Введение к работе
Актуальность темы
Большое количество работ в теории оптимального управления посвящено решению стационарной линейно-квадратичной задачи оптимизации на бесконечном временном интервале. В случае, когда в объекте управления имеется зависящее от некоторых параметров внешнее воздействие, оптимальное управление, как правило, также зависит от этих параметров. Поэтому в ситуации, когда эти параметры неизвестны, такой оптимальный закон управления неприменим.
В этих условиях представляет интерес задача определения единого оптимального для каждого конкретного набора параметров и не зависящего от этого набора параметров регулятора. Такой регулятор мы будем называть оптимальным универсальным регулятором (для заданного класса параметров). Оказывается, что при естественных предположениях в некоторых практически важных специальных линейно-квадратичных задачах оптимизации существует оптимальный универсальный регулятор. К числу таких задач относятся: а) задача оптимального гашения вынужденных колебаний в линейной системе, вынужденные колебания в которой формируются за счет неизвестного векторного полигармонического внешнего воздействия с известным спектром; б) задача оптимального отслеживания полигармонических векторных сигналов с известным спектром. В этих задачах неизвестными параметрами являются наборы комплексных векторных амплитуд внешнего воздействия и отслеживаемого сигнала. Универсальный регулятор решает одновременно бесконечно много задач оптимизации: для любых наборов комплексных векторных амплитуд внешнего воздействия и отслеживаемого сигнала он доставляет функционалу качества минимальное значение.
Похожая ситуация имеет место в стохастическом случае, когда внешнее воздействие является стационарным случайным процессом, спектральная плотность которого мажорируется известной достаточно быстро убывающей на бесконечности скалярной функцией. В отличие от детерминированного случая в задаче оптимального гашения стохастических вынужденных колебаний в линейной системе с описанным множеством внешних воздействий нижняя грань функционала качества в классе физически реализуемых, стабилизирующих регуляторов с дробно-рациональной передаточной функцией не достигается. Однако оказывается, что для произвольного є > 0 существует не зависящий от спектральной плотности е-оптимальный регулятор такой, что для него функционал качества отличается от нижней грани не более чем на г, и это верно для любого внешнего воздействия из описанного класса. Такой регулятор мы будем называть е-оптимальным универсальным регулятором.
Близкой по постановке является задача экспоненциального отслеживания произвольной достаточно гладкой заранее неизвестной вектор-функции регулируемым выходом линейной системы при наличии в объекте и измеряемом выходе лолигармоничееккх векторных ненаблюдаемых внешних воздействий с известным спектром.
Цель работы
Одной из основных целей данной работы является определение новых случаев существования оптимальных и е-оптимальных универсальных регуляторов в линейно-квадратичяых задачах оптимального управления. В случае, когда оптимального универсального регулятора не существует цель работы состоит в определение минимаксного оптимального регулятора.
Научная новизна
В диссертации рассмотрены новые практически важные задачи оптимального управления, в которых указаны достаточные условия существования оптимального или є-оптимального универсального регуляторов. В случае, когда оптимального универсального регулятора не существует, получено описание множества минимаксных оптимальных регуляторов.
Практическая ценность
Полученные результаты могут быть использованы непосредственно при решении задач оптимального гашения детерминированных и стохастических вынужденных колебаний, задач оптимального отслеживания полигармонических сигналов в линейных системах.
Методы исследования
В работе используется аппарат математического анализа, теории вероятности и обобщенных случайных процессов, теории функций комплексного переменного и теории оптимального управления.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на международных конференциях: ГУ-ом международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Институт проблем управления РАН, Москва, 1996); ГУ-ом международном семинаре "Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности" (Орехово-Зуевский педагогический институт, 1996); 35th Conference on Decision and Control (Кобе, Япония, 1996); 1-ой международной научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их применение" (Санкт-Петербург, 1996); 4th European Control Con-. ference (Брюссель, 1997).
Результаты работы также докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета СПбГУ (научный руководитель семинара — профессор В.А. .Якубович).
Публикации
Основное содержание диссертационной работы представлено в статьях [1-6], две из которых написаны в соавторстве с В. А. Якубовичем. В этих -работах В.А. Якубовичем были поставлены задачи и осуществлялась общая корректировка направления исследований.
Структура и объем работы