Введение к работе
Актуальность і-роолемн
Динамика экологических систем характери п смет множественностью реддімов и их разнооорачпем - стационарными, колеблте.т ными. апериодпчесчпмн и т.д. В го же времм, и силу обр.лпых сл'Ч'сй, присущих таким системам, г.се множество демонстрируемых ими динамические нронссоч! прелста" пеіся вочможппм кдассгфннирпнаїь. счедч к
і'ДІПС'ЧііТ'у ЧНС.іу ОСНОВНЫХ JII ПО а НОВедеНИЧ, ГЫ.Т.МН1! ИХ С\ Ч(СС'!Г,ЄІЧ!ИС черіЬ! П <.іЧ!СЧВ НЄрЄчО.ЧіТ>С ПрОНСССЫ. Прм ЧН'М ВЛЛГч прч 1С ПНІ.
особенности иі"'еі:спня гочедлчи системы при ігліенепни ее г.нуїрепнпх пар "ме.'роп и пчра-ччрічі гр-е-м.
І Ір; г\ е'ча :ч:а.:п ; і м к меспфчкчпнп режиме.і в-, чистий г. ю-чччі чи;: (їм по і ом-. "ю рччімм хачл'деріп їм "р '-чі-ям фупчіаччмгго'гч 'U сп.:і; чч
ОГВСчачТ 1.""-і-ЧЧ,Ч':пчо ;Ч"ПЧЄ 1МЧМ ;::чіЧ"Чіч.Ч!Ч ' ;' І" "Є 'Л'"' ЧЧ" се
реи"?";;.~. на г'.т.'ч'.е аналіпа ччччрнм'чтплт ні г; ч.:п тті1 v;"m і\ .",'дчч" . сочдакжчі ісор,-;г;і'!ес::і'с. о чпем .маїсматичесмс міі :<: т - нелинейны., динамически ~ системі і. чаписчідиг о г не ач op о; > па' м o-.pv-дрел ІІрді л ом гочіиідчоі следующие чадачи. '!) оінчдігг. пив! п..-. е-чі і обьекга. чаб."о,'ч.дч;,:е а ','Л!,,р"діч; пін выявленные про ісг:іеіическом ;ч!.ч чиє ч.'ііі-рікі кг и г-рмніга* к.,ч,:сІ,.„;;и.,;; ,._-r.j:i!u_
2) построить прсстсдіііую модель, ч котрий pea мнучоїс=і характерные
черт качественно;... поведения систем-: і:рд фкиспис і! . м и підчепи, їх
пзрамімр'^ч и чх інчепепон:
3) спсіс" ті Ч'р'ч.ап, '"тим динамик" (оспоі.пі v. п переходные
ііроцессьі), саоіїсівенные системе.
.Сформулированные чадачн весьма ахіуадьнм как в іесрегическом аснсчсіе - д.ті !кчінмапич динамических свойств обтекти, іак н .їла ирої нот последствии неуклонно воірастлютих вочдепстінпі чедонска па природи.'--экосистемы.
Согласно принципу днмиїируїоших фактор;,. Лі:он.ха-1 Голсівсчл (1966), теории критических режимов, рачвпваемоіі г, работах Моачанова. (1975), Горбаня (1987) и многих других, число «едлших факюрпв в чкетречадьных сигу... нчх невелико, система пріюбреіаеі специальные свойства, а часто редко упрощаеіся. Исходя ні чиїх соебрт.кенпн. поведение сложной системы может быть описано и проаналнчнровано с помощью ча.чисящеп от параметров аналитической динамической модели с малым чиї' шм переменных (В простейших, по важных случаях іагие модели представляю! собой системы дифференнна п.них уравнении.і Зияние поведения модели при критических шаченн-жс параметров
4 .
позволяеі ме і одами теории бифуркаций получись представление об общих свойствах ее струкіурпого портрета.
Классическим объемом теоретической экологии, имеющим существенно неднпейпую динамику, традиционно служат системы двух іпшмодейетігуїощіїх' популяций. Модели популяционных СНСІЄМ,' і; запмодепетвующнх по принципу "хнщннк-жергва", возникшие в работах Нолыерра и Логкн, обобщались и изучались многими авторами (Холдинг, М )П, Свирсжсв, Алексеев, Ііазьїкин, І Іедорезов н ми. др.). Однако онеры і он оставалась проблема выявления общих свойств, присущих динамике модификаций системы Вольтерра, систематизации характерных типов поведения динамических процессов.
Практически важным обьектом применения теории
взаимодействующих популяций может служить экосистема "лес -фшофаги- эпюмофши". Относительно этой системы имеется много ншурных данных и разишая фепоменолоіичеекая теория (Исаев, Хлебопрос, 1973, 1984), в рамках которой проанализирован характер взаимодействия насекомых с кормовым объектом - лесом, теоретически обоснована возможность отдельного изучения быстрой подсистемы насекомых и качественно описаны типы динамики фиюфагов, включая вспышки численности. О [крытым оставался вопрос: какова базовая модель. описывающая выявленные особенности локальной и проетрансі ценной динамики системы лесных насекомых.
Известно, чю эффекты локального поведения нонуляцпоппой системы, вследствие диффузионных, миграционных и конвекционных (толокой особен, могут распространяться па оіромньїе территории; при тнім образумлен глобальные (например, диссипатвпые) структуры (Хакен, 19о(), Ахромее&а, Курдюмов, Мадцпецкип, Самарский, 1994). Какова динамика такої о распространения, ее специфические особенности дія "живых" экологических систем но сравнению с "неживыми" (например, волнами горения)? О госты на ли вопросы важны не только іеоретнческн, но и практически - при исследовании пространственно распределенных вспышек численности насекомых, при описании формирования границ между биоклпмагическимп -зонами и т.д.
Оімсіим, наконец, что актуальность данной работы определяется іакже и тем, чіо, в силу сложности экологических систем, маїемапіческне методы, рашиваемые при анализе их моделей, находят применение в раьтичиых областях естествознания, например, в фермешаппшой кинетике, иммунологии, при исследовании воібулимі.іх сред. Цели и моачи работы
Целью работы являлся анализ основных цокольных и пространственно волновых динамических режимов пеструтлчрироваппыч
НОПуЛЯННОННЫЧ СНСІЄМ С Небольшим ЧИСЛОМ hoMllOlieiU И СОІдаїШС ба юных
нелинейных моделей, is которых реалнчукпся ключевые )ффеК1Ы. свойственные этим режимам.
Для ее достижения были поставлены следующие 'задачи:
1.Разработал, алгоритмы аналта и найти принципы система! іпацни динамических режимов, пригодные для выявления основных особенности динамики теологических систем; применить их для построения канонических математических моделей.
2.Исследовать качественные особенности фачово - параметрического поведения нелинейных динамических моделей, для чего описан, и провести апаліп канонических нормальных форм моделей п окрестности бифуркаций общего вида.
3.Построить алгоритм аналта структуры окрестности равновесных точек нелинейных параметрических динамических моделей.
4.Пронесли систематизацию возможных режимов динамики параметрических модификаций модели Вольтерра - классического обт.екга, описывающего динамику систем типа "хищник-жертва".
5.Выяш1н> и описан, типы пространственных волновых режимов некоторых важных ткологпческнх систем в рамках канонических ?татемат ических моделей.
6.Исследовать асимптотические режимы некоторых пеавюпомиых динамических моделей. Научная новизна результатов
, В речультліе проведенного исследования рачработи бифуркационный подход к классификации локальных и некоторых типов пространственных динамических режимов дБухкомпонентных систем, сформулировано понято "етереопша динамического поведения" и предложены метлы системагитанни стереотипов жо.гогическил систем па основе выделения основных и переходных ІІШІЧІ поведения в рамках бпфуркаппоппот аналта их параметрических матемліччео их моделен. В качесиче канонических модельных систем предложено использовать нормалі шло формы бифуркаций - нереальные параметрические деформации Возможности и особенпосш гіодхода нроде.моіісіріфоііани па примере создания моделеіі и анализа па их основе локаїьпой и пространственной динамики двух спаем, "универсальный функциональный чдемспч" и "(|)итофаги-')11томо(||игп".
При развитии -лого подхода Пспстсмапппронапы динамические режимы парлмеїршчесі.нх модификации модели Водыерра;
2)нредложсиа и с помощью бдфуркашюнпою nn.ivi и нее ісдоилч.ч мотель типа "реакші'1-лпффупія-копііекішя", па uumpoii впервые исследованы тффекты пространственной динамики лесных пасекомых, обусловленные ттутрши-тутяпчоннымн миграционными потоками:
Зюппеап и исследован новый класс проетрапої пенных моделей - і una "реакцпя:кроседпффу зпя", а рамках которого проанализированы эффекты распространения систем разновозрастшдх растении (.''деревья -семена");
4)для исследования динамического поведения пелппелных математических моделей экологических систем решены следующие задачи качес шейной теории дифференциальных уразреиин и теории бифуркаций.
носі роена и іпу^іеиа формальная форма системи, описывающей бифуркацию коразмерности 3 "двукратное неіііральное равновесие с дополни і ельным вырождением" ("организующий центр" модели мопостабішьносіи);
изучены основные Сїюііетва модели, и которой происходит потеря усіоіічішоетп аіііоі.'илеиашііі во тизп резонанса ) :! (рачвшые здесь подходы использованы при ашгппе динамики чеп.ірехкомпопепіпой попу'ляц.гопнбй спеїе.мві, іиучеипоп в рабоїе);
для двумерного векторного поля общего вида решена задача описання топологической структуры ркреспюспі кратной особой точки и асимптотическою поведения іраекторнп, сіремящнхея к ней (результаты испольаованы при анализе всех параметрических моделей, исследованных в работе, при ноет роении нереальных деформаций модельных систем),
исследовано асимшогичеекое поведение канонической неавтономной модеми -уравнения Э.мдсна-Фаулера. Іссрсипічссксиі и практическая значимость
В работе выделяются три связанных друг с другом испела:
меюдолої ичеекпп - предложен меіод классификации динамических релсимов сложных систем па основе описания бифуркации, происходящих в их параметрических, матемаїнческих моделях; предложен способ построения и анализа маїемагнческих моделей систем, описывающих основные типы динамического поведения, в виде нормальных форм динамических уравнений и окресіпосіп определенных бифуркаций;
моделыю-эколо! ичеекпп - проанализированы и типизированы особенности поведения популяцноппых систем; введено и обосновано па примерах решения содерлоиельпых задач понятие "стереотипа динамического поведения";
маїемаїпческий - развиты методы фазовою и параметрического исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметров.
І Ірії решении первого и ьторої о класса задач:
описаны в модельных терминах основные типы поведения систем: мопо-и мулынстабилыюсп., ашоколебапия, типы возбудимости, выяилеп н проапаліпирован стохастический тип поведения;
предсіавлешія качественной іеории и теории бифуркаций, положенные н основу классификации типов динамических режимов, пошо.тилн
предложить метод построения и анализа математических моделей экологических систем, н приметіть его при моделігроватпі локальной и нространстветгой динамики насекомых, при разработке модели универсального функционального элемента среды;
выявлены и систематизированы основные и переходные режимы параметрических модификаций * модели Вольтсрра, разработка компьютерная система (учебное пособие),' предназначенная для последовательного численного анализа модификаций модели Вольтерра;
с помощью двух- и четырехкомпонентных локальных моделей, модифицирующих схему Вольтсрра, . а также . прострапстпепио распределенной модели проанализирована роль эффекта Олли в дтгамике взздімодейотвуїощихпопуляїцлі и сообществ.
Наконец, при решешш третьего класса задач
впервые изучена бифуркация коразмерности 3 "двукратное нейтральное равновесие с дополнительным вырождением", результаты сформулированы в виде теоремы;
описаны режимы потери устойчивости автоколебаний вблизи резонанса 1:4;
решена задача анализа невырожденной кратной особой точки системы па плоскости.
Результаты работы моїуг найти применение при разработке критериев приближения к опасным границам жизнедеятельности экологических систем. Основные положения, выносимые на защиту
1.Базовыми моделями для описания и классификации стереотипов динамического поведения экологических систем - моно- и бистабильностп. автоколебаний, возбудимости и стохастігчесности, могут служить нормальные формы бифуркаций высоких коразмерностей.
2.В рамках предложенных параметрических математических моделей может быть проведено обоснование пршгципа стабильности локальной динамики системы лесных насекомых "фитофаги - энтомофаги"; описана локальная и пространственная динамика системы "универсальный функциональный элеменг".
З.С помощью модели типа "реакция-диффузия-конвекция" псе возможные
типы стационарных пространственных перемещений популяции
фитофагов могут быть описаны переходом к автомодельной системе, являющейся нормальной формой бифуркации коразмерностн 3 "седло".
4.Стационарные пространственные перемещения нопуляшгонных систем типа "деревья-семена" могут быть описаны в рамках моделей "реакция -кроесдиффузия", в качестве автомодельных систем для которых выступают нормальные формы бифуркаций коразмерности 3 "седло", "фокус" и "зЛЛішгйческіій ceiriop".
5,')ффекі OjIjiii u иопулнционной системе является достаточным условием возникновения нетривиальных (стационарных, колебательных и KDQ'Jitcfoxuciii'icCKtLx) режимов локальной и пространственной динамики. Публикации
Но материалам диссертации опубликовано 46 научных работ Апробация работы
Основные ретудьтачы работы докладьшались на двух
Международных конференциях по математической биологии (Триест
Мішнм, 1992, 1994), Международной школе по математической биологии
(Ванкувер Канада, 1993), Конференции но динамическим системам
гГреипнген Нидерланды, 1995), Втором Сибирском конгрессе по_
прикладной її индустриальной математике, посвященном памяти
Л.Л,Ляпунова, A.IUipuwau, Н.Л.Полетаева (Новосибирск, 1996), II и Ш
Международных конференциях "Математика, компьютер, образование"
(Иущино, 1995, Дубна, 1996), Международной конференции по синергетике
(Суздаль, 1995), I, 11 Конференции "Женщины-математики России"
(Суздаль, 1993,. Нущшц), 1994), а также коллоквиуме '.'Женщины- -
мик^штки Франции и России" (Марсель, 1996), UJ и YUJ Всесоюзных
конференциях Но нелинейным колебаниям"- (Горькші, 1984, Нижний
Новгород, 1993), Конференции, посвященной памяти И.Г.Петроисш-о
(Московский государственный уннверешет, 1986), Годовых конференциях
ППВЦ ЛИ СССР (Пущнпо, 1970-1981), научных семинарах Центра по
проблемам экологии и продукт ни ноет и лесов РАН (1993-1996), ВЦ РАН
(1994, 1995). ' * ' ,
Структура работы
Диссертация соеюнт in Введения, пяти глав, Выводов и списка литературы. 1'ибота изложена на 274 страницах, включает 90 рисунков и схем. Синеок цшпруемон лтературы содержит 185 наименований.
Публикации автора по теме диссертации приведены в конце «втореферата отдельно к каждой главе.