Введение к работе
Актуальность. При построении систем управления реальными объектами приходится принимать во внимание наличие в реальных условиях тех или иных неполных априорных сведений, которые будем называть неопределенностями (параметрическими (ПН) или динамическими (ДН)) системы. Для классов проблем, связанных с типом ДН, традиционно эти неопределенности считаются имеющими вероятностный характер (они задаются, например, либо белым шумом, либо цветным шумом с известной спектральной плотностью) и в связи с этим предлагается отыскивать оптимальное управление из условия минимизации математического ожидания некоторого функционала качества. Соответствующая теория, берущая начало от Винера и Калмана, как известно, хорошо развита. Однако, давно замечено наличие ряда "нехороших" свойств у некоторых оптимальных регуляторов, построенных на основании этой теории: иногда оказывается, что оптимальный регулятор — негрубый или строго не реализуемый и др. Кроме того, либо лежащее в основе понятия случайного стационарного процесса предположение об ансамбле траекторий и его усреднении перестает соответствовать задаче, либо предположение о некоррелированности процессов, которое обычно в той или иной форме ьрисутствует в теории, является трудно проверяемым. В связи с этим, в последние годы создан и быстро развивается новый (игровой) подход (Красовский Н.Н., Куржанский А.Б., Кунцевич В.М. и др.). В рамках этого подхода оптимальное управление устанавливается соответственно "наихудшему" входному воздействию для того, чтобы гарантировать желаемый результат даже при самом "неблагоприятном" влиянии внешней среды. Для учета чувствительности выхода системы относительно внешнего возмущсшія, созданы теория {-инвариантности (Лузин Н.Н., Кузнецов П.И., Петров Б.Н., Кухтенко А.И. и др.) и Нос -теория (Zames G., Francis В.А. и др.), которые тесно свя-
заны с теорией дифференциальных игр. Диссертация примыкает к этому последнему ("игровому") направлению.
Рассмотрены задачи синтеза оптимальных управлений в лине.№и>-кваді>атичной дифференциальной игре- (ЛШШ) для нестационарной системы. Для нестационарной системы изучены задача, аналогичная задаче Ноо -теории (ос будем называть задачей оптимизации по Hob-критерию). Рассмотрена задача оптимизации d некотором смысле аналогичная лгаїсйно-квадратичной гауссовой задаче (задача LQL2).
Цель работы сехтгоит в том, чтобы найти условия (необходимые, и достаточные) разрешимости всех трех указанных задач и также их решения. Решения задачи LQL-; и задачи оптимюа--ции но Ноо-критерию используют решения задач ЛКДИ.
Обіцан меюдака ньіншіїїеиил исследрнятш. В диссерта-ции применяются методы линейно-квадратичной теории, принцип максимума Понтряшна, методы функциональной) анализа, теория линейных диф<[к>ренциальных уравнений с периодическими коэффициентами, теорема о S-процедуре и др.
Научная новизна. В диссертации получены следующие
новые результаты: -
Доказана равносильность разрешимости трех основных задач 'ЛШШ (минимаксной, максиминной задач и задачи существования седлоаой точки) в н«;интулярном случае как для нестационарной линейной системы на конечном временном ИНТС1>-иале, так и для периодической системы на бесконечном временном интервале;
— Дли кплдой из *п:их трех задач найден ряд условий ^необходимых и достаточных) разрешимости задачи;
Для этих задач дано описание оптимальных управлений
(регуляторов) и седлойой точки;
Получены условия (необходимые и достаточные) разрешимости некоторых вырожденных (включающих сингулярный случай) максиминных задач программного управления и дано описание оптимальных (программных) управлений;
Рассмотрена задача оптимизации по Ноо-критерию для нестационарной линейной системы на конечном временном интервале.
Рассмотрена задача LQL; для нестационарной линейной системы на конечном временном интервале.
ТЬоретическая и практическая ценность. Ряд теоретических результатов (задач ЛКДИ) носит окончательный характер. Полученные результаты и методы могут быть примены в дальнейшем при рассмотрении линейнс^квадратичных задач для систем с внешней помехой.
Апробация. Результаты работы докладывались па студенческих семинарах и на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ.
Публикации. Часть результатов диссертации опубликована в работе [1].
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введ-ния, трех глав и заключения и занимает 105 страшщ. Список литературы содержит 45 наименования.