Царьков и др.), многомерных систем (В.М. Матросов, А.А. Мартынюк и др.), общих динамических систем (В.ЇЇ. Зубов, С.Н. Васильев, А.А. Шестаков, М. Месарович и др.), систем с отклоняющимся аргументом (Н.В. Азбелев, Н.Н. Красовский, А.Д. Мышкис, Дж. Хейл и др.).
Задача исследования устойчивости управляемых систем, кроме своего самостоятельного значения, в большинстве случаев является необходимым этапом и при решении широкого класса оптимизационных задач. Причем, в отличие от классического подхода, когда свойства устойчивости системы управления, уже построенной на основе каких-либо эвристических методов, исследовались вторым методом Ляпунова, в настоящее время насущной задачей стала разработка формализованного и детерминированного метода синтеза устойчивых систем управления. Следует отметить, что на путях решения этой задачи сделаны лишь первые шаги и полученные конструктивные результаты охватывают лишь небольшой класс систем. В первую очередь это объясняется трудностями построения функций Ляпунова, удовлетворяющих условиям той или иной классической теоремы A.M. Ляпунова или их позднейших модификаций. Тем не менее, ввиду высокой эффективности, универсальности, а в некоторых случаях и уникальности второго метода Ляпунова, научные исследования, направленные
на ослабление условий относительно функции Ляпунова, обеспечивающей желаемое поведение решений системы, продолжают неуклонно и настойчиво осуществляться во всем мире.
Все более широкое использование вычислительной техники в управлении сложными системами стимулирует увеличение научных изысканий по теории дискретных управляемых систем и ее приложениям к решению прикладных задач.
Тема настоящей диссертации входит в научную программу "Университеты России", проект N 3.3.1.
Цель работы. Разработка новых методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости для нестационарных нелинейных дискретных систем на основе функции Ляпунова со знакопостоянной производной (первой разностью) путем построения топологической динамики, предельных систем и предельных функций Ляпунова. Получение новых методов синтеза асимптотически устойчивых нестационарных нелинейных систем управления, как непрерывных, так и дискретных. Разработка новых методов стабилизации нестационарных нелинейных дискретных систем без потерь при управлении по неполным данным. Определение условий эквивалентности по обратной связи произвольной управляемой дискретной системы с выходами и системы без потерь, определение стабилизирующего управления для общего случая. Исследование ряда задач прикладного характера.
Методы исследования. Для получения фундаментальных результатов, представленных в диссертации, использованы методы математической кибернетики, функционального анализа, теории устойчивости движения, теории автоматического управления, теории импульсных систем.
Достоверность результатов диссертации обосновывается приведенными доказательствами всех теорем и утверждений.
Научная новизна. Общая методология работы основывается на подходе А.С. Андреева (1984) к исследованию устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений, который был перенесен и развит для класса дискретных управляемых систем путем построения топологической динамики этих систем. Развиты известные методы синтеза асимптотически устойчивых непрерывных и дискретных нелинейных нестационарных систем управления путем ослабления условий на функцию Ляпунова и ее производную, что делает возможным
стабилизацию при неполной обратной связи. Впервые введено понятие нестационарной нелинейной дискретной системы управления без потерь. На основе новой концепции нуль-наблюдаемости нестационарных нелинейных дискретных систем без потерь получены новые результаты о локальной и глобальной стабилизации таких систем по неполным данным. Получены необходимые и достаточные условия эквивалентности по обратной связи произвольной дискретной системы, управления с выходами и системы управления без потерь, определены общая и частная формы закона обратной связи для локальной и глобальной стабилизации системы общего вида.
Теоретическая и практическая значимость. Научная и практическая значимость работы определяется тем, что совокупность общих теорем, полученных в диссертации, представляет собой эффективный инструмент решения задач об устойчивости нестационарной нелинейной дискретной системы (например, задача об асимптотической устойчивости и неустойчивости дискретной эпидемической модели), широкого класса практически важных задач синтеза устойчивых управляемых систем, примером чего служит рассмотренная в диссертации задача об управлении нестационарными режимами в ядерном реакторе. Особо следует подчеркнуть новые результаты о стабилизации дискретных нестационарных нелинейных систем по неполным данным, что имеет прямое практическое приложение к построению систем управления реальными техническими объектами с помощью ЭВМ.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Проведено развитие методов исследования притяжения, асим
птотической устойчивости и неустойчивости решений дискретных не
линейных нестационарных систем путем построения топологической
динамики этих систем и использования функций Ляпунова, имеющих
лишь знакопостоянную производную. Эффективность метода пока
зана на примере дискретной эпидемической модели.
2. На основе топологической динамики непрерывных систем и ме
тода предельных функций Ляпунова развиты известные и получены
новые достаточные условия стабилизируемое по неполным данным
непрерывных нелинейных нестационарных управляемых систем об
щего вида при скалярном и векторном управлениях.
3. Получены новые методы синтеза асимптотически устойчивых
непрерывных линейных и нелинейных систем управления с выделен-
ной линейной частью при использовании функций Ляпунова вида '"квадратичная форма фазовых координат" и линейного управления. Показана возможность стабилизации таких систем с помощью нелинейного управления.
4. Проведено решение задачи устойчивого управления нестацио
нарными режимами ядерного реактора. При этом рассмотрены: мо
дель гомогенного реактора с линейной температурной обратной свя
зью с учетом всех шести групп запаздывающих нейтронов при внеш
нем управлении реактивностью; усложненная модель реактора с нели
нейным динамическим регулятором.
-
Для дискретных управляемых систем общего вида получены достаточные условия оптимальной относительно функции Ляпунова стабилизации по неполным данным при скалярном управлении.
-
Решена задача синтеза асимптотически устойчивых дискретных линейных и нелинейных управляемых систем с выделенной линейной частью при линейном, оптимальном относительно функции Ляпунова управлении.
-
Получены новые достаточные условия глобальной стабилизации и явный вид стабилизирующего управления для дискретных нестационарных систем управления без потерь на основе топологической динамики этих систем. Определены необходимые и достаточные условия эквивалентности по обратной связи произвольной дискретной системы управления и системы без потерь, найден стабилизирующий закон управления в общем случае.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на
5 Международном коллоквиуме по качественной теории дифференциальных уравнений (г. Сегед, Венгрия, 1996 г.)
Международном конгрессе "Молодежь и наука: третье тысячелетне" (г. Москва, 1996 г.)
XI Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики (г. Ульяновск, 1996 г.)
XVII Конференции молодых ученых (г. Москва, 1995 г.)
Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 1995, 1996 гг.)
Региональной конференции "Фундаментальные проблемы математики и механики" (г. Ульяновск, 1996 г.)
— III-V ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета (1994, 1995, 1996 гг.)
Личный вклад. Основные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем проф. А.С. Андреевым. Доказательство всех утверждений и теорем, исследование приложений, анализ результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 11 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 87 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем -- 131 страница.