Введение к работе
""ч Актуальность темы. Развитие теории оптимального управления процессами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, настоятельно диктуется потребностями науки и техники. Общепризнано, что проблема получения и конструктивного применения необходимых условий оптимальности в системах с распределенными параметрами является значительно более сложной по сравнению с аналогичной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Большой вклад в исследование оптимизационных задач в уравнениях с частными производными внесли А.Г. Бутковский, А.И. Егоров, Ю.В.Егоров, Ж.-Л. Лионе, К.А. Лурье, Т.К. Сиразетдинов и многие другие.
Одним из основных результатов в области необходимых условий оптимальности остается принцип максимума. К настоящему времени разработан ряд эффективных способов решения задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Среди этих способов необходимо выделить конструктивные итерационные методы последовательных приближений, обладающие релаксационностью и сходимостью (работы О.В.Васильева, В.А.Срочко, В.А.Терлецкого, А.И.Тя-тюшкина и др.). Общая структура алгоритмов почти не зависит от типа управляемых систем. Допустимость применения методов определяется возможностью получения условий оптимальности вида принципа максимума и оценок остаточного члена в формуле приращения целевого функционала, обеспечивающих сходимость. Поэтому представляет интерес распространение и конкретизация данных методов для систем дифференциальных уравнений в частных производных, имеющих практическое'значение.
В диссертации рассматриваются задачи оптимального управления в системах полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. К данным системам сводятся классическое гиперболическое уравнение второго порядка, а также системы Гурса-Дарбу и канонические системы первого порядка с двумя ортогональными семействами характеристик. В рамках исследуемых
уравнений описываются явления возбуждения и распространения волн, электромагнитные колебания и кристаллооптика, динамика популяций, ряд химико-технологических процессов. В частности, применение полученных в работе результатов проиллюстрировано на примере обратной задачи возбуждения волн цунами.
Цель диссертационной работы состоит в получении необходимых условий оптимальности граничных управлений в одномерных полулинейных гиперболических системах, а также распределенных управлений в многомерных симметрических гиперболических системах. Доказанные условия оптимальности используются затем для конструирования итерационных методов, обладающих сходимостью и гарантирующих улучшение критерия качества.
Метод исследования основан на анализе формулы приращения целевого функционала. Преимущество использования этого метода с точки зрения реализации поставленной цели объясняется, на наш взгляд, тем, что при установлении необходимых условий оптимальности практически параллельно проводится обоснование применимости предлагаемых методов.
Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту Необходимые условия оптимальности первого порядка и ориентированные на эти условия конструктивные методы получены для трех типов задач:
задачи оптимального управления одномерной системой полулинейных гиперболических уравнений первого порядка, в которой начально-краевые условия определяются как фазовые траектории управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений;
задачи оптимизации системы одномерных гиперболических уравнений с управляемыми начально-краевыми условиями, заданными в виде конечномерных соотношений;
задачи оптимального управления многомерной симметрической гиперболической системой первого порядка с распределенными управлениями.
Особенность задач оптимизации гиперболических систем с управляемыми граничными условиями, заданными в виде конеч-
номерных соотношений, заключается в невозможности в общем случае получения необходимого условия оптимальности граничного управления в виде обычного.поточечного принципа максимума. Попытка исследования отой задачи методом, основанным на анализе формулы приращения функционала, привела к неклассическому условию оптимальности вида вариационного принципа максимума. Основной сложностью изучения многомерных',сиётём' является неприменимость (за исключением частных случаев) определения обобщенного решения через характеристики дифференциальных уравнений, которое удобно использовать в одномерных гиперболических системах. Следовательно, невозможен непосредственный перенос результатов других авторов, полученных для одномерных систем, на многомерный случай. Использование другого, более универсального,понятия обобщенного решения привело к ряду новых моментов при доказательстве необходимых условий оптимальности и построении методов поиска управлений, удовлетворяющих этим условиям оптимальности.
Практическая значимость. Методы, разработанные на основе необходимых условий оптимальности, доказанных в работе, могут быть применены при решении задач оптимального управления системами гиперболических уравнений. В частности, описываемые в диссертации итерационные методы реализованы для численногр решения обратной задачи теории возбуждения волн цунами в рамках исследований, проводимых совместно Иркутским госуниверситетом и Институтом морской геологии и геофизики ДВНЦ АН СССР по проблеме ГКНТ СССР "Мировой океан".
Личным вкладом автора является получение необходимых условий оптимальности типа классического или вариационного принципа максимума и обоснование алгоритмов оптимизации в ' указанных трех типах задач оптимального управления гиперболическими системами.
В диссертации изложены результаты, полученные автором при выполнении тем НИР кафедры методов оптимизации Иркутского государственного университета "Теория и методы оптимизации управляемых процессов" (№ГР 01870004239), "Исследование обратной проблемы цунами методами оптимального управления"
(№ГР 0I86009I242) и хоздоговорной темы »13570 ВЦ ИГУ "Методы математического моделирования процессов возбуждения гравитационных волн".
Апробация работы. Основные результаты, включенные в диссертационную работу, докладывались на ХХУ Всесоюзной студенческой конференции (Новосибирск, 1987), Всесоюзном совещании по вычислительным методам в проблеме цунами (Шушенское, .1987), У-УІ конференциях молодых ученых вузов Иркутской области (Иркутск, -1987,1988), УІ Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (Львов, 1988), международном советско-польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989), УШ Сибирской школе по пакетам прикладных программ (Иркутск, 1989), международной школе-соминарс по методам оптимизации и их приложениям (Иркутск, 1989), XI конгрессе IFAC (Таллинн, 1990), семинарах кафедр методов оптимизации и вычислительной математики Иркутского госуниверситета (1907-1990), семинаре кафедры математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского госуниверситета (1991), семинаре НИИ вычислительной математики и процессов управления при Ленинградском госуниверситете (1991).
.Публикации. Но теме диссертации опубликовано 1-І работ, в которых отражено ее основное содержание.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 144 страницы. Список литературы содержит 106 наименований.