Содержание к диссертации
Введение
1 Некоторые результаты, основанные на определениях 22
1.1 Ляпуновская размерность в неподвижной точке 22
1.2 Обобщённое отображение Каплана-Иорка 24
2 Диссипативное отображение Чирикова 30
2.1 Некоторые вспомогательные утверждения 30
2.2 Постановка задачи. Неподвижные точки 33
2.3 Формула ляпуновской размерности 37
2.3.1 Оценки ляпуновской размерности 37
2.3.2 Ограниченность поднятия решения на плоскость 38
2.3.3 Вывод формулы 42
3 Два отображения окружности, соединённые слабой связью 48
3.1 Постановка задачи 48
3.2 Основные леммы 50
3.3 Формула ляпуновской размерности 57
3.3.1 Оценка размерности 57
3.3.2 Случай, когда точка Мгиперболическая 58
3.3.3 Случай, когда точка Л гиперболическая 64
4 Численные эксперименты 66
4.1 Алгоритм построения инвариантных многообразий . 66
4.2 Проверка алгоритма 68
4.3 Примеры для отображения Каплана-Йорка 70
4.4 Пример для диссипативного отображения Чирикова . 73
4.5 Пример для двух слабо связанных отображений окружности 78
Приложение 81
Ограниченность решений фазовой системы 81
Некоторые свойства сингулярных чисел 82
Список используемых обозначений 84
Работы автора по теме диссертации 85
Литература 86
- Обобщённое отображение Каплана-Иорка
- Формула ляпуновской размерности
- Формула ляпуновской размерности
- Примеры для отображения Каплана-Йорка
Введение к работе
Изучение размерностных характеристик инвариантных множеств динамических систем получило широкое развитие в последние десятилетия. Выяснилось, что притягивающее множество даже простой динамической системы может иметь сложную структуру и вообще говоря не являться многообразием. Вообще говоря, у притягивающего множества динамической системы топологическая размерность может и не существовать. Для того, чтобы изучать числовые характеристики подобных множеств, понадобились различные обобщения понятия размерности на нецелые значения. Первым примером такой размерности является хаусдорфова размерность [5], которая может принимать любые неотрицательные значения, а на гладких многообразиях совпадает с топологической размерностью.
Дадим определение хаусдорфовой размерности. Рассмотрим компактное метрическое пространство X с метрикой р и его подмножество Е. Зададим число є 0 и покроем множество Е шарами радиусов Vj є. Пусть Ы — множество всех таких покрытий. Далее зададим число d О и для него определим d-мерный объём покрытия U Є U как
vd(u) = xr«.
І Определим
Заметим, что Цн(Е, d, є) не убывает с уменьшением є. Значит, существует конечный или бесконечный предел
[Лн(Е, d) = lim//#(", d, є).
є-»0
Функция [iH(-,d) называется d-мерой Хаусдорфа.
При фиксированном d функция Цн{Е, ) обладает всеми свойствами внешней меры на X.
Хаусдорф показал [5, 27], что при фиксированном Е для функции дя(л d) существует dkp Є [0, +оо] такое, что
Ин(Е, d) = оо Vd dkp,
fiH{E,d) = 0 4d dkp.
Если X — подмножество /-мерного Евклидова пространства, то dkp I-Определение 1. Хаусдорфовой размерностью множества Е называется число
dim# Е = dkp = inf {d\/Uff(E, d) = 0}.
Известно, что топологическая размерность (dimy) является инвариантом по отношению к гомеоморфизмам. Хаусдорфова размерность является инвариантом по отношению к диффеоморфизмам, причём нецелая хаусдорфова размерность не является инвариантом по отношению к гомеоморфизмам [5]. Топологическая размерность связана с хаусдорфовой неравенством dimy Е dim# Е. Канторово множество доставляет пример строгого неравенства.
В выражених для измеряемых физических характеристик (см., например, [39]) можно встретить величину, сходную с хаусдорфовой размерностью и получившую название фрактальной размерности. Дадим её определение.
Рассмотрим U покрытие множества Е С X шарами радиуса е. Обозначим через В множество всех таких покрытий и для числа d 0 рассмотрим о?-мерный объём покрытия U Є Б. Тогда если N{E) наименьшее число шаров радиуса є, необходимых для покрытия множества Е, то
ME,d,e) = miVd{U) = ЩЕ)е\
JIF(E, d) = lim HF{E, d, є).
Определение 2. Фрактальной размерностью множества Е называется число
dimF Е = іпОД цР(Е, d) = 0}.
Из определений фрактальной и хаусдорфовой размерностей следует, что dim# Е сііїїір Е.
Для приближённого вычисления фрактальной размерности удобно использовать другое её определение.
Определение 3. Фрактальной размерностью множества Е называется число dirnp Е = lim — ——.
є- 0 log І/Є
Понятие фрактальной размерности аттрактора динамической системы имеет разнообразные приложения в физике [1,15, 17]. Например, если имеется система с шумом, то фрактальная размерность аттрактора той же системы без шума показывает, как объём зашумлённого аттрактора изменяется в зависимости от амплитуды шума [37].
Наиболее важное для физических приложений свойство фрактальной размерности аттрактора динамической системы заключается в том, что она определяет фактическое число степеней свободы этой системы [17, 36]. Если размерность аттрактора много меньше размерности фазового пространства, то реальное число параметров, описывающих поведение динамической системы, определяется фрактальной размерностью аттрактора.
Кроме того, в физике часто практикуется следующий подход к описанию какого-либо сложного процесса, динамика которого может быть изучена только экспериментально. Предположим, что в результате экспериментальных наблюдений у системы устойчиво наблюдается притягивающее множество, очень похожее на аттрактор известной "простой" системы. Тогда говорят, что динамику данной системы можно свести к динамике "простой" системы. При этом от выбора этой "простой" системы зависит, насколько хорошо она представляет динамику физической системы [36].
В связи с этим вызывает большой интерес задача о нахождении фрактальной размерности аттракторов.
Классическая теорема Уитни [45, 42] утверждает, что если компактное многообразие имеет размерность d, то существует вложение его в Евклидово пространство размерности I 2d. Эта теорема была обобщена на случай множества фрактальной размерности d в работе [40]. В работе [25]
была высказана гипотеза о том, что фрактальная размерность совпадает с хаусдорфовой размерностью на типичных хаотических аттракторах. Поэтому наряду с верхними оценками фрактальной размерности представляли интерес задачи о верхних оценках хаусдорфовой размерности. Однако Кан в приложении к [40] показал, что для любого / существует множество К С Ш1 с нулевой хаусдорфовой размерностью такое, что любая проекция Ш1 на пространство меньшей размерности взаимооднозначна на К, то есть хаусдорфова размерность, вообще говоря, не несёт никакой информации о количестве степеней свободы физической системы.
В большинстве случаев не удаётся вычислить фрактальную размерность аттрактора, исходя из определения фрактальной размерности, поэтому получили развитие разнообразные численные методы и оценки фрактальной размерности через ляпуновские показатели (см., например, [15]).
Рассмотрим непрерывно дифференцируемое отображение F множества U С Ж1 — Ш1. Тогда последовательность {Fn} L0 пораждает дискретную по времени динамическую систему. Рассмотрим траекторию, выходящую из точки ZQ и произвольный вектор V.
Определение 4. Ляпуновским показателем вектора v вдоль траектории Fn(zo) называется число
L(zo,v)=K (\\TZ0(Fn)-v\\fn.
п— оо
Для заданного ZQ функция L(zQ, •) имеет ровно / значений
Li(z0) •• Li(zo) , которые называются ляпуновскими показателями последовательности
{ пЫ} о Ляпуновская размерность по Каплану и Йорку определяется формулой (см., например, [30])
_ lnlLi • • • L7 DRY = .7 + ТГТТ—и где j — это наибольшее целое, для которого произведение первых j показателей больше единицы. Если j равно размерности фазового пространства, то DXY = j.
Дальнейшее изложение требует точного определения аттрактора. Мы будем следовать определениям, сформулированным О. А. Ладыженской в работе [8].
Пусть F Є С иЛ1) и F(U) С U. Рассмотрим ограниченное множество В С U.
Определение 5. Множество BQ притягивает множество В, если для любого положительного є существует Пі (є, В) такое, что Fn{B) С Оє(Во) для любого п щ, где 0(BQ) — это объединение всех шаров радиуса є с центрами в точках множества BQ.
Определение 6. Минимальным глобальным аттрактором последовательности отображений {Fn}%L0 называется наименьшее непустое замкнутое множество 9Я, которое притягивает любую точку множества U.
Определение 7. Минимальным глобальным В-аттрактором последовательности отображений {Fn} L0 называется наименьшее непустое замкнутое множество ШТ, которое притягивает любое ограниченное подмножество множества U.
Заметим, что Ш С ЭДТ, и что ЭДТ — связное множество.
В работах [30] и [25] была высказана гипотеза (Каплана-Иорка) о том, что у гладкой динамической системы для почти всех начальных точек ZQ ляпуновская размерность DKY равна фрактальной размерности минимального глобального аттрактора.
В работах [22] (для конечномерного случая) и [б] (для бесконечномерного) были получены верхние оценки хаусдорфовой размерности ограниченного инвариантного относительно F множества для А;-сжимающих систем.
Непрерывно дифференцируемое отображение F : U - Ж1 называется к-сжимающим, если существует q б]0,1[ такое, что для любой точки z Є U и для любого А;-мерного параллелепипеда IIfc имеем
V(TzF{Uk)) qV(Uk),
где через V обозначен fc-мерный объём. Было доказано, что хаусдорфо-ва размерность ограниченного инвариантного относительно F множества не превосходит к. В частности, если U ограничено, то хаусдорфо-ва размерность минимального глобального -аттрактора динамической системы, порождённой fc-сжимающим отображением, не превосходит к. Затем, в работах [33, 21, 43, 23, 24, 46] были получены разнообразные оценки хаусдорфовой размерности аттракторов через ляпуновские показатели. Далее такие же, как в [22], оценки были получены для фрактальной размерности (см. [29, 19, 18, 7]). Дробная часть полученных оценок с точностью до замены ляпуновских показателей на сингулярные числа матрицы Якоби даёт дробную часть формулы Каплана-Йорка. Это привело к определению новой размерностной характеристики инвариантного множества динамической системы, которую, следуя Ханту, обычно называют просто ляпуновской размерностью [29, 12]. То, что ляпунов-ская размерность доставляет верхнюю оценку как хаусдорфовой, так и фрактальной размерности инвариантных множеств динамической системы, определило большой интерес к её исследованию ([б, 19, 29]).
Дадим определение ляпуновской размерности инвариантного множества дискретной динамической системы. Рассмотрим невырожденную квадратную матрицу А порядка I. Обозначим сг\(А) •• Ji{A) её сингулярные числа. Напомним, что сингулярным числом матрицы А называется квадратный корень из собственного числа матрицы А А.
Определим функцию
ujd(A) = a1(A)...aj{A)(aj+1(A))a1
где j Є {1,...,1- 1}, s Є [0,1[, a d = j + s.
Пусть F Є Сг(и,М!) и F(U) С U. Обозначим через TZF матрицу Якоби отображения F в точке z. Рассмотрим ограниченное множество К С U, инвариантное относительно F, то есть F(K) — К.
Определение 8. Для j Є {1,..., - 1} такого, что
TI(TZF) ... (Tj(TzF) 1 и (n(TzF)... aj+i(TzF) 1
рассмотрим число 5 Є [0,1[, для которого LOJ+S(TZF) = 1. Тогда число j + s называется локальной ляпуновской размерностью отображения F в точке z и обозначается diirii(F, z). По определению считаем, что ес ли Ji{TzF) 1, то dimL(F,2;) = 0, и если TI(TZF) .. .ai(TzF) 1, то diirib(F, z) = I.
Определение 9. Локальной ляпуновской размерностью последовательности отображений {Fn}™=0 в точке z Є К называется число
dinii z = lim dim F", z).
n-4oo
Определение 10. Ляпуновской размерностью множества К для последовательности отображений {Fn}™=Q называется число
dim. К = sup diuiL z.
zGK
Ляпуновская размерность не является размерностной характеристикой в классическом смысле этого понятия, но она позволяет эффективно оценивать сверху топологическую, хаусдорфову и фрактальную размерности и к ней хорошо применимы методы классической теории устойчивости движения. В частности для оценки ляпуновской размерности используются функции Ляпунова. Впервые идеи использования функций Ляпунова в оценках размерностных характеристик высказаны Г. А. Леоновым в работе [9] и далее развивались в работах [13, 31, 32, 10, 11, 19, 10, 12]. Для некоторых динамических систем можно получить точные формулы ляпуновской размерности аттрактора (см., например, [12]). Численные эксперименты показывают, что в тех случаях, когда ляпуновская размерность минимального глобального В-аттрактора дробная, система имеет хаотическое поведение. Таким образом, ляпуновская размерность может описывать неустойчивость системы.
В диссертационной работе рассматриваются дискретные по времени динамические системы, порождённые обобщённым отображением Кап-лана-Иорка [30], диссипативным отображением Чирикова [20, 26, 35, 41, 17, 1, 36] и двумя слабо связанными отображениями окружности [34, 17, 1, 36]. В первом случае формула получена путём прямого применения определения ляпуновской размерности. В двух других случаях используются специальные функции Ляпунова.
Рассматриваемые отображения описывают различные физические модели [17, 15]. Например, к диссипативному отображению Чирикова приходят в задаче о ротаторе с переменным внешним воздействием, а связанные отображения окружности возникают в системах фазовой синхронизации в цифровой схемотехнике [34].
Работа состоит из введения, четырёх глав, приложения и списка литературы.
В первом параграфе первой главы вычисляется ляпуновская размерность в неподвижной точке для произвольного С1 отображения в Ш1, доказывается теорема:
Теорема 1. Пусть z — неподвижная точка отображения F.
1. Если Ai(TzF) 1, то dimLz = 0.
2. Если det(T2F) 1, то dimLz = I.
3. Если
\\i{TxF) Xj(TtF)\ 1, и \\i{TzF) - Xj+l(TzF)\ 1 ,
то dinix z — j + s, где s такое, что
\\г(ТгР) - • Xj(TzF)\ \Xj+1(TzF)\s = 1 .
Во втором параграфе первой главы вычисляется ляпуновская размерность аттрактора динамической системы, порождённой обобщённым отображением Каплана-Йорка F : § х R1 —) В х R?
ж(п+і) = рХ mod где параметры р и А (к = 1,...,/) удовлетворяют условиям р 1, Afc ф 1, Н Ai ••• А/ и \р\\---\\\ 1, а функции fk{x) (к -1,..., Ї) непрерывно дифференцируемы на окружности. Доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Локальная ляпуновская размерность последовательности {Fn(z )} L1 не зависит от выбора точки z 0 и для любого множества К, инвариантного относительно отображения F, верно равенство
dimL К = j 1 и і — lnAj
где j 1 выбирается из условия
pAi---Aj_i 1& pAi ---Ajl 1.
Первый параграф второй главы имеет вспомогательный характер. В нём рассматривается вариант теоремы [12] об оценке ляпуновской размерности с помощью функций ляпуновского типа p(z)P с вещественной функцией p(z) и постоянной комплексной матрицей Р. Затем доказывается аналогичная теорема для отображения двумерного цилиндра с
ляпуновской матрицей-функцией Q{z). В конце параграфа приведена формула для сингулярных чисел матрицы в двумерном случае, которая активно используется в дальнейшем.
Далее рассматривается диссипативное отображение Чирикова F : S X
М- §хЕ
On+i = (вп + П-; sin(27T0n) + brn) mod 1
с условиями на параметры
fc 0, 0 П 1 , Ь Іи& О.
Во втором параграфе второй главы рассматривается изменение количества неподвижных точек в зависимости от параметров. Если
О Q 1/2 и к kQ = 2тг(1 - Ъ)П,
то существует гиперболическая неподвижная точка «о — ( (Ъ — ) гДе а0Є]1/4,1/2]и
ao = 2-2 arCSmUJ; а если
1/2 Q 1 и к кг = 2тг(1 - Ь)(1 - П),
то существует гиперболическая неподвижная точка а і = («і, 1 — Q), где «і Є[1/2,3/4[и
Обозначим {am} f=0 — множество неподвижных точек отображения F. Доказывается следующая теорема:
Теорема 3. Если выполнены условия
О Q 1/2 и к к0 = 2тг(1 - b)Q
м
то
dimL{aTO}m=0 = In
1пЛ+(ао) + 1пЬГ
если выполнены условия
1/2 П 1ик к1 = 2тг(1 - 6)(1 - П),
In
то
dimL{am}m=0 = 2
lnA+(ai) + lnb В третьем параграфе рассматриваются верхние оценки ляпуновской размерности аттрактора. Доказывается теорема.
Теорема 4.
діть К In
In
(j 11 + Ь + к + /(l + b + fcja _4Ь) + In
в частности, если Q = 0; шо
In 6
dimL К = 2 In (j 11 + 6 + к + V(l + Ь + A;)2 - 4b) + I In 6 Затем выводится формула ляпуновской размерности аттрактора при дополнительных ограничениях на параметры. Доказывается теорема.
Теорема 5. Пусть 0 b 1.
1. Если выполнены условия
О Q 1/2 и к к0 = 2тг(1 - Ъ)П
и неравенство
к{1 + sin(27ra0)) (V2 - 1 + + 2тга0)(1 - Vb)2:
то
1п6
dimL Я = 2 1пА+(о!о) + 11п6 2. Если выполнены условия
1/2 П 1 w к h = 2тг(1 - 6)(1 - ft)
м неравенство
к{1 - sin(27rai)) (л/2 — 1 + 2.25тг - 2тгаі)(1 - Vb)2 ,
то
\\nb\
dimL К = 2 1пЛ+(аі) + j 1пЬ
В третьей главе рассматриваются два слабо связанных отображения окружности F : Ж2 -» R2
жп+1 = Ьі + ж„ + сі(1 - є) sinzn + c2esmyn Уп+і = Ь2 + Уп + СІЄ sin жп + с2(1 - є) smyn ,
Даётся нижняя оценка ляпуновской размерности аттрактора в зависимости от соотношений между коэффициентами системы.
Пусть
= ci cos arcsin 0 ,
V ci(l - 2Ю У
г\ — С2 cos arcsin j-——-т— 0.
V c2(l-2s) J
Тогда положение точки (, rj) в прямоугольнике {(х, у)\0 х сі,0 у с2} задаёт типы неподвижных точек.
Лемма 1.1. Точка М\ — отталкивающая.
2. Точка М± — гиперболическая, если
2(1-е)К-»7) (1-2)7-4; и отталкивающая, если
2(1 - е)К - »/) (1 - 2e)fr - 4 .
3. Точка УІ2 — отталкивающая, если
2(1-є)(-т?) 4-(1-2 и гиперболическая, если
2(1 - є)(Є - г/) 4 - (1 - 2є) 77. 4- Точка Мз — притягивающая, если
2(1 - є)(Є + »tf min{8,4+(1- 2e)fr}; гиперболическая, если
2(1-є)(Є + г?) 4+(1-2є) ; отталкивающая, если
8 2(1 - є)(Є + г?) 4 + (1 - 2є)Єг? Таким образом, прямоугольник {(ж, 2/)(0 ж сі,0 / С2} разбивается на шесть областей D&, А; = 1,..., 6:
1. для (С, г]) Є -Di точки М2 и М4 — гиперболические, а точка Мз — притягивающая;
2. для (,77) Є D i точки M2-, Ms и М± являются гиперболическими;
3. для (,7/) Є Ds точка Мг — отталкивающая, а точки Ms и М± — гиперболические;
4. для (,т/) Є #4 точка Mj — отталкивающая, а точки М.2 и Ms — гиперболические;
5. для (,7/) Є .Об точки М і и М4 — отталкивающие, а точка Ms — гиперболическая;
6. для (,7/) Є .Об точки Mi-, Ms и М4 являются отталкивающими.
Теорема 6. Пусть (, г\) Є 2- Тог а для любого ограниченного множества К, содержащего точки Mi, Ms и М±,
Г lnA(fc)! dimL К max 1 + 1-±7+г Пусть (,//) -Оз- ЗЪг А для любого ограниченного множества К, содержащего точку М±,
1иЛ 4)
-1пА 4)
dimL К 1 +
х2 I
Пусть (,7/) Є ЛІ- Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точку Мі,
lnA 2)
1пЛ 2»
dim К 1 +
Пусть (,7/) Є D5- Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точку Ms,
lnA 3,
-ЬА? dimL К 1 + Затем выводятся формулы ляпуновской размерности аттрактора при дополнительных ограничениях на параметры.
Теорема 7. Предположим, что \Ь\\ с\, &2І С2,
Ч / Н - VqPbl) 4 - у/& - %)(4 2) J
}/$-% - 41% - \/(4 - Ь\)( 2 - 4) Є] - 2, -ЇМ - 1,0[,
4-(4 + ьІ) 4-ьі о.
Рассмотрим множество К, инвариантное относительно отображения F такое, что М± Є К, а М\, М2 . К. Тогда для достаточно малого
є верно равенство
л- гг і ЬА 4)
-1ПАГ}
Теорема 8. Пусть \Ь\\ с\, &2 С2,
dimL К = 1 +
2( 61 - yff 4 - (с? - 4)(4 / 4- / 4- -4)(4- )61-2,-1 1-1,01,
с?
;?-(с? + Ь) Ь2 0.
Рассмотрим множество К, инвариантное относительно отображения F, такое, что М2 Є К и Mi, М$ . К. Тогда для достаточно малого є верно равенство
A- TS Л 1П1Л12)
-bAf •
В четвёртой главе описывается алгоритм построения неустойчивого многообразия для непрерывно дифференцируемого отображения и устойчивого многообразия для диффеоморфизма.
dimL К = 1 + Затем приводятся примеры, иллюстрирующие доказанные в главах 1-3 теоремы. Каждая из описанных систем ведёт себя хаотически при тех значениях параметров, для которых ляпуновская размерность аттрактора, вычисленная по точной формуле, имеет дробное значение.
В Приложении приводится вариант теоремы об ограниченности решения дискретной фазовой системы с нелинейностями и используемые в данной работе свойства сингулярных чисел матрицы.
Обобщённое отображение Каплана-Иорка
Рассмотрим отображение F : х Ж1 — х Ж1 , порождающее последовательность где параметры р и Хк (к — 1,.. .,1) удовлетворяют условиям \р\ 1, h 7 1 ЬІ \Ы и pAi--«A/ 1, а функции fk(x) (к = 1,...,0 непрерывно дифференцируемы на окружности. Неподвижные точки отображения — это решения системы уравнений которая всегда имеет решение В общем виде решение можно записать так: Матрица Якоби этого отображения не зависит от у = (т/і,... ,уі)т и имеет вид / \ Все дальнейшие рассуждения будут проводиться для упорядоченного таким способом отображения F. Теорема 2. Локальная ляпуновскал размерность последовательности {Fn(z )} L.1 не зависит от выбора точки z -0 и для любого множества К, инвариантного относительно отображения F, верно равенство Доказательство. Рассмотрим траекторию, выходящую из произвольной точки 2Л0) = (х \у )Т. Для неё имеем: T?(o)F = T (n-\)F T (n-2)F... T (Q)F Рассмотрим матрицу Л = (Tz(o)Fn)T Tz(0)Fn. Тогда, если обозначить через сго(п) наибольшее сингулярное число матрицы Tz(o)Fn, то наибольшее собственное число матрицы Л равно Рассмотрим второе сингулярное число или Докажем, что минимум достигается для у — (±1,0,... ,0)т и так как _Ц/, то для І = (0, fі, , і)т.
Рассмотрим с первой координатой о Ф 0- Для него существует щ, такое, что для п п\ будет выполняться неравенство где с — константа. Следовательно, для достаточно больших п Откуда получаем, что (сг го))" — Ai при п — оо. Так как матрица Л на подпространстве К = {х Є M/+1 : XQ = 0} диагональная с числами А2п на диагоналях, то для всех последующих сингулярных чисел получаем аналогично 72{п) = сА2п, откуда следует, что ( Jfc(n))« — Afc, Л: = І,...,/ при га - оо. Так как р 1 и \рХ\ А/ 1 существует j, удовлетворяющее усло вию (1.5), значит, существует s Є]0,1[, являющееся решением уравнения \рХ\ - Xj_i\\Xj\8 = 1, откуда получим формулу (1.4) в произвольной точ ке ZQ и утверждение теоремы. Замечание. Из теоремы видно, что обобщённое отображение Капла-на-Иорка не годится для численной проверки каких-либо гипотез о ляпу-новской размерности, так как для любого отображения из этого класса ляпуновская размерность вдоль всех его траекторий одинакова. Все дальнейшие доказательства будут опираться на построение функций ляпуновского типа и на оценки размерности с помощью этих функций. При этом будет использоваться следующее утверждение, являющееся вариантом теоремы 1 из работы [12]. Предлолсение 1. Пусть существует матрица-функция Q(z) = p(z)P, в которой Р : det Р ф 0 — постоянная комплексная матрица, a p(z) — такая ограниченная на U СІ1 скалярная функция, что существует и ограничена на U функция l/p(z) и для Q справедливо неравенство
Тогда существует щ, такое, что для всех п щ верна оценка Доказательство. В работе [12] эта теорема доказывается для веществен ных ограниченных вместе с обратной матриц-функций Q(z). Доказатель ство полностью сохраняется для комплексных матриц. Пусть отображение F задано на двумерном цилиндре X R. Рассмотрим Р(х, у) — (ехр(27гг #) , у) — накрытие цилиндра Sxl плоскостью. Тогда для F определено с точностью до целой константы N поднятие Т : R2 - Е2, которое удовлетворяет равенству РТ = PP. Для множества К - F(K) обозначим /С = { Є К2Р() К}. Множество К инвариантно относительно F, поэтому вместе с любой точкой z содержит последовательность {Fn(z)}JJL0. Так как z\ = F(z) = FP() = РТ() = -P(i), множество К, тоже вместе с точкой , для которой Р() = z, содержит последовательность { (Oln o Предложение 2. Пусть для некоторой матрицы-функции Q : М2 — Е2; для которой
Формула ляпуновской размерности
Замечание. Если fi = 0 и 6 = 1, то отображение F — классическое отображение Чирикова. Доказательство теоремы 4- Из определения ляпуновской размерности для Fn получаем dimi(F», „) = 2 + Ha+(TJ} „_4bl (2.15) Из определения наибольшего сингулярного числа имеем оЦТхоП = max ((TXoFnyTXoFnx,x) = max \\TXoFnx\\2 = \\x\\=l \\x\\=l = .max Ц2 „_ж - - - З о -ягіР (11 ,, - - -11 ., 11)2 = x=l = maxiT Fx,Tx Fx) max(TXoFx,TXoFx) = N1=1 11 11=1 = maxCT T Fx, x) - - тах ГГ л, x) = 11 11=1 lkll=i = 4( -1)--- 0) (1/2), так как 1/2 — точка глобального максимума для сг+. Подставляя это неравенство в (2.15), переходим к пределу и получаем неравенство (2.14). Если Q — 0, то ао = (1/2,0), откуда в силу теоремы 1 следует равенство. Наряду с отображением на цилиндре рассмотрим его поднятие на плоскость Т : R2 — М2, задающее последовательность тп+1 = тп + П- sin(27TTR) + brn (2.16) rn+1 = brn- sin(27rrn) с коэффициентами, удовлетворяющими условию (2.12). Множество неподвижных точек отображения Т состоит из точек вида (i arcsin () + N , -П) ,(1-1. arcsin ( ) + N , -П) , где N Є Ъ. В этом множестве всегда содержится точка «о-Лемма 4. Если выполнены условия (2.12) и и неравенство k(l + sin(27ra0)) (у/2 - 1 + - + 2тга0)(1 - Vb)2, (2.17) mo все решения системы (2.16) ограничены при п 0. Доказательство. Рассмотрим следующую замену переменных г = + ао . = -«. Получим систему (2.18) $п+1 = дп 4- оп + 27гГ2(1 -Ь)-к sin(#n + 27гао) n+i = &0n + 27гО(1 -Ъ) - fcsin(#„ + 27га0)-Получившаяся система может быть записана в виде (А.1) с матрицами и нелинейной частью Напомним, что 2тгШ-Ь) . , л , - = sm(7T — 27го;о) к Система (2.18) является фазовой с г = (2-zr ,0)т, так как выполняются равенства и y(cr) = р((т + C r) = (f(a + 2тг).
Пара (А, В) полностью управляема, так как і -к -к(1 + Ь) \ rank(, АВ) = rank = 2 , \ -Jfc -Ьк ) и пара (А, С) полностью наблюдаема, так как ( С \ / 1 0 \ rank I = rank І І = 2. \С-А) \ЇЬ) Передаточная функция системы имеет вид Х(р) = С (А - РІ)В = кр/(р - 1)/(р - Ь) . Нелинейность (р(р) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию р{о)(т (id2 , где \1 0 . Так как для любого во Є [0, ] (см. [14], с.366) ( (а \ го \\ / l + sin6 0 = 1 + sin(7r - 2тш0) х \/2 - 1 + 1.257Г - (тг - 2тга0) можно взять р=1/А р = Ь/А Следовательно, первое условие выполняется для Ъ А 1. Проверим выполнение условий предложения 3 из Приложения. det(Ap/ - А) = (Хр - 1)(Ар - 6) = 0 & Покажем, что если неравенство (2.17) верно, то выполнено второе условие. Пусть р = ег , тогда второе условие кХр кХр (Лр_1)(Ар-Ь) (Ар-1)(Ар-Ь) fj,k2X2pp + (Xp-i)(Xp-i)(Xp-b)(\p-b)- (2-20) равносильно выполнению неравенства (A2 + b)cos0-A(b + l) + /e/xA O Уф. Выбирая максимальное значение cos 0=1, получаем, что второе условие выполнено, если (A-6)(1-А) S кХ Выражение справа достигает максимума при А = ч/б Є (6,1). Таким образом, второе условие выполнено, если р (1 — лД )2/к. Окончательное неравенство получается после подстановки значения fi из (2.19). Теперь рассмотрим случай, в котором коэффициенты удовлетворяют условию (2.13). Выберем другое поднятие Т : Е2 — R2 : тп+1 = тп + П-1-. sin(27TTn) -f brn rn+i = brn- sin(27rrn)
Множество неподвижных точек отображения Т состоит из точек вида G+iarcsin(W+iv i-Q) (l harcsin(т)+N г п) гдеN єz а, значит, содержит точку а\. Лемма 5. Если выполнены условия (2.13) и и неравенство k(l - sin(27rai)) ( /2 — 1 + 2.257Г - 2тго:і)(1 - v )2 , (2.22) то все решения системы (2.21) ограничены при п 0. Доказательство. Рассмотрим замену переменных г = - + 1-П, в результате которой система (2.21) будет иметь вид iVi \ = (i А f М + pn+i ) \ о ь J \рп J Дальнейшие рассуждения такие же, как в лемме 4. 2.3.3 Вывод формулы Теорема 5. Пусть 0 Ъ 1. 1. Если выполнены условия (2.12) и неравенство (2.17), то dimLК = 2 - . х ,Ь,& ,. ,. , (2.23) 1пА+(а0) + 1пЬ 2. Если выполнены условия (2.13) и неравенство (2.22), то dimLК = 2 - 1 . (2.24) lnA+(ai) + 1по
Формула ляпуновской размерности
Теорема 6. 1. Пусть {,г)) Є 2 2- Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точки М і, Мз и М dimrК max 1 Н ,,\ 2. Пусть (,г]) Є -Оз- Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точку М± 3. Пусть (,г)) Є D±. Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точку М і 4- Пусть (, г]) Є Dr,- Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точку Мз Доказательство. Если (,77) Є . то в силу леммы 7 точки М2, Мз и М4 являются гиперболическими и размерность в этих точках вычис ляется по формуле из леммы 8. Так как sup g - dim М dim M , получаем утверждение леммы для пункта 1. Аналогичные рассуждения доказывают оценки остальных пунктов. Рассмотрим мноэюество К, инвариантное относительно отображения F, такое, что М\ К, а М\,М2 /Г. Тогда для достаточно малого є верно равенство Замечание. Условия (3.15) можно переписать в виде: rf — 2с\г\-\-с\ О, где г] = л/Щ—Щ 0. Функция z = rf — 2с\г) + с\ имеет локальный минимум в точке Г] = у2/3с2. Следовательно, константа 62, удовлетворяющая неравенству (3.15), существует тогда и только тогда, когда z(yj2/Zc2) 0, что равносильно неравенству сч - /27/32. Обозначим через а\(х,у) и о-2{х,у) сингулярные числа комплексной матрицы-функции РТ(х,у)Р 1, где Применяя лемму 1, получаем формулу: 0Х2(з, 2/) = 2 V/ M + 2 M ± ф{х,у) -2d(x,y) где функция t(x, у) = (1 + ci(l - є) cos ж)2 + (1 + c2(l - є) cosy)2 является следом матрицы (PTP yPTP-1, а функция является определителем матрицы Т(х,у). Рассмотрим функцию +a(ci(l — є) Sin Ж + C2SU1?/ + &i) + s(3(ciS БШХ + C2(l — e)sinj/ + 62) Здесь параметр s Є [0,1] будет определён позднее, (ж,2/) = 1пЛі(ж)-Ьа(сі8Іпж + &і) + s (lnA2(y) +/3(c2smj/ +62)) Для получения формулы ляпуновской размерности применим теорему 1 к отображению F. Для этого возьмём где р(х,у) = ехр(аж + s(3y) и s Є [0,1], тогда неравенство (2.1) равносильно следующему где Следовательно, условия теоремы 1 будут выполнены, если больше, то есть ф2(тг — уі — 5) Ф2Ы — У1) или 02( - /1 + ) 02(тг — Уі)і мы можем уменьшить 6. Таким образом, мы получили, что 02 (я" — У і) является глобальным максимумом на отрезке [тт — уі — S, тг — у і + S]. Далее покажем, что ф {{хі) 0 для всех Х\ Є] — 7г/2,7г/2[. Действительно, В числителе получившейся дроби стоит полином l+2cit — citz, заданный на отрезке [0,1], принимающий положительные значения на концах отрезка и имеющий единственный максимум внутри отрезка [0.1].
Значит, числитель положителен при всех х\ є] — 7г/2,7г/2[. Так как cos Х\ 0, знаменатель тоже положителен. Следовательно, ф {(хі) 0 для всех жіЄ]-7г/2,7г/2[. Докажем теперь, что глобальный максимум функции ф\{х) достигается в точке Х\. Заметим, что ф\(х) имеет две точки локального максимума: х\ е] — 7г/2,7г/2[ и Х2 Є]я" — arccos(l/ci), 7г + arccos(l/ci)[. Нам необходимо доказать, что ф\(х\) ф\(х2). В случае а 0 имеем х\ Є [0, тг/2[ и Х2 б]7Г — arccos(l/ci), тг]. Рассмотрим точки х Є [0,7г/2[ и 7г — х. Получим sinх = sin(7r — х) и In l + ci cosx) In 11 +Сі cos(7r — ж). Следовательно, ф\(х\) ф\(х2) и таким образом получаем, что х\ — точка глобального максимума. В случае а 0 необходимо использовать аналогичные аргументы для х є] — 7г/2,0] и 7Г — х Є [7Г, 7Г + arccos(l/ci)[. Итак, мы получили, что В случае имеем ф(хі,тг — 2/1) = 0. Кроме того, In 1 — т}\ 0, следовательно, для s s имеем ф(хі,тг — 2/1) 0, что даёт неравенство (3.18). В силу теоремы 1, для всех (х,у) Є В существует шо такое, что для всех m то получаем dimx(Fm, (х,у)) 1 + s для s s . В результате, применив определение, получим dimi К = 1 + s . Значение 1 + s достигается в точке М\. Теперь предположим, что є 0. Так как Ai(Mi) положительно, F переводит пересечение множества В с окрестностью точки М4 в В, то же самое верно для точки Ms, кроме того, F(B) С -В для є = 0. Следовательно, F(B) С В для достаточно малых є. Теперь определим функцию Q(x,y) той же формулой, что и для є = 0. Тогда Выберем а и sfi так, чтобы \7ф(М±) обратился в нуль. Прямое вычисление даёт аі (М4) = Лі;2(-М4). Таким образом, M± — критическая точка, кроме того она ещё точка невырожденного глобального максимума на множестве
В при є = 0. Значит, ф(М ) — глобальный максимум, если є достаточно мало. Окончательно имеем sup$(ic,j/) = ф{хі,к -yi) = In Сі + s In Од = lnAi + slnA2 0 в для всех 5 5 и в силу А 1, Это доказывает, что существует mo такое, что для всех m TUQ и для всех s s верно неравенство Окончательно получаем dim/, К — 1 + s , причём, значение 1 + s дости гается в неподвижной точке М4. Рассмотрим множество К, инвариантное относительно отображения F, такое, что М2 Є К и Mi, М± . К. Тогда для достаточно малого є верно равенство Замечание 1. Аналогично первому случаю, константа bi, удовлетворяющая неравенству (3.22), существует тогда и только тогда, когда ci /27/32. Доказательство теоремы 8. Сделаем замену х на у, с\ на С2, Ь\ на &2 Мы оказались в условиях теоремы 7. Замечание 2. На самом деле в доказательствах теоремы 7 и 8 мы пользуемся следующими условиями: 1. (, rj) Є D% в теореме 7 и (, 77) Є -D4 в теореме 8. 2. 0 det(T(M4)) 1 в теореме 7 и соответственно 0 det(T(M2)) 1 в теореме 8. 3. Существует множество В, — окрестность прямой, проходящей через точки Mi и Мз, для которой F{B) С В, в теореме 7 и соответственно окрестность прямой (Мг -Мз) в теореме 8.
Примеры для отображения Каплана-Йорка
Рассмотрим отображение (2.8) со значениями параметров Ь = 0.01, П = 0.05, к = 3.75. Получим систему Это случай, когда отображение F имеет две неподвижные точки CLQ (0.487; —0.050) и а\ (0.013; —0.050), причём обе — гиперболические. Для точки CLQ собственные числа Лі 4.745, Л2 0.0021 и собственные векторы V\ (0.785, 0.62)г, v2 (0.0021, -0.999998)т. Для точки аг собственные числа Лі —2.723, Л2 — —0.0037 и собственные векторы vi (0.59, 0.807)г, v2 (0.004, 0.99999)г. Для выбранных параметров выполнено неравенство (2.17), и формула ляпуновской размерности Рис. 4.5: Подмножество минимального глобального В-аттрактора обобщённого отображения Чирикова, состоящее из множества 971 и неустойчивых многообразий в неподвижных точках. Множество Ш1 при этих значениях параметров изображено на рисунке 4.4. Для нахождения 9DT на поверхности развёрнутого цилиндра строилась сетка для начальных точек траектории размера 1000 х 1000. Высота цилиндра 2утах = к/тг/(1 — b) 2.42 выбиралась из оценки (2.10). Из каждой точки построенной сетки выпускалась траектория длиной 10000 точек.
Начиная со 101-ой точки траектория: отмечалась на рисунке. Из рисунков 4.4 и 4.5 видно, что аттрактор системы (4.3) имеет нетривиальную структуру. Подмножество множества 9Я, содержащее 9Я и неустойчивые многообразия в точках ао и «ь изображено на рисунке 4.5. Для построения кусков инвариантных многообразий строилось множество MQ СО значениями параметров пр = 1000 и t = 0.0001. Из каждой точки множества MQ выпускалась траектория длиной в 10 итераций. Каждое из нарисованных множеств содержит неподвижные точки а$ и а\. Любое из них может быть выбрано в качестве К в теореме 5. Рассмотрим отображение (3.1) со значениями параметров с\ = 4, сч = 1.5, &i = 0.1, 62 = 0.85 и е = 0.1. Получим систему Это случай, когда точки М1 = (-0.002, -0.680) и М2 = (3.143, -0.680) - отталкивающие, а точки М3 = (3.143, 3.822) и М4 = (-0.002, 3.822) — гиперболические. Для системы выполнены условия теоремы 7, и фор мула (3.16) даёт В качестве множества К в теореме 7 можно выбрать любое из множеств, изображённых на рисунках 4.6 и 4.7. Множество 971 содержит минимальный глобальный аттрактор (рис. 4.6) и ветви неустойчивых многообразий в точках М , Мз и М$(6.282, 3.822), вернее, части многообразий, лежащие в квадрате периода (рис. 4.7). где хп ЄШ1 — вектор состояния системы, А, В и С — постоянные вещественные матрицы размеров /х/,/х1и/х1 соответственно; сгп — выход линейной части системы; у?( т) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию /?( т) 7 // 72 , с некоторым числом ц 0. Предположим, что пара (Л, В) полностью управляема, пара (Д С) полностью наблюдаема. Напомним, что это значит выполнение следующих равенств: Предложение 3 (теорема 5.2.1 [14J). Пусть выполнены следующие условия. 1. существует такое вещественное число А Є (0,1), что полином det(Ap//—А) имеет один корень по модулю больше единицы и (1 — 1) корней по модулю меньше единицы; 2. для любого комплексного р, такого, что \р\ = 1, справедливо неравенство \ШР) + Х №) + А Х (Ар)х(Ар) 0. Тогда любое решение хп(хо) системы (АЛ) ограничено при п 0. Некоторые свойства сингулярных чисел Для сингулярных чисел степеней матрицы имеет место следующие факты ( см. [28]). Предложение 4. Пусть А — матрица порядка I. Тогда для к = 1,..., / верно равенство Пш (ак(Ап)) п = \Хк(А)\. п- оо
Список используемых обозначений z — точка /- мерного евклидова пространства Ж1. S — окружность единичной длины. Fnz = F(F(. ..(z)...)n раз. 9К — минимальный глобальный аттрактор последовательностиото-бражений {Fn}=1. ffl — минимальный глобальный В аттрактор последовательности отображений {Fn}=1. Для ІХІ матрицы А матрица А — транспонированная матрица в вещественном случае и эрмитово-сопряжённая в комплексном. Ai,..., Л/ — собственные числа матрицы А, расположенные в порядке не возрастания их модулей. "1 а1 —сингулярные числа матрицы А. Х± — собственные числа двумерной матрицы. т± — сингулярные числа двумерной матрицы. TZF — матрица Якоби непрерывно дифференцируемого отображения F в точке z. В координатной записи это матрица частных производных координатных функций по независимым координатам, вычисленная в точке z. Скалярное произведение обозначается круглыми скобками (, ), а евклидова норма г - мнимая единица. 1. Леонов Г. А., Полтинникова М. С, О ляпуновской размерности аттрактора диссипативного отображения Чирикова, Труды Санкт-Петербургского Математического Общества, (2002) 10 с. 186-198. 2. Леонов Г. А., Полтинникова М. С, Формулы ляпуновской размерности аттракторов некоторых двумерных отображений, Тезисы докладов на Международной Конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (2002), Владимир, с. 101. 3. Леонов Г. А., Полтинникова М. С, Построение специальных функций Ляпунова для оценки размерности аттрактора, Тезисы докладов Шестой Крымской Международной Математической школы "Метод функций Ляпунова и его приложения", Симферополь (2002), с. 87. 4. Kurths J., Poltinnikova М. S., Lyapunov Dimension Formula for two Coupled Circle Maps, Int. J. Bif.& Chaos.
