Введение к работе
Актуальность темы.. Задача размещения является одной из важнейших задач народного хозяйства, которая возникает при оптимальном размещении предприятий некоторой отрасли. В связи с этим разработка методов и алгоритмов решения задач размещения меет большое значение.
Этой проблеме посвящено множество работ и предложены раз- '
пичные методы решения задачи А.Г.Аганбегяном,. Б.И.Алейниковым,
{.А.Багриновским, Е.Г.Гольштейннм, й.Г.Гирсановым, В.А.Емеличе-
зым, А.Д.Заикиным, В.Г.Кармановым, Д.М.Казакевнчем, й.З.Кагано-
зичем, В.А.Машем, Г.д.Рахманиным, В.П.Черениным, В.Р.Хачатуро-
вым и др. Существующие методы позволяют решать однопродуктовые
задачи размещения в случае, когда функции, отражающие завискмо-
зть стоимости производимой продукция от объема производства -
- выпуклые или вогнутые непрерывные. Среда них хорошо разрабо
таны алгоритмы, основанные на методе последовательных расчетов
В.П. Черенина, которые.позволяют находить точное решение одно-
продуктовой задачи размещения, когда функций» отражавшие, зави
симость стоимости производимой іпюдукциа от объема производства,
линейные и непрерывные на всей числовой оси за исключением нача
ла координат, где они имеют разрыв,. '' "
Методы и алгоритмы решения шіогопродуктовой задачи размещения, у которых функции, отражающие, зависимость .стоимости производимой продукции, (с учетом, капитальных вложений) от объема производства каждого вида, являются нелинейная "дока еще, по види-г.юму, слабо развиты как. у нас '(в блйкнеи зарубвньиЬ так и за рубежом. В связи с этим целесообразна разработка методов и алгоритмов решения многопродуктовой задачи рашзщзНзя, у которых функции, отражающие зависимость стоимости производаггоа продукция от обьема производства кандого вида, являются нелинейными (разрывными).
Цель и задачи работа.' Исследовать классы шогодродуктовых задач размещения с ограничениями и без ограничений на объемы, про-яз2одетва продукции, а такте с искомыми обьеыаш производства и переработки в случае, когда функции,, отражающие зависимрсть сто-рюсти производимой продукции (с учетом капвложений) от обьема производства кэддого вида, нелинейные (разрывные).
Найти и доказать достаточное условие применимости метода последовательных расчетов, к решению данного класса задач. Доказать существование по крайней мере одного ряда подмножеств конечного множества, содержащий множество, на котором значение функционала достигает своего локального минимума, в качестве своего элемента,вдоль которого значение функционала монотонно не убывает после этого множества. Разработать алгоритмы решения дл* рассомотренного класса задач. Полученные результаты обобщить для других многопродуктовых задач размещения с нелинейными (разрывными) целевыми функциями.
Метода исследования. Задача размещения у которой функции, отрагаащие зависимость стоимости производимой продукции от объема производства - выпуклые непрерывные, относится к классу задач обладающему тем свойством, что любой локальный минимум задачи яв ляется одновременно и глобальным минимумом. Для решения такого класса задач может быть применен приближенный метод, основанный на кусочно-линейной аппроксимации, которая позволяет найти глобальный оптимум с любой наперед заданной точностью.
Если 'функции вогнутые непрерывные, выпуклые или линейные непрерывные на всей числовой оси за исключением начала коорди-. нат, где они имеют разрыв, то задача размещения относится к классу задач, обладающему тем свойством, что они имеют множество локальных минимумов, которые находятся на -вершинах многогранника решений. Это обстоятельство сильно затрудняет нахождение глобального минимума задачи. В этом случае для решения задачи может быть применен специальный метод.
Основные полосакпя выноскше на защиту. Опре деление достаточного условия применимости метода последовательных расчетов для класса многопродуктовых задач размещения с .ограничениями и без ограничений на обьеш производства продукции каждого вада, а также с искомыми объемами производства и переработки, у которых функции отражающие зависимость стоимости производимой продукции от обьема производства каждого видаг нелинейны (разрывны). Доказательство' достаточного условия применимости метода последовательных расчетов к решению задач данного, класса. Доказательство, что для локального минимума всегда существует такой ряд подмножеств, содержащий оптимальный вариант, вдоль которого определен-
t.
ная в работе функция монотонно (не строго) возрастает после оптимального варианта. Разработка алгоритма решения рассмотренного класса задач. Обобщение полученного результата для двухэтапной одно и многопродуктовой задачи размещения с нелинейными (разрывными) целевыми функциям.
Научная новизна. Исследован класс многопродуктовых задач размещения о нелинейными (разрывными) целевыми функциями с ограничениями и без ограничений на объемы производства продукции каждого вида, а также с искомыми обьемами производства и переработки. Найдено достаточное условие применимости метода последовательных расчетов для рассмотренного класса задач, отличный от формулировки В.П. Черенина. Доказана применимость метода последовательных расчетов к решению задач данного класса. Доказано утверждение, что для любого локального минимума всегда существует по крайней мере один ряд подмножеств, содержащий оптимальный вариант, вдоль которого определенная функция монотонно (не строго) возрастает после оптимального варианта. Разработан алгоритм решения рассмотренного класса задач. Полученные результаты обобщены для двухэтапной одно и многопродуктовой задачи размещения с нелинейными (разрывными) целевыми функциями. Тем самым:
-расширен класс задач размещения включением класса многопродук-тозых задач размещения с нелинейными (разрывными) целевыми Функциями;
-расширен класс задач решаемых методом последовательных расчетов.
Практическая ценность. Разработанные методы и алгоритмы решения многопродуктовой задачи размещения с нелинейными (разрывными) целевыми функциями могут быть использованы-для решения ' задач оптимального размещения пунктов производства и определения объемов выпускаемой продукции каждого вида в различных отраслях промышленности и сельского хозяйства, а полученные теоретические результаты - в дальнейших исследованиях и разработках методов и алгоритмов решения многоэкстремальных задач.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах института математики под руководством член корр. РАН, академика HAH К? М. Иманалиева (Национальная Академия Наук Кыргызской Республики), профессора С.А.Ай-
сагалиева (Казахский Национальный Государственный Университет им. Аль - ФараОи), кандидата физико-математических наук, старшего научного сотрудника А. Жусупбаева (лаборатория экономико-математических методов, Институт математики НАН КР), на III Всесоюзной шко ле-семинаре по проблеме "Численные методы для высокопроизводительных систем" (г. Фрунзе, .1988), на семинаре мевдународной конференции по теории узлов (Турция, Ерзурум, 1992г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах [1]-[6]. В работах, выполненных в соавторстве, автором внесен равноценный вклад.
Структура и обьеы диссертации. . Диссертация включает в себя введение, четыре главы, выводы и список литературы. Первая глава носит вспомогательный характер, в нем сформулирована общая постановка исследуемых класс задач размещения, приведены основные определения и теоремы, необходимые для дальнейшего изложения материала излагается обзор литературы и основные результаты работы. Во второй главе разработан метод решения задачи размещения с непрерывной целевой функцией, Которое можно использовать в алгоритмах метода последовательных расчетов при решении задач с нелинейными (разрывными) целевыми функциями. В третьей главе доказана применимость метода последовательных расчетов к решению класса многопродуктовых задач размещения с нелинейными (разрывными) целевыми функциями. В четвертой главе доказана применимость метода последовательных расчетов к решению двухэтаяной одно и многопродуктовой задачи размещения. Диссертация изложена на .129 страницах, библиография включает в себя 59 наименований.