Структуры нелинейных вырожденных отображений и их применение к построению численных методов Третьяков, Алексей Анатольевич

Введение к работе

Актуальность проблемы. Целый ряд важных с практической точки зрения проблем в таких областях науки и техники, как ра-кетотехника, космическая навигация, управление термоядерным синтезом и других, вызвали в последнее время повышенный интерес к исследованию сложных математических моделей. Среди них естественным образом выделяются линейные "л нелинейные задачи," которые различаются как математическим аппаратом их исследования, так и численными методами построения решения. Класс линейных задач достаточно хорошо изучен, существует много методов их решения, обладающих достаточно высокой скоростью сходимости, устойчивых и позволяющих эффективно получать решения.

Исследованию нелинейных задач также посвящено большое число работ, которые в основном касаются невырожденных ситуаций. Однако, существуют важные прикладные проблемы, в том числе и в выше перечисленных областях, приводящие к исследованию вырожденных нелинейных систем.

Известные численные методы, существующие в настоящее время, разрабатывались в основном для невырожденных задач. Опыт применения этих методов к нелинейным задачам вырожденного типа показал либо неприменимость, либо их недостаточную эффективность. Причем, как правило, классические методы приходится дополнять эвристическими приемами. По-видимому, построение численных методов для решения вырожденных задач существенно осложняется отсутствием соответствующей конструктивной теории, позволяющей на основе изучения свойств этих задач строить численные методы.

Важность выроненных нелинейных задач и их существенное влияние на развитие науки, техники и технологии вызывают необходимость разработки такой теории. Однако отсутствие законченного математического аппарата исследования задач вырожден-

ного типа, а также технических средств реализации численных методов являлось тормозом в развитии теории и методов их решения. Нелинейность уравнений, возкйкаицюс при построении математических моделей, неизбежно приводила к использованию в численных методах высших производных, вычисления которых на| ЭВМ прежних поколений осложнялись большой трудоемкостью.

На современном этапе развития вычислительной техники, с возникновением высокопроизводительных и многопроцессорных систем появляется возможность использования новых конструкций для решения этих задач, в том числе вырожденных.

Актуальность работы определяется необходимостью решения важной задачи построения конструктивной теории для описания структуры нелинейных вырожденных отображений и на ее основе численных методов решения вырожденных уравнений и экстремальных задач. Для этого необходимы:

I. Аппарат для описания множества нулей отображения/-^) (или описание множества решений уравнения FM— @) в вырожденном случае).

2."Методы исследования вырожденных задач.

3. Конструкции схем для построения численных методов решения вырожденных нелинейных уравнений.

F(*> = 0 ц)

и экстремальных задач вида

-iHf--_f /=(х)=<0. (2)

Цель работы. Постановка задачи. Диссертационная,работа посвящена созданию теории и методов решения нелинейных задач

с особенностями. В ней разрабатывается математический аппарат и на его основе метода, открывающие возможность описания и численного решения широкого класса выровденных задач. Конструкция разрабатываемых в диссертации схем ориентирована на многопроцессорные системы и согласуется с современными требованиями, предъявляемыми новой вычислительной техникой.

Большинство задач вырожденного типа сводятся либо к решению уравнения (I), либо к решению- экстремальной задачи вида (2), где отображение f имеет нерегулярную структуру, т.е. вырождается в решении ОС* :

Im F'(oc*)*Y. ⁽³⁾

Здесь у>: X~*-Ri F -Х-> Y, X , У— 6 - пространства, JjnF(^x*) - образ оператора F(x.*) Условие (3) - это основное условие вырожденности или нерегулярности. Поэтому в дальнейшем задачи (I) и (2) будем называть вырожденными, если выполнено условие (3). Наличие регулярной структуры у отображения f позволило достаточно полно описать свойства F в (I), (2) и построить эффективные методы решения, основанные на идеях линеаризации.

Предлагаемые в работе исследования вырожденных нелинейных уравнений и экстремальных задач имеют целью на основе более глубокого понимания свойств этих задач дать возможность конструировать методы их решения, учитывающие специфику вырожденности.

Степень новизны и значимости результатов исследования. Описание структуры множества нулей отображения FC^-) составляет основу как теории экстремальных задач, так и теории построения численных методов. В невырожденном случае это тео-

рема о совпадении касательного конуса с ядром оператора первой производной. Результаты диссертации развивают новое направление , связанное с описанием структуры нелинейных вырожденных отображении. Проведен качественный анализ задач вырожденного типа и на основе этого предложены схемы методов решения такого типа задач. Новизна работы состоит в тон, что:

1. Дано описание множества нулей отображения F (к) в , случав вырождения оператора первой производной в решении.

2. Сформулирована и доказана теорема о неявной функции в вырожденном случае.

3. Введено понятие р -регулярности отображения F и на его основе получено обобщение известной теоремы Дюстерника -на вырожденный случай.

4. Получены условия оптимальности высших порядков в вырожденных задачах условной оптимизации.

5. На основе аппарата р, -регулярности разработаны и обоснованы конструктивные схемы методов решения нелинейных уравнений с особенностью в решении, которые обладают квадратичной скоростью сходимости.

6. Построены и обоснованы методы решения вырожденных экстремальных^гзадач, обладающие квадратичной скоростью сходимости.

Степень достоверности результатов. Научные положения и выводы, содержащиеся в диссертации обоснованы как строгими математическими доказательствами, так и результатами численного эксперимента по сравнительному анализу предложенных в диссертации методов с ранее существующими.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты расширяют класс сложных нелинейных задач, которые можно эффективно исследовать разработанншл в диссертации аппаратом, а также позволяют конструировать новые численные метода для решения систем нелинейных уравнений и экстремальных задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались:

7. На всесоюзных школах, конференциях и семинарах.

8. На семинаре Научного Совета но проблемам кибернетики АН УССР - "Математические методы в исследовании операций" в 1983 г.

9. На Советско-Болгарском семинаре по численным методам в 1987 г. в г. Варна.

10. На семинаре отдела Вычислительной математики при Президиуме АН СССР в 1986 г.

11. На научно-исследовательском семинаре кафедры исследования операций факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова в 1Э86 г.

12. На научно-исследовательском семинаре ИПК АН СССР в 1987 г.

13. На научном семинаре кафедры общих проблем управленії" механико-математического факультета МГУ им.М.В.Ломоносова в 1985-1986 гг.

5"

8. На Ломоносовских чтениях МГУ в 1982, 1983, 1984 гг.

9. На научном семинаре НИЩ МГУ в 1985 г.

По результатам работы выпущен препринт Научного Совета по комплексной проблеме "Кибернетика" АН СССР в 1987 г.

Реализация. Методы, разработанные в диссертации использовались:

1. При создании алгоритмов численного решения нелинейных уравнений и задач оптимизации.

2. При разработке в ИПК АН СССР пакета программ минимизации ҐПіпі. Potk для персональных компьютеров типа EC-I84I.

3. При разработке библиотеки оптимизации для Супер-ЭВМ в ИПК АН СССР.

Работа выполнена в рамках НИР ИПК АН СССР по теме "Математическое обеспечение Супер-ЭВМ, методы и алгоритмы для решения больших задач".

Результаты, изложенные в диссертации являются частью курса лекций "Математическое программирование", читаемого на факультете ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова.

Структура и объем работы. Диссертация состоит их трех глав, введения и заключения.

В первой главе дается общее исследование вырожденных нелинейных отображений.

На основе результатов первой главы во второй главе проводится построение конструктивных схем для решения нелинейных уравнений вида (І). В третьей главе, на основе результатов первых двух глав, дается описание и схемы методов решения вырожденной задачи условной минимизации с ограничением типа' равенств.

Диссертация содержит 167 страниц машинописного текста и список цитируемой литературы из 81 названия.