Введение к работе
Актуальность проблемы. Проблемы устойчивости решения, его не -прерывной зависимости от исходных данных в математике играв? фундаментальную роль. Для задач оптимального управления вопрос об устойчивости их решения приобретает оссбуо остроту, тая как в практических задачах исходная информация чаще всего известна с некоторой погредаостьо, и, кроме того, в процессе решения сложные зависимости приходится аппроксимировать более простыми. Позтоыу отсутствие устойчивости у исходной задачи может привести к существенному искажению истинного решения. Среди многообразия задач оптимального управления часто встречаются задачи с фиксированным вреыенем, в которых концы допустимых траекторий жестко закреплены, что весьма затрудняет исследование устойчивости их решений. В данной работе изучается важный класс таких задач - линейно-выпуклые задачи, устойчивость их решений относительно возмущений правого закрепленного конца. Это одна из рассмотренных в диссертации проблем. Другая проблема состоит в следующем. Задачи оптимального управления являются сложными математическими объектами и для них, как правило, невозможно выписать решение в явном sve. В связи с этим возникает проблема аппроксимации, занлючащаяся в том, чтобы їсходідги задачу оптимального управления заменить более простой іадачєй, решение которой близко я искомому. Ццеи аппроксимации І&ЗВ0ЯЯВТ- строить эфргктивнке численные методы решения задач оптимального управления. Белее того, с помощьо аппроксимации воз -іожно качественное исследование сложных задач оптз - даного управ-гения, получение удобных необходимых условий экстремума. В даний работе разработан метод аппроксимации для исследования захмч іпкшального управления со смешанными иі-раничениями на управлявшие и фазовые переменные.
Объект исследования.' Объектов исследований являются линейно-ыпуклые задачи оптимального управления с закрепленными концами і гладко-выпуклые задачи со сметанными ограничениями типа нера-
а
згнств.
Лннейно-вылуклюш задачами называется следующий класс задач
I(.4)*ffCt,x,u)dt -^fnin ; (]
i.(t) = P(t)x(i) * Q(tte(tJ+ T.(t)f x(o) = Xo ; (.
it()e XS, V
ГД8 6 - выпуклый компакт из Я . Пред-
полагается, что компоненты матриц PfeJ, Q(i) и вектора Z&) ее суммируемые на.[Оj 1] функции; функция {(t^XjU.) измерима пс І , непрерывна ло (Z, LCJ % выпукла по U. Допустимыми уп-< равлениями в задаче (1)-(4) является всевозможные измеримые вектор-функции U- (ij , почти всюду удовлетворяющие условию (4).
Гладко-Ешуклкмн задачами оптимального управления условно называются задачи вида
Jfr)=f'/&,*,"№ + f (ж?)) -* ^ ; (
h(x(f)) = о ; (7
il(i) U'; . (
$&,*&), u&J* о, /=*7, (S
где ~ / f и.- п. , А(х}.Я у (У - выпуклый компакт. В за
даче (5)-(9) функции f &ЛХ;")У f(x),&>*,*), &&)у#(Ъ*> &(ujXj дифференцируемы по Я. , 'измеримы по zf и непрерывны na(x,uj, Кіз:ле того, ^pywKW011 f(tjxju) и &(р*Х}К) вьшук-ш по и иа множестве L/ . Допустимые управления - те же, что я в задаче- (1)-(4), причем каждому допустимому управлению U- () соответствует единственная траектория Х() , определенная на всем отрезке [Oj і] и удовлетворяющая (6).
Цель работы. Исследование устойчивости решений-линейно-выпук
лых задач (1)-(4) при возмущении правого концевого услрвия (3),
нахождение достаточных условии устойчивости. Аппроксимация глад
ко-выпуклых задач (5)-(9) задачами с.более,простыми ограничения-
кк, обоснованна еяеодимости последовательности, агіпроксишрующих
задач по функционалу и по управлению, получение на основе свойст
аппроксимирующих задач необходимых условий экстремума для задач
(5)-(9). 4
Методы исследования. В основе исследования устойчивости petuij -ний линеПло-вьгпуклых задач лежит изучение вспомогательной экстремальной задачи с интегральными ограничениями -ипа равенств, получаемой с помощью формулы Коши для решений линейных диВДіеронциаль-нь!х систем. Для обоснования устойчивости по функционалу и по управлению используются методы функционального анализа и выпуклого анализа. Аппроксимация гладко-вк.;уклых задач проводится, путем замены поточечных смешанных ограничений (9) конечним числом интегральных ограничений типа неравенств. Для доказательства сходимости последовательности аплргн-сишруголих задач и получения необходимых условий экстремума привлекаются метода теории функций и общей теории экстремальных задач.
Научная новизна, практическая и теоретическая ценность. Установлено, что в общем случае решение линейно-выпуклых задач оптимального управления (1)-(4} с закрепленными концами является неустойчивым относительно возмущений концевых условий. Найдены простые достаточные условия в виде требований на область допустимых управлений, которые гарантируют для указанного класса задач ус -тойчивость по функционалу. Доказано, что если подынтегральная функция а функционале качества строга выпукла по управляющим переменным, то из устойчивости по функционалу вытекает и устойчи -вость по управлению в среднеквадратичной метрике. Для гладко-выпуклых задач оптимального управления со смешанными ограничениями (5)-(9) предложен метод аппроксимации более простыми задачами. Эо'основана сходимость этого метода по функционалу и по .управле -чию. На основе разработанного метода аппроксимации для задач (5)-[9) получены компактные необходимые условия экстремума типа принципа максимума для различных случаев: измеримого управления, ку-:очно-непрерывного управления, случая абсолютно непрерывных мер. Все перечисленные результаты являются новыми. Они могут быть іспользованн как при разработке -численных методов решения, так и гаи качественном исеяедовании задач оптимального управления. Ре -ультаты работа могут найти применение в спецкурсах и спецсемина-ах по специальности "прикладная математика" в Саратовском, Воро-еяском госуниверситетах и других вузах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на объ-циненном научном семинаре кафедр математической кибернетики и искретного апализа (под руководством академика профессора .М.Богомолова) Саратовского государственного университета, на
Всесоюзной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения" (гЛ'-агнито горек, 1981 г.), на Ш, ІУ и v Саратогоких зимних школах по теории Функций и приближений (1985, 1983 и 1990 гг.), на Все -соозноП конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (г.Волгоград, 1990 г.), на научном семинаре кафедры оптимального управлені!.; '.под руководством доктора Физико-гатематических наук процесора М.С.Никольского) Московского государственного университета (1992 г.), на научно;.*, семинтг;.? кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики СГУ (под руководством доктора физико-математических наук профессора А.П.Хромова),
Публикации. Основное результати диссертации опубликованы в 4 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из вве -денкя, трех глав, рк.тачаоппіх десять параграфов, и списка литературы. Обп;кй обгем работы - 127 малпяюписных страниц. Библкогра -фня содержит 94 названия.