Введение к работе
Актуальность темы. Понятие производной является основным понятием в классическом математическом анализе. При изучении негладких функций были введены обобщения понятия производной. Например, для выпуклых функций и функций максимума таким обобщением является понятие субдифференциала, для лияшицевых функций эффективным оказался субдифференциал Кларка, дляквазидифферен-цируемых функций — понятие квазидифференциала и кодифференциа-ла. Эти обобщения позволяют по-новому ставить и решать типичные задачи, традиционные для классического математического анализа, например, задачи оптимизации, задачи о неявных и обратных функциях, о решении систем негладких уравнений.
В математике часто приходится иметь дело с функциями очень сложной природы, вычислять значения которых достаточно трудно. Поэтому возникают задачи приближенного представления этих функций более простыми функциями. Классическими аппаратами таких представлений являются полиномы и рациональные дроби. Теория приближения функций полиномами была разработана в трудах Чебышева П. Л., Вейерштрасса К., Валле-Пуссена Ш., Бернштей-на С. Н. и др. Однако, полиномы и рациональные дроби обладают рядом недостатков, основной из которых состоит в том, что их поведение в окрестности какой-либо точки определяет их поведение в целом. В связи с этим, в последнее время усиленно разрабатываются другие аппараты приближения для функций с особенностями и для не гладких функций. Одним из таких аппаратов являются сплайны. Сплайн-функции, как аппарат приближения функций и решения различных типов задач, появились относительно недавно (история теории сплайнов начинается с работы Шенберга 1946 г.) и, благодаря своим свойствам, получили широкое распространение в приложениях. Интенсивно проводились и проводятся исследования свойств сплайн-функций и этому вопросу посвящена обширная литература, рассматривающая фундаментальные свойства сплайнов: существование, единственность, сходимость, оценки точности приближения различных классов функций, свойства сплайнов как решение различных задач и другие.
В отечественной науке фундаментальные результаты в области теории сплайнов получены в работах Корнейчука Н. П., Малоземо-ва В. Н., Певного А. В., Стечкина С. В., Субботина Ю. Н., Тихо-
мирова В. М., и др.
Изначально сплайны были придуманы для интерполяции функций. Поэтому вопросы численного построения сплайнов в основном посвящены интерполяционным сплайнам. Сплайны, как аппарат приближения функций, более гибок и не менее удобен, чем полиномы. Поэтому они широко используются в вычислительной математике (Ал-берг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж., Де Бор К., Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н.). Изучены и другие области применения сплайнов, например, сплайны и цифровые фильтры, сплайны в инженерной геометрии и др. (Василенко В. А., Зюзин М. В., Ковалков А. В., Завьялов Ю. С, Леус. В. А., Скороспелов В. А., Смоляк С. А.). В работах Корнейчука Н. П., Тихомирова В. М. с помощью совершенных сплайнов решены некоторые экстремальные задачи теории приближения функций.
Задачами сплайн-аппроксимации занимались Малоземов В.Н., Певный А. Б., Райе Дж., Шумейкер Л. и др. В частности, Райсом было получено необходимое и достаточное условие оптимальности сплайна произвольного порядка с фиксированными узлами.
Цель и задачи исследования. Цель работы заключалась в применении современного аппарата негладкого математического анализа к решению задач чебышевской сплайн-аппроксимации и к решению обратных задач квазилинейной алгебры. Перед диссертантом были поставлены следующие задачи:
-
Изучить задачу кус очно-линейной чебышевской аппроксимации с помощью теории квазидифференциалов как при фиксированных, так и при не фиксированных узлах сплайна.
-
Исследовать задачу кусочно-полиномиальной чебышевской аппроксимации.
3. Разработать численные методы для нахождения оптимальной
кусочно-линейной и кусочно-полиномиальной аппроксимации,
4. Создать программное обеспечение разработанных алгоритмов,
провести численные эксперименты.
5. Рассмотреть обратную задачу квазилинейной алгебры.
Научная новизна работы. Получено необходимое и достаточное
условие оптимальности кусочно-линейного сплайна для решения задач чебышевской аппроксимации, которое дает более точную харак-теризацию, чем известное ранее условие Раиса. Уточнение состоит в определении количества задействованных интервалов и количества точек максимального уклонения на них. Это уточнение стало возмож-
галм благодаря использованию аппарата негладкого анализа (теории квазидифференциалов и кодифференциалов).
Для сплайнов со свободными узлами полученное условие является только необходимым, что связано с невыпуклостью рассматриваемых функционалов.
Лля задачи кусочно-полиномиального сплайна тоже получено необходимое и достаточное условие оптимальности, более точно характеризующее точку экстремума. Эти новые условия дают возможность построить более эффективные алгоритмы.
Рассмотрена обратная задача квазилинейной алгебры.
Практическая значимость работы. Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес. Так, например, уточнения необходимых и достаточных условий позволяют более эффективно проводить исследование подозрительных на экстремум точек и строить численные методы для их отыскания, в частности, для решения ряда практических задач, например, задачи поиска оптимального профиля дорог.
Апробация работы. Основные результаты были представлены на семинарах кафедры Математической Теории Моделирования Систем Управления факультета Прикладной Математики — Процессов Управления СПбГУ (1992-1996 г.г.), на ІХ-й Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, Институт математики и механики УРО РАН, 1995 г.), на Международном симпозиуме "Set-valued Mappings and Nonsmooth Analysis-95" (СПбИМ им. Стеклова, 1995 г.), на научных конференциях факультета Прикладной Математики — Процессов Управления СПбГУ (1994 г., 1996 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 2 печатные работы. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения с аналитическим обзором литературы, главы с предварительными сведениями, глав, содержащих основные результаты, и приложения с программным обеспечением. Работа изложена на 114 страницах, содержит 2 рисунка. Список цитируемой литературы включает 52 наименования.