Содержание к диссертации
Введение
1 АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ АТМОСФЕРНУЮ ДИФФУЗИЮ 15
1.1 Краевая задача, описывающая рассеяние примеси в атмосфере 15
12 Анализ краевой задачи, описывающей турбулентную диффузию в атмосфере 32
1.3 Аналитические решения краевой задачи с мгновенным точечным источником 35
1.4 Аналитические решения краевой задачи с точечным источником непрерывного действия 38
1.5 Методы решения некорректно поставленных задач 42
Выводы 50
2 АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА КОЛИЧЕСТВА ПРИМЕСИ, ВЫПАДАЮЩЕЙ ИЗ АТМОСФЕРЫ НА ПОДСТИЛАЮЩУЮ
2.1 Математическая модель процесса осаждения примеси на подстилающую поверхность 52
2.2 Общая схема расчета плотности осадка примеси при постоянной скорости ветра 60
2.3 Схема расчета плотности осадка от точечного источника мгновенного действия при постоянной скорости ветра 64
2.4 Схема расчета плотности осадка от точечного источника непрерывного действия при постоянной скорости ветра 71
2.5 Схема расчета плотности осадка от точечных источников при переменной скорости ветра 75
2.6 Сравнительный анализ расчетных значений концентрации примеси с ее экспериментальными значениями 78
2.7 Максимальное значение плотности осадка на подстилающей поверхности 79
2.8 Оценка эколого-экономического ущерба от загрязнения атмосферы выбросами промышленных предприятий 86
Выводы 98
3 ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОЩНОСТИ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА ПРИМЕСИ 101
3.1 Задача определения мощности точечного источника мгновенного действия 101
3.2 Обратная задача определения мощности точечного источника непрерывного действия 105
3.3 Алгоритм определения мощности источника, основанный на решении интегрального уравнения первого рода 109
3.4 Алгоритм определения мощности источника, основанный на решении системы интегральных уравнений первого рода 114
3.5 Комбинированный алгоритм определения мощности источника.. 120
3.6 Численное решение обратной задачи об источнике примеси 122
Выводы 128
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 130
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 133
- Краевая задача, описывающая рассеяние примеси в атмосфере
- Математическая модель процесса осаждения примеси на подстилающую поверхность
- Задача определения мощности точечного источника мгновенного действия
Введение к работе
В настоящее время перед индустриально развитыми странами остро стоит проблема загрязнения окружающей среды, в частности атмосферы, осадками промышленного производства. Выброшенная источником в атмосферу примесь постепенно осаждается на подстилающую (земную и/или водную) поверхность, оказывая негативное воздействие на здоровье людей, животных, на растительный покров земли.
Распространение примеси в атмосфере происходит за счет движения воздушных масс (ветра), турбулентной и молекулярной диффузии. На распространение крупных частиц примеси в атмосфере оказывает воздействие также гравитационное осаждение этих частиц. Все примеси в конечном итоге осаждаются на поверхности земли, причем тяжелые осаждаются в основном под действием гравитационного поля, а легкие — в результате турбулентного движения воздушных масс [24]. Распространение примеси в турбулентной атмосфере описывается краевой задачей, представляющей собой полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии, решение которого удовлетворяет заданным начальному и граничным условиям.
Изучению различных задач процесса рассеяния примесей в турбулентной атмосфере посвящены многочисленные исследования как отечественных ученых (Г. И. Марчук, М. Е. Берлянд, А. С. Монин, Н. Л. Вызова, Э. Ю. Безуглая, Е. К. Гаргер, Ю. А. Израэль, И. Л. Кароль, А. М. Обухов, В. В. Пененко, А. Е. Алоян, А. М. Яглом, А. С. Гринин, Н. А. Орехов, В. Н. Новиков, М. Ф. Романов, М. П. Федоров и др.), так и зарубежных (Р. Вайнерди, Ф. Гиффорд, С. Хан, Ж. Р. Махони, Б. А. Иган, О. Г. Фокс и др.), работы Кубанской экологической школы, возглавляемой академиком В. А. Бабешко (Е. В. Кособуцкая, И. Б. Гладской, М. В. Зарецкая, О. В. Евдокимова, С. М. Евдокимов).
Однако до сих пор задачи осаждения примеси на заданную поверхность остаются малоисследованными, в частности, две следующие. 1. Прямая задача — определить количество примеси, выпадающей из атмосферы за заданное время на заданную горизонтальную площадку.
2. Обратная задача — по заданным количеству примеси, выпавшей на подстилающую поверхность (определяемому экспериментально), скорости ветра, коэффициентам турбулентной диффузии, краевым условиям определить мощность источника выброса.
В настоящее время известны два подхода к решению прямой задачи.
1. В работах М. Е. Берлянда [13] предлагается подход, основанный на использовании приближенного соотношения для вычисления плотности осадка примеси, выпадающей на заданную горизонтальную площадку. Но такой подход позволяет получить грубую оценку этой величины, требует проведения сложных в техническом плане измерений.
2. В работах Г. И. Марчука [85] описан общий подход к решению этой задачи, основанный на использовании сопряженного уравнения переноса и диффузии. Однако этот подход не доведен до уровня алгоритма и его программной реализации, позволяющей находить численные значения плотности осадка на заданной площадке.
Обратная задача до настоящего времени остается малоисследованной, несмотря на необходимость, продиктованную различными практическими нуждами, в разработке алгоритма ее аналитического и численного решения, реализации его в виде программного продукта.
Алгоритмы решения указанных задач позволяют в свою очередь решить важную экономическую задачу - дать оценку эколого-экономического ущерба, наносимого региону в результате загрязнения его плодородных земель и водной поверхности атмосферными осадками экологически вредных веществ, попадающих в атмосферу в результате выбросов в нее побочных продуктов производства промышленных предприятий.
Следовательно, исследования, проведенные по теме диссертационной работы и направленные на решение указанных задач, находятся в русле современных исследований, посвященных изучению распространения примеси в атмосфере, сама тема является актуальной и практически значимой.
Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Юг № 06-01-96643).
Объект исследования — диффузия примеси в турбулентной атмосфере.
Предмет исследования — процесс осаждения на подстилающую поверхность диффундирующей в атмосфере примеси.
Цель работы — исследовать процесс осаждения примеси из турбулентной атмосферы на подстилающую поверхность, разработать алгоритм восстановления мощности источника ее выбросов в рамках математической модели осаждения примеси в атмосфере.
Научная новизна
1. Предложена новая математическая модель процесса осаждения примеси из атмосферы, в которой представлена формула для расчета количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность.
2. Разработаны алгоритмы определения значений плотности осадка в различных точках подстилающей поверхности, позволяющие адекватно экспериментальным данным оценить значения этой плотности.
3. Исследованы обратные задачи восстановления мощности точечного источника мгновенного и непрерывного действия в рамках математической модели процесса осаждения примеси из атмосферы на подстилающую поверхность. Разработаны алгоритмы численного решения таких задач.
Научная и практическая значимость
Математическая модель осаждения примеси из атмосферы на подстилающую поверхность, предложенная в диссертационной работе, алгоритмы ее численного решения, поставленные и исследованные в рамках этой модели обратные задачи для точечного источника примеси представляют собой основу для дальнейших исследований процесса осаждения примеси из атмосферы на земную и водную поверхности. Эти результаты могут быть использованы в работе научно-исследовательских организаций, осуществляющих контроль за состоянием источников антропогенного воздействия, производящих оценку масштабов загрязнения окружающей среды, а также для расчета стоимостной оценки ущерба, нанесенного окружающей среде в результате выбросов предприятиями в атмосферу вредных веществ.
Алгоритмы расчета количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность, алгоритмы численного решения обратной задачи для источника примеси, а также алгоритм суммарной оценки эколого-экономического ущерба реализованы в виде комплекса программ «DODS», «IPIS», «Ecological economy damage» соответственно. С помощью этого комплекса программ можно провести оперативный мониторинг экологической ситуации в рассматриваемом регионе, возникающей в результате загрязнения атмосферы промышленными выбросами.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Математическая модель, описывающая процесс осаждения примеси на подстилающую поверхность от точечных источников мгновенного и непрерывного действия.
2. Алгоритмы расчета количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность от различного вида точечных источников.
3. Алгоритмы численного решения обратной задачи для точечного источника примеси, т. е. задачи о восстановлении мощности источника в рамках математической модели осаждения примеси в атмосфере по известным параметрам этой модели и экспериментальным данным о распределении плотности осадка примеси на заданной поверхности.
4. Комплекс программ «DODS», «IPIS», «Ecological economy damage», предназначенный для расчета количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность от точечных источников, численного решения обратных задач для таких источников, суммарной оценки эколого экономического ущерба, наносимого региону в результате загрязнения его воздушных, земельных и водных ресурсов промышленными выбросами.
Апробация работы
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских и региональных конференциях по математике и экологии:
1. «Математическое моделирование и компьютерные технологии». VI Всероссийский симпозиум (г. Кисловодск, 2004 г.);
2. «Математическое моделирование и информационные технологии». IV региональная научная конференция (г. Георгиевск, 2004 г.);
3. «Прикладная математика XXI». Ежегодные объединенные научные конференции факультета прикладной математики КубГУ (г. Краснодар, 2004, 2005, 2006 гг.);
4. «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах». Ежегодные всероссийские научные конференции молодых ученых и студентов (г. Анапа, г. Краснодар, 2005 г., 2006 г.);
5. «Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике» (г. Сочи-Дагомыс, 2005 г., г. Йошкар-Ола, 2006 г., г. Адлер, 2007 г.).
Публикации
Основные результаты диссертационного исследования изложены в 15 научных работах (3 статьях и 12 тезисах докладов на научных конференциях различного уровня), из которых 6 работ опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата и доктора наук. Кроме того, получено 2 свидетельства о регистрации программы в отраслевом фонде алгоритмов и программ. Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка основных обозначений, списка используемой литературы, содержащего 133 наименования, и 4 приложений. Работа изложена на 144 страницах машинописного текста, содержит 23 рисунка и 14 таблиц.
В первой главе диссертационной работы проведен обзор исследований, посвященных процессам рассеяния примесей в турбулентной атмосфере и их осаждения на подстилающую поверхность. Описана известная математическая модель рассеяния примеси в турбулентной атмосфере, представляющая собой полуэмпирическое уравнение с заданными для его решения начальным и граничными условиями. Приведены результаты построения аналитических решений этой модели (в некоторых частных случаях).
Описаны действующие в настоящее время методики расчета концентрации в атмосферном воздухе вредных веществ, содержащихся в выбросах предприятий (ОНД-86, ОНД-90). Данные методики позволяют рассчитать значения приземных концентраций примеси в двухметровом слое над поверхностью земли, а также их вертикального распределения, учесть экологически вредные вещества, претерпевающие полностью или частично химические превращения (трансформацию) в еще более экологически вредные вещества.
Указаны известные математические модели процесса осаждения примеси из атмосферы на подстилающую поверхность, позволяющие определить как значения концентрации примеси в атмосфере, так и плотность осадка этой примеси на подстилающей поверхности. После проведенного сравнительного анализа известных алгоритмов расчета плотности осадка примеси, осаждающейся на земную поверхность, был сделан вывод, что на практике они либо позволяют построить грубую оценку этой величины, либо не доводятся до уровня, позволяющего производить численные расчеты ее значений с помощью ЭВМ. Описан способ численного решения интегрального уравнения первого рода, основанный на методе регуляризации.
Из сказанного следует, что в настоящее время отсутствует приемлемый для решения прикладных задач алгоритм расчета количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность от точечных источников, обеспечивающий достоверную оценку ее плотности в заданных точках (областях) земной поверхности.
Общероссийские нормативные документы ОНД-86 и ОНД-90 не учитывают турбулентную и молекулярную диффузию, скорость гравитационного осаждения частиц примеси, зависимость скорости ветра от высоты. Данные методики позволяют рассчитать точку, в которой концентрация примеси достигает максимального значения, но дают достаточно грубую оценку этой величины, не содержат алгоритма расчета плотности осадка примесей, выбрасываемых промышленными предприятиями, на земную поверхность. Поэтому ввиду практической значимости алгоритма определения с необходимой точностью плотности осадка примеси на подстилающую поверхность возникает необходимость в его разработке, а также в разработке алгоритма определения точки в приземном слое атмосферы, в которой плотность осадка примеси достигает максимального значения.
Задачи о восстановлении мощности источника в рамках математической модели рассеяния примеси относятся к числу малоисследованных. Для их решения (аналитическими и численными методами) целесообразно было разработать соответствующие алгоритмы и реализовать их в виде комплекса программ.
Во второй главе представлена математическая модель процесса осаждения примеси из атмосферы на подстилающую поверхность, состоящая из полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии, начального и граничных условий, формулы, позволяющей рассчитать количество примеси на заданной подстилающей поверхности. Предложен алгоритм расчета количества примеси, выпадающей из атмосферы от точечных источников мгновенного и непрерывного действия при постоянной и непрерывно меняющейся с высотой скоростью ветра. Описан способ определения точки, в которой плотность осадка от точечных источников мгновенного и непрерывного действия достигает максимального значения. Приведены примеры численных расчетов по предложенным алгоритмам, их визуализация, результаты сравнения полученных расчетных и экспериментальных данных, численных расчетов зависимости плотности осадка легкой и тяжелой примесей от концентрации этих примесей. Предложены алгоритмы оценки эколого-экономического ущерба, причиняемого региону осадками примеси, осаждающейся на водную и земную поверхности.
Во второй главе также дано описание программных продуктов «DODS», «Ecological economy damage», разработанных в процессе проведения диссертационного исследования. Они позволяют производить расчеты как концентрации, так и количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность от точечных источников, суммарную оценку наносимого эколого-экономического ущерба.
В конце второй главы сделаны выводы, указывающие на ряд закономерностей, связанных с распределением легкой и тяжелой примеси на подстилающей поверхности от точечных источников мгновенного и непрерывного действия. Предложенный алгоритм расчета эколого-экономического ущерба, наносимого земельным и водным ресурсам, дает более точную оценку ущерба, чем подобные алгоритмы, приведенные в работах других авторов. Это достигается за счет учета дополнительных параметров, не учитываемых в этих работах.
В главе 3 изучена обратная задача для мощности точечных источников мгновенного и непрерывного действия, т. е. задача определения мощности источников выбросов по заданной плотности осадка на подстилающей поверхности и основным параметрам рассматриваемой математической модели осаждения примеси в турбулентной атмосфере. Показано, что задача восстановления мощности источника примеси относится классу некорректно поставленных задач.
Разработаны алгоритмы восстановления мощности источника примеси, основанные на методе регуляризации. Описана численная реализация процесса восстановления мощности источника примеси мгновенного и непрерывного действия.
Рассмотренные различные подходы решения указанной обратной задачи позволили сделать ряд выводов, согласно которым для достижения необходимой точности производимых расчетов целесообразно проводить замеры или расчеты количества примеси в тех точках, в которых плотность осадка достигает максимального значения. Предложенные алгоритмы восстановления мощности источника примеси позволяют достаточно точно восстановить значение мощности источника и могут быть использованы равнозначно, как в случае, когда скорость ветра является непрерывной функцией аргумента z, так и в случае, когда данная величина постоянна. Численные эксперименты показывают хорошее согласование расчетных данных, полученных по указанным алгоритмам, с экспериментальными значениями.
Краевая задача, описывающая рассеяние примеси в атмосфере
Примеси, диффундирующие в пограничном слое атмосферы, принято классифицировать на легкие, образованные частицами среднего размера, и тяжелые [1, 5, 6]. Частицы примеси радиуса г (предполагается, что частицы имеют шарообразную форму), для которых число Рейнольдса считают легкими.
Еще в 20-30-е годы XX столетия изучались задачи распределения примеси вблизи подстилающей поверхности, выбора и обоснования вида коэффициента обмена и т. д. Непосредственная связь теоретических исследований атмосферной диффузии примеси с закономерностями тепло- и влагообмена в приземном слое воздуха проявляется при исследовании соответствующих краевых задач [61]. Для описания атмосферной диффузии использовались уравнения параболического типа, обобщающие уравнение Фикка, предложенные в работах А. Н. Колмогорова, А. М. Обухова [67, 97]. Показано, что коэффициенты рассматриваемого уравнения, представляющие собой коэффициенты перемешивания в атмосфере, должны зависеть от масштаба турбулентных вихрей.
В работах А. С. Монина, А. Н. Колмогорова, С. С. Зилитинкевича, Р. Бетчова, А. М. Яглома [93, 67, 61, 132, 22] на основе метода анализа размерностей и введения для этой цели различных масштабов длины в горизонтальном и вертикальном направлениях рассматривались возможности описания турбулентной диффузии при свободной конвекции. Одномерная модель диффузии примеси общего вида, учитывающая скачкообразные изменения скорости распространения примеси, была предложена в 1971 г. А. В. Левиным [75].
При исследовании процесса рассеяния примеси в приземном слое атмосферы для определения концентрации примеси используются формулы, полученные на основе обработки экспериментальных данных [115]. В работах А. Робертса для определения концентрации примеси предлагается использовать решение уравнения турбулентной диффузии с постоянными коэффициентами с заданными граничными условиями.
Как уже отмечалось, для изучения процесса переноса примеси в атмосфере используют два подхода: подход, основанный на статистическом описании процессов атмосферной диффузии, и подход, основанный на использовании уравнения турбулентной диффузии. При первом подходе, разработанном Дж. К. Батчелором [29], А. М. Обуховым [97], А. С. Мониным [92] и др., большей частью применяют лагранжеву систему координат. Во втором случае используют эйлерову систему. Важной являлась задача установления взаимосвязи между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками турбулентной среды. Обзоры исследований по указанным направлениям содержатся в работах [110, 94, 130, 54, 109]. В России первые расчеты по рассеиванию промышленных выбросов были выполнены А. Г. Шелейховским [130], М. В. Андреевым [5], Н. Ф. Дергачевым [55], которые использовали для этого указанную формулу О. Г. Сеттона.
Указанные ранее формулы отражают только качественные особенности распространения примеси в атмосфере. Что же касается количественных соотношений, то между данными наблюдений и результатами вычислений по указанным формулам наблюдаются значительные расхождения. Это побудило многих авторов вводить в расчетные формулы поправочные коэффициенты, разрабатывать другие эмпирические и теоретические соотношения, изучать особенности турбулентного перемешивания на более высоких уровнях и при разных условиях рассеяния примеси, на больших расстояниях от источников.
Изучению турбулентной диффузии посвящены исследования О. Г. Сеттона [114], Дж. Чанади [129], Ф. Паскуила [109], Н. Л. Бызовой, Е.К. Гаргера, и В. Н. Иванова [26, 27], М. Е. Берлянда [14-16, 19, 21], [8], [121] и др.
Прослойка между свободной атмосферой и подстилающей поверхностью называется атмосферным пограничным слоем [25]. В этом слое динамическое воздействие подстилающей поверхности на воздушный поток порождает турбулентность, а термическая стратификация усиливает или подавляет ее. Высота пограничного слоя меняется от 1 000—1 500 м до 150-200 м в зависимости от времени суток, скорости ветра. В работе [25] отмечено, что согласно проведенным экспериментальным исследованиям изменения по вертикали всех метеорологических величин наиболее выражены в слое высотой порядка 100 м, выше этого слоя наблюдается их постепенное приближение к значениям, характерным для свободной атмосферы.
Нижняя часть пограничного слоя («5% его толщины) называется приземным слоем [25]. В пределах приземного слоя вертикальные турбулентные потоки считаются постоянными. Структура приземного слоя определяется динамической скоростью и масштабом температуры. Согласно работе Н. Л. Бызовой, В. И. Иванова [26], он часто играет роль буферной зоны, в которой сохраняются и накапливаются тепло и влага, а также загрязняющие примеси от подстилающей поверхности. На состояние пограничного слоя влияет ее неоднородность. При достаточно большой скорости ветра горные районы, береговые линии водоемов и крупные города вызывают внутренние пограничные течения в этом слое, связанные с резким изменением свойств подстилающей поверхности вдоль потока воздуха, а при слабом фоновом ветре - возбуждают местные циркуляции.
Математическая модель процесса осаждения примеси на подстилающую поверхность
Общая схема вычисления P(t,x,y,z0) выглядит следующим образом.
1. Вычисляем средние значения концентрации примеси, которые совпадают со значениями функции q(t,x,y,zo) в точках {x,y,z ), представляющей аналитическое решение задачи (1.2.1)-(1.2.4), которое при постоянной скорости ветра может быть найдено в явном аналитическом виде, а при изменяющейся с высотой скоростью ветра (U = U(z)) — в численном виде.
2. Находим поток примеси P(t,x,y,z0), воспользовавшись
формулой (2.1.2).
3. Рассчитываем плотность осадка P(t,x,y,z0) по формуле (2.1.1).
Плотность осадка может быть определена как численно, так и аналитически. Для вычисления P(t,x,y,Z(f) согласно приведенной схеме разработан алгоритм, реализованный в виде программы «DODS» в программе Delphi.
Входными данными в «DODS» являются следующие физические характеристики;
- скорость ветра V;
- скорость сухого осаждения частиц примеси Vs;
- высота источника Я;
- мощность источника Q (Q(t) в случае, когда рассматривается точечный источник непрерывного действия);
- коэффициент, характеризующий степень деструкции примеси в окружающей среде a{t);
- момент времени /;
- плоскость z = ZQ ;
- коэффициенты турбулентной диффузии Кх, К у, Kz.
Опишем процедуру работы с комплексом программ «DODS». 1. Вводим в соответствующие ячейки (рисунок 1) значения основных параметров модели (1.2.1)-(1.2.4): U,VS, Н, Q{t), a(t), t, z, Kx,Ky,Kz. 2. Для построения графической визуализации распределения плотности осадка на подстилающей поверхности необходимо нажать на кнопку «Графическая визуализация» (см. рисунок 1). В появившемся диалоговом окне (рисунок 2) требуется дополнительно указать интервал значений координат Хн, Хк, YH, Ук, количество шагов по каждой координате. В блоке «Управление» располагаются кнопки управления графиком.
3. Для расчета значений средней концентрации примеси q(t,x,y,ZQ), плотности осадка P(t,x,y,z0) и определения их разницы в диалоговом окне, изображенном на рисунке 1 необходимо нажать на кнопку «Таблица значений». В появившемся диалоговом окне (рисунок 3) достаточно указать координату точки, для которой в каждый момент времени программа «DODS» рассчитает значения q(t,x,y,zo), P(t,x,y,zQ). Ларамі [зї Сформировать ґаблищі[5 Q," К 4)/(1-1) (К = 30.74)
Для расчета плотности осадка P(t, х, y,z0) и ее графической визуализации в зависимости от вида примесей и точечного источника из папки «DODS» выбираются файлы с соответствующим названием. Например, в случае осаждения легкой примеси на подстилающую поверхность от точечного источника непрерывного действия из папки «DODS» необходимо выбрать файл «Непрерывный источник (легкая примесь).ехе».
Программа «DODS» зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ и имеет следующий номер государственной регистрации: 9293 [81].
2.3 Схема расчета плотности осадка от точечного источника мгновенного действия при постоянной скорости ветра
Рассеяние легкой примеси (W = 0) в атмосфере от точечного источника мгновенного действия может быть описано краевой задачей (1.3.1), (1.3.2), (1.3.4), (1.3.5). Будем считать, что в краевой задаче (1.3.1), (1.3.2), (1.3.4), (1.3.5) скорость ветра является постоянной величиной, т. е. U = const, выполняются условия (1.2.5). Тогда решение этой задачи q(t,x,y,zo) при условии сохраняющейся легкой примеси (a = a(t) 0, te[t0,T]) задается выражением (1.3.6).
В случае, когда в задаче (1.3.1)-(1.3-4) граничное условие имеет вид (1.3.7), решение этой задачи задается выражением (1.3.8) или (1.3.10) для Kz = C\z + С2, С\= const, С2 = const.
Если легкая примесь вступает в реакцию с внешней средой или распадается, т. е. a = a(t) 0, te[t0,T], для определения концентрации примеси следует воспользоваться соотношением (1.3.11).
В случае рассеяния в атмосфере тяжелой примеси от точечного источника мгновенного действия в уравнении (1.3.1) W 0. Если выполнены условия (1.3.12), a(t) = 0, tG[t0,T], значения q(t,x,y,zo) можно найти, воспользовавшись выражением (1.3.13), если a = a(t) Ф0, t є \t0,Т] — выражением (1.3.11).
Для расчета количества примеси P(t,x,y,z0) используется общий алгоритм, указанный в п. 2.1.
Приведем результаты расчетов зависимости количества легкой и тяжелой примесей P(t,x,y,zQ), выпадающих на подстилающую поверхность от точечного источника мгновенного действия, от значений их концентрации q(t,x,y,zo).
Задача определения мощности точечного источника мгновенного действия
В рамках математической модели (1.3.1)-(1.3.4), (2.2.1), описывающей процесс осаждения примеси на подстилающую поверхность из турбулентного слоя атмосферы, рассмотрим следующую задачу: определить мощность мгновенного точечного источника выбросов Q по заданным
экспериментально: плотности осадка на подстилающей поверхности P(t,x,y,z0), скорости сухого осаждения частиц примеси Vs и основным параметрам модели U, W, Кх, Ку, Kz, Н. Эту задачу будем называть
обратной задачей для точечного источника примеси мгновенного действия. Согласно общей схеме вычисления P(t,x,y,z0), указанной во второй главе, п. 2.2, для расчета количества примеси, выпадающей из атмосферы от точечного источника мгновенного действия (Q = const), следует воспользоваться соотношением в котором (в случае рассеяния легкой примеси) значение концентрации примеси q(t,x,y,ZQ) при постоянной скорости ветра (U = const) определяется из соотношений (1.3.6) (при a = a(t) = 0, /є[/0,Г]), (1.3.10) (при a = a(t)^0, te[t0,T]), (1.3.7) (при этом предполагаем, что легкая примесь не отражается, а полностью поглощается подстилающей поверхностью). В случае рассеяния тяжелой примеси значение концентрации q(t, х, у, ZQ ) задается соотношениями (1.3.11) (при a = a(t) = 0, / є [/0, Г]),
В случае, когда примесь не отражается, а полностью поглощается подстилающей поверхностью, краевая задача имеет вид (1.3.1), (1.3.7), (1.3.3), (1.3.4) и выполнены условия (2.2.1). Если коэффициент турбулентной диффузии Kz имеет вид (1.3.9), то значение мощности источника Q можно найти из соотношения (3.1.3), где среднее значение концентрации q{t,x,y,zo) задано выражениями (1.3.10), (1.3.11) соответственно для легкой и тяжелой примесей.
Из этого неравенства следует, что малые изменения значения плотности осадка Р (на величину є) влекут малые изменения значений мощности источника примеси Q (на величину є{). А это означает, что мощность Q из (3.1.3) устойчива к возмущениям Р.
В таблице 7 приведены экспериментальные данные значений мощности источника Q, взятые из отчетов лаборатории химического анализа ЦЛАТИ по ЮФО. Изучалось рассеяние легкой примеси от точечного источника мгновенного действия с параметрами: Н = 50 м, U = 7,3 м/с, .Ко = 0,1 м, Кі - 0,1 м, п = 0,15, /0 = 0 с, Vs = 0,1 м/с. Представим результаты экспериментальных и расчетных значений мощности источника Q в табличном виде (см. таблицу 7).
Согласно таблице 7 экспериментальные значения мощности источника Q хорошо согласуются с расчетными значениями Q.
3.2 Задача определения мощности точечного источника непрерывного действия
В данном параграфе изучается задача: определить мощность точечного источника непрерывного действия Q(t) по экспериментально заданными плотности осадка на подстилающей поверхности P(t,x,y,zQ), скорости сухого осаждения частиц примеси Vs и основным параметрам модели (1.4.1)-(1.4.4), (1.2.5): U, W, Кх, Ку, Kz, Н. Данную задачу будем называть обратной задачей для точечного источника непрерывного действия.
Таким образом, исходные данные Pn(t,x,y,z) могут быть как угодно близкими к Po(t,x,y,z) при п—»со, а соответствующие им решения Qn(s) не сходятся к Qo(s) при п—»оо. В случае, когда наблюдается отсутствие непрерывной зависимости решения задачи от исходных данных, тогда согласно [52] задача (3.2.4) относится к классу некорректно поставленных задач.
Рассмотрим задачу численного дифференцирования функции P(t,x,y,z), заданной таблично [117].
Решение Q(s) будем искать в классе непрерывных на отрезке [0,t] функций из множества F. Пусть значения возмущенной функции P(t,x,y,z) принадлежат множеству U. Уклонения правой части Р (t,x,y,z) и решения Q(s) будем оценивать в метрике Cm,Л.
Пусть Qi(0 = P{(t,х,y,zQ), Р{(t,х,у, z0) = P{{t,x,y,z0) + B sin at, тогда уклонение P\'(t,x,y,ZQ) от P2(t,x,y,ZQ) в рассматриваемой метрике будет равн.
