Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена применению методов теории групп Ли к задачам управления на примере матричных дифференциальных уравнений Риккати. Выбор уравнения Рик-кати в качестве объекта исследования не случаен. Это уравнение с самого своего появления в 1724 году является предметом пристального внимания ученых. В настоящее время название "уравнение Риккати" обычно применяется к любым системам обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью.
Каждая новая идея в исследовании дифференциальных уравнений непременно апробировалась на уравнении Риккати. Например, при работе над теорией нелинейных суперпозиций Софус Ли показал, что уравнение Риккати является наиболее общим уравнением первого порядка, которое имеет фундаментальную систему решений.
Давно замеченная связь уравнения Риккати с группой дробно-линейных преобразований, его геометрическая природа и проективные свойства определяют причины, по которым уравнения этого типа с неизбежностью возникают в различных и далеких друг от друга областях естествознания (алгебраическая геометрия, теория конформных отображений, теория вполне интегрируемых гамильтоновых систем, применение теории Бэклунда в квантовой теории поля, вариационное исчисление). Уравнение Риккати занимает особое место в теории оптимального управления.
Принципиально новый этап в использовании уравнений Риккати при решении прикладных задач наступил во второй половине уходящего века. Возникновение и стремительное развитие теории управления породило массу принципиально новых математических задач, непосредственно относящихся к дифференциальным уравнениям (задачи об оптимальном управлении, задачи оценки параметров системы и ее состояния, другие задачи). Их решение для обыкновенных дифференциальных уравнений довольно часто приводит к матричным дифференциальным уравнениям Риккати вида
^ = P(t) + A(t)X + XB(t) + XR(t)X, (1)
где A(t), B{t), P(t) и R(t) — заданные квадратные матрицы, а X — искомая матрица.
Ряд задач теории управления приводит к уравнениям вида (1), но с постоянными матрицами А, В, Р и R. В этом случае актуальным оказывается вопрос о существовании, свойствах и единственности решения алгебраического уравнения Риккати
P + AX + XB + XRX = 9, (2)
где в — квадратная матрица, все элементы которой являются нулями.
Исследование многих физических процессов показало, что роль уравнения Риккати определяется физической интерпретацией его решений. В теории упругих колебаний, электродинамике слоистых сред, в теории многоволновых линий электропередачи, в гидравлике трубопроводов, и т.д. решение уравнения Риккати задает основной параметр линейной системы - импеданс или коэффициент отражения, матрицу рассеяния электромагнитных волн, либо стохастическую матрицу диффузионного процесса. Анализ и исследование различных свойств уравнений Риккати проводились в работах Л. М. Бреховских, В. Б. Лидского, Radon J., Redheffer R.M., Reid W.T., Sternberg R.L., Whyburn W.M.,
Интенсивное развитие вычислительной техники породило множество новых идей, связанных с приближенными методами решений дифференциальных уравнений. Широко используемый метод прогонки для решения граничных задач дифференциальных и разностных уравнений основываетсятіа сведении многоточечной граниннай_задачи_к^задаче Коши для уравнения Риккати.
Методы квазилинеаризации и инвариантного погружения, также при водящие к уравнению Риккати, можно трактовать как вариационный вариант метода прогонки. Достаточно подробное описание полученных в этих направлениях результатов отражено в работах И. М. Гель-фанда, О. В. Локуциевского, Р. Беллмана, М. X. Захар-Иткина, Р. Ка-лабы.
В ряде прикладных наук (теория управления, электротехника), а также в различных разделах прикладной и вычислительной математики (вариационное исчисление и приближенные методы решения краевых задач) возникла необходимость детально исследовать различные свойства матричных и операторных уравнений Риккати.
В частности, в теории управления основные трудности в решении задач об оптимальной стабилизации и об аналитическом конструирова-
ний регуляторов для линейных систем возникают при решении задачи Коши для соответствующих матричных уравнений Риккати.
С развитием теории управления системами с распределенными параметрами возникла необходимость рассматривать различные обобщения уравнения Риккати в бесконечномерных пространствах. Такими обобщениями стали интегро-дифференциалъные краевые задачи Риккати, которые появляются, например, при решении задач об оптимальном управлении тепловыми и диффузионными процессами (А. И. Егоров).
Аналогичные краевые задачи Риккати необходимо изучать при решении оптимизационных задач для волновых процессов. В настоящее время сделаны лишь первые шаги в практическом решении этих.краевых задач и их теоретическом исследовании. Некоторые вопросы теории уравнения Риккати в гильбертовых пространствах в связи с проблемами управления разработаны А .В. Балакришнаном, уравнения Риккати в других функциональных пространствах рассмотрены и .Ж.-Л. Лионсом. Исследованию матричного уравнения Риккати посвящены работы М. И. Зеликина.
Таким образом, изучению различных свойств уравнений Риккати, а также поиску различных практических методов решения задач теории управления посвящены многие работы российских и зарубежных авторов. Однако автору не известны работы по применению аппарата группового анализа дифференциальных уравнений к матричным и операторным уравнениям Риккати, возникающим в задачах управления.
Цель работы. Для аналитического решения различных задач теории оптимального управления (синтез оптимального управления, оптимальный фильтр Каллмана-Бьюси и т.д.) разработать подход, основанный на применении методов теории групп Ли к матричным дифференциальным уравнениям Риккати, разработав соответствующие методы и процедуры.
Достижение этой цели связано с решением ряда задач:
применить и при необходимости расширить общий аналитический аппарат группового анализа на случай анализа матричных уравнений;
выделить группы, допускаемые матричными дифференциальными уравнениями Риккати ;
исследовать случай матричного уравнения с постоянными коэффициентами;
- исследовать матричное уравнение Риккати как систему скалярных дифференциальных уравнений с точки зрения теории нелинейных суперпозиций.
Научная новизна. Научную новизну отражают следующие основные результаты, полученные в работе:
1. Проанализированы задачи теории управления, приводящие к ма
тричным дифференциальным и операторным уравнениям Риккати.
-
Для решения различных задач оптимального управления предложена процедура группового анализа на матрицах. Введены новые понятия (инфинитезимальный оператор на матрицах, определяющее уравнение на матрицах, коммутаторы на матрицах и т.д.). Для аналитического решения задач оптимального управления с помощью этой процедуры выполнен групповой анализ матричных дифференциальных уравнений Риккати.
-
Получены различные достаточные условия, при выполнении которых уравнения Риккати для задач управления динамическими системами интегрируется заменой переменных.
-
Получены условия линеаризуемое матричных дифференциальных уравнений Риккати, которые обобщают известный критерий ли-неаризуемости скалярного уравнения Риккати. С помощью полученных результатов аналитически решена задача оптимального управле-дия движением вращающейся антенны.
5. Для решения задачи оптимального управления стационарными
системами выполнен полный анализ алгебраических матричных урав
нений Риккати. На основе этого анализа предложены различные про
цедуры практического решения типичных для теории управления урав
нений Риккати. Связь между алгебраическим уравнением Риккати и
системой линейных матричных уравнений для динамических систем
используется для практического построения решения уравнения Рик
кати. Предложенная процедура иллюстрируется решением примеров.
-
Показано, что матричное дифференциальное уравнение Риккати обладает фундаментальной системой решений и получена оценка необходимого числа частных решений. Получены ангармонические отношения решений матричных дифференциальных уравнений Риккати.
-
Полученные результаты применены к решению практических задач теории управления.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы группового анализа, теории матриц, теории функций от матриц, функционального анализа, а также теории нелинейных суперпозиций.
Практическая ценность работы. Разработан подход, основанный на применении методов теории групп Ли к матричным дифференциальным уравнениям Риккати, определены соответствующие методы и процедуры для решения задач теории управления.
Разработан аппарат группового анализа матричных дифференциальных уравнений Риккати для решения различных задач теории управления, при исследовании которых возникает необходимость решать такие уравнения.
Выполненный групповой анализ матричных дифференциальных уравнений Риккати прежде всего дает групповую классификацию таких уравнений. Он также указывает процедуры, с помощью которых можно получать достаточные условия интегрируемости и линеаризу-емости матричных уравнений Риккати. Эти условия, вообще говоря, являются конструктивными и дают непосредственно поцедуры решения различных задач теории управления. Работа содержит иллюстративные примеры, на анализе которых можно просмотреть применение теоретических результатов в конкретных случаях.
Полученные результаты проиллюстрированы решением практических задач на примере задачи об оптимальной стабилизации вращающейся антенны и других примерах. Результаты работы показывают целесообразность и перспективность применения методов теории групп к решению разнообразных задач теории управления и ее приложений, а также дальнейшего развития предложенного подхода.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре профессора Н. X. Ибрагимова "Групповой анализ уравнений математической физики" на факультете ВМиК МГУ, семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета, международном семинаре "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования", (г. Уфа, июнь 1991 года), международной конференции MO-GRAN 2000 (г. Уфа, октябрь 2000 года).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
шести работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из вве
дения, трех глав, заключения и списка литературы. Сквозная нумера
ция основного текста содержит страниц, список литературы