Содержание к диссертации
Введение
1 Фазовые системы . 10
1.1 Дискретные фазовые системы. Основные определения и свойства. Канонические формы записи 10
1.2 Задача Стокера о числе проскальзывания циклов 12
1.3 Постановка задач для многомерных дискретных фазовых систем 17
2 Оценка числа проскальзываний циклов с помощью процедуры Бакаева-Гужа . 19
2.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов 20
2.2 Учет ограничений на производную от нелинейности в частотном условии 30
3 Оценки числа проскальзываний циклов при помощи метода нелокального сведения . 37
3.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов 37
3.2 Оценка снизу числа проскальзываний циклов 43
3.3 Улучшение частотного условия в оценке снизу . 57
4 Дискретная фазовая система с внешним воздействием . 64
4.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов 65
4.2 Оценка снизу числа проскальзываний циклов 73
5 Оценка времени установления переходного процесса для дискретной фазовой системы . 89
5.1 Верхняя оценка времени установления переходного процесса по выходу. 89
6 Переходные процессы в системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты (ИФАПЧ) с пропорционально интегрирующим фильтром . 104
6.1 Математическое описание системы ИФАПЧ 107
6.2 Аналитическая проверка условий теорем 3.1 и 3.3 109
6.2.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов 110
6.2.2 Оценка снизу числа проскальзываний циклов 112
6.3 Сравнение результатов полученных при помощи теорем 3.1, 3.3 и численного моделирования 116
Заключение. 119
Приложение. 121
Список литературы. 128
- Задача Стокера о числе проскальзывания циклов
- Учет ограничений на производную от нелинейности в частотном условии
- Улучшение частотного условия в оценке снизу
- Оценка сверху числа проскальзываний циклов
Введение к работе
История математического исследования нелинейных фазовых систем автоматического управления началась с работ Ван-Дер-Поля [82, 83], Ф. Трикоми [81]. Методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости, созданные А. М. Ляпуновым, А. Пуанкаре и И. Бендиксоном, позволили провести широкое исследование переходньїх процессов в системах фазового управления, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков- Обзор результатов по этой тематике можно, в частности, найти в работе В. Линдсея [35]. Среди работ, посвященных анализу процессов в непрерывных фазовых системах управления, отметим работы Ю. Н. Бакаева [5], В. Н. Белых и В. И. Некоркина [11, 12], Л. Н. Белюстиной [13], Б. И. Шахтарина [52]. С помощью качественно-численных методов системы фазовой синхронизации исследовались в работе Л. Н- Белюстиной и В. Н. Белых [8]. В 70-е годы Г. А. Леоновым были предложены новые методы изучения фазовых систем, (в частности, метод нелокального сведения), которые позволили исследовать системы произвольной размерности [27, 28, 29],
В системах управления, в радиоавтоматике, радиоизмерительных комплексах и других системах авторегулирования все шире применяются системы (разовой автоподстройки частоты (фазовой синхронизации) с элементами дискретизации. Применение элементов дискретизации в системах фазовой автоподстройки частоты позволяет эталонного сигнала повысить надежность работы системы, упростить технологию ее изготовлешія и настройки, облегчить сопряжение системы с цифровыми
ЭВМ, максимально использовать преимущества микросхемотехники. Существенный вклад в исследование практических и теоретических вопросов, связанных с изучением фазовых систем с элементами дискретизации, внесли труды В. А. Левина [26], В. Н. Кулешова и А. А. Морозова [25], Ф. РаЙтмана [37, 72, 73, 74], Г. А. Леонова, Ю. А. Корякина А. Н. Карпычева, А. И. Шепелявого [19, 21, 33, 34], и многих других авторов.
Однако, несмотря на значительное число опубликованных работ, они относятся, в основном, к задачам устойчивости и колебательности. Полученные в диссертационной работе результаты для переходных процессов являются новыми и дополняют имеющиеся исследования многомерных дискретных фазовых систем.
В данной работе рассматривается класс многомерных дискретных фазовых систем, математическое описание которых сводится к нелинейным разностным уравнениям с выделенной линейной частью и аддитивно входящей периодической нелинейностью. Такими уравнениями описываются, например, системы (разовой автоподстройки частоты с элементами дискретизации [51, 58]. Любая из систем данного класса может работать в двух различных режимах: синхронном режиме (режиме сопровождения) и режиме захвата (режим установления или переходный процесс) Каждый из этих режимов имеет определенные физические ограничения и характеристики. Среди наиболее информативных характеристик переходного процесса, позволяющих проанализировать работу системы, можно выделить следующие: число проскальзываний циклов и время установления переходного процесса. В системах фазовой синхронизации вместо слов "проскальзывание циклов"
часто употребляется термин "перескок разности фаз" [51]. Число проскальзываний циклов характеризует изменения выходной переменной, кратные периоду входящей в систему нелинейности, является важной характеристикой переходных процессов и определяет работоспособность системы в целом. Вторая характеристика определяется как время, необходимое для того, чтобы изменение фазовой ошибки не превышало периода нелинейности, входящей в систему [35, 75].
Задача о числе проскальзываний циклов, более 30 лет назад решенная Стокером [78] для маятника, сразу нашла многочисленные применения в технике, в частности, в теории систем фазовой синхронизации, синхронных электрических машин, синхронно-следящих машин [51, 58]. Для многомерных непрерывных систем в работе О. Б. Ершовой, Г. А. Леонова [31] в работах С. Али-Хабиба, А. В. Морозова, А. И. Шепелявого [39, 40] и затем в диссертациях О. Б. Киселевої! [20] и С. Али-Хабиба [38] рассматривались задачи, связанные не только с оценками числа проскальзываний циклов, но и с оценками некоторых других характеристик переходных процессов в непрерывных системах произвольного порядка. Отметим также, что в ряде работ явление проскальзывания циклов изучалось в связи с наличием внешних помех в системе [43, 44, 45, 46, 47, 48, 54].
Говоря об оценках времени переходных процессов в непрерывных системах фазовой синхронизации автоматического регулирования, необходимо начать с теории, предложенной Ричменом [75]. Для различных видов нелинейностей этот метод применяли Бирн [62], Мейер [69], Шахтарии [53]. Другие методы определения времени установления частоты были предложены в работах [76, 71, 77, 70, 68] Все перечисленные
работы, за исключением статьи Мейера, в которой исследуется система третьего порядка, касаются систем фазовой синхронизации второго порядка. Для непрерывных систем произвольного порядка задача оценки времени установления частоты рассматривалась в диссертации О. Б. Киселевой [20].
В диссертационной работе исследуются переходные процессы в многомерных дискретных системах управления с периодической нелинейностью при наличии внешнего возмущения или без него. Для этого используется аппарат второго метода Ляпунова, процедура Бакаева-Гужа [6], специально предназначенная для исследования систем с цилиндрическим фазовым пространством. Согласно процедуре Бакаева-Гужа исходная нелинейная функция заменяется в функциях Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности" на функцию с теми же нулями, но меньшим по модулю средним на периоде. Также используется дискретный вариант частотной теоремы В. А. Якубовича о разрешимости специальных матричных неравенств [15, 27, 29], расширенный на дискретные системы метод нелокального сведения Г. А. Леонова [15, 33, 34], основанный на использовании информации об устойчивости систем более низкого порядка, и результаты А. Н. Чурилова [49] об оценках специального функционала, определенного на решениях матричных неравенств, связанных с частотной теоремой.
С помощью этих методов сформулированы утверждения, позволяющее получить оценки области начальных значений, при которых решения системы имеют заданные оценки числа проскальзываний циклов и времени установления переходного процесса.
Для численного моделирования результатов данной работы в основном была использована универсальная среда Mathcad [24]. Она позволяет вводить исходные данные как в обычном текстовом редакторе, традиционно описывать решение задач и получать результаты вычислений в аналитическом и численном виде с возможностью использования средств графического представления результатов, а также может взаимодействовать с другими приложениями, например, данные программы Exel или системы Matlab могут непосредственно включаться в вычислительный поток системы Mathcad. Среди пакетов программ системы Matlab отметим LMI Control Toolbox [63], с помощью которого можно реализовать проверку частотных неравенств. Однако, в случае невысокой размерности фазового пространства рассматриваемой системы частотные условия можно легко проверить аналитически.
В первой главе диссертационной работы даются основные определения и свойства нелинейных дискретных фазовых систем, описывается задача Стокера о числе проскальзываний циклов на примере двумерной фазовой системы. Даются определения рассматриваемых характеристик переходных процессов и постановка задач по их оценке для многомерных дискретных фазовых систем. В последующих главах рассматривается многомерная дискретная фазовая система. Глава 2 посвящена оценке сверху числа проскальзываний циклов с помощью процедуры Бакаева-Гужа, распространенной на дискретные системы. Предлагаются частотные критерии для оценки сверху числа проскальзываний циклов в общем случае и с учетом условий на производную от нелинейности системы, что позволяет улучшить частотное условие в критерии для общего случая. В главе 3 даются оценки сверху и снизу числа проскальзываний циклов
при помощи расширенного на дискретные системы метода нелокального сведения. Показано, что, используя результаты А. Н. Чурилова в оценке снизу числа проскальзываний циклов можно улучшить частотное условие и упростить поиск варьируемых параметров. В главе 4 для системы с внешним детерминированным возмущением задачи оценок числа проскальзываний циклов сверху и снизу решены также при помощи метода нелокального сведения. В главе 5 изучается задача оценки времени установления переходного процесса для решения рассматриваемой многомерной дискретной фазовой системы. Сформулирован критерий, позволяющий получить оценку области начальных значений, для которых время установления переходного процесса по выходу не превосходит заданной величины. В главе 6 на основании полученных результатов проведено исследование переходных процессов в системе импульсно-фазовой автоиодстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром и типовыми характеристиками фазового детектора. Полученные оценки областей начальных состояний, для которых система имеет заданное число проскальзываний циклов, найденные аналитическими методами, достаточно близки к соответствующим границам для начальных значений, которые были получены численным моделированием.
Основные результаты диссертации докладывались на двух Российских и семи Международных конференциях [85] - [92], а также опубликованы в работах [93, 94, 95, 96, 97, 98].
Задача Стокера о числе проскальзывания циклов
Одна из рассматриваемых задач диссертационной работы связана с задачей оценки числа проскальзываний циклов для решения фазовой системы. Впервые такого типа задача была поставлена и решалась Дж. Стокером [78] для уравнения вида Это уравнение описывает движение маятника в среде, которая при движении маятника создает силу, пропорциональную квадрату его скорости и направленную противоположно этой скорости. Дж. Стокером рассматривалось движение, переходящее в режим затухающих колебаний около состояния равновесия. Задача заключалась в определении интервала начальных скоростей, при которых маятником осуществляется предварительно заданное число оборотов (циклов). Предположим, что маятнику, находящемуся в начальный момент времени t = 0 в состоянии х = 0 сообщается некоторый импульс так, что он приобретает начальную угловую скорость х (0) = х 0. Ясно, что если эта скорость мала, то маятник будет совершать затухающие колебания вокруг точки х = 0, не делая при этом полных оборотов вокруг точки подвеса. Если же скорость достаточно велика, то маятник сделает один или более оборотов прежде, чем начнет колебательное движение относительно устойчивого положения равновесия. На фазовой плоскости (ат, х ) этому движению будет соответствовать траектория, выходящая из точки (0,3 ), причем, начиная с некоторого момента времени, она спирально закрутится вокруг одного из устойчивых положений равновесия (птг, 0). Легко видеть, что число п будет четным и определится через величину х . Задача заключается в том, чтобы указать интервал (а,/?) значений начальной скорости ггр, для которых соответствующая траектория притянется к заранее вьібраниоліу положению равновесия х = тг, х = 0. Физически это означает, что надо указать интервал начальных скоростей, при которых движение маятника осуществляется с предварительно заданным числом оборотов (циклов) прежде, чем он перейдет в колебательный режим. Сформулированная задача о числе проскальзываний циклов в данном случае в силу специфики уравнения (1.2.1) допускает простое аналитическое решение. Действительно, полагая у = х /ш, запишем уравнение (1.2.1) в виде Последнее, в свою очередь, эквивалентно двум уравнениям: учитывая, что у = х /и, получим Нетрудно видеть, что это уравнение при Отсюда следует, что если маятнику, находящемуся в нижнем положении равновесия х — 0, сообщить начальную скорость х 0 = хг{0) : а2 XQ2 /З2, где то он совершит к/2 оборотов вокруг точки подвеса и перейдет в колебательный режим. Заметим, что сформулированная выше задача для маятника в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости, в случае маятника с вязким трением не представляется столь тривиальной и требует привлечения приближенных или качественных методов, не говоря уже о многомерных ее аналогах. Задача Стокера изучалась ранее в ряде работ.
В статье А. Дж. Витерби (1963) [84] проведен анализ поведения диффузионного уравнения Фоккера-Планка (дифференциального уравнения первого порядка) и получено точное выражение для оценки разности фаз уравнения первого порядка и приближенное — для уравнения второго порядка. В 1967 году Р. Тасворс [79] показал, что число проскальзываний циклов уравнения произвольного порядка может быть найдено через решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. В 1970 г. Е. А. Бозони, Дж. Марчети, У. Менгали, Ф. Руссо [60] рассматривали дифференциальное уравнение первого порядка и предложили формулу для числа проскальзываний циклов в виде быстро сходящихся рядов. В 1972 г. Р. Тасворс [80] упростил ранее предложенную им формулу для среднего числа проскальзываний циклов для уравнения первого порядка и указал на возможность ее расширения на уравнений более высокого порядка. В качестве систем сравнения, применяемых в связи с использованием метода нелокального сведения, будем использовать подобную систему маятникового типа — дифференциальное уравнение второго порядка и соответствующее ему уравнение первого порядка где а — некоторое положительное число, () — непрерывно дифференцируемая Д-периодическая функция из системы (1.1.3) имеющая на периоде [0, Д) два однократных нуля: ті, т 2, для определенности ПОЛОЖИМ 7\ 02, (pf((Ti) 0, (fiffa) 0 Свойства решений уравнения (1.2.2) практически исчерпывающе изучены [7]. В частности, существует акр такое, что а) при а акр любое решение уравнения (1.2.2) при і — -Ьоо стремится к некоторому состоянию равновесия (рис. 1);
Учет ограничений на производную от нелинейности в частотном условии
Из неравенства (2.1.13), наблюдаемости пары (Л,с) и того, что все собственные значения матрицы А расположены внутри открытого единичного круга, следует Н 0 [15]. Рассмотрим последовательность W(n) = х (п)Нх(п). Она удовлетворяет всем условиям леммы 2.1. Действительно, в силу положительной определенности матрицы Н, выполнено W{n) О для всех целых п 0. Покажеді выполнение условия 1) леммы 2.1, то есть выполнение неравенства Преобразуем левую часть (2.1.14) в силу системы (1.3.1): И, поскольку Ф(ж(п),(р( т(п))) 0, условие 1) леммы 2.1 выполнено. Условие 2) леммы 2.1 совпадает с условием 2) теоремы 2.1. Следовательно, справедлива оценка (2.1.2) леммы, совпадающая с оценкой (2.1.1) теоремы. Теорема 2.1 доказана. 2.2 Учет ограничений па производную от нелинейности в частотном условии. Рассмотрим квадратичные формы {и + 1)-вектора х и скалярной величины i где H = H — некоторая {у х і -матрица, є, г}, м7т — числа. Сделаем ряд замечаний. Замечание 2.2. Из управляемости пары (А, Ь) следует управляелюстпь пары (Р, L). следовательно, В самом деле, столбцы матрицы из равенства (2.2.3) получены из столбцов матрицы, стоящей в равенстве (2.2.2), путем добавления к каждому последующему столбцу (начиная со второго) всех предыдущих. Таким образом, у этих матриц одинаковые определители. Тогда, так как то det(tf) ф 0. Замечание 2.3. Справедливы, равенства: Умножая обе части (2.2.7) на с\, получим {р— \)с\{Р — pE) lL — К{р), откуда следует справедливость (2.2.4). При умножении же обеих частей (2.2.7) на L имеем (р - 1)L (P - pE) lL = —1, откуда следует справедливость (2.2.5). Лемма 2.2. Пусть все собственные числа матрицы А содержатся внутри единичного круга. Если ЛІООІСНО указать такие числа е 0, т/ О, и ф 0, г 0, что для всехр, \р\ = 1, выполнено частотное неравенство Ш{хХ{р)-\х{р)\2- П -+-г(аіх(р) + (р-1)) ((р-1)+а2х(р))} 0 (2.2.8) то существует {и —Ь 1) х {и + 1)-матрица Н — Н такая, что Л/(у, і) 0 для всеао і/ Є R"+1, i R и квадратичная форма W{n) = у (п)Ну(п) ограничена при п 0. Доказательство лелммы 2.2. Согласно частотной теореме [57] для того, (2.2.9) необходимо. и достаточно, чтобы при всех р, \р\ = 1 выполнялось неравенство где форма Fi(y}\) полечена распространением формы і \ на комплексные значения аргументов с сохранением эрмитовости. Рассмотрим —1\ Г„ 1 Следовательно, выполнение частотного неравенства (2.2.8) обеспечивает выполнение неравенства (2.2.10).
Тем самым доказывается существование матрицы Н = Н , обеспечивающей выполнение неравенства (2.2.9). Рассмотрим теперь последовательность W(n) = у (п)Ну(п), Так как все собственные числа матрицы А лежат внутри единичного круга, а функция ( т) ограничена, то \у(п)\ const при п 0. Это неравенство гарантирует ограниченность последовательности W(n) при п 0. Лемма 2.2 доказана. Теорема 2.2. Пусть все собственные числа матрицы А содержатся внутри единичного круга, пара (А,Ь) управляема, пара (А,с) наблюдаема. Пусть также существуют такие числа є 0, 7} 0, к ф 0, г 0, что выполнены следующие условия: 1) справедливо частотное неравенство (2.2.8); 2) справедливы неравенства И — Я" — вещественная {v + 1) х {у + 1)-лштриг{а, для которой при любых у, ,\ выполнено неравенство М(т/, i) 0. Тогда для решения (х(п),а(п)) системы (1.3.1) с начальными данными (#(0),(7(0)) при всех натуральных п выполняется неравенство Прежде чем проводить доказательство теоремы 2.2, установим лемму ляпуновского типа. Предполагаем, что заданы последовательности 7(п) и И7(ТІ), где W(n) ограничена снизу для всех п = 0,1,2, — Пусть р(а) — непрерывно дифференцируемая Д-периодическая функция, имеющая на периоде [0, Д) два простых нуля и удовлетворяющая неравенствам Лемма 2.3. Пусть для чисел є 0, rj 0, сф 0, натурального числа т и последовательностей а(п), W{n), функции р[а) с вышеуказанными свойствами выполнены условия: 1) для любых целых п 0 справедливо неравенство
Улучшение частотного условия в оценке снизу
Рассмотрим систему (1.3.1), в которой параметр р 0. В следующей теореме отражено улучшение частотного условия с помощью результатов А. Н. Чурнлова об оценках специального функционала, определенного на решениях матричных неравенств, связанных с частотной теоремой В.А. Якубовича. Для этого определим число /3 следующим образом. Введем обозначения K(s) с (А - sEn) \ 8{s) = det(sEn - A), v{s) = 5(s)K(s). Для 5, r Є С и параметра є определим полином Представим дробно-рациональную функцию cr(s) — ir(X2s l)X2s) в виде квазимногочлеиа со старшей степенью т и обозначим ат = limsm r(s) при s — 0. Число {3 определим соотношением Введем в рассмотрение следующие квадратичные формы где И = Н , А, ЄІ — некоторые параметры, г — 1,2. Теорема 3.3. Предположил что существуют числа I"6N, А Є (0,1), а 0 такие, что для них выполнены следующие условия 1) матрица А М имеет только одно собственное число вне замкнутого единичного круга; 2) пусть Oi(t), г = 1,2 — решения уравнения (1.2,2) с начальными данными 0(0),±0(0) такие, что существует моменты времени ti 0, для которого имеет место оценка и для любого і Є (0, ti) верно \&i(t)\ 0; 3) для любого р Є С, \р\ = 1, выполнены частотные условия Єі = тах{0, max [-(а,Р/(0)+ у/(0))]}, (3.3.6) а функции F{(Q) является решениями уравнения (1.2.3) с начальными данными Fj(0(O)) — ±0(0) и обладает свойствами F\[Q) 0, i f) О дляве[Є{0),Є(и)]; 4) для чисел РІ, г 1,2, определенных по формуле (3.3.1), справедливы неравенства а (1 — А2) -\/Д-/2; 5) для 7i = ау/2Р[г + А2 — 1, і — 1,2 выполнены неравенства Тогда для любого решения (х(п),а(п)) системы (1.3.1) с начальными данными, удовлетворяющими условиям где Н И обеспечивает Wi{x ) 0 для любых х и , jrr[ + [ ф О ЇІ удовлетворяет равенству сН 1с —Рї, существует дискретный момент времени N 0 такой, что Доказательство теоремы 3.3 проводится по схеме доказательства теоремы 3.2.
Определим множество Т = {п \ п 0, сг(п) Є [Q(0),G(i)]} и рассмотрим где Н Н — некоторая вещественная {и х у)-матрица, а функции Fi{a) — решения уравнения (1.2.3) с начальными данными І І(СГ(0)) = ±6(0), и обладает свойствами F\(&) 0, (0) 0 для о Є [в(0), 0(j)]. Построим множества ri = {{x, r)\Vi(x1o) 0}, 1 = {а;с+а: 0}РГь Q2 = {х с х 0} "ГУ Покажем, что в условиях теоремы 3.3 найдется матрица Н — Н такая, что для нее и указанных выше функций Ffa) множества Qt обладают свойством положительной инвариантности: для любого п 0, п Т, п + 1 Т из (х(п), о{п)) Є П{, следует (х(п + 1), cr{n + 1)) Є f2t-. Докажем сначала выполнение следующее свойства: для любого п 0, п Є Т, п -f 1 Т из (ж(п), сг(п)) 6 f2j, следует (ж(п + 1), а{п 4-1)) Є ГУ Для этого рассмотрим приращение функций Ляпунова на решениях системы (1.3.1) ЇУ,-(а;(п),(гг)) и Gi(x(n),(n)) определены по формулам (3.3.2) и (3.3.3). По частотной теореме в силу условия (3.3.5) имеем Как и в доказательстве теоремы 3.2, можно получить ряд полезных в Откуда следует существование числа т 0 такого, что при всех х справедливо Также аналогично доказывается, что с Ь ф 0. Получим еще одно следствие из неравенства (3.3.12), полезное для оценки сверху параметра г 0 в неравенстве (3.3.14). Домножив (3.3.12) на А2 и перенеся Gi(x,t;) в правую часть, получим {Ах + Ь) Н(Ах + 6) - \2х Нх (1 + 2єіР)с х - ЄІ(С Х)2 - єіР22 (3.3.15) Обозначим коэффициенты при х2, с х и 2: а = —е(-, 6=1 + 2ег-р, с = —Єір2. В работе [49] показано, что если выполнено Ь2 — 4ас 0, то существует решение Н неравенства (3.3.15) такое, что где / определены соотношениями (3.3.1). Действительно, в нашем случае А 6 — 4ос = 1 + АЄ{р 0 т.к. Є{ 0, и р 0. Поэтому найдется решение Н неравенства (3.3.15), удовлетворяющее равенству (3.3.16). Оценим сверху параметр г 0 в неравенстве (3.3.14). Для этого Н с
Оценка сверху числа проскальзываний циклов
Рассмотрим выполнение условий теорем 3.1 и 3.3. Определим требования к параметру а, при которых все решения уравнения (1.2.2) ограничены на [О, +оо). Из существования ограниченного решения уравнения (1.2.2) долно следовать существование решения с определенным свойством задачи Коши: где а 0, (р(9) = 0c(F(9) —7)1 С@) — характеристика иыпульсно-фазосого детектора, Пс = &уТп — полоса синхронизма, 7 — Пи Д2у — относительная начальная расстройка, Пу — полоса удержания, 0,ц — начальная расстройка системы, Тц — период следования сигналов импульсов. Для определения параметра а перейдем к нормированной характеристике импульсно-фазового детектора. Введем новую переменную z — у/\/Ос и обозначим а. = а/\/Пс, тогда задача Коши (6.2.1) примет вид Воспользуемся зависимостью 7 от aj2, приведенной в работе [10]. Возьмем пары значений az и 7» соответствующие глобальной асимптотической устойчивости уравнения (6.2.2). Предположение об ограниченности всех решений системы (6.2.2) будет выполнено при условии акр аг, где акр — бифуркационное значание параметра а-. Учитывая обозначение az = а/у/Пс, заключаем, что предположение теоремы об ограниченности всех решений системы (1.2.2) будет выполнено при условии агКрл/Т2с а Напомним представление передаточной функции в виде правильной дроби х{р) — тщ- Для проверки частотного условия перейдем от комплексной переменной р, \р\ = 1 к вещественной переменной ш следующей заменой: р — jrfj. Запишем в терминах новой переменной элементы частотного условия, общие для всех теорем. 6.2.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов. Рассмотрим выполнение условий теоремы 3.1 для рассматриваемого примера системы ИФАПЧ. Требования к варьируемым параметрам: А Є (0,1), є 0 а 0, а2 2(1 — А2). Выбор параметра а 0 описан в разделе 6.2. Условие 1) приводит к условию 0 5 А 1. Для проверки условия 4) теоремы 3.1 воспользуемся выведенными ранее формулами (6.2.4) и (6.2.5). Отсюда имеем Таким образом, частотное условие принимает вид (знаменатель в силу своей положительности не влияет на знак неравенства) Очевидно, что неравенство (6.2.7) будет верно при выполнении двух условий на его коэффициенты: А 0 и В 0, то есть Рассмотрим эти неравенства относительно параметра А Заметим, что Х± = — Af, а Х2 — — Af. Убедимся, что под корнем не оказалось отрицательное число, то есть, выполнено дополнительное условие К2 — К2Ко 0: В зависимости от знака коэффициента при старшей степени А, значения параметра А 0 следует брать либо в пормежутке между корнями либо больше большего корЕія. То есть, ограничены на [О, +оо). Из существования ограниченного решения уравнения (1.2.2) долно следовать существование решения с определенным свойством задачи Коши: где а 0, (р(9) = 0c(F(9) —7)1 С@) — характеристика иыпульсно-фазосого детектора, Пс = &уТп — полоса синхронизма, 7 — Пи Д2у — относительная начальная расстройка, Пу — полоса удержания, 0,ц — начальная расстройка системы, Тц — период следования сигналов импульсов.
Для определения параметра а перейдем к нормированной характеристике импульсно-фазового детектора. Введем новую переменную z — у/\/Ос и обозначим а. = а/\/Пс, тогда задача Коши (6.2.1) примет вид Воспользуемся зависимостью 7 от aj2, приведенной в работе [10]. Возьмем пары значений az и 7» соответствующие глобальной асимптотической устойчивости уравнения (6.2.2). Предположение об ограниченности всех решений системы (6.2.2) будет выполнено при условии акр аг, где акр — бифуркационное значание параметра а-. Учитывая обозначение az = а/у/Пс, заключаем, что предположение теоремы об ограниченности всех решений системы (1.2.2) будет выполнено при условии агКрл/Т2с а Напомним представление передаточной функции в виде правильной дроби х{р) — тщ- Для проверки частотного условия перейдем от комплексной переменной р, \р\ = 1 к вещественной переменной ш следующей заменой: р — jrfj. Запишем в терминах новой переменной элементы частотного условия, общие для всех теорем. 6.2.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов. Рассмотрим выполнение условий теоремы 3.1 для рассматриваемого примера системы ИФАПЧ. Требования к варьируемым параметрам: А Є (0,1), є 0 а 0, а2 2(1 — А2). Выбор параметра а 0 описан в разделе 6.2. Условие 1) приводит к условию 0 5 А 1. Для проверки условия 4) теоремы 3.1 воспользуемся выведенными ранее формулами (6.2.4) и (6.2.5). Отсюда имеем Таким образом, частотное условие принимает вид (знаменатель в силу своей положительности не влияет на знак неравенства) Очевидно, что неравенство (6.2.7) будет верно при выполнении двух условий на его коэффициенты: А 0 и В 0, то есть Рассмотрим эти неравенства относительно параметра А Заметим, что Х± = — Af, а Х2 — — Af. Убедимся, что под корнем не оказалось отрицательное число, то есть, выполнено дополнительное условие К2 — К2Ко 0: В зависимости от знака коэффициента если ЄІЬ, - 1 0, то К2 0 и А Є (А , А 1) П (Af, Af). А если ега-1 0, то К2 0 и А max{AiS Л, Af, Af}. Таким образом, имеем следующие условия на варьируемые параметры теоремы 3.1: є 0, параметр А Є (5,1) должен выбраться с учетом выполнения следующих условий: а2 2(1 —А2); если ЄІ&— 1 0, то Рассмотрим выполнение условий теоремы 3.3 для рассматриваемого примера системы ИФАПЧ. Требования к варьируемым параметрам: А Є. (0,1), а 0. Выбор параметра а 0 описан в разделе 6.2. Условие 1) приводит к условию 0 А 5 1. Требование а (1 А2) у/&/2, где числа pi 0 определяется по формуле (3.3.1), приводит к следующему условию: 1 — а/у/Pi/2 А2 или Для проверки условия 3) теоремы 3.3 воспользуемся выведенными ранее формулами (6.2.4) и (6,2.5). Параметры щ определяются по
