Введение к работе
Актуальность ге;.:ы. Упорядочение какой-либо системы объектов по их предпочтительности путём приписывания каздоку объекту вещественного числа, когда бсльэее число соответствует более предпочитаемому объекту, а равные числа - одинаковы;.! по предпочтительности, является удобным и естественный, ко не всегда возможным. Поэтому приходится рассматривать более общие упорядочения' по предпочтении.
Дза направления таких обобщений представляются интересными и перспективными. " -
Одно из них связано с отказом от численной оценки сравниваемых объектов, но с сохранением "линейности" их упорядочения, т. е. такого упорядочения, при котором из двух различных объектов один доякзн бкть предпочтительнее другого. На этом пути возникают упорядочения, называемые "неархикедовккл''.
Другое направление обязано, напротив, с сохранением численних (зе^ес-івенних)оценок объекта. На ото:.; пут;; возникают так называемые многокритериальное (векторныо) упорядочения. Класс таких упорядочении составляет многокритериальные задачи оптимизации.
При реагкии многокритериальных задач иногда требуется учитывать важность отдельных критериев. В некоторых таких задачах из частных критериев удаётся выделять более ватане и ме;;яе ваяние критерии (т. е. упорядочить критерии по важности). При атом приниг.'дется, что малого приращения более ванных критериев целесообразно добиваться за счёт любых потерь по менее важным критериям.
Многокритериальные задачи оптимизации, з которых критерии упорядочены по важности указанный образок, называются лексикографическим;', задача;.;;! оптимизации.
Лексикографический подход к принятию решения в оптимизационных и в том чисте в теоретико-игровых задачах, оказываете/ полезным и встречается во многих сферах человеческой деятельности.
Лексикографические задачи оптимизации впервые рассматривали' 3.D. Подиповским. Мяогочнслсипыо задачи такого рода, примеры моделей, приводящих к лексикографическим задачам, а также методологические и вычислительные вопросы решения многокритериальных задач исследованы авторами 3.3. Лодиновским, В.М. Гавриловы:,'.,
- 2 -В.Д. Ногиным, В.В. Калашниковым, В.Н. Нефедовым.
Известно, что большое число лексикографических задач неустойчиво. Вопросы устойчивости решений лексикографических задач оптимизации изучаются М.Г. Клепниковой. Устойчивость н устойчивые метода решения лексикографических и других многокритериальных задач оптимизации изучались Д.А. Молоддовым.
ііачиная с 50-х годов, в теории игр появляются работы, в которых предпочтения игроков на множестве ситуаций задаются не в виде численных функций виигрыша игроков, а в более общем виде -в виде отношений предпочтения на множестве ситуаций. Впервые на изучение таких игр обратил внимание Фаркуарсон. Для развития теории игр с неархкмедовыш полезностяш фундаментальной базой стало обцее определение игры данное Н.Н. Воробьевым, в котором постулируется, что предпочтения игроков задаются в виде произвольных бинарных отношений на множестве ситуаций игры.
Общим вопросам теории игр с неархимедовыми полеэностями посвящень: работы Сишберна, Скала. Теория неархимедовых полезно-стей явилось предметом самостоятельных исследований ряда авторов. Ими занимался Коттингер. Ванные результаты в этом направлении получены .Б. Яновской, в которых исследуются общие вопроси существования решений игр неархиыедовыми полеэностями в смысле некоторых принципов оптимальности. К это;^у же кругу вопросов относится и монография Э.Й. Вилкаса "Оптимальность в играх и решениях". Близких вопросов касаются докторская диссертация В. ft. Роэена.
С существованием теорий лексикографических оптимизационных задач и теории игр с неархиыедовыми полеэностями, естественно встаёт, вопрос о развитии теории игр с лексикографическими выигрышами, т. е. такими играми, в которых предпочтения игроков на мнокестве ситуаций задаются лексикографическим порядком с по-моцьЪ вектор-выигрышей.
З.В. Подиновский впервые рассматривает лексикографическую антагонистическую игру как систему ^.А, В , Я/* , где А и В - соответственно множества стратегий первого и второго игроков, Н - (И4, ..., Ит) А * В -* /R "* - вектор-фУНЩия выигрыша первого игрока. Ситуация равновесия в лексикографической антагонистической игре определяется аналогично скалярному случаю. Приводит пример лексикографической матричной игры, в кото-
.-3-poli нет ситуаций равновесия в смешанных стратегиях.'
В.В. Падинсвский предложил весьма полезный приём анализа лексикографических' матричных игр в тех случаях, когда множество возможных значений векторов И (А, В) конечны. Оказывается, что существуют такие ГП вецестзенных чисел Cf,...t Cm , что исходная лексикографическая игра оказывается в известном смысле зк-
т .
Бивалентной скалярноіі игре (.А, В, Ж С^ Н У Этот приём
как- отмечает и сам автор, удаётся распространить и на конечные лексикографические бескоалиционные игры с произвольным конечным числом игроков.
П. йішберн изучил лексикографические матричные игры и определил ситуацию равновесия в смешанных стратегиях. Он привёл примеры таких игр, в которых: нет ситуаций равновесия в смешанных стратегиях; порока игрок не млеет махсуминной, а второй - минимаксной стратегии; один' игрок кмозт оптимальную стратегии, а другой нет; первый игрок имеет максиминную стратегию, аторой игрок - минимаксную стратегию, но ситуации равновесия нет.
Как видно из приведённого исторического очерка работ, пос-вяцённых лексикографическим играм, условия существования ситуаций равновесия в конечных лексикографических бескоалиционных играх специально не изучались. Только в работе 13.В. Полиновского рассматривается возможность сведения конечной лексикографической бескоалиционной игры к скалярной бескоалиционно», игре и установления существования в полученной игре ситуаций равноэесия в чистьк стратегиях.
Исследованию реализации принципові оптимальности в некоторых классах лексикографических стратегических и кооперативных играх была посвяцена кандидатская диссертация автора.
Целью работы является разработка основ стратегической теории лексикографических игр и их аффинных форм (аффинных игр) -развитие аппарата аффинных игр исследование вопросов суцество-вания и нахождения ситуаций равновесия а аффинных и в лексикографических, бескоалиционных играх коночной и бесконечной глубины (и в том числе в аффинных и в лексикографических матричных играх), доказательство существования лексикографической ситуации
Є -равновесия в смешанных стратегиях для лексикографических бескоалиционных игр, распространение на лексикографические игры
классических понятий устойчивости и введение новых понятий уе-чойчивост/. лексикографических бескоалиционных игр, получение условий равновесности в лексикографических стохастических и дифференциальных играх.
Научная новизна. Основным объектом исследования работы являются игры .с лексикографическими упорядочением вкигрьзіами игроков в пространствах Rm л IR .
Е работе построена систематическая теория стратегических лексикографических к аффкннкх игр. На основе развитого автором математического аппарата исследуются аналитические свойства аффинных игр. Выводятся необходимые и достаточные условия существования ситуаций равновесия в смешанных стратегиях в конечных лексикографических бескоалиционные играх конечной к бесконечной глубины. В таких играх описываются шокества ектуациГ; равновесия в смешанных стратегиях. Для лексикографической бескоалиционной игры Г- (Г , ., Г ) глубины гп вводятся понятия кат-рично-сиепанных стратегий игроков, т. е. таких смешанных стратегий, в которых каждой компоненте игры Г* соответствуют свои вероятностные распределения на множестве чистых стратегий игроков, вводятся понятия устойчивой лексикографической бескоалиционной игры, ситуации слабого нестрогого равновесия и её устойчивости в чистых стратегиях и доказываются необходимые и достаточные условия слабой нестрогой устойчивости игры Г . Вводятся понятия t -устойчивости ситуации равновесия и І -устойчивости лексикографической бескоалиционной игры в смешанных стратегиях. Исследованы вопросы существования и нахождения сед-ловых точек в лексикографических и аффинных матричных играх. Определяется матричная игра с функциональными выигрышами и еед-довая точка в ней. Вопросы существования седковых точек в такой игре сводятся к существованию седловых точек в лексикографической матричной игре бесконечной глубины, Изучается многоаагозые лексикографические игры: стохастические, дифференциальные игры и выводятся условия существования решений в этих играх. Для лексикографической антагонистической дифференциальной игры с полной информацией введены аппроксимирующие стратегии игроков в дискретных многошаговых играх, вспомогательных основной непрерывной игре.
Обзля методика исследований. Методика исследований лекси-
- 5 -кографических стратегических игр состоит з основном в сведении равновесности лексикографической игры к равновесности скалярных игр. Исследование лексикографических игр проводится на основе методология теории скалярных игр о использованием аппарата и результатов теории функций, функционального анализа, линейной алгебры и теории дифференциальных игр.
Достоверность основных научных положений диссертаций основана на строго;; математической постановке соответствующих проблем'и на адекватном применении используемого аппарата и результатов.
Практическое значение. Полученные в диссертации результаты могут бить использованы для теоретико-игрового моделирования эяолого-эконоглмьских задач, при выполнении работ, связанных с решением .многокритериальны* задач б организациях, занимающихся социально-экономически:/'/, проблемами, в военном деле и т. д. Результаты диссертации могут быть использоваш в учебном процессе при чтении курсов по теории игр и теореткко-игрозого моделироза-нга.
Диссертационная работа езязана с гоебадкетными темами кафедры высшей математики Кутаисского политехнического института 51 зоила в отчеты: "Резекиэ некоторых классов лексикографических антагонистических игр на квадрате", .'? го г.. регистрации 7S0I6770, инвентарный I? В 343139. "Анализ множества решений лексикографи-ческой биматричноЯ игры", ;? гос. регистрации О.Т.84.0003743, инвентарный її 02.85.СОГ4350. "Нестроение теории лексикографических игр", $ гос. регистрация 01.86.0079740 (I этап - "Устойчивость лексикографических: бескоалиционных игр", инвентарный .\'> 02.87.0022783; И етап - "Основы теории лексикографических игр", инвентарный » 02.91.0ОЗЗІ24).
Личный вклад автора. Зоє основные результаты диссертации получены лично азтором. Результаты совместной работы о 0.>. Малафеевым содержится ч 3. Введение понятия ситуаций слабого нестрогого равновесия и её устойчивости в лексикографические бескоалиционных играя', а гаклда доказательства соответствующих теорем принадтеки'і' автору.
Апробация pa'JoTsj. Сснозные результаты диссертации докладывались на I симпозиуме по теории игр (Ленинград, 1978), на 3 симпозиуме по теории игр (Ленинград, 1985), на конференциях мате-
- б -ыатиков высших учебных заведений Груз.ССР (Кутаиси, 1979, Тела-ви, 1933), на 4 Всесоюзном семинаре по исследованию операций и системному анализу (Батуми, 1983), на 5 межреспубликанском семинаре по исследованию операций и системное анализу (Кутаиси, 1935), на школа-симпозиуме по теории игр (Кутаиси, 1990), на международной яколе - "динамические многокритериальные задачи при неопределённости" (Ксбулети, 1991),.на семинарах: отдела вычислительны)', методов исследования операций Ш АН Грузик, отдела исследования операций 32'М АН СССР, Института Систем Управлений Art Грузии.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I-I6J .
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, списка использованной литературы. Объём диссертации - 259 страниц машинописи.