Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Спектральный вариант метода усреднения при анализе гироскопических систем, описываемых регулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений периодической матрицей 46
1.1. Введение 46
1.2. О почти приводимости некоторых классов неавтономных регулярно возмущенных теоретико-механических моделей гироскопических систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей при наличии предельной матрицы A0 простой структуры 46
1.3. Об особенностях приводимости неавтономных систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей при наличии у матрицы A0 кратного спектра 59
1.4. О приводимости квазилинейных систем с периодической матрицей при наличии у матрицы A0 произвольной жордановой структуры 72
Глава 2. Асимптотический анализ теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей 76
2.1. Введение 76
2.2. О приводимости некоторых классов теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей при наличии определяющей матрицы A0 простой структуры 77
2.3. Алгоритм приводимости линейных и квазилинейных неавтономких систем дифференциальных уравнений с полиномиальной матрицей при стабильном кратном спектре определяющей матрицы A 90
Глава 3. Исследование теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей 105
3.2. Исследование линейных и квазилинейных теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии некратного стабильного спектра матрицы A (t) простой структуры 106
3.3. О некоторых теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии матрицы A (t) фикцированной жордановой структуры (при m -\) 114
3.4. Анализ квазилинейных неавтономных теоретико механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии у матрицы A (t) стабильного кратного спектра и различной жордановой структуры (m \; m = 0) 121
- О почти приводимости некоторых классов неавтономных регулярно возмущенных теоретико-механических моделей гироскопических систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей при наличии предельной матрицы A0 простой структуры
- О приводимости квазилинейных систем с периодической матрицей при наличии у матрицы A0 произвольной жордановой структуры
- О приводимости некоторых классов теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей при наличии определяющей матрицы A0 простой структуры
- О некоторых теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии матрицы A (t) фикцированной жордановой структуры (при m -\)
О почти приводимости некоторых классов неавтономных регулярно возмущенных теоретико-механических моделей гироскопических систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей при наличии предельной матрицы A0 простой структуры
Исследованы модельные неавтономные системы дифференциальных уравнений с периодической матрицей (регулярно зависящей от малого параметра є) и приведен их теоретический анализ с доказательством теорем [56, 57, 61] об асимптотической приводимости систем дифференциальных уравнений к более простым эквивалентным системам с почти постоянной диагональной матрицей (с учетом последних вариантов метода расщепления [17-23]).
Структура полученных более простых эквивалентных систем дифференциальных уравнений позволяет конструктивно проводить качественный и более точный численный анализ, включая вопросы устойчивости.
С помощью предложенных методов анализа регулярно возмущенных указанных неавтономных систем дифференциальных уравнений изучены конкретные типы гироскопических устройств и некоторые физические процессы [56, 57, 61].
О почти приводимости некоторых классов неавтономных регулярно возмущенных теоретико-механических моделей гироскопических систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей при наличии предельной матрицы A, простой структуры Исследование линейных систем с периодической матрицей [3, 8, 9, 10, 12] является нетривиальной задачей. Здесь наиболее известна теорема Флоке-Ляпунова [10, 40] о приводимости таких систем: x = A(t)x, (1.1) к системе с постоянной матрицей у = Су с помощью Т-периодической замены x = P(t)y, алгоритм построения которой до сих ничего не разработан.
В данной работе показано, что к изучению периодических систем вида (1.1) можно подойти с учетом того, что любая Т-периодическая матрица A(t) представима в виде: A(t) = A0+SAi(t); A0=-\A(t)dt, (1.2) где постоянная матрица Д, являющаяся средним значением A(t), а Т-периодическая матрица Д (t) имеет нулевое среднее значение, 8 - некоторый параметр.
При анализе большинства конкретных прикладных модельных задач наибольший интерес представляет случай, когда параметр 8 может быть малым (8 = є), который может быть изучен с помощью доказанных в данной работе теорем и различных вариантов метода расщепления [17-21].
Напомним некоторые положения теории дифференциальных уравнений, используемые при дальнейшем изложении. I. Теорема (существования и единственности решения) [13, с. 83]. Пусть функция f(x,t)eC(Q) (Q: {х a;t t0}) удовлетворяет в Q условиям Липшица, то есть существует К 0 такое, что для любых точек (x,t) и (y,t) в Q имеет место неравенство /(x,f)-/( ,f) Kx- (это условия всегда имеет место если - — Є С (Q), ( 1 = 1, п)). Тогда для любой точки (X0,?0)GQ в некоторой окрестности (t0,t0+S) всегда существует единственное решение x = cp(t) задачи Коши: x = f{x,t); x(t0) = x0= p(t0); (xJeR"; f{0,t) = 0). (1.2a) II. Если решение x = cp(t) ограничено на своем максимальном промежутке существования (t0,t0+T), то оно бесконечно продолжаемо вправо, то есть Т = +оо [10, с. 279]. III. Определение 1. Решение x = p(t) задачи (1.2а) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 0 существует S(s) 0 такое, что все решения X = (p(t) и x = x(t) задачи (1.2а), удовлетворяющие условию \x(t0)- p(t0)\ 6(e), определены при t t0 и при этом x(f)-q {t)\ s (t t0). 2. При дополнительном условии limx(0- p(0l = 0, решение X = p(t) называется асимптотически устойчивым. Следуя методу расщепления для удобства изложения для произвольной квадратной матрицы A = {ajk}" ={Ajk}" введём специальные обозначения A = diag{au,...,ann};A=A-Aи A = diag{Au,...,App}; А = А-А (\ р п). В первой главе мы изучим линейные и квазилинейные системы дифференциальных уравнений с периодической регулярно возмущенной матрицей, представимой в общем случае в виде сходящегося ряда A(t,s) = A0+YJAk(t)sk из достаточно гладких Т-периодических матриц Ak(t) периодических достаточно гладких матриц Ak(t) сходится абсолютно и равномерно по некоторой норме при достаточно малых є (є і) и при t 0, а функция f(x,t) является достаточно гладкой в области Q: {х R; t о}) в случае, если постоянная матрица А, имеет простой спектр { }", удовлетворяющий условиям: o]k=X{)]-X{)k i2nqT-1; []Фк- j,k = \ n\ q = 0,±\,±2,..). (1.4) Тогда система (1.3) может быть с помощью невырожденной при достаточно малых є (є«1) Т-периодической замены: х = S0H{N)(t,s)z; (1.5) откуда следует оценка z (?) z01 ехр (-сг1є??), гарантирующая асимптотическую устойчивость тривиального решения квазилинейной системы вида (1.6), эквивалентной системе (1.3), что и требовалось доказать. Доказанные теоремы позволяют с новой точки зрения исследовать ряд нетривиальных конкретных прикладных модельных задач. Пример 1.1. Взаимодействие двух связанных линейных осцилляторов [40, с. 191-194] при отсутствии резонансов может быть описано системой линейных дифференциальных уравнений:
О приводимости квазилинейных систем с периодической матрицей при наличии у матрицы A0 произвольной жордановой структуры
Рассмотрены различные классы теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей при наличии особенностей более общего вида, чем в работах [10, 40].
На основе одного из последних вариантов метода расщепления [17-23] доказаны нетривиальные теоремы и предложены алгоритмы асимптотического приведения исходной системы (с учетом спектральных характеристик определяющей матрицы A 0 различной жордановой структуры) к более простой эквивалентной системе с почти «диагональной» (или почти «блочно-диагональной») матрицей, что упрощает дальнейший приближенный качественный, или более точный численный анализ [54, 55].
К таким системам сводится большой класс уравнений гипергеометрического типа, включая уравнения Бесселя, Эрмита, Эйри и ряд других уравнений для специальных функций. Доказаны аналоги теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению для указанного класса систем дифференциальных уравнений. Разработан алгоритм построения асимптотики решения линейных систем указанного класса.
Изучен нетривиальный пример теории гироскопов и после его анализа построены графики, подтверждающие справедливость полученных с помощью нового метода достаточных условий устойчивости его колебаний. О приводимости некоторых классов теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей при наличии определяющей матрицы A0 простой структуры
Рассмотрены некоторые классы линейных и квазилинейных неавтономных модельных систем с полиномиальной матрицей с различными особенностями при наличии определяющей матрицы A0 различной жордановой структуры.
С помощью развития различных вариантов метода расщепления [19, 21, 23], разработанного в работах Коняева Ю. А. предложены алгоритмы асимптотического приведения исходных систем (с учетом структуры определяющей матрицы A0 ) к менее громоздкому виду систем дифференциальных уравнений с почти «диагональной» (или почти «блочно-диагональной») матрицей, удобному для дальнейшего качественного и численного анализа [54, 55].
Полученые результаты можно считать обобщением (аналогом) известной теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению [10, 40] на новые классы квазилинейных неавтономных систем с полиномиальной матрицей, что обобщает известные ранее результаты [1, 8, 10, 13, 15, 38].
Исследование различных классов неавтономных систем дифференциальных уравнений является в общем случее достаточно сложной задачей и изучение каждого нового класса таких систем, для которых может быть предложен эффективный и конструктивный алгоритм для анализа поведения их решения, является заметным вкладом в качественную теорию дифференциальных уравнений.
Для изучения различных вариантов неавтономных систем дифференциальных уравнений с полиномиальной матрицей предложены новые алгоритмы для исследования поведения их решения, включая вопросы устойчивости [54, 55]. К таким системам сводится большой класс уравнений гипергеометрического типа, в том числе уравнения Бесселя, Эрмита, Эйри и ряд других.
Предложенный в диссертации метод позволяет изучить поведение гипергеометрических функций и большого класса специальных функции [36, 37], удовлетворяющих уравнению
Перейдем к рассмотрению более общих систем указанного класса и доказательству соответствующих теорем. Тогда система (2.1) может быть с помощью невырожденной при достаточно больших t t0 1 конструктивной полиномиальной замены: где диагональные Ak и «бездиагональные» Hk матрицы однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма. При этом матричная функция G(N+m+1(t) имеет оценку G(N+m+1(t) С, которая доказывается прямым вычислением.
Доказательство. В условиях теоремы 2.1 всегда существует [6, 30] невырожденная замена х = S0y, приводящая систему (2.1) к виду: B{t)-lBk После ещё одного невырожденного при достаточно больших t t0 l полиномиального преобразования: получаем нужный результат (2.3), если матрицы B(t), H{N)(t) и Q{t) удовлетворяют дифференциальному матричному уравнению вида: ям=г(д(0ям(0-ям(0е(0). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t , получим набор простых алгебранических матричных уравнений для последовательного и однозначного определения всех постоянных «диагональных» Ак и «бездиагональных» Нк матриц (к = Щ:
О приводимости некоторых классов теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей при наличии определяющей матрицы A0 простой структуры
При наличии у матрицы Д (/) стабильного кратного спектра {Л Д0Г (\ р п) и полупростой, «блочно треугольной» или произвольной жордановой структуры возникают дополнительные трудности при построении более простых эквивалентных систем дифференциальных уравнений и при анализе устойчивости тривиального решения исходной неавтономной системы. где Т - периодические матрицы Hk(t) и «блочно диагональные» матрицы Fk(t) (k = 1,N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма, а оценка которая после невырожденного при достаточного больших t t0 1 полиномиально периодического преобразования y = H(N)(t)z даёт нужный результат (3.36), если матрицы B(t), H{N)(t) и Q(t) удовлетворяют дифференциальному матричному уравнению:
Откуда итерационным методом однозначно определяются все необходимые Т - периодические матрицы Fk (t) и Нк (t), (к=Щ: Fk{t) = Pk{t); Рк(t) = {Ррк (t)}; Hk(t) = {Нрк (t)}; H1]k{t) = -P1]k{t)/a1]{t); (іФ); i,j = u ; к = Щ. Оценка G{N+1){t) C следует из конкретного представления этой матричной функции: что и завершает доказательство теоремы 3.10. где периодические матрицы Hk (t) (к = 1,Й)и Ak (t) (k = 2,v) определяются с помощью итерационного алгоритма.
После полиномиально периодического невыоржденного при достаточно больших t t0 1 преобразования w} = Н(N)(t)v}, мы получаем нужный результат (3.41), если матрицы B(t), Q(t) и H,N{t) удовлетворяют дифференциальному матричному уравнению: Приравнивая в матричном уравненой (3.42) коэффициенты при одинаковых степенях t, получим однотипные алгебраические матричные уравнения (для случая т = 2):
Из матричных уравнений (3.43) итерационным методом однозначно определяются все необходимые периодические матрицы: и для достаточно гладкой функции f(x,t) справедлива оценка: квазилинейной подсистемы (3.39) и (3.41) асимптотически устойчиво, а в случая когда Кеу;(і) р(і); ; = М; a(t) = \ p(s)ds C; t t тривиальное решение соотвествующей однородной (/ = о) подсистемы вида (3.39) устойчиво.
Для доказательства теоремы 3.12 мы воспользуемся леммой 1.3 из первой главы. Доказательство. С учетом того, что в условиях теорем 3.10 и 3.11 подсистема (3.39) приводится к эквивалентной подсистеме вида (3.41): доказывает асимптотическую устойчивость тривиального решения подсистемы (3.44) и эквивалентной ей подсистемы (3.39). откуда следует устойчивость тривиального решения однородной подсистемы (3.44) и эквивалентной ей подсистемы (3.39). Теорема 3.12 доказана.
Замечание: Полученные в теореме 3.12 достаточные условия устойчивости или асимптотической устойчивости подсистемы вида (3.39) соответствуют условиями устойчивости или асимптотической устойчивости по части переменных для исходной системы (3.35).
Теорема 3.13. Рассмотрим неавтономную квазилинейную систему (т = 0): (где матричный ряд A(t) = A0+Y,Ak(t)rk из достаточно гладких из Т к=\ периодических матричных функции Ak(t) сходится по некоторой норме абсолютно и равномерно при t t0 \ и функция f(x,t) является достаточно гладкой в области Q: {х Л; t \}) и пусть матрица А, имеет полупростую структуру и кратный спектр { }Р, удовлетворяющий неравенствам: где постояные «блочно диагональные» матрицы Fk и Т - периодические матрицы Hk(t) (к = 1,ІЇ) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма, а оценка G,N+1{t) С проверяется прямым вычислением. что позволяет после невырожденного при достаточно больших t t0 1 полиномиально периодического преобразования y = H{N)(t)z получим нужный результат (3.47), если матрицы B(t), H{N{t) и Q(t) удовлетворяют дифференциальному матричному уравнению: распадающуюся в свою очередь ещё на (р2-р) более мелких дифференциальных матричных уравнений: Нг]к = ауНук (t) + Рг]к (t).
Каждое из этих уравнений имеет (с учетом условия (3.46)) единственное Т-периодическое решение вида [4, с. 361]:
Аналоги теоремы 3.10, 3.11 и 3.13 имеют место и при т 0, если матрица Д0 является постоянной. 2. Следует отметить, что система (3.50) с почти «блочно треугольной» матрицей Q(t), полученная в теореме 3.13, более удобна для последующего анализа по сравнению с исходной эквивалентной системой вида (3.1). Далее отметим, что неавтономные системы с полиномиально периодической матрицей вида (3.1) при т = -1 и при наличии у матрицы А0 (0 произвольной жордановой структуры могут быть исследованы методами теоремы 3.6, а в случае т -2 методами теоремы 3.9.
Теорема 3.15. Рассмотрим неавтономную квазилинейную систему: x = A(t)x + f(x,t); x(t0) = x0; (x,feRn; t0 1; f{0,t) = 0), (3.53) (где матричный ряд A(t) = A0+Y,Ak(t)rk из достаточно гладких из Т периодических матричных функции Ak(t) сходится по некоторой норме абсолютно и равномерно при t t0 1) и пусть матрица Д0 эквивалентно «блочной треугольной матрицей» с кратным спектром fa.}" вида: F0 = где постояные «блочно диагональные» матрицы Fk и Т - периодические матрицы Hk(t) [k = 1,N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма, а оценка G(N+1(t) С проверяется прямым вычислением.
О некоторых теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии матрицы A (t) фикцированной жордановой структуры (при m -\)
Аналоги теоремы 3.10, 3.11 и 3.13 имеют место и при т 0, если матрица Д0 является постоянной. Следует отметить, что система (3.50) с почти «блочно треугольной» матрицей Q(t), полученная в теореме 3.13, более удобна для последующего анализа по сравнению с исходной эквивалентной системой вида (3.1).
Далее отметим, что неавтономные системы с полиномиально периодической матрицей вида (3.1) при т = -1 и при наличии у матрицы А0 (0 произвольной жордановой структуры могут быть исследованы методами теоремы 3.6, а в случае т -2 методами теоремы 3.9. Теорема 3.15. Рассмотрим неавтономную квазилинейную систему: x = A(t)x + f(x,t); x(t0) = x0; (x,feRn; t0 1; f{0,t) = 0), (3.53) (где матричный ряд A(t) = A0+Y,Ak(t)rk из достаточно гладких из Т периодических матричных функции Ak(t) сходится по некоторой норме абсолютно и равномерно при t t0 1) и пусть матрица Д0 эквивалентно «блочной треугольной матрицей» с кратным спектром fa.}" вида: F0 = где постояные «блочно диагональные» матрицы Fk и Т - периодические матрицы Hk(t) [k = 1,N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма, а оценка G(N+1(t) С проверяется прямым вычислением. и с помощью ещё одного полиномиально периодического при достаточно больших t t0 1 преобразования y = H(N)(t)z получим нужный результат
Замечание: Изучение систем вида (3.1) (при m = -1 и т -2) при наличии матрицы Л(0 эквивалентной «блочно треугольной» матрице после их
приведения к более простым системам с « почти блочно треугольной» матрицей (теоремы 3.14 и 3.15) проводится по аналогичному алгоритму и дает больше возможностей для их дальнейшего изучения, включая вопросы устойчивости.
Один из важнейших выводов, который следует из нашей работы: линеарилизация подобных задач теории калебаний приводит к отсутствию устойчивых состояний движения в зонах (областях) резонанса, что означает, по сути, потерю таких решений. Более того: идеи линеаризации абсолютно неприменимы для решения многих проблем, с которыми физика постоянно сталкивалась и продолжает сталкиваться [62-69]. Вместе с тем данная проблема периодически возникает при решении различных прикладных задач в различных областях техники, механики, физики, электроники, биологии и медицины (см., например, [5, 33, 40, 41, 50-53, 62-69]). Некоторые из таких задач были отмечены во введении к настоящей диссертации (бесконтактное ориентирование, удержание и управление микродеталями при сборке различных устройств и приборов; селективное разделение различных порошков (магнитных, ферромагнитных); сверхчувствительные датчики полей; взвешивание, удержание и перемещение различных объектов (одиночных молекул, гироскопов, транспорта на магнитном подвесе); и др.)
Решение таких задач даже в первом приближении наталкивается на серьезные математические и физические проблемы. Основная проблема связана с тем, что до настоящего времени нет общей теории колебаний сильно нелинейных систем (при отсутствии малого параметра) и в появлении различных особенностей, таких как аттрактор, хаос [65, 68, 69].
Итак, можно констатировать, что в настоящей диссертации представлен новый метод исследования задач теории линейных и квази-нелинейных колебаний, позволяющий найти устойчивые состояния движения некоторых динамических систем в окрестности резонанса. Этим определяется его актуальность, новизна и практическая значимость.
В диссертации получены и обоснованы следующие результаты. Предложен новый метод исследования теоретико-механических моделей гироскопических устройств и соответствующих систем дифференциальных уравнений с Т-периодической матрицей (при наличии малых возмущений) и другой класс систем с полиномиальной и полиномиально периодической матрицей, описывающих различные режимы работы гироскопических систем.
Полученные в работе результаты является следствием анализа теорем о почти приводимости исследуемых систем уравнения их движения. Это позволило получить достаточные условия устойчивости или асимптотической устойчивости решения указанного класса систем.
Для каждого класса исследуемых теоретико-механических моделей гироскопических линейных систем построены асимптотические представления их движения.
