Содержание к диссертации
Введение
Глава 2 Устойчивость нелинейных импульсных систем 14
2.1. Устойчивость по первому приближению 15
2.2. Устойчивость в критическом случае 29
Глава 3 Стабилизация нелинейных импульсных систем 43
3.1. Синтез стабилизирующего управления на основе модального подхода 44
3.2. Синтез робастного стабилизирующего управления на основе второго метода Ляпунова 55
Приложение 67
Заключение 76
Список литературы 78
- Устойчивость по первому приближению
- Устойчивость в критическом случае
- Синтез стабилизирующего управления на основе модального подхода
- Синтез робастного стабилизирующего управления на основе второго метода Ляпунова
Введение к работе
Актуальность темы. Импульсные модуляции широко применяются в системах обработки информации и управления. Поэтому исследования их динамических свойств привлекли внимание многочисленных исследователей в России и за рубежом (Я.З. Цыпкин и Ю.С. Попков, В.М. Кунцевич и Ю.Н. Чеховой, Э. Джури, П. Видаль, А. Халанай, Т. Павлидис, А.Х. Гелиг, А.Н. Чурилов и д.р.) Наибольшее число работ относится к системам, математическое описание которых сводится к разностным уравнениям. Однако, имеется широкий класс импульсных систем описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, которые изучены значительно меньше. Задачам устойчивости и стабилизации таких систем и посвящена диссертационная работа. Если в импульсной системе импульсный модулятор заменить его статической характеристикой, то получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, которую называют "эквивалентной". Представляла интерес гипотеза о том, что из устойчивости эквивалентной системы следует при достаточно высокой частоте импульсации устойчивость импульсной системы. Если речь идет об устойчивости в целом, то эта гипотеза была опровергнута М.М. Кипнисом. В диссертационной работе показано, что эта гипотеза справедлива в случае устойчивости в малом.
Актуальной является задача построения управления стабилизирующего нелинейную импульсную систему. В диссертации осуществлен синтез такого управления на основе модального подхода, второго метода Ляпунова и метода усреднения.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена получению условий асимптотической устойчивости нелинейных импульсных систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями и синтезу стабилизирующих управлений, при которых состояние равновесия нелинейной импульсной системы устойчиво в целом.
Методы исследований. Для получения результатов применялись второй метод Ляпунова и метод усреднения, разработанный А.Н. Чуриловым.
Научная новизна. Полученные в диссертации результаты по асимптотической
РОС ІІЛЦИОНА.ІЬНЛЯ БИБЛИОТЕКА 3 СЯетефбл'рг ОЭ ЙОО^акт
устойчивости импульсных систем являются новыми и фактически распространяют на функционально-дифференциальные уравнения с разрывными операторами результаты A.M. Ляпунова, полученные им для обыкновенньж дифференциальных уравнений с голоморфными правыми частями.
Впервые для нелинейных импульсных систем получен аналитический вид управления в том числе и робастного, при котором состояние равновесия становится устойчивым в целом.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Получено математическое обоснование метода эквивалентных площадей при исследовании асимптотической устойчивости нелинейных импульсных систем.
Преимущества построенных в диссертации стабилизирующих управлений заключаются как в их явной форме, так и в их робастности.
Апробация работы. Полученные результаты докладывались на VII
Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН 2002), II Международной конференции по проблемам управления (Москва 2003), на Четвертой международной конференции "Tools For mathematical modeling" (Санкт-Петербург 2003) и на VIII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН 2004), а также на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ, кафедры прикладной математики ПГУПС и в Институте проблем машиноведения РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-5] и в тезисах международных конференций и семинаров [6-9]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем и численное моделирование, а соавтору — постановки задач и выбор методов решения.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из трех глав разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 51 наименование.
Устойчивость по первому приближению
Рассмотрим нелинейную импульсную систему, описываемую функционально-дифференциальным уравнением при начальном условии x(t0) — жо, где д(х),Ь(х))с(х) — непрерывные т-мерные вектор-функции, (t) — сигнал на выходе, a(t) —- сигнал на входе. В (2.1.1) Лі — нелинейный оператор, описывающий работу импульсного элемента, который каждой непрерывной на [о»+оо) функции cr(t) ставит в соответствие функцию (t) и последовательность {tn} (п = 0,1,2,...), такие что 1) существуют такие положительные постоянные Ги о, что для всех п верна оценка 2) функция (t) кусочно непрерывна и знакопостоянна на каждом промежутке [tn,tn+i)\ 3) tn зависит только от значений а(т) при т „, () зависит только от значений (7(г) при т t; 4) существует такая непрерывно-дифференцируемая функция р(сг), что при каждом п найдется tn Є [tn,tn+i), при котором среднее значение п-го импульса удовлетворяет соотношению 5) если b(x) ф const, то существуют такие о 0, 0, что если ст(і) сг при всех t to, то C(f) 1 ПРИ всех 0 Свойствами 1)-5) обладает большинство из применяемых в технике видов модуляций (широтно-импульсная модуляция первого и второго рода, частотная модуляция первого и второго рода, амплитудная, комбинированная и др.) [18, 29, 38], при чем р(а) является статической характеристикой импульсного элемента. Здесь и в дальнейшем предполагаем, что задача Коши (2.1.1) имеет решение при всех хо Є Rm, которое продолжимо по t на всю полуось [о,+оо), если оно не достигает границы некоторой ограниченной области вГ. Отметим, что это свойство имеет место при всех известных видах импульсной модуляции. Вопрос о существовании решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывным оператором в данной работе не рассматривается. Рассмотрим эквивалентную непрерывную нелинейную систему, полученную из исходной заменой импульсного модулятора его статической характеристикой: Покажем, что при достаточно высокой частоте импульсации асимптотическая устойчивость состояния равновесия импульсной системы (2.1.1) следует из устойчивости по первому приближению эквивалентной системы (2.1.5). В случае, когда векторы бис постоянны устойчивость по первому приближению системы (2.1.1) была доказана [8] при условии, что закон модуляции обладает свойствами (1-4), Для частного случая, когда векторы бис также постоянны и имеет место широтно-импульсная модуляция первого рода с линейной статической характеристикой импульсного модулятора устойчивость по первому приближению была доказана в [50].
Рассмотрим здесь более сложный случай, когда векторы бис являются функциями от х, при этом мы воспользуемся свойством 5) закона модуляции, но, что весьма важно, полученная нами оценка на частоту импульсации не будет зависеть от . Пусть где А - постоянная т х т матрица, а вектор функция а(х) удовлетворяет условию Предположим, что Ь(х) = ho+bi(x), с{х) = co+ci(x) где &о, Й) - постоянные векторы, а вектор-функции bt(x)yc\(x) удовлетворяют условиям: Предположим также, что р(0) = 0 и в некоторой окрестности точки а = О выполнены неравенства Введем обозначения: к = р (0) S = Л + A:6OCQ, эе — — с$ЬоУ aei = CQJ46O, I — единичная т х m-матрица, А_ и А+ — минимальное и максимальное собственное число матрицы if, являющейся решением уравнения Ляпунова Желая воспользоваться методом усреднения в форме, предложенной А.Н. Чуриловым [18], введем функции v{t) — vn при t 6 [tn,tn+i) и t о Сделав в уравнениях (2.1.1) замену получим систему уравнений где Здесь и далее под х понимаем выражение (2.1.12). Для удобства рассуждений преобразуем уравнение (2.1.13) к следующему виду функцию Ляпунова где положительно-определенная матрица # является решением уравнения (2.1.11). Производная по времени V, взятая в силу системы (2.1.15), имеет вид гдеі=2(Яу, 7і) ( = 1)2їЗ,4). Очевидны неравенства: Рассмотрим область D — {у : V(y) А+62}, в которой у удовлетворяет неравенству Предположим, что выполнено также соотношение Чтобы получить оценку производной по времени V последовательно оценим выражения Li (г = 1,2,3,4). Величину Li в силу (2.1.17) можно оценить следующим образом: где є — положительный параметр, который будет выбран ниже.
Устойчивость в критическом случае
Рассмотрим нелинейную импульсную систему, описываемую функционально-дифференциальными уравнениями при начальном условии x(to) = о, где А Є Rmxm — гурвицева матрица, Ьі, а — непрерывные m-мерные вектор-функции, а — скалярная функция, &о,с Є Rm — постоянные векторы, р — постоянная величина, все величины вещественны, — знак транспонирования. 7И — нелинейный оператор, описывающий работу импульсного модулятора. () — сигнал на выходе импульсного модулятора, a(t) — сигнал на входе. Л4 отображает каждую непрерывную на [о,+оо) функцию j(t) в функцию (t) и последовательность {tn} (п = 0,1, 2,...), такие что 1) существуют такие положительные постоянные Т и #, что для всех п верна оценка 2) функция () кусочно непрерывна и знакопостоянна на каждом промежутке [tnitn+{)\ 3) tn зависит только от значений а (г) при т tn, (t) зависит только от значений х{т) при т t; 4) существует такая непрерывно-дифференцируемая функция (ст), что при каждом п найдется tn [tn,tn+i), при котором среднее значение п-го импульса Функция (р{ г) описывает статическую характеристику импульсного модулятора и в отличие от случая, рассмотренного в пункте 2.1, обладает следующими свойствами: р(0) = у? (0) = 0, при \а\ 5 ф{р) = к{\а\) т, где к{\а\) 0 при сг О, fc(0) =0, Jfe ( 7) 7- -0 при а- 0. 5) Если Ь\ ф 0, то существует такое 0, что если ег() 6 при всех t to, то () С при всех і о Задача заключается в установлении условий, при которых состояние равновесия х = 0, С = 0 системы (2.2.1),(2.2.2) асимптотически устойчиво. Если в (2.2.1), (2.2.2) заменить на ( т), получим эквивалентную непрерывную систему Пусть в системе (2.2.1) функции а(х,а),Ьі(х} т),а(х, т) непрерывны в области х ] е, \а\ 5. Предположим также выполнение условий Характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, в этом случае асимптотическая устойчивость системы определяется нелинейными членами. Для исследования устойчивости системы (2.2.1),(2.2.2) вновь воспользуемся методом усреднения [18]. Для этого введем функции t v{t) = vn при Є [tn,tn+i), {n = 0,1,2,...) и u(t) = /К(А) -v(X)]dX. о Сделав в уравнениях (2.2.1),(2.2.2) замену получим систему уравнений Здесь и далее под х понимаем выражение (2.2.9). Предположим, что и рассмотрим функцию Ляпунова где положительно-определенная матрица Н является решением уравнения Ляпунова А Н + НА — I, в котором /— единичная т х т матрица. Производная по времени V, взятая в силу системы (2.2.10), имеет вид V = -\\у\\2 + 2у НАЪ0и + 2y Hb0v + 2у НЪ1{х, г)+ +2у На(х, a) + prjv + prja(x, г) Будем чертой сверху обозначать "замороженные" функции, которые на промежутках [tn)tn+\) принимают значения, вычисленные в точке tn. Например, a(t) = r(tn) при tn t n+i- (n = 0,1,2,.. .) Согласно (2.2.4) справедливо соотношение Отсюда следует представление Из (2.2.11) и (2.2.14) вытекает равенство: При достаточно малом So коэффициент при v2 в (2.2.15) будет сколь угодно большим и в дальнейшем будет мажарировать члены с v2, возникающие при оценке М. Преобразуем М следующим обра Если Ь\ ф 0, то существует такое 0, что если ег() 6 при всех t to, то () С при всех і о
Задача заключается в установлении условий, при которых состояние равновесия х = 0, С = 0 системы (2.2.1),(2.2.2) асимптотически устойчиво. Если в (2.2.1), (2.2.2) заменить на ( т), получим эквивалентную непрерывную систему Пусть в системе (2.2.1) функции а(х,а),Ьі(х} т),а(х, т) непрерывны в области х ] е, \а\ 5. Предположим также выполнение условий Характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, в этом случае асимптотическая устойчивость системы определяется нелинейными членами. Для исследования устойчивости системы (2.2.1),(2.2.2) вновь воспользуемся методом усреднения [18]. Для этого введем функции t v{t) = vn при Є [tn,tn+i), {n = 0,1,2,...) и u(t) = /К(А) -v(X)]dX. о Сделав в уравнениях (2.2.1),(2.2.2) замену получим систему уравнений Здесь и далее под х понимаем выражение (2.2.9). Предположим, что и рассмотрим функцию Ляпунова где положительно-определенная матрица Н является решением уравнения Ляпунова А Н + НА — I, в котором /— единичная т х т матрица. Производная по времени V, взятая в силу системы (2.2.10), имеет вид V = -\\у\\2 + 2у НАЪ0и + 2y Hb0v + 2у НЪ1{х, г)+ +2у На(х, a) + prjv + prja(x, г) Будем чертой сверху обозначать "замороженные" функции, которые на промежутках [tn)tn+\) принимают значения, зом М = М\ -\- М% + ... + Мд, где
Синтез стабилизирующего управления на основе модального подхода
В этой главе рассматривается импульсная система, описываемая уравнениями: при начальном условии x(to) = XQ, где у = (ст, а ,..., ег"1-1-1). .М — нелинейный оператор, описывающий работу импульсного модулятора. () — сигнал на выходе импульсного модулятора, () — сигнал на его входе. ЛЛ — отображает каждую непрерывную на [to, +оо) функцию (t) в функцию () и последовательность {tn} (п = 0,1, 2,..,), обладающую следующими свойствами: 1) существуют такие положительные постоянные Т и 5о, что для всех п верна оценка 2) функция (i) кусочно непрерывна на промежутке [tn,tn+i) и не меняет знака на нем; 3) 4(0 зависит только от значений (т) при т t, tn зависит только от значений С (г), при т п; 4) Для каждого п существует tn [tn,tn+i) такое, что среднее значение импульса удовлетворяет равенству где с(С) — монотонная и непрерывная на (—со, +сю) функция, которая описывает статическую характеристику импульсного модулятора, причем р{0) = 0, р(+ос) = Ч-оо, (р(—со) = —со . Свойствами 1)-4) обладают различные виды комбинированной импульсации [18, 29, 38]. Например широтно-амплитудная модуляция первого и второго рода. Предполагается, что функции щ,..., ат — заданы, непрерывно -дифференцируемы и ограничены вместе со своими производными в Rm. Требуется определить такие функции й(у), і = 1, т и функцию ф, чтобы при С = Ф(ст(у)о- + Cn-ifyW + ... + cihOa -1)), (3.1.4) система (3.1.1), (3.1.2) была устойчива в целом: у — 0 при t — +со для любых у(0) и кроме того при любом є 0 у() , если у(0) 5(є). Для решения этой задачи запишем уравнение (3.1.1) в виде системы Выберем в качестве функции ф функцию р 1, обратную к функции ip.
Тогда уравнения (3.1.2) и (3.1.4) примут вид где с (у) = (ст(у),..., сі (у)), а оператор М.\ обладает теми же свойствами, что и М с той лишь разницей, что уравнение (3.1.3) примет вид Желая воспользоваться модальным подходом, фиксируем произвольный гурвицев полином и выберем в качестве искомых функций ( следующие функции (3.1.8) примет вид гурвицева матрица с характеристическим многочленом (3.1.7). Желая воспользоваться методом усреднения [18], введем функции t v(t) = vn при tn t i„+i, u(t) = /[(A) — v(X)]d\ импульсного модулятора, причем р{0) = 0, р(+ос) = Ч-оо, (р(—со) = —со . Свойствами 1)-4) обладают различные виды комбинированной импульсации [18, 29, 38]. Например широтно-амплитудная модуляция первого и второго рода. Предполагается, что функции щ,..., ат — заданы, непрерывно -дифференцируемы и ограничены вместе со своими производными в Rm. Требуется определить такие функции й(у), і = 1, т и функцию ф, чтобы при С = Ф(ст(у)о- + Cn-ifyW + ... + cihOa -1)), (3.1.4) система (3.1.1), (3.1.2) была устойчива в целом: у — 0 при t — +со для любых у(0) и кроме того при любом є 0 у() , если у(0) 5(є). Для решения этой задачи запишем уравнение (3.1.1) в виде системы Выберем в качестве функции ф функцию р 1, обратную к функции ip. Тогда уравнения (3.1.2) и (3.1.4) примут вид где с (у) = (ст(у),..., сі (у)), а оператор М.\ обладает теми же свойствами, что и М с той лишь разницей, что уравнение (3.1.3) примет вид Желая воспользоваться модальным подходом, фиксируем произвольный гурвицев полином и выберем в качестве искомых функций ( следующие функции (3.1.8) примет вид гурвицева матрица с характеристическим многочленом (3.1.7). Желая воспользоваться методом усреднения [18], введем функции t v(t) = vn при tn t i„+i, u(t) = /[(A) — v(X)]d\ и сделаем в системе о (ЗЛ.9) замену переменных где Здесь и далее под у понимается выражение (3.1.10). Оценим max z(t) через zn, где zn = z{tn). Для этого сначала получим оценку ш. В силу (2.1.22) из (3.1.13) следуют неравенства Согласно (3.1.6), (2.1.22), (3.1.12) имеем при tn t tn+\ оценку Предположим, что выполнено следующее соотношение Введем обозначение: z(t) = z(tn) при tn t fn+i, n = 0,1,2,... Аналогичным образом определяются y(t) и u(t). Тогда из (3.1.15) следует неравенство Поэтому ввиду (3.1.14) справедлива оценка ги 5з\\Щ + izj, где J3 = Умножив теперь равенство (3.1.11) слева на z и воспользовавшись полученной для ш1 оценкой, приходим и сделаем в системе о (ЗЛ.9) замену переменных где Здесь и далее под у понимается выражение (3.1.10). Оценим max z(t) через zn, где zn = z{tn). Для этого сначала получим оценку ш. В силу (2.1.22) из (3.1.13) следуют неравенства Согласно (3.1.6), (2.1.22), (3.1.12) имеем при tn t tn+\ оценку Предположим, что выполнено следующее соотношение Введем обозначение: z(t) = z(tn) при tn t fn+i, n = 0,1,2,... Аналогичным образом определяются y(t) и u(t). Тогда из (3.1.15) следует неравенство Поэтому ввиду (3.1.14) справедлива оценка ги 5з\\Щ + izj, где J3 = Умножив теперь равенство (3.1.11) слева на z и воспользовавшись полученной для ш1 оценкой, приходим к соотношению Пусть Xjy — максимальное собственное значение матрицы (D + D ). Тогда Умножив обе части этого неравенства на ехр[— (2(AD + 5i) + з)] и проинтегрировав от tn до t Є (im2„+i], получим требуемую оценку Производная по t в силу системы (3.1.11) имеет вид Введем обозначение: y(t) = y(tn) при tn t tn+i, n — 0,1,2,.., Аналогичным образом определяются z(t) и u(t). В силу (3.1.11), (3.1.6), (3.1.12) справедливо соотношение Представим теперь w следующим образом: где
Синтез робастного стабилизирующего управления на основе второго метода Ляпунова
Рассмотрим импульсную систему, описываемую уравнениями: при начальном условии x(to) = XQ, где у = (сг,о- ,... , crm_1)). Л4. -— нелинейный оператор, описывающий работу импульсного модулятора. () — сигнал на выходе импульсного модулятора, Q(t) — сигнал на его входе. Оператор Лч как и в предыдущем параграфе отображает каждую непрерывную на [to,-\-oo) функцию () в функцию (t) и последовательность {tn} (п = 0,1,2,...), обладающую следующими свойствами: 1) существуют такие положительные постоянные Т и SQ, что для всех п верна оценка 2) функция (t) кусочно непрерывна на промежутке [tn c +i) и не меняет знака на нем; 3) (t) зависит только от значений (т) при т t, tn зависит только от значений С(т), при т tn; 4) Для каждого п существует tn Є [tn,tn+i) такое, что среднее значение импульса tn+1 где f(C) — монотонная и непрерывная на (—со,-Ьоо) функция, которая описывает статическую характеристику импульсного модулятора, причем f(0) = 0, (р(+оо) = +оо, /?(—со) —со . Предполагается, что функции ai,...,am — заданы, непрерывны и ограничены в Rm. Задача состоит в построении такого постоянного вектора со и скалярной функции ф, чтобы при решение уравнения (3.2.1) у 0 6 wo устойчиво в целом: у —У О при і - +СО для любых у(0) и кроме того при любом є 0\\y(t)\\ є, если ІІУ(0) &{є). Выберем в качестве функции ф функцию у? \ обратную к функции /?, Тогда уравнения (3.2.2) и (3.2.4) примут вид где CQ = (cm,..., сі), а оператор Л4\ обладает теми же свойствами, что и М. с той лишь разницей, что уравнение (3.2,3) примет вид Чтобы решить поставленную задачу запишем сначала уравнение (3.2.1) в виде системы От(у) а2(у) а\{у) Будем искать постоянную положительно определенную матрицу Я и постоянную строку CQ, при которых справедливо неравенство где hij = — x/hikj, hi — положительные числа. При любых hi 0, матрица Я"1 является положительно определенной. Попытаемся выбрать такие числа hi и строку CQ, чтобы было выполнено неравенство (3.2.8). Представим матрицу К (у) в следующем виде: -1 „ L7-1 г-1 Л -т В качестве со возьмем постоянный вектор со = АЯет, где А — параметр, который будет выбран ниже. Тогда матрица R имеет вид где О — нулевая матрица размерности (т — 1) х (т — 1), Рассмотрим главные диагональные миноры матрицы К (у) А\,..., Дт-ь отсчитываемые от левого верхнего угла. Тогда Зафиксируем /ЇЇ Ои выберем Л,2 столь большим, чтобы Ді 0 при всех t 0, Для этого Л.2 должно удовлетворять неравенству Обозначим через К І (І = 2,..., m) матрицу размерности г х г и составленную из элементов матрицы /С, стоящих на пересечении ее первых г строк и і столбцов. Тогда Д = det КІ . Представим матрицу КІ В блочном виде: "mm = jS m + J + 2A, щ — столбец размерности і — 1. Согласно лемме Шура справедлива формула которую можно представить в виде где 7»(у) зависит от hk только для к — 1,2,..., і. Справедливо соотношение Предположим, что выбор i,..., hi обеспечивает выполнение свойства при к = 1,2,..., і — 1. Тогда, если взять в (3.2.9) uj+ причем f(0) = 0, (р(+оо) = +оо, /?(—со) —со . Предполагается, что функции ai,...,am — заданы, непрерывны и ограничены в Rm. Задача состоит в построении такого постоянного вектора со и скалярной функции ф, чтобы при решение уравнения (3.2.1) у 0 6 wo устойчиво в целом: у —У О при і - +СО для любых у(0) и кроме того при любом є 0\\y(t)\\ є, если ІІУ(0) &{є). Выберем в качестве функции ф функцию у? \ обратную к функции /?,
Тогда уравнения (3.2.2) и (3.2.4) примут вид где CQ = (cm,..., сі), а оператор Л4\ обладает теми же свойствами, что и М. с той лишь разницей, что уравнение (3.2,3) примет вид Чтобы решить поставленную задачу запишем сначала уравнение (3.2.1) в виде системы От(у) а2(у) а\{у) Будем искать постоянную положительно определенную матрицу Я и постоянную строку CQ, при которых справедливо неравенство где hij = — x/hikj, hi — положительные числа. При любых hi 0, матрица Я"1 является положительно определенной. Попытаемся выбрать такие числа hi и строку CQ, чтобы было выполнено неравенство (3.2.8). Представим матрицу К (у) в следующем виде: -1 „ L7-1 г-1 Л -т В качестве со возьмем постоянный вектор со = АЯет, где А — параметр, который будет выбран ниже. Тогда матрица R имеет вид где О — нулевая матрица размерности (т — 1) х (т — 1), Рассмотрим главные диагональные миноры матрицы К (у) А\,..., Дт-ь отсчитываемые от левого верхнего угла. Тогда Зафиксируем /ЇЇ Ои выберем Л,2 столь большим, чтобы Ді 0 при всех t 0, Для этого Л.2 должно удовлетворять неравенству Обозначим через К І (І = 2,..., m) матрицу размерности г х г и составленную из элементов матрицы /С, стоящих на пересечении ее первых г строк и і столбцов. Тогда Д = det КІ . Представим матрицу i достаточно большим, то будет обеспечено выполнение свойства (3.2.10) и при к = і. По лемме Шура справедлива формула Выберем теперь А таким образом, чтобы выполнялось соотношение Свойство (3.2.12) будет выполнено, если А удовлетворяет условию Тогда в силу (3.2.10) и (3.2.11) следует соотношение Из (3.2.13) в силу критерия Сильвестра вытекает неравенство (3.2.8). Желая воспользоваться методом усреднения [18], введем функции t v(t) = vn при tn t tn+i (n = 0,1,2,...) и u(t) = / [(A) - v(\)]d\. о Сделав в уравнении (3.2.6) замену
