Содержание к диссертации
Введение
1 Системы фазовой синхронизации (СФС) 7
1.1 Математические модели СФС 7
1.2 Рабочие диапазоны СФС 11
2 Анализ полосы захвата СФС 15
2.1 Полоса захвата СФС для случая нулевого полюса передаточной функции ФНЧ 15
2.2 Совпадение полос захвата и удержания СФС 19
3 Анализ полосы захвата без проскальзывания систем ФАПЧ с идеальным ПИФ 26
3.1 Соотношение для нахождения полосы захвата без проскальзывания 26
3.2 Полоса захвата без проскальзывания для синусоидальной формы характеристики ФД 33
3.3 Полоса захвата без проскальзывания для треугольной формы характеристики ФД 46
Заключение 67
А Программная реализация вычисления полосы захвата без
проскальзывания 69
Список литературы Список рисунков
- Рабочие диапазоны СФС
- Совпадение полос захвата и удержания СФС
- Полоса захвата без проскальзывания для синусоидальной формы характеристики ФД
- Полоса захвата без проскальзывания для треугольной формы характеристики ФД
Введение к работе
Актуальность темы. Впервые системы фазовой синхронизации (СФС) были описаны в 1920 - 1930-х годах в работах Н. de Bellescize и E.V. Appleton. Принцип работы СФС состоит в подстройке частоты (фазы) подстраиваемого генератора к частоте (фазе) эталонного генератора. Первое широкое распространение СФС относится к 1940-м годам, когда СФС были использованы в телевидении. В настоящее время СФС широко используются в радиотехнике, беспроводных системах связи, системах навигации и компьютерных архитектурах.
Ключевыми характеристиками СФС являются полоса удержания (hold-in range), полоса захвата (pull-in range) и полоса захвата без проскальзывания (lock-in range). В работах Ю.Н. Бакаева, Л.Н. Белюстиной, Н.А. Губарь, М.В. Капранова, Г.А. Леонова, А.А. Ляховкина, В.В. Мат-росова, В.Д. Шалфеева, В.В. Шахгильдяна, Б.И. Шахтарина, R.E. Best, F.M. Gardner, W. Lindsey, A.J. Viterbi и других известных ученых рассматриваются полосы захвата и удержания, получены результаты о локальной и глобальной асимптотической устойчивости математических моделей СФС.
Настоящая работа посвящена изучению полосы захвата без проскальзывания СФС. Концепция полосы захвата без проскальзывания была предложена в 1966 году известным американским инженером IEEE Fellow F.M. Gardner , и соответствует быстрому втягиванию СФС в синхронизм без проскальзывания (внутри одного цикла подстраиваемого генератора). Однако, интуитивно понятное определение полосы захвата без проскальзывания, предложенное F.M. Gardner и получившее широкое распространение, являлось нестрогим и требовало математического уточнения, что было указано F.M. Gardner в 1979 году. Строгое математическое определение, позволяющее эффективно оценивать полосу захвата без проскальзывания с помощью численных методов, было недавно предложено в докторской диссертации Н.В. Кузнецова . Актуальность данной работы по уточнению инженерам. Gardner. Phase-lock techniques, 1st ed. Pub. John Wiley, 1966. "If, for some. reason, the frequency difference between input and VCO is less than the. loop bandwidth, the. loop will lock up almost instantaneously without slipping cycles. The. maximum frequency difference for which this fast acquisition is possible, is called the lock-in frequency." 2F.M. Gardner. Phase-lock techniques, 3rd ed. Wiley, 2005; R.E. Best. PLL: Design, Simulation, and Applications, 6th ed. McGraw Hill, 2007; J.L. Stensby. Phase-Locked Loops: Theory and Applications, Taylor & Francis, 1997. 3F.M. Gardner. Phase-lock techniques, 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1979: "There is no natural way
to define, exactly any unique, lock-in frequency. <...> despite its vague reality, lock-in range, is a useful concept." 4H.B. Кузнецов. Аналитико-численные методы исследования скрытых колебаний. Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. н., Санкт-Петербургский государственный университет, 2016.
ных определений была отмечена известным специалистом R.E. Best, а также в кандидатской диссертации А.А. Тимофеева (научный руководитель - доктор технических наук, профессор Б.И. Шахтарин).
В настоящей работе получены аналитические оценки полосы захвата без проскальзывания СФС на основании ее строгого математического определения с помощью развития классических методов качественного анализа систем дифференциальных уравнений на плоскости.
Цели работы. Целью работы является определение полосы захвата и получение численных и аналитических оценок полосы захвата без проскальзывания СФС с идеальным пропорционально-интегрирующим фильтром (ПИФ).
Методы анализа. Для анализа полосы захвата СФС в работе применялись методы построения функций Ляпунова. Для оценки полосы захвата без проскальзывания СФС с фильтром первого порядка применялись методы анализа фазовой плоскости, метод малого параметра и методы численного интегрирования.
Основные положения, выносимые на защиту:
Частотный критерий устойчивости СФС с фильтром, передаточная функция которого содержит нулевой полюс кратности один;
Аналитические оценки зависимости полосы захвата без проскальзывания от параметров СФС для математической модели СФС с идеальным ПИФ и синусоидальными сигналами эталонного и подстраиваемого генераторов;
Точные аналитические формулы зависимости полосы захвата без проскальзывания от параметров СФС для математической модели СФС с идеальным ПИФ и импульсными сигналами эталонного и подстраиваемого генераторов;
Программная реализация численного определения полосы захвата без проскальзывания СФС с идеальным ПИФ.
Достоверность изложенных в работе теоретических результатов обеспечивается их строгим математическим доказательством. Кроме того, достоверность результатов подтверждается сравнением с ранее известными результатами F.M. Gardner, J.L. Stensby, A.S. Huque и результатами численного моделирования.
5R.E. Best, G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Tutorial on dynamic analysis of
the Costas loop, Annual Reviews in Control, 2016, . eA.A. Тимофеев. Импульсная фазовая автоподстройка с высоким быстродействием. Диссертация на соискание ученой степени к.т.н., МГТУ им. Баумана, 2016. (с. 74)
Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты позволяют определять полосу захвата, оценивать и вычислять полосу захвата без проскальзывания СФС и могут использоваться для анализа и определения рабочих параметров СФС.
Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях 6th IEEE International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems (St. Petersburg, Russia- 2014), 8th Vienna IFAC International Conference on Mathematical Modeling (Vienna, Austria - 2015), 1st IFAC Conference on Modeling, Identification and Control of Nonlinear Systems (St. Petersburg, Russia - 2015), 6th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems (Eindhoven, the Netherlands - 2016); на семинарах кафедры прикладной кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета и семинарах факультета информационных технологий Университета Ювяскюля (University of Jyvaskyla, Finland).
На основе полученных в работе результатов были оформлены заявки на патенты [,] и получено свидетельство на программу ЭВМ ].
Результаты диссертационной работы были получены при поддержке гранта Российского Научного Фонда для поддержки существующих кафедр (14-21-00041), в рамках выполнения проекта Санкт-Петербургского Государственного Университета (6.38.505.2014). Результаты работы вошли в диссертацию на соискание степени Doctor of Philosophy ], подготовленную при поддержке стипендии Президента РФ для обучения за рубежом студентов и аспирантов российских вузов, и защищенную в Университете Ювяскюля в 2016 году.
Публикации. Основные результаты работы представлены в 5 печатных работах [-], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Всего по результатам диссертации автором опубликовано 10 работ -], оформлены и поданы 3 заявки на интеллектуальную собственность -].
В работах [-, ] диссертанту принадлежат формулировка и доказательство теорем о глобальной асимптотической устойчивости СФС, численное моделирование, соавторам принадлежат постановка задачи и остальные результаты. В работе ] диссератнту принадлежит реализация численного поиска колебаний двумерных систем, соавторам принадлежит постановка задачи и остальные результаты. В работах ,,] диссертанту принадлежат вывод оценок полосы захвата без проскальзывания СФС, соавторам принадлежат постановка задачи и остальные результаты. Личный вклад диссертанта
в заявки на интеллектуальную собственность -] составляет 20 процен-
тов.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и одного приложения. Полный объем диссертации 92 страницы машинописного текста с 20 рисунками. Список литературы содержит 142 наименования.
Рабочие диапазоны СФС
Ключевыми характеристиками работы СФС являются полоса удержания, захвата и захвата без проскальзывания, рассмотренные в основополагающих работах A. J. Viterbi [91], F. М. Gardner [9], В. В. Шахгильдяна и А. А. Ля-ховкина [90]. Данные полосы, соответствующие множествам значений частотной расстройки, описывают способность функционирования СФС в желаемых режимах. Строгие математические определения рассматриваемых полос приведены в соответствии с работами [95,96].
Одним из приложений СФС является отслеживание частоты ЭГ подстраиваемым генератором (режим удержания, режим слежения, tracking process), т.е. при плавном изменении частоты ЭГ ио\ СФС автоматически компенсирует расстройку частот и тем самым не выходит из синхронизма. Для определения диапазона частотной расстройки соА , внутри которого возможно такое отслеживание, была предложена концепция полосы удержания (hold-in range) (см., например, [9,90,91]). Строгое математическое определение полосы удержания может быть сформулировано следующим образом:
Определение 1. Полосой удержания называется максимальный интервал отклонений частот х дее Є [0,uih) таких, что математическая модель (1.6) СФС в пространстве фаз сигналов имеет асимптотически устойчивое состояние равновесия, которое непрерывно изменяется3 внутри данного интервала [0,0; ).
Приведенное определение полосы удержания является актуальным с инженерной точки зрения. Следует отметить, что вообще говоря, множество отклонений частот х д , для которых система (1.6) имеет асимптотически устойчивое состояние равновесия, не обязательно является связным [96].
Для анализа асимптотической устойчивости состояний равновесия могут быть использованы классические критерии устойчивости, например, критерий Рауса-Гурвица [97,98] (см., например, [99,100]). Состояния равновесия системы (1.6) могут быть найдены приравниванием правой части системы (1.6) к нулю. Для проверки асимптотической устойчивости вычисленных состояний равнове 3 Устойчивые состояния равновесия можно рассматривать как многозначную функцию переменной с дее. Поэтому требуется существование непрерывной ветви функции асимптотически устойчивых состояний равновесия ДЛЯ с дЄЄ Є [0, LVh)) 12 сия к линеаризованной вокруг состояний равновесия системе (1.6) применяют классические критерии устойчивости.
Рассмотрим теперь процесс втягивания СФС в синхронизм. Для определения диапазона частотных расстроек х дГее таких, что СФС достигает синхронизма при любых начальных состояниях, используется концепция полосы, захвата (pull-in range) (см., например, [9,90,91]). Приведем строгое математическое определение данной полосы:
Определение 2. Полосой захвата называется максимальный интервал отклонений частот бо д Є [0}ujp) таких, что что математическая модель (1.6) СФС в пространстве фаз сигналов глобально асимптотически устойчива (то есть любое решение системы (1.6) стремится при t — +оо к некоторому состоянию равновесия).
Для анализа полосы захвата используются методы анализа фазового пространства (см., например, [91,101-106]), методы построения функций Ляпунова (см., например, [107-111]), а также численные методы анализа. Стоит отметить, что применение каждого из методов анализа полосы захвата влечет определенные сложности.
Применение методов анализа фазового пространства оказывается трудоемким даже для двумерного случая. Так, в работе [101] для анализа полосы захвата СФС с ПИФ первого порядка и треугольной формой характеристики ФД были получены условия возникновения устойчивого предельного цикла второго рода из гетероклинической траектории, идущей из седла в седло. Позднее, в работе [103] были рассмотрены другие возможные варианты изменения качественного поведения траекторий фазовой плоскости (в частности, бифуркация полуустойчивого предельного цикла второго рода), и получены новые выражения для вычисления полосы захвата. Однако, работа [103] содержала ряд неточностей, которые были устранены в [104].
Применение метода построения функций Ляпунова в [107] позволило доказать бесконечность полосы захвата для СФС с идеальным ПИФ первого порядка. Однако, применение данного метода к системам дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством в общем случае требует модификации классических критериев глобальной устойчивости [109,111]. В случае применения методов численного интегрирования известны примеры [86,112], для которых численное моделирование является сложной задачей и может приводить к неверным заключениям в силу возможного существования скрытых колебаний (hidden oscillations) [113-119]).
Рассмотрим теперь еще одну характеристику работы СФС. Достижение режима синхронизма СФС может быть продолжительным по времени и сопровождаться нежелательным ростом разности фаз ЭГ и ПГ. Во многих приложениях СФС такой рост нежелателен, и для описания быстрого достижения СФС синхронизма без проскальзывания (внутри одного цикла подстраиваемого генератора) используется концепция полосы, захвата без проскальзывания (lock-in range), предложенная IEEE Fellow F. M. Gardner [9]: "If, for some reason, the frequency difference between input and VCO is less than the loop bandwidth, the loop will lock ,up almost instantaneously without slipping cycles. The maximum frequency difference for which this fast acquisition is possible is called the lock-in frequency. Однако, начальные состояния элементов СФС могут влиять на достижение синхронизма (см., например, [85,86,89]). Поэтому позднее F. М. Gardner сформулировал следующую проблему: "There is по natural way to defi,ne exactly any unique lock-in frequency" [14]. Тем не менее, концепция полосы захвата без проскальзывания широко востребована во многих приложениях [12].
Для определения полосы захвата без проскальзывания приведем определения проскальзывания цикла (cycle slipping) [120-122] и области притяжения без проскальзывания (lock-in domain) [76].
Совпадение полос захвата и удержания СФС
Таким образом, из (2.32), (2.33) и равномерной ограниченности 0A(t) = c x(t) + fKp(0A(t)) следует, что либо д() стремится при — +00 к \ + 2, либо к \ + 2 при некотором целом . Аналогично доказательству первого случая, все решения системы (2.7) стремятся при ч +оо к некоторым состояниям равновесия. I Рассмотрим пример, который демонстрирует эффективность полученного критерия. Рассмотрим систему (2.7) с
При выполнении (2.34) для любого ( - 1, 1) имеет место глобальная асимптотическая устойчивость (т. е. любое решение системы (2.7) стремится к некоторому состоянию равновесия при — +00).
Это соответствует тому, что СФС достигает синхронизма при всех (-1,1), т. е. (-1,1) - полоса захвата. Кроме того, отрезок {} = (-1,1) -это максимальное множество существования локально асимптотически устойчивого состояния равновесия, т.е. (-1,1) - полоса удержания.
В [138] с помощью метода припасовывания показано, что (2.34) - необходимое и достаточное условие совпадения полосы захвата и полосы удержания. Таким образом, в рассмотренном частном случае полученный частотный критерий дает точный результат. Глава З
Анализ полосы захвата без проскальзывания систем ФАПЧ с идеальным ПИФ которая описывает СФС с идеальным ПИФ. Пусть функция /?(#д) является кусочно-дифференцируемой, 27Г-периодичной и имеет два нуля 6se , 6 на интервале [0, 27г). Кроме того, пусть /?(#д) имеет производную в точках 6se , #" , причем ( ) 0, а ( (#у 0.
Состояния равновесия системы (3.1) находятся из системы уравнений (3.2) Учитывая 27Г-периодичность системы (3.1) по переменной #Д, состояниями равновесия системы (3.1) являются free\ / _ , .free 7-У + 2ІГЄЄ \ / ІГЄЄ \ 0 + 2тгп, - ) , ( &L + 2тгп, й- ) , п Є Z. (3.3) В силу 27Г-периодичности системы (3.1) по переменной #Д типы состояний равновесия (3.3) для произвольного п совпадают с типами соответствующих состояний равновесия при п = 0. Определим тип состояний равновесия (3.3) при п = 0. Для этого воспользуемся критерием Рауса-Гурвица.
Таким образом, состояние равновесия (aseq? Пд-А ) асимптотически устойчиво и в зависимости от знака выражения \KQT2 P {0sequ — AKoTiip \9se ) является устойчивым узлом, устойчивым вырожденным узлом или устойчивым фокусом. Аналогично установим тип состояния равновесия (0 , П1 А ). Линеаризо ( Пи П леЛ ванная система около состояния равновесия I с/" , А ) имеет вид
Кроме того, для произвольных положительных параметров ті, т2 и і о выполнено ReA? 0, ReA? 0, ImA? = ImA = 0. Таким образом, состояние равновесия (0 , Tl -A ) является неустойчивым седлом. Определим полосу захвата без проскальзывания системы (3.1) в соответствии с Определением 5 для нечетной функции /?(#д), дополнительно удовлетворяющей соотношению / p(s)ds = 0. (3.7) о Из этого непосредственно следует, что 6s = 0. В Главе 2 было доказано, что система (3.1) глобально асимптотически устойчива для произвольной разности частот бо д и параметров т\ 0, т2 0, Ко 0. Для нахождения полосы захвата без проскальзывания нужно найти максимальное отклонение частоты UJI такое, что (eq + 2тгп, ) \к є z, Jr є (-ад j с доск_ш ((-ад), Уо;Є[(ад). (3.8) 9s +271 eq Рисунок 3.1: Пример области захвата -Diock—in ( д6/ Для синусоидальной формы характеристики ФД. Рассмотрим сначала структуру области захвата Diock-in ( д) системы (З.Ґ [см. рис. 3.1): D free\ lock-in І Д ) i free «Л Д пЄЛ П А Здесь Dn{uj e) есть непересекающиеся области начальных состояний таких, что соответствующие им решения системы стремятся без проскальзывания цикла к асимптотически устойчивому состоянию равновесия (9s + 2тгп
Область Dn{uj e) состоит из двух множеств точек фазовой плоскости. Первое множество есть открытая область фазовой плоскости, ограничен free Т1 А ная устойчивыми сепаратрисами соседних по отношению к f 9s + 2тгп, к неустойчивых состояний равновесия и прямыми #д = #д — 27Г, 9/А = д+27Г. Второе множество состоит из точек, которые лежат на устойчивых сепаратрисах free состояния равновесия
Полоса захвата без проскальзывания для синусоидальной формы характеристики ФД
Несмотря на то, что строгое математическое определение полосы захвата без проскальзывания было предложено сравнительно недавно, известны оценки сепаратрис фазовой плоскости системы (3.1), которые были получены при изучении полосы захвата без проскальзывания в рамках первоначального определения, предложенного F.M. Gardner [9]. В дальнейшем, говоря об известной оценке полосы захвата без проскальзывания, имеется ввиду соотношение (3.12), в котором используется известная оценка сепаратрисы фазовой плоскости.
Для сравнения эффективности аналитических оценок полосы захвата без проскальзывания рассмотрим оценку полосы захвата без проскальзывания, полученную с помощью методов численного интегрирования (см. Приложение А).
Кроме того, будем использовать диаграммы полосы захвата без проскальзыва ть ,, free_ ния в координатах —- и Ак 1 для фиксированного т і- Такой выбор обусловлен тем, что система (3.1) зависит от двух коэффициентов и ті- Это позволяет строить непрерывную кривую зависимости частоты захвата без проскальзывания UJI от —- для каждого фиксированного значения ті- Результаты численного Ко т\ моделирования показывают, что для больших значений параметра —- значение т\ UJI растет почти пропорционально —-. Поэтому удобно строить кривую зависи Кп
Полученные результаты численной оценки полосы захвата без проскальзывания проиллюстрированы на рис. 3.7. Для получения значения частоты захвата без проскальзывания для фиксированных значений параметров п, т і и Ко с помощью диаграмм, изображенных на рис. 3.7, нужно, во-первых, выбрать выбрать кривую, которой соответствует выбранное значение параметрат - Далее, нужно выбрать точку на этой кривой, ж-координате которой соответствует —-. Если значение —- 1, то значение у-координаты соответствует значению частоты захвата без проскальзывания. Если же значение —- 1, то значению частоты захвата без проскальзывания СФС соответствует произведению значений координаты и -координаты этой точки (см. рис. 3.8).
Далее приведем известные оценки полосы захвата без проскальзывания и сравним их с полученной численной оценкой. В книге F.M. Gardner [14] была предложена эмпирическая оценка частоты захвата без проскальзывания:
Пример сравнения оценки (3.36) с численной оценкой частоты захвата без проскальзывания приведен на рис. 3.10.
Сравнение полученных в работе оценок (3.33) и (3.34) приводится на рис. 3.11. Для достаточно малых значений Q/\ оценки (3.33) и (3.34) являются наиболее эффективными среди приведенных аналитических оценок. Однако, 1.2 0.8
Пример сравнения численной оценки полосы захвата без проскальзывания системы (3.13) с оценкой (3.36). так как данные аналитические оценки получены при условии малости параметра T2/V1, они дают менее точные результаты для больших значений KQ/T\ И фиксированного т J G
Пример сравнения численной оценки полосы захвата без проскальзывания системы (3.13) с аналитическими оценками (3.33) и (3.34). 3.3 Полоса захвата без проскальзывания для треугольной формы характеристики ФД Рассмотрим систему дифференциальных уравнений ЄА = и%ее-К0Ьх-К0а (вА), (3.37) соответствующую СФС с идеальным ПИФ. Пусть (р(вА) задается следующим выражением (см. рис. 3.12) ч Ш = { квА — 2тгкп, если — + 2тгп 9A(t) \ + 2тгп, "т А + ї(7г + 2тгп), тгк п Є Z, (3.38) если + 2тгп 9A(t) Щ- + 27гп, где к Є ( ,+ос)
Треугольная форма характеристики ФД соответствует импульсным сигналам Рисунок 3.13: Форма характеристики ФД вида (3.39) f\{9\{t)) = sign [sin(6 i(t))] и /2( 2 )) = sign [cos(6 2())] ЭГ и ПГ соответственно [80,92,142]. Докажем следующую теорему о полосе захвата без проскальзывания системы (3.37) с /?(#д) вида (3.38). Точное значение частоты захвата без проскальзывания системы (3.37) с ip{9&), заданной соотношением (3.38), вычисляется с помощью следующих соотношений: (г) если (аКо)2 — 2ЬКОТГ 0 : где у() = бо дее й (ж() + Т2(/?(#д())). Так же, как и в случае синусоидальной формы характеристики ФД (см. доказательство Теоремы 4), сост(ния равнов)сия (0eq,yeq) системы (3.43) получаются из состояний равновесия [9eq, xeq(uJAe)) системы (3.37) по соотношению {Oeq,Veq) = (#Є(/, дЄЄ - K0bxeq) , и имеют тот же тип, что и соответствующие состояния равновесия системы (3.37). Верхняя устойчивая сепаратриса 5 ( д) фазовой плоскости системы (3.43) связана с нижней устойчивой сепаратрисой 5(#д, бо д) фазовой плоскости системы (3.37) соотношением Q(0seq, 4ее) = - (4ее " S(e:q) ) . (3.44) Используя (3.44), соотношение (3.12) принимает вид 2 ил = -S(eiq). (3.45) Нахождение сепаратрисы S{9&) выполняется в два этапа. На первом этапе интегрируем сепаратрису S{6&) на интервале (, 7г) (на котором функция /?(#д) непрерывно дифференцируема) и находим значение S{%). Для этого нужно най 9s ЄЬ+27Г Єл 9s-271 9s
Сепаратрисы фазовых плоскостей систем (3.37) и (3.43). ти собственный вектор, который соответствует сепаратрисе 5 ( д) на рассматриваемом интервале. На втором этапе найдем общее решение системы (3.43) на интервале (—,) Здесь существует три различных случая, ко)рые зависят от типа асимптотически устойчивого состояния равновесия (0s , 0): устойчивый узел, устойчивый вырожденный узел и устойчивый фокус. Для каждого из возможных случаев производятся отдельные вычисления. Используя вычисленное на первом этапе значение 5 () как начальные условия задачи Копій, получим точное значение S(9seq).