Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ процесса электромеханического преобразования и способов управления вентильным двигателем постоянного тока. выбор метода исследования 25
1.1. Ретроспективный анализ и современное состояние разработок вентильных двигателей 25
1.2. Общие принципы управления и основные закономерности процессов электромеханического преобразования в ВД 33
1.3. Особенности электромагнитных процессов в коммутаторе и их влияние на характер энергопреобразования и управления ВД 45
1.4. Анализ современной теории вентильных двигателей. Задачи исследования . .59
1.5. Методы проектирования вентильных двигателей 71
2. Исследование квазиустановившихся режимов вентильных двигателей 75
2.1. Применение вариационных принципов к исследованию динамики машинно- вентильных систем с позиционно зависимой коммутацией 76
2.2. Физический аналог и математическая модель вентильного двигателя с учетом процессов коммутации 82
2.3. Физический аналог и математическая модель вентильного двигателя постоянного тока при мгновенной коммутации 87
2.4. Параметры эквивалентного якорного контура ВД 91
2.5. Уравнения вентильного двигателя с учетом дискретности изменения структуры УВК 97
2.6. Математическая модель ВД с электромагнитным возбуждением в дискретно-ориентированных осях координат 101
2.6.1. Эквивалентная схема вентильного двигателя с электромагнитным возбуждением 102
2.6.2. Уравнения электрического равновесия ВД с электромагнитным возбуждением в дискретно-ориентированных осях 107
2.7. Математические модели электромагнитных процессов в вентильном двигателе с постоянными магнитами... 114
2.7.1. Анализ электромагнитных процессов при синусоидальном распределении поля в зазоре 114
2.7.2. Анализ электромагнитных процессов при трапецеидальном распределении поля в зазоре 122
2.8. Электромагнитные процессы в вентильных двигателях с искусственной коммутацией 130
2.8.1. Электромагнитные процессы в ВД на неполностью управляемых вентилях 130
2.8.2. Электромагнитные процессы в ВД на полностью управляемых вентилях 145
2.9. Выводы 151
3. Искусственная коммутация в увк вентильного двигателя 153
3.1. Коммутационные структуры вентильных двигателей с искусственной коммутацией 153
3.2. Повышение коммутационной устойчивости УВК с групповой пофазной искусственной коммутацией 161
3.2.1. Математические модели процессов емкостной искусственной коммутации УВК с пофазной групповой коммутацией 162
3.2.2. Анализ переходных электромагнитных процессов при переключении тиристоров УВК с групповой пофазной коммутацией 172
3.3. Выводы 184
4. Функциональное моделирование и проектирование вд с искусственной коммутацией 185
4.1. Уравнения ти-фазного ЭМП ВД в собственных осях обмоток 185
4.2. Имитационные математические модели электромагнитных процессов вентильных двигателей 188
4.3. Применение операторно-рекуррентного метода для моделирования ВД...193
4.4. Анализ электромагнитных процессов ВДПМ в dq-осях 203
4.5. Исследование электромагнитных и электромеханических процессов в магнитоэлектрическом вентильном двигателе с учетом влияния продольной реакции якоря и пульсаций частоты вращения 214
4.6. Особенности проектирования ВД с электромагнитным возбуждением 221
4.6.1. Основные положения 221
4.6.2. Выбор основных электромагнитных нагрузок и расчет обмоточных данных якоря 223
4.6.3. Некоторые особенности учета реакции якоря при проектировании ВД и
расчете обмоточных данных индуктора 225
4.6.4 Учет действия переменных составляющих реакции якоря 226
4.6.5. Расчет рабочих характеристик ВД с учетом насыщения магнитной системы по продольной и поперечной оси 229
4.6. Разработка алгоритма проектирования САПР ВДПМ 235
4.7. Анализ разработанных вариантов вентильных двигателей 243
4.8. Выводы 248
5. Динамические режимы работы вентильных двигателей с искусственной коммутацией 250
5.1. Исследование динамики ВД при значительных возмущениях 250
5.2. Исходная математическая модель ВД для структурного анализа 256
5.3. Учет процессов машинной коммутации при структурном анализе и их влияние на динамическую устойчивость ВД 262
5.4. Структурный анализ различных модификаций вентильных двигателей постоянного тока с искусственной коммутацией и электромагнитным возбуждением 268
5.5. Структурный анализ вентильных двигателей с постоянными магнитами .276
5.5.1. Передаточные функции вентильных двигателей с неявно выраженной полюсной зоной (НЯПЗ Lj ~ Lq) 276
5.5.2. Передаточные функции вентильных двигателей с явно выраженной полюсной зоной (ЯПЗ L^LJ) 280
5.6. Переходные характеристики вентильных двигателей 285
5.6.1. Переходные характеристики ВД с электромагнитным возбуждением 286
5.6.2, Переходные характеристики ВД с постоянными магнитами 293
5.7. Выводы 297
6. Математические модели вд с учетом дискретности изменения структуры УВК 299
6.1. Анализ электромагнитных и электромеханических процессов в вентильном двигателе с учетом дискретности изменения структуры УВК 300
6.1.1. Электромагнитные процессы и пульсации тока якоря 300
6.1.2. Электромеханические процессы, пульсации частоты вращения 308
6.2. Передаточные функции ВДПМ как элемента импульсной системы 324
6.3. Переходные характеристики вентильного двигателя с постоянными магнитами как импульсной системы 324
6.4. Особенности динамики малых отклонений ВД с электромагнитным возбуждением при учете дискретности изменения структуры управляемого вентильного коммутатора 330
6.6. Выводы 335
7. Регулирование частоты вращения вентильных двигателей 337
7.1. Особенности широтно-импульсного регулирования напряжения на обмотке якоря 337
7.2. Широтный способ регулирования частоты вращения вентильного двигателя 348
7.3. Особенности методики синтеза квазинепрерывной САУ частоты вращения электропривода с вентильным двигателем 355
7.4. Синтез квазинепрерывной САУ частоты вращения ВД, регулируемого по контуру якоря 361
7.4.1. Система регулирования с управлением в цепи тока на входе УВК вентильного двигателя 362
7.4.2. Система регулирования частоты вращения 365
7.5. Синтез САУ частоты вращения вентильного двигателя регулируемого по контуру возбуждения 366
7.5.1. Система регулирования с управлением в цепи тока возбуждения вентильного двигателя 368
7.5.2. Система регулирования частоты вращения при управлении потоком...370
7.6. Выводы 373
8. Схемы и конструкции вентильных двигателей с искусственной коммутацией 374
8.1. ВД с коммутаторами на неполностью управляемых вентилях 374
8.2. Вентильный двигатель для электропривода главного движения металлорежущих станков 382
8.3. Исследование рабочих характеристик ВД 383
8.4. Исследование механических и энергетических характеристик 389
8.5. Вентильные двигатели на полностью управляемых вентилях 392
8.5.1. Вентильные двигатели с постоянными магнитами для систем промышленной автоматики 392
8.5.2. ВДПМ с микропроцессорным управлением для систем электропривода специального назначения 403
8.6. Интегральные характеристики квазиустановившегося режима ВД 414
8.7. Выводы 420
Заключение 421
Библиографический список 444
Приложения 445
- Общие принципы управления и основные закономерности процессов электромеханического преобразования в ВД
- Физический аналог и математическая модель вентильного двигателя с учетом процессов коммутации
- Повышение коммутационной устойчивости УВК с групповой пофазной искусственной коммутацией
- Имитационные математические модели электромагнитных процессов вентильных двигателей
Введение к работе
Высокие требования, поставленные перед отечественным электромашиностроением на ближайшие годы, предопределяют, помимо совершенствования уже выпускаемых изделий, создание новых с более высокими качественными показателями.
Одним из возможных путей решения этой проблемы является разработка электромеханических преобразователей, обеспечивающих широкий диапазон частоты вращения, хорошие регулировочные свойства высокие энергетические показатели и надежность.
Традиционные коллекторные машины постоянного тока (МПТ), используемые в регулируемом электроприводе, достигли высокого технического уровня и поэтому обладают достаточно широкими возможностями. Они сохраняют ведущее положение в силу своей хорошей управляемости и простоты реализации замкнутых систем, обеспечивающих требуемые статические и динамические показатели регулирования частоты вращения. Однако дальнейшее улучшение их эксплуатационных характеристик сдерживается, прежде всего, наличием коллекторно-щеточного узла, его ограниченной коммутационной способностью.
Работа коллекторно-щеточного узла МПТ в области высоких частот вращения, больших токовых перегрузок, при значительной вариации параметров окружающей среды, а также на пульсирующем токе, в комплекте с управляемым вентильным преобразователем, сужает перспективы их дальнейшего использования и существенно снижает технические возможности электропривода.
Целый ряд исследований свидетельствует о том, что двигатели постоянного тока в настоящее время достигли своего предельных параметров. Для машин общепромышленного применения это связано с более интенсивным износом щеток и увеличенным значением реактивной ЭДС на высоких частотах вращения, а для специальных машин тяговых или автономных электроприводов - с ограничением осевой мощности, силы тяги, снижением весогабаритных показателей. Кроме того, в агрессивных средах, на химических производствах, в условиях пониженного давления (на высотах свыше 23000 м) и повышенной влажности-применение двигате 9 леи постоянного тока вообще исключено как по условиям безопасности, так и из-за нарушения условий формирования контакта под щеткой.
Поиск возможной замены коллекторным машинам обусловлен прогрессом полупроводниковой техники и созданием мощных управляемых вентилей, применение которых в качестве коммутируемых элементов позволяет значительно увеличить предельные мощности, диапазон и максимальную величину частоты вращения, повысить надежность и уменьшить эксплуатационные затраты электрооборудования.
Указанные проблемы успешно решаются путем создания машинно-вентильных систем, в которых полупроводниковый преобразователь-коммутатор является составной частью электрической машины. Синтез машины, преобразователя, системы управления в одном комплектном устройстве обеспечивает улучшение качественных показателей и расширение функциональных возможностей системы электропривода.
Использование новых материалов и технологий, замена дискретных полупроводниковых элементов бескорпусными, внедрение интегральных микросхем и микропроцессорных комплектов, разработка датчиков с улучшенными метрологическими характеристиками стимулирует развитие этого направления электромеханики.
Три последних десятилетия в России и за рубежом проводятся разработки вентильных двигателей (ВД) по системе "управляемый вентильный коммутатор (УВК) - электрическая машина с вращающимся полем, охваченная позиционной обратной связью с помощью датчиков положения ротора, фазы противо-э.д.с. или напряжения статора". Они показывают, что применение в такой системе синхронной машины, придает ей свойства и статические характеристики близкие к машине постоянного тока [1—4].
Широкими возможностями в этом плане обладают также бесконтактные вентильные двигатели постоянного тока, представляющие собой электромашинно-вентильный комплекс в который, как в единое устройство, интегрированы коммутатор на полностью управляемых вентилях, бесконтактный электромеханический преобразователь энергии, элементы управления и автоматического регулирования. В настоящее время такие вентильные двигатели успешно применяются в различных отраслях промышленности в основном для маломощных приводов систем автоматики, робототехники, электроэнергетических систем автономных объектов, электрооборудования транспортных средств, аудио- и видеотехники. Использование в качестве индукторов постоянных магнитов обеспечивает высокую надежность и быстродействие, малый уровень создаваемых помех, хорошее использование электротехнических материалов. К этому следует добавить улучшенные динамические свойства, высокую перегрузочную способность, рациональную компоновку.
Приоритетными тенденциями в этом направлении являются: объединение с электронными компонентами, информационно- управляющими системами, накопительными (буферными) устройствами; использование высококоэрцитивных постоянных магнитов (ПМ), внедрение безотходных технологий.
Отечественная промышленность уже освоила серийный выпуск вентильных двигателей с постоянными магнитами (ВДПМ) в диапазоне электрических микро-машин и машин малой мощности, где они успешно конкурируют с асинхронными частотно- управляемыми двигателями, сочетая регулировочные характеристики коллекторных двигателей постоянного тока с надежностью машин переменного тока. Что же касается вентильных двигателей большей мощности, то продолжается активный поиск их наиболее приемлемых вариантов и производится выпуск опытно-промышленных серий, как с использованием постоянных магнитов, так и с электромагнитным возбуждением.
В последние два десятилетия в ряде стран (Россия, Япония, ФРГ, США, Франция и др.) широко развернулись научно-исследовательские и проектно-конструкторские разработки в области вентильных двигателей для широко регулируемого электропривода.
В настоящее время в механизмах главного движения тяжелых металлорежущих станков в нашей стране и ведущих зарубежных фирм наряду с высокомоментными электродвигателями начинают использоваться электроприводы с ВД [5,6].
Вентильные двигатели имеют несколько конструктивных типов исполнения и могут изготавливаться с когтеобразными полюсами, (бесконтактные), с аксиально- и радиально намагниченными постоянными магнитами, с совмещенным возбудителем и вращающимся выпрямителем в роторе, с вращающимся индуктором и электромагнитным возбуждением, с вращающимся якорем, электромагнитным возбуждением, компенсационными и демпферными обмотками [7-9].
Столь существенное разнообразие конструкций ВД при отсутствии достаточно объективной и всесторонней оценки их свойств затрудняет решение вопроса об оптимальной конструкции перспективных серий отечественного производства. Среди зарубежных разработок в данной области известны серии вентильных двигателей Simotron (ФРГ) и МК Permotron (Япония), охватывающие диапазон мощностей до 200 кВт [10,11 - 13].
Разрабатываемые ВД имеют более высокую удельную материалоемкость при одинаковых с коллекторными двигателями высотах осей вращения и номинальных частотах вращения,
Разнообразие конструктивных исполнений обуславливает и разнообразие схем коммутаторов, которые могут строиться на принципах комбинированной (сетевой и машинной) и искусственной коммутации [14, 15].
На кафедре электромеханики СамГТУ с участием автора разрабатываются и исследуются вентильные двигатели различных модификаций. В результате этих исследований было выявлено, что наиболее оптимальной модификацией ВД для широкорегулируемого электропривода является электродвигатель на базе явнопо-люсной машины с электромагнитным возбуждением и вентильного коммутатора с искусственной коммутацией, управляемого электромагнитными, оптическими или холловскими датчиками положения ротора [16 - 20].
По сравнению с электроприводом на базе коллекторного двигателя постоянного тока и управляемого выпрямителя [21] у регулируемого электропривода с ВД существенно расширяется диапазон регулирования частоты вращения (до 200 по якорю и до 5...8 по полю) при сохранении показателей качества регулирования в статике, а также улучшаются технико-экономические показатели.
Создание широкорегулируемых вентильных двигателей позволяет значительно упростить кинематическую схему станков и снизить трудоемкость их изготовления из-за отсутствия коллекторно-щеточного узла.
В перспективе наблюдается сближение экономических показателей электропривода с коллекторными двигателями по системе "управляемый вентильный пре 12 образователь-двигатель" и электропривода с ВД. Объясняется это, прежде всего тем, что стоимость двигателя переменного тока вдвое меньше стоимости эквивалентного ему двигателя постоянного тока, за счет чего и компенсируется повышенная стоимость вентильного коммутатора, которая к тому же имеет тенденцию к снижению.
Что же касается электрооборудования систем производственной автоматики, бытовой техники и сельскохозяйственного производства, то на первый план выступают эксплуатационные показатели. В этом смысле вентильные двигатели оказываются конкурентно способными в таких областях как электропривод для швейных, раскроечных машин и оверлоков в легкой промышленности, дождевальных установок и машин для обработки почвы в аграрном секторе. Наиболее оптимальной модификацией ВД для этих целей является электродвигатель на базе магнитоэлектрической синхронной машины и вентильного коммутатора с искусственной коммутацией, управляемого оптическими или холловскими датчиками положения ротора [22-24].
Указанные существенные достоинства подтверждают перспективность использования вентильного двигателя постоянного тока в качестве исполнительного элемента различных по своему целевому назначению систем специального и автономного электропривода [25 - 27] и доказывают необходимость его дальнейшего всестороннего теоретического и экспериментального исследования.
Наряду с практическими вопросами создания ВД, остаются открытыми и многие теоретические положения. До сих пор не сформировались единые позиции, касающиеся вопросов исследования, расчета и проектирования ВД.
Объяснением этому может быть различный традиционно сложившийся теоретический подход к электрическим машинам. Исследователи исходят в основном из двух различных теоретических предпосылок, первая из которых рассматривает ВД как синхронную машину с самосинхронизацией, а вторая - как классическую машину постоянного тока. И хотя электромагнитные процессы в этих видах машин наиболее близки, их конструктивные различия обусловили и разные методологические концепции. Поскольку ВД сочетают в себе как особенности машин постоянного тока в отношении их рабочих характеристик, так и процессы преобразования энергии, которые могут рассматриваться с позиций теории синхронных машин, то это определило и различные методы исследования ВД. Однако до настоящего времени теория вентильного двигателя во всей совокупности его электромагнитных и электромеханических процессов еще далеко не разработана.
Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что в ВД протекают своеобразные электромагнитные процессы, присущие только этому виду машин. Многие из этих процессов еще требуют своего дальнейшего анализа и соответствующего объяснения с целью наиболее полного использования возможностей ВД. В основном к настоящему времени исследованы квазиустановившиеся режимы ВД и законы управления в статике. Нерешенными остаются проблемы коммутационной и динамической устойчивости, влияния электромагнитных процессов в коммутаторе на электромеханическое преобразование в машине. Недостаточно изучены переходные электромагнитные и электромеханические процессы ВД, что обусловлено широкой шкалой мощностей этих двигателей и, как указывалось ранее, различием подходов к их анализу.
Дискретный характер переключения и смены электромагнитных структур цепей обмоток и преобразователя ВД оказывает существенное воздействие на процессы его функционирования и управления, Скачкообразность изменения параметров ВД на границах интервалов постоянства этих структур и их изменение в пределах каждого интервала позволяют отнести ВД к весьма сложным импульсным системам с изменяемыми параметрами, как непрерывного звена так и импульсной части. Таким образом, особенности электромагнитных, а также электромеханических и информационных процессов в ВД, присущих этому типу электромашинно-вентильных систем, приводят к необходимости дальнейшего их теоретического анализа, создания наиболее адекватных этим процессам математических моделей, поиска методов и средств повышения качества электромеханического преобразования энергии и управления.
Замена обмотки возбуждения постоянными магнитами также вносит дополнительные особенности в процессы, происходящие в электромеханическом и вентильном преобразователях ВД. Это связано с тем, что м.д.с, развиваемая во внешней цепи и создаваемый таким индуктором магнитный поток изменяются с изменением магнитного потока реакции якоря. Значительное внутреннее магнитное сопротивление постоянного магнита заставляет большую часть потока реакции якоря замыкаться путям потоков рассеяния. Вследствие этого многие из процессов в ВД с постоянными магнитами (ВДПМ) требуют дополнительного анализа и адекватного математического описания с целью наиболее полного использования возможностей ВД.
Важной задачей, актуальность которой подтверждается решениями ряда международных конференций и совещаний по электрическим машинам и автоматизированному электроприводу, является изучение ВД как объекта регулирования и выяснение основных закономерностей управления им в статических и динамических режимах. При этом целесообразно электромашинно-вентильную система такого типа рассматривать и в установившихся, и в переходных режимах работы при любых способах коммутации и законах позиционного управления как машину постоянного тока. Это позволяет наилучшим образом и наиболее глубоко раскрыть свойства ВД как объекта системы электропривода, определить его статические характеристики, динамические параметры и особенности управления.
Учитывая изложенное, следует отметить, что исследование, разработка и проектирование ВД с искусственной коммутацией является актуальной научно-технической проблемой, решение которой будет способствовать новым возможностям совершенствования рассматриваемых электромашинно-вентильных комплексов, а также содействовать повышению эффективности и технического уровня электрооборудования на их основе.
В связи с этим в настоящей диссертации представлены результаты теоретического исследования, разработки, создания и использования в электроприводах функционально различного назначения вентильных двигателей с искусственной коммутацией силовых ключей преобразователя.
Данная работа является частью комплексных научных исследований кафедры "Электромеханика и нетрадиционная энергетика" СамГТУ по проблеме создания и исследования вентильных электродвигателей постоянного и переменного тока, проводимых по заказу предприятий различных отраслей промышленности и транспорта.
Работа выполнялась по важнейшей тематике МинВУЗа РФ по хоздоговорным темам «Разработка САПР и исследование широкорегулируемых машин постоянного тока с шихтованной станиной», № ГР 01826023158; «Разработка САПР и исследование процессов управления вентильных и коллекторных электродвигателей», № ГР 018800119S7; «Разработка вентильных электродвигателей для привода дождевальной установки», № ГР 01880011992 (приказ 394 от 17.09.81, координационные планы 1988 — 1991 г.г.), по госбюджету (программа «Надежность конструкций», приказ Госкомвуза № 107 от 20.04.92) и по договору о научно-техническом сотрудничестве с НТЦ ОАО АвтоВАЗ « Разработка комбинированных энергетических установок гибридных автотранспортных средств» (программа Минпромнауки 2003-2004 г.г. «Разработка автомобилей ВАЗ и силовых агрегатов со встроенными стартер-генераторами на напряжение 42В»).
Целью диссертационной работы является разработка научно - методических основ моделирования и проектирования вентильных двигателей с искусственной коммутацией, новыми электрическими схемами и способами управления коммутаторами в полной мере удовлетворяющих современным требованиям эксплуатации систем электропривода, а также решение комплекса вопросов по их практической реализации и внедрению.
На основе этого определяются следующие основные задачи, решаемые в диссертации:
1. Разработка на основе специальных координатных преобразований математических моделей для анализа квазиустановившихся и динамических режимов различных модификаций вентильных двигателей, отображающих такие важнейшие их свойства, как дискретность смены электромагнитных структур, малое число фазобмотки якоря, позиционный принцип управления коммутатором, закон изменения индукции в воздушном зазоре.
2. Анализ электромагнитных коммутационных процессов для определения характеристик и параметров вентильных двигателей, а также узлов искусственной коммутации, обеспечивающих устойчивую работу в статических и переходных ре жимах.
3. Создание программного комплекса для проектирования вентильных двигателей, позволяющего рассчитывать различные конструктивные исполнения при широком диапазоне мощностей, электромагнитных нагрузок, геометрических размеров и параметров индукторов, особенностей действия реакции якоря.
4. Разработка элементов оптимизации при проектировании вентильных двигателей для достижения совокупных критериев качества в статике и динамике.
5. Исследование свойств ВД как объектов управления, анализ их статической и коммутационной устойчивости в динамике малых отклонений, а также зависимости динамических показателей различных модификаций от параметров управления, предвключенных цепей, нагрузки и вида воздействия.
6. Анализ электромагнитных и электромеханических процессов вентильных двигателей в квазиустановившихся и динамических режимах с учетом дискретности работы управляемых коммутаторов, получение критериальных зависимостей и количественных оценок влияния дискретности на характер этих процессов.
7. Оценка импульсных способов регулирования частоты вращения, возможности использования ВД в замкнутой системе с широким регулированием частоты вращения, определение структуры и параметров регуляторов САУ электропривода сВД.
8. Разработка различных типоисполнений вентильных двигателей для конкретных систем широкорегулируемого электропривода в станкостроении, легкой промышленности, сельскохозяйственном производстве, промышленной автоматике, электрооборудовании автономных объектов и перспективных транспортных средств.
Решение поставленных задач осуществлялось с использованием следующих методов научных исследований.
При разработке математических моделей для анализа электромагнитных процессов, способов управления частотой вращения применялись методы теории неголономных систем, координатных преобразований к колеблющимся осям, электрических цепей с переменными параметрами и векторно-матричные преобразования.
Функциональное проектирование вентильных двигателей проводилось с использованием координатных преобразований в сочетании с представлением электромагнитных переменных как функций дискретного аргумента и имитационного моделирования на основе алгебры логики и топологического анализа цепей. Для решения уравнений математической модели применялось Z-преобразование, а за 17 тем осуществлялся переход к оригиналам с помощью условно-разностных соотношений операторно-рекуррентного метода.
Анализ коммутационных процессов и выбор параметров узлов искусственной коммутации осуществлялся с применением операторных методов.
При создании алгоритмов проектирования использовались процедуры поверочных расчетов статического синтеза, а также систематический просмотр многомерных областей с привлечением аппарата ЛП- т последовательностей и методы многокритериальной оптимизации.
При структурном анализе различных типов вентильных двигателей и получении выражений передаточных функций применялись векторно-матричные методы и основные положения теории автоматического управления и квазинепрерывных систем. Воздействие дискретности и коммутационных процессов на поведение вентильного двигателя как объекта управления оценивалось путем применения модифицированного Z-преобразования Лапласа
Определение влияния дискретности работы коммутатора, коммутационных интервалов, изменения электромагнитных структур при широтном и широтно-импульсном регулировании фазных напряжений осуществлялось с использованием дискретного преобразования Лапласа и аналогов преобразования Римана-Меллина для дискретных систем.
Динамический синтез САУ электропривода с вентильным двигателем проводился с привлечением теории систем подчиненного регулирования.
Экспериментальная проверка результатов теоретических исследований и разработок выполнялась с использованием методов идентификации и сопоставительного анализа.
Научная новизна работы представлена теоретическими и экспериментальными исследованиями, основное содержание которых может быть обобщено в следующих рассмотренных и решенных задачах:
1. Предложены координатные преобразования к дискретно-ориентированным осям и на их основе метод исследования электромагнитных процессов в вентильных двигателях с искусственной коммутацией, позволяющий получить решение системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в замкнутом аналитическом виде и определить достаточно полный спектр токов, а также уточненные интегральные характеристики установившегося режима.
2. Разработаны методы анализа электромагнитных процессов с учетом особенностей формирования контуров машинной и искусственной коммутации, позволяющие определить основные показатели и характеристики этих процессов, а также параметры узлов коммутации и защитных элементов для обеспечения высо кого уровня коммутационной устойчивости.
3. На основе использования аппарата коммутационных функций, дискретного преобразования Лапласа и условно разностных соотношений операторно рекуррентного подхода сформированы имитационные логико-топологические и функциональные математические модели, учитывающие дискретный характер смены структур на коммутационном и внекоммутационном интервале, а также конструктивные особенности различных модификаций вентильных двигателей и ориентированные на решение задач рационального геометрического проектирования и параметрической оптимизации.
4. Составлены расчетные модели ВД с электромагнитным и магнитоэлектрическим возбуждением на основе теории машин постоянного тока при учете особенностей вентильной коммутации, малого числа фаз якорной обмотки, специфического механизма действия реакции якоря, позиционно-зависимого алгоритма управления коммутатором, добавочных потерь.
5. Предложены процедуры и разработаны алгоритмы проектирования вентильных двигателей, основанные на сочетании поверочного и оптимизационного расчетов, а также систематическом просмотре многомерных областей в сочетании с применением ЛП-т последовательностей. Разработаны подходы к достижению оптимума по различным критериям, либо по их совокупности, как в процессе проектирования, так и при изготовлении ВД.
6. Получены передаточные функции, структурные схемы и исследованы динамические характеристики вентильных двигателей как объектов управления на основе метода полезных составляющих параметров и с учетом дискретности работы коммутатора, влияния коммутационных процессов на основе представления ВД импульсной системой с периодически скачкообразно изменяющимися параметрами и непрерывной частью.
7. Представлены с использованием D-преобразования математические модели вентильных двигателей для анализа функционирования и управления с учетом дискретности в квазиустановившихся режимах работы, позволяющие оценить влияние пульсаций тока якоря и момента на его работу.
8. Разработан метод расчета размагничивающего действия переменных составляющих реакции якоря и установлены закономерности управления углом опережения включения вентилей. Исследована работа ВД при широтно-импульсном, широтном регулировании и рассмотрено влияние составляющих момента низких комбинационных частот на статическую устойчивость, а также показаны особенности структур регуляторов САУ электропривода с ВД.
Полученные в работе математические модели и структурные схемы обладают достаточной общностью и могут быть использованы для исследования и проектирования различных модификаций ВД с искусственной коммутацией, а также динамического синтеза САУ на их основе и построения схем регуляторов.
Практическая ценность работы определяется тем, что:
1. Выработаны рекомендации по улучшению эксплуатационных характеристик и показателей ВД, разработаны методы, алгоритмы и программы его расчета, которые позволяют проанализировать электромагнитные и электромеханические установившиеся и переходные процессы при различных параметрах электромеханического и вентильного преобразователей.
2. Обоснованы рациональные конструкции электромеханических преобразователей ВД, предложена инженерная методика проектирования, учитывающая процессы вентильной коммутации и особенности энергопреобразования, которая дала возможность провести расчеты различных модификаций и типоразмеров .
3. Создан программный комплекс для проектирования ВД с изменяемой методикой расчета и многокритериальной оптимизацией, позволяющий получать проектные решения при учете, как внутренних ограничений, так и ограничений, заданных конкретным типом производственного механизма или технологического процесса.
4. Показаны особенности расчета одноконтурных САУ с вентильным двигателем и двухконтурных САУ при управлении по контуру якоря и возбуждения для широкорегулируемого электропривода.
Общие принципы управления и основные закономерности процессов электромеханического преобразования в ВД
За сравнительно небольшой срок со времени появления первых промышленных образцов на тиристорах и транзисторах, разработаны различные методы реализации позиционно-зависимого управления и способы коммутации вентильных двигателей. В связи с этим наметились две основные тенденции рассматриваемой области электромеханики. С одной стороны, это разработка схем и конструкций вентильных двигателей на базе современной силовой полупроводниковой техники и интегральной электроники, с другой - углубленное теоретическое исследование таких машин. Обе эти тенденции тесно взаимосвязаны и обусловлены рядом проблем по созданию экономичного и высоконадежного бесколлекторного электропривода постоянного тока. Среди них следует отметить проблемы коммутационной и динамической устойчивости, воздействия позиционной обратной связи на комплекс электромагнитных и электромеханических процессов в ВД. Все перечисленное требует выработки единого подхода к анализу ВД как электромеханического преобразователя энергии и как объекта управления.
Выявление характерных особенностей данного класса электромашинно-вентильных систем безотносительно к конкретным вариантам схем и областям применения позволит установить наиболее общие свойства и разработать такой подход. Это, в свою очередь, даст возможность проанализировать наиболее сложные переходные процессы, а также определить динамические параметры и структуру исследуемого объекта.
Электромагнитное взаимодействие между индуктором и обмоткой якоря ВД, обтекаемой несинусоидальным током, вносит существенную специфику в процесс энергопреобразования. Особенности ВД могут быть охарактеризованы путем сравнения его с другими типами вращающихся электромеханических преобразователей.
Ближайшими аналогами ВД с точки зрения ориентации в пространстве магнитных потоков якоря и индуктора, являются синхронный двигатель и коллекторный двигатель постоянного тока. Если у двигателя постоянного тока оба этих потока неподвижны в пространстве, а у синхронного двигателя вращаются с сии хронной скоростью, то у вентильного двигателя их угловая скорость равна частоте вращения ротора.
Отличительные особенности ВД обусловлены не только характером энергопреобразования в синхронной машине и коммутаторе, но и принципом осуществления позиционной обратной связи [54,68]. В соответствии с этим признаком можно выделить три основных принципа позиционного управления в ВД. К первому относится управление по положению ротора, основного потока или фазе противо-э.д.с. холостого хода. Для этого случая при многофазной якорной обмотке наблюдается полная аналогия принципов осуществления позиционной обратной связи в коллекторной и бесколлекторной машине постоянного тока. При таком позиционном управлении ВД управляющие импульсы на вентили УВК подаются с датчиков положения ротора (ДПР), а их угловое смещение /? постоянно вне зависимости от нагрузки. В случае управления по положению результирующего потока или по фазе противо-э.д.с, при нагрузке угловое смещение отпирающих импульсов с датчиков магнитного потока постоянно относительно оси результирующего потока. Если при управлении по положению ротора угол опережения включения аналогичен углу смещения щеток с геометрической нейтрали, то при управлении по положению результирующего потока этот угол отсчитывается от физической нейтрали поля. Во втором случае вентильный двигатель может быть эквивалентен коллекторному двигателю, у которого щеточная траверза непрерывно смещается с ростом тока нагрузки, следуя за осью потока реакции якоря.
Управление по фазе напряжения якоря означает, что угловое смещение отпирающих импульсов на вентилях УВК неизменно относительно точек пересечения кривых напряжения коммутирующих фаз якорной обмотки ВД.
Наиболее предпочтительно с точки зрения энергетических характеристик управление по фазе противо-э.д.с, поскольку обеспечивается режим синхронной машины ВД с нулевым сдвигом фаз напряжения и тока, а вращающий момент и противо-э.д.с. максимальны.
Однако, несмотря на лучшее использование электромеханического преобразователя статическая устойчивость ВД значительно ниже, а наибольшая мощность существенно меньше, чем при управлении по положению ротора также как и в ма шинах постоянного тока с явно выраженным размагничивающим действием потока реакции якоря [54].
Другая особенность энергопреобразования в ВД связана с процессом регулирования возбуждения. Регулирование возбуждения в электромеханическом преобразователе ВД, управляемом по положению ротора, также как в коллекторной машине, приводит к изменению результирующего потока, тока якоря и частоты вращения. В синхронной машине - к изменению по фазе и величине м.д.с. якоря и коэффициента мощности при Fp=const В вентильном двигателе, управляемом по фазе противо-э.д.с. или по фазе напряжения, при регулировании возбуждения наблюдается изменение фазы, величины Fp и частоты вращения. Кроме того, основная отличительная особенность всех типов ВД по сравнению с синхронной машиной заключается в том, что добиться генерации реактивной мощности можно, регулируя угол fi в сторону опережения. Таким образом, наряду со способностью генерировать при некоторых условиях емкостный ток коммутации вентильный двигатель приобретает свойства коллекторного в отношении регулирования частоты вращения. Это объясняется тем, что в отличие от синхронного двигателя, в вентильном двигателе противо-э.д.с. и вращающий момент создается только составляющей потока, нормальной к поперечной оси ВД [68].
В целом, электромеханическое преобразование энергии в ВД имеет особенности характерные, как для коллекторной машины постоянного тока, так и для синхронной машины [59, 60,102].
С точки зрения позиционной связи вентильный двигатель приближается к коллекторному двигателю, поэтому для построения математической модели целесообразно использовать координатные преобразования и структурные методы анализа машин постоянного тока.
Вместе с тем при математическом описании следует учитывать специфику электромагнитного процесса. Она вызвана малым числом фаз якорной обмотки. В многофазной коллекторной машине вектор м.д.с. якоря остается неподвижным в течение периода частоты вращения. В вентильном двигателе с малым числом фаз якорной обмотки вектор м.д.с. якоря совершает колебания в пространстве относительно м.д.с. полюсов. Частота этих колебаний определяется числом фаз якорной обмотки и схемой коммутатора [59,64, 103]. Обусловлен такой процесс дискретным характером переключения фаз из одной вентильной ветви УВК в другую в соответствии с положением ротора, результирующего потока или фазы противо-э.дх.
Физический аналог и математическая модель вентильного двигателя с учетом процессов коммутации
Независимо от числа фаз и времени их включенного состояния работа ВД характеризуется двумя периодически повторяющимися интервалами различными по характеру протекающих в электрической машине электромагнитных процессов. Один из этих интервалов - межкоммутационный (рабочий) - является достаточно длительным. Он определяет в основном процесс электромеханического преобразования энергии. Сам процесс преобразования обусловлен изменением параметров электрической машины, а это изменение, в свою очередь, влияет на характер протекающих по обмоткам токов.
Другой интервал коммутационный характеризуется процессами нарастания и спадания токов в фазах, входящих и выходящих из работы. При этом изменяется структура электрической цепи ВД.
Включение якорных обмоток к источнику питания обеспечивается с помощью силовых вентилей коммутатора, сигналы на которые через систему управления подаются от датчиков положения ротора (ДПР). Благодаря тому, что система управления позволяет регулировать момент включения силовых вентилей, можно изменять взаимное положение работающих обмоток якоря относительно обмотки возбуждения и обеспечить, таким образом, управление ВД по углу опережения включения вентилей Д).
На рис. 1.5. (гл.1) были представлены электрические схемы ВД с искусственной коммутацией и m-фазной обмоткой якоря.
Рассмотрим работу такого ВД, имеющего 2я/т-й закон позиционного управления, то есть время включенного состояния секции, соответствующее углу 27tjm. Если угол ДрО, то в середине интервала повторяемости 1-я и N-я секции (фазы) обмотки якоря, подключенные к источнику питания, на межкоммутационном интервале сдвинуты от поперечной оси q на угол л/2т.
Будем считать, что при более раннем включении вентилей угол / отрицателен (опережающая коммутация), а при более позднем включении угол Д положителен (запаздывающая коммутация). Такое обозначение знака угла Д принято в соответствии с направлением вращения двигателя. Так, при Д 0 оси обмоток якоря, находящихся в работе, сдвигаются против направления вращения. Если Д 0, то этот сдвиг совпадает с направлением вращения. Интервал повторяемости соответствует величине літ, в течение которого имеет место как межкоммутационный интервал, когда в работе участвуют фазы 1 и N, так и коммутационный, когда при включении фазы N фаза N+\ еще не вышла из работы. Если заменить фазные обмотки якоря, участвующие в работе, одной обмоткой (рис.2.1), то вентильный двигатель может быть представлен, как коллекторный, у которого щетки сдвинуты с нейтрали на угол Д. При этом вектор М.Д.С. Fo перемещается угол я/m по направлению вращения с частотой а и возвращается в исходное состояние за время, определяемое коммутационным интервалом у. Таким образом, изменение взаимного расположения потоков якоря и возбуждения приводит к тому, что параметры БД являются периодическими
Вентильным двигателям присущи характерные особенности, связанные со способностью синхронной машины и при позиционном управлении генерировать реактивную мощность. При выводе уравнений вентильной машины предполагалось, что рабочий интервал In тпр неизмеримо больше интервала коммутации у — cnTQ. Это дало возможность пренебречь процессами коммутации.
Однако в ряде случаев для ВД с искусственной и всегда для ВД естественной машиной коммутацией временем существования коммутационного контура пренебрегать нельзя, поскольку рабочий (межкоммугационный) и коммутационный интервалы соизмеримы. При работе вентильной машины с искусственной или естественной коммутацией за счет противо-э.д.с. в контуре коммутирующих фаз появляется ряд новых факторов, не учитываемых уравнениями (2.14). На коммутационном интервале у = а Т ротор поворачивается на угол, соответствующий одновременной работе нескольких коммутирующих фаз обмотки (рис.2.2). В конце этого интервала структура ВД вновь соответствует рабочему процессу, то есть она воспроизводится в начале каждого нового интервала постоянства ВД.
В том случае, если ось токосъема в течение интервала коммутации у оставалась бы фиксированной, уравнение вида (2.5) удовлетворялось бы при В выражении (2.18) аргумент A p определяется параметрами режима коммутации и может быть найден, исходя из принципа непрерывности потокосцеплении в коммутационном процессе. Переходя к анализу электромагнитного процесса в контуре коммутации, положим у/ =у/ причем потокосцеплениеЛГ-ой фазы ff = VAT+MV/+ 1T+ AW+IW+F а потокосцепдение (№-1)-ой фазы, вступающей в коммутацию
Повышение коммутационной устойчивости УВК с групповой пофазной искусственной коммутацией
В процессе испытаний опытных образцов ВД мощностью 30 и 45 кВт было замечено, что при напряжении Ua порядка 300-340 В УВК устойчиво работает без срывов даже при нагрузке в полтора раза превышающую номинальную. Однако, при более высоком напряжении (до 500 В) происходит самопроизвольное включение коммутирующих тиристоров, которое приводит к коротким замыканиям в УВК и отключению всей установки. Величина нагрузки при этом не превышает 5-10%, то есть ВД не развивает той мощности, которая возможна при работе на более низком напряжении. Кроме того, было отмечено, что наиболее часто срыв происходит тогда, когда ВД работает с текущими углами опережения Д близкими к нулю. При углах Д отличающихся от нуля на 7... 10 эл.град и более работа ВД протекает нормально.
Анализ коммутационных процессов в УВК [106,252] показал, что самопроизвольное включение тиристоров происходит из-за очень высокой величины dUldt, которая прикладывается к коммутирующим тиристорам при включении других вентилей преобразователя.
Рекомендуемая в литературе [218] установка защитных DRC — цепочек ограничивает скорость нарастания напряжения на тиристоре. Однако, величина dUldt в значительной мере определяется внутренним сопротивлением источника питания, и, если источник достаточно мощный, установка защитных цепочек без дополнительных мер оказывается неэффективной.
В связи с этим появилась необходимость в проведении исследований процессов переключения тиристоров УВК, анализа переходных процессов при переключениях и выработке рекомендаций для снижения скорости нарастания напряжения на тиристоре.
Рассмотрим работу одной фазы преобразователя (рис.3.7), а также процессы нарастания токов и напряжений на коммутирующих тиристорах, например, на тиристоре VS\.
Внутреннее сопротивление источника учитывается активным сопротивлением Го. Из осциллограмм, представленных на рис. 1.76 (гл. 1) можно видеть, что нарастание напряжения на VSX1 происходит в момент включения тиристора VS4f. До включения VS4! тиристор VSX1 выключен и напряжение на нем равно нулю,
Переходный процесс при включении VSA1 можно проанализировать на основе эквивалентной схемы (рис.3.76) для цепи: источник питания с внутренним сопротивлением г0 - конденсатор С — ключ К. Считается, что диод VD, шунтирую ]63 щий сопротивление R (рис.ЗЛа) достаточно быстро переходит в открытое состояние, а падением напряжения на нем можно пренебречь.
Скорость нарастания напряжения на VSlf определяется изменением напряжения на конденсаторе и дифференциальное уравнение, соответствующее переходному процессу имеет вид: Решение этого уравнения позволяет определить как величину напряжения на тиристоре VS\ , так и скорость нарастания напряжения на нем, которые находятся по выражениям:
Расчеты по формуле (3.9) показывают, что только при достаточно большом внутреннем сопротивлении источника (г0 0.5 Ом) и емкости более 2 мкФ возможна нормальная работа коммутирующих тиристоров VSl и VSA . Но и в этом случае при Ua = 400...520 В величина dUidt достигает 450...500 В/мкв, что требует использования тиристоров 5,6 группы по скорости нарастания напряжения [152]. Если же при этом учесть, что двигатели мощностью более 1 кВт не могут питаться от источника со столь высоким внутренним сопротивлением (из-за мягкой внешней характеристики источника), то схема на рис.3.7 оказывается мало пригодной для использования.
В принятой в работе схеме УВК последовательно с нагрузкой включены выключении силового тиристора. Кроме того, эти дроссели ограничивают dUldt, что также необходимо для нормальной работы УВК. Рассмотрим переходный процесс на коммутирующем тиристоре VS\ при наличии указанных дросселей. Осциллограммы электромагнитных коммутационных процессов приведены на рис. 3.8...3.17. Они подтверждают положения, изложенные в главе 1 (п. 1.3) и иллюстрируют работу УВК макетного образца ВД с групповой пофазной коммутацией и коммутирующими дросселями.
Принципиальная и эквивалентная схема для контура с защитной DRC цепочкой и коммутирующими дросселями в силовой цепи представлена на рис.3 Л 8. Поскольку тиристор VS\! включается практически мгновенно и падение напряжения на нем принято равным нулю, то контур коммутации Ск и Хк при анализе не учитывается. где i(0) - величина тока нагрузки iai протекающего через L&. Поскольку в преобразователях (УВК) индуктивности дросселей LK\ иІ,дв анодных и като ных группах обычно одинаковы, то выражение (3.14) можно пере писать как: /с = иа casin т + 0,5/(o)cos ш = i e + Гс. (3.14а) Изменение этого тока во времени показано на рис.3.19. Появившаяся в выражении для тока косинусная составляющая і е указывает на резкий скачок тока через индуктивность LKl и конденсатор С. Изменение тока от нуля до 0.51(0) протекает достаточно быстро (в течение микросекунд), вследствие чего величина dUldt на этом интервале достаточно велика и может привести к самопроизвольному включению тиристора VS\ . Для уменьшения скачка тока череземкость С следует уменьшить соотношение LialL, ЧТО И может быть выполнено установкой всей коммутирующей индуктивности LK непосредственно в цепи тиристоров VS\! и VSA1 (рис.3.20). Рассмотрим переходные процессы в этой схеме при включении тиристора VS\ Эквивалентная схема замещения (рис.3.206) включает в себя два контура, поскольку коммутирующий конденсатор Ск шунтируется ключом К через индуктивность L;fK и не может быть исключен из рассмотрения.
Имитационные математические модели электромагнитных процессов вентильных двигателей
При — - коммутации питающего напряжения период работы инвертора можно разбить на число интервалов 2т, определяемых состоянием проводимости управляемых вентилей, а каждый интервал еще на два подинтервала, обусловленных состоянием проводимости обратного диода, зависящего от направления тока коммутирующей фазы. На рис. 4,1 представлены схемы, соответствующие различным состояниям ключевых элементов [225]. Из этих состояний можно выделить для разомкнутой обмотки якоря три структуры: одна, когда к источнику подключены две фазы и еще две, когда подключены три фазы в различной комбинации. Для замкнутой обмотки якоря выделяются четыре структуры (рис. 4.2). Интервалы для каждой из этих структур:
Для каждой из структур составлены с использованием аппарата переключающих функций коэффициенты, описывающие топологию схем и коэффициенты, связывающие эти схемы с источником питания, выражения для которых имеют вид
В математической модели в фазных координатах число уравнений для т - фазной обмотки якоря равно т . При переходе к системе контурных токов (рис. 4.1,4.2) число неизвестных и уравнений модели можно существенно уменьшить. Например, для разомкнутой (лучевой) схемы обмотки якоря на коммутационном интервале получаем два дифференциальных и шесть алгебраических уравнений.
Уравнения токов в фазах через контурные токи, составленные по первому закону Кирхгофа для разомкнутой схемы обмотки якоря:
Поскольку, ВД относится к электромашинно-вентильным системам с переменной структурой, то наиболее простой для анализа является ситуация периодического изменения состояния ключей. Для рассматриваемого класса объектов вне зависимости от того, каким образом изменяется их структура перспективен оператор но-рекуррентный метод, рассмотренный в работе [229],. Он дает возможность уточненного анализа процессов, математически описанных разностными уравнениями с переменными коэффициентами.
Дискретная система с переменными параметрами рассматривается в области Z-изображений как система с постоянными значениями коэффициентов и лишь после перехода к оригиналу в форме рекуррентного уравнения учитываются изменения коэффициентов. При этом не имеет значения, под действием какого фактора происходят эти изменения (например, в функции независимого сигнала или в функции какой-либо из текущих фазовых координат системы).
Операторно-рекуррентный метод позволяет эффективно применить z-преобразование для расчета процессов во всех без ограничения дискретных и квазидискретных системах [171]. В основе метода лежат два весьма актуальных для данного конкретного применения основных положения: - нелинейная динамическая система приводится к линейной структуре с переменными параметрами и в предположении постоянства этих параметров описывается в области изображений по Лапласу и z-изображений; - от найденного z-изображения необходимо перейти к временным функциям с помощью условного разностного уравнения, используя его как рекуррентную формулу для последовательных вычислений тактовых значений оригинала с учетом реальных зависимостей переменных параметров от времени или от текущих координат самой системы
Метод использует обычный переход к квазидискретным структурам и является приближенным: его точность зависит от выбранного значения условного интервала дискретности.
Он дает близкие по точности к аналитическим методам результаты для всех линейных дискретных цепей и систем с постоянными параметрами, а также для широкого класса дискретных структур с переменными параметрами и нелинейных дискретных структур, описание которых сводится к разностным уравнениям с переменными коэффициентами. При этом рекуррентная процедура проводится по явному вычислительному алгоритму, но обладает абсолютной устойчивостью, свойственной неявным методам, и оказывается существенно менее трудоемкой, чем эквивалентные по точности стандартные методы численного интегрирования.
Преимущества операторно-рекуррентного (OP) метода: 1. Метод является «саморазгоняющимся». Расчет начальных тактовых значений производится по этим же алгоритмам. 2. Осуществляется расчет тактовых значений самой искомой функции, но не ее производных, что существенно уменьшает трудоемкость вычислительной процедуры. 3. Определение очередного тактового значения производится в один прием, что по сравнению с другими методами прогноза-коррекции дополнительно снижает вычислительные затраты. 4. Метод не требует сведения правой части к некоторой заданной функции, а позволяет получить, в которое входят тактовые значения управляющего сигнала. При этом управляющий сигнал может быть задан как в аналитической, так и в дискретной (табличной) форме.
В отношении точности и устойчивости ОР-метод эквивалентен неявному методу трапеций. Вычислительные затраты ОР-метода могут быть сопоставлены с вычислительными затратами эквивалентного ему по точности стандартного метода Рунге-Кутта второго порядка, Эйлера-Коши (прогноз по Эйлеру и корректировка по формуле трапеций). Применяя к операторно-рекуррентному методу экстраполяцию Ричардсона, можно получить точность, соответствующую методу Рунге-Кутта четвертого порядка, что позволяет увеличить интервал дискретности при достижении той же заданной точности и еще больше снизить вычислительные затраты операторно-рекуррентного метода. При этом сохраняется его абсолютная устойчивость. Для рассматриваемой задачи граничные условия необходимые для уточнения угла коммутации запишем в виде:
Угол коммутации корректируем по результатам расчета, приравнивая к нулю следующее выражение Лі = /пнт (— ) - /к(0+0). Применяя операторно-рекуррентный метод, имеем на коммутационном интервале Определим коэффициенты, входящие в определители. Пусть Щ- матрицы индуктивностей размера т х т и ІІ - сумма элементов матрицы \Ц, нахо У jk дящихся на пересечении и і"А го столбца, Д-ой строки, тогда компоненты минора в