Содержание к диссертации
Введение
1. Исходные теоретические положения...14
1.1. Векторно-матричные уравнения электромагнитных контуров обобщенной электрической машины...14
1.2. Пространственный результирующий вектор плоской трехфазной линейнонезависимой системы сигналов...20
1.3. Трехмерная модель обобщенной электрической машины...28
1.4. Уравнение баланса мощностей. Формулы электромагнитного момента. Уравнение движения ...33
1.5. Математическая модель асинхронной машины...
1.5.1. Векторно-матричные уравнения асинхронной машины с короткозамкнутым ротором...37
1.5.2. Относительные единицы...39
1.5.3. Переход к комплексным переменным 40
1.5.4. Вращающаяся система координат...41
Выводы по разделу 1 45
2. Математические модели асинхронной машины в полярных координатах при постоянных параметрах 47
2.1. Уравнения и структурные схемы асинхронной машины в полярных координатах для различных сочетаний векторных переменных...47
2.2. Уравнения и структурные схемы асинхронной машины инвариантные к скорости вращения системы координат ...62
2.3. Некоторые результаты моделирования. Их оценка 70
Выводы по разделу 2 90
3. Уточненные математические модели асинхронной машины в полярных координатах .92
3.1. Уравнения и структурные схемы асинхронной машины с учетом насыщения главной магнитной цепи 92
3.1.1. Предварительные замечания 92
3.1.2. Математическая модель асинхронной машины в полярных координатах, учитывающая насыщение главной магнитной цепи для полных уравнений 95
3.1.3. Математическая модель в переменных \ps - грг в полярных координатах 98
3.1.4. Математическая модель в переменных is - грг в полярных координатах 101
3.2. Уравнения и структурные схемы асинхронной машины в
полярных координатах с учетом эффекта вытеснения тока ротора 108
3.2.1. Исходные определения и основные формулы 108
3.2.2. Уравнения и структурные схемы 111
3.3. Некоторые результаты моделирования 120
Выводы по разделу 3 128
4. Пример применения математических моделей асинхронной машины в полярных координатах для анализа режимов работы одного класса турбомеханизмов 129
4.1. Предварительные замечания. Цель исследования. Функциональная схема объекта исследования 129
4.2. Структурная схема турбомагистрали 133
4.3. Выбор математической модели асинхронной машины 135
4.4. Математические модели устройств плавного пуска 135
4.5. Математическая модель электрической сети ограниченной мощности 148
4.6. Полные математические модели объекта исследования.
Некоторые результаты моделирования 152
Выводы по разделу 4 169
Заключение 172
Список использованных источников
- Уравнение баланса мощностей. Формулы электромагнитного момента. Уравнение движения
- Уравнения и структурные схемы асинхронной машины инвариантные к скорости вращения системы координат
- Математическая модель асинхронной машины в полярных координатах, учитывающая насыщение главной магнитной цепи для полных уравнений
- Математические модели устройств плавного пуска
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Электроприводы на основе трехфазных асинхронных электрических машин занимают доминирующее положение во всех отраслях производственной деятельности.
В связи с созданием и серийным производством высокоэффективных систем формирования электромагнитного момента и скорости вращения вала асинхронной машины, высокими технико-экономическими, энергетическими, эксплуатационными характеристиками асинхронных электрических машин и систем электроприводов на их основе, происходит внедрение управляемого асинхронного электропривода даже там, где традиционно применялся нерегулируемый или параметрически регулируемый привод. Это позволяет поднять ряд технологических процессов на качественно другой уровень.
Таким образом, трехфазная асинхронная электрическая машина становится основным типом электромеханического преобразователя энергии, а управляемые электроприводы на ее основе – основным типом промышленного привода.
Большой вклад в решение этой важнейшей научно-технической задачи внесли М. М. Ботвинник, И. Я. Браславский, А. А. Булгаков, А. М. Вейнгер, Д. А. Завалишин, Н. Ф. Ильинский, В. И. Ключев, М. П. Костенко, В. В. Рудаков, Ю. А. Сарбатов, О. В. Слежановский, Б. П. Соустин, И. М. Чиженко, Р. Т. Шрейнер, В. А. Шубенко, И. И. Эпштейн, F. Blaschke, W. Floter, H. Ripperger и многие другие отечественные и зарубежные учёные.
В основе построения современных систем управления асинхронными электроприводами лежат математические модели асинхронной машины, характеризующие её как элемент системы электропривода, в которых, как правило, трехфазные переменные представлены декартовыми координатами результирующих векторов. Такие математические модели достаточно полно описаны в трудах Р. Парка, Г. Крона, Е. Я. Казовского, В. А. Шубенко, А. А. Янко-Триницкого, К. П. Ковача, И. Раца, Р. Т. Шрейнера, А. М. Вейнгера и многих других. Их свойства глубоко исследованы, и они нашли весьма широкое применение в практике создания автоматизированных асинхронных электроприводов.
Но декартовы координаты – это не единственно возможная форма представления результирующих векторов. Как известно, вектор в трехмерном пространстве можно характеризовать, например, цилиндрическими координатами, а вектор на плоскости – полярными, которые, как и декартовы, хорошо вписываются в геометрию электрической машины.
Математические модели асинхронной машины с использованием в качестве переменных состояния цилиндрических и полярных координат результирующих векторов мало освещены в литературе, и недостаточно изучены. В то же время, например, в работах Шрейнера Р.Т., Полякова В.Н., Федоренко А.А., Panasjuka A.I. и т.д. есть примеры весьма успешного применения фрагментов
таких моделей для исследования процессов и построения систем управления асинхронными электроприводами.
Математические модели в полярных координатах не только расширяют возможность исследования, но и обеспечивают возможность создания новых структур систем автоматического управления асинхронными электроприводами.
Таким образом, существует научно-техническая задача, лежащая в области развития общей теории электротехнических комплексов и систем, изучения системных свойств и связей, физического, математического, имитационного и компьютерного моделирования компонентов электротехнических комплексов и систем, которая может быть сформулирована как разработка, исследование и применение математических моделей асинхронной машины в полярных координатах, как компонента электропривода.
Объектом исследования является трехфазная асинхронная электрическая машина как компонент электропривода. Предмет исследования – комплекс математических моделей асинхронной машины, как компоненты электропривода, в полярных координатах.
Цель работы. Целью работы является разработка, исследование свойств и иллюстрация эффективности применения в научной и инженерной практике математических моделей асинхронной машины, как компонента электропривода, использующих в качестве переменных состояния полярные координаты результирующих векторов трехфазной системы сигналов.
Идея работы заключается в использовании в качестве переменных состояния полярных, а в случае линейнонезависимых трёхфазных сигналов цилиндрических координат векторных переменных при математическом описании процессов в трехфазной асинхронной машине как компоненте электропривода.
Задачи работы. Цель исследования предопределяет решение следующих задач:
-
Ввести и обосновать понятие пространственного результирующего вектора плоской трехфазной линейно независимой системы сигналов.
-
Разработать и исследовать комплекс математических моделей асинхронной машины с использованием в качестве переменных состояния полярных и цилиндрических координат векторных переменных.
-
Разработать и исследовать набор математических моделей асинхронной машины инвариантных к скорости вращения системы координат.
-
На основе полученных моделей разработать и исследовать математические модели систем прямого и плавного пуска асинхронных двигателей насосов насосных станций от источника соизмеримой мощности.
Научную новизну работы составляет развитие общей теории электротехнических комплексов и систем, заключающееся в разработке, исследовании свойств и иллюстрации эффективности применения математических моделей асинхронной машины, как компонента электропривода, в полярных и цилиндрических координатах, в частности:
– впервые введено и обосновано понятие результирующего пространственного вектора для трехфазной плоской линейнонезависимой системы сигналов, что позволило развить понятие обобщенной электрической машины, дополнив её перпендикулярными к плоскости поперечного сечения магнитонес-вязанными обмотками на статоре и роторе;
– разработаны и исследованы математические модели асинхронной машины, в которых векторные переменные состояния представлены их полярными, а в случае линейнонезависимых трёхфазных сигналов цилиндрическими координатами и модели инвариантные к скорости вращения системы координат при условии постоянства ее параметров, а также учитывающие насыщение главной магнитной цепи и эффект вытеснения тока ротора;
–с помощью предлагаемых моделей изучены характеристики асинхронного электропривода, ненаблюдаемые при моделировании в декартовых координатах.
Теоретическая значимость:
1.Математически доказана возможность представления в общем случае линейно независимой плоской трехфазной системы сигналов при описании процессов в асинхронной машине пространственным результирующим вектором.
2.Предложена модернизация обобщенной электрической машины, которая позволила учесть нулевую составляющую трёхфазных переменных.
3.Предложена простая и компактная методика преобразования векторно-матричных уравнений обобщенной электрической машины к комплексу уравнений в полярных координатах, в том числе инвариантных к скорости вращения системы координат, на основе математического аппарата комплексных функций.
4.Раскрыты особенности предлагаемых моделей в сравнении с моделями в декартовых координатах относительно их структуры и организации вычислительного процесса.
Практическая значимость:
1.Разработанный комплекс математических моделей асинхронной машины в полярных координатах позволяет воспроизводить переменные не наблюдаемые в моделях в декартовых координатах. Это определяет область практического использования разработанных математических моделей при анализе динамических и установившихся режимов электроприводов.
-
Предлагаемые математические модели отличаются другим набором переменных состояния асинхронной машины и, следовательно, могут быть рекомендованы для практического использования при проектировании асинхронных электроприводов, в которых регулируемыми переменными являются модули и аргументы (разности аргументов) результирующих векторов.
-
На основе предлагаемых подходов сформулированы предложения по применению моделей при проектировании электроприводов позволяющие, в частности, обоснованно выбирать систему плавного пуска асинхронных элек-
троприводов насосов канализационных, водоперекачивающих, турбокомпрес-сорных и т.д. станций и режимы ее работы.
Методы исследования. Цель работы достигается комплексным использованием аналитических методов исследования и методов математического моделирования. При решении поставленных задач использовались методы теории автоматического управления, электромеханики, электротехники. Программные реализации предлагаемых математических моделей и численные исследования воспроизводимых ими процессов выполнены в вычислительной среде MATLAB (пакет прикладных математических программ SIMULINK).
Достоверность результатов и выводов подтверждается корректным математическим обоснованием разработанных моделей, сопоставимостью полученных результатов с положениями электромеханики и совпадением результатов моделирования процессов в асинхронной машине на предлагаемых моделях с результатами, полученными на широко используемых в практике моделях в декартовых координатах.
Реализация результатов работы. Полученные в работе результаты приняты к использованию в проектной практике при выборе электроприводов и проектировании систем автоматики ОАО «Сибцветметниипроект», а также внедрены в учебный процесс кафедры «Электротехнические комплексы и системы» Политехнического института ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет».
Положения, выносимые на защиту:
-
Введение понятия пространственного результирующего вектора трехфазной линейнонезависимой плоской системы сигналов, позволяет развить модель обобщенной электрической машины на случай наличия в трёхфазных сигналах нулевой составляющей.
-
Сравнение математических моделей асинхронной машины с постоянными параметрами в полярной системе координат и моделей инвариантных к скорости вращения системы координат для различных комбинаций векторных переменных с уравнениями в декартовой системе координат доказывает правомочность введения полярной системы координат и даёт практически совпадающие результаты их решений.
-
Математические модели асинхронной машины в полярных координатах позволяют учесть насыщение главной магнитной цепи и вытеснение тока ротора с той же точностью, что и модели в декартовых координатах.
-
Результаты исследований математических моделей систем прямого и плавного пуска асинхронных электроприводов насосов трубопровода от источника соизмеримой мощности в полярной системе координат иллюстрируют удобство её применения для анализа и синтеза систем автоматизированных асинхронных электроприводов.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV международной научно-практической конференции «Энергетика и энергоэффективные технологии» (Липецк, 2010), на V юбилейной международной научно-технической конфе-
ренции «Электромеханические преобразователи энергии» (Томск, 2011), на Всероссийской научно-технической конференции «Управление и информатика в технических системах» (Красноярск, 2013), на XIII международной научно-практической конференции «Современные концепции научных исследований» (Москва, 2015).
Личный вклад автора составляют: математическое обоснование понятия пространственного результирующего вектора плоской трёхфазной линей-нонезависимой системы сигналов; разработка всех представленных в диссертационной работе математических моделей; выполненные с их помощью исследования и анализ полученных при этом результатов.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ, в том числе 3 опубликованы в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 123 наименований и 7 приложений. Общий объем работы 208 страниц. Основная часть изложена на 175 страницах текста и содержит 92 рисунка и 12 таблиц в приложениях. Приложения изложены на 22 страницах.
Уравнение баланса мощностей. Формулы электромагнитного момента. Уравнение движения
Уравнения электромагнитных контуров (1.1.5), (1.1.6) и рисунок 1.3 представляют обобщенную электрическую машину двумерной математической моделью, все векторные переменные которой (результирующие векторы напряжения, тока, пото-косцепления) характеризуются двумя координатами и расположены в одной плоскости.
Такое представление обобщенной машины в определенной мере ограничивает возможность использования ее математической модели для анализа процессов в электрических машинах имеющих трехфазные обмотки. Процессы в таких машинах характеризуются совокупностью всех трех фазных сигналов (координат).
В электротехнике трехфазную систему сигналов принято рассматривать в плоской системе координат характеризуемой тремя сдвинутыми на плоскости на угол 1200 (2п/3) относительно друг друга осями a, b, c.
В то же время из математики известно, что вектор на плоскости однозначно определяется его двумя, например, декартовыми координатами. Следовательно, трехфазная плоская система координат может характеризовать положение вектора только в том случае, если фазные величины линейно зависимы, т.е. когда выполняется условие: иа + иь+ис = 0, и одна величина однозначно определяется значениями двух других. Декартовы координаты вектора U через его трехфазные координаты и наоборот можно выразить с помощью известных соотношений [1, 40-43, 74, 75, 87]:
Здесь 2/3 - масштабирущий коэффициент, выравнивающий амплитудные значения переменных в декартовой и трехфазной системах координат.
Выражение (1.1.6) позволяет перейти от системы трехфазных обмоток к эквивалентной ей системе двухфазных обмоток и для анализа процессов в реальной машине использовать в дальнейшем все соотношения, приведенные ранее для обобщенной машины.
Именно такой подход к определению понятия результирующего (обобщенного) вектора трехфазных сигналов получил в настоящее время наибольшее распространение в технической литературе. Авторы либо изначально считают переменные трехфазной системы линейно зависимыми, либо искусственно обеспечивают эту зависимость (отсутствие нулевого провода, установка специальных регуляторов и т.д.) [1, 40-43, 56-61, 65, 66, 71, 74-76, 80-92].
В общем случае линейно независимой трехфазной системы сигналов, результирующий вектор необходимо изначально рассматривать как вектор определенный тремя независимыми координатами.
При этом возникает необходимость уточнить как само понятие обобщенного (результирующего) вектора трехфазной системы сигналов, так и понятие обобщенной электрической машины.
Как сказано выше, для системы линейно независимых трехфазных переменных, с позиции векторной алгебры, результирующий вектор необходимо изначально рассматривать как вектор, определяемый тремя независимыми координатами, то есть, как вектор трехмерного пространства.
Такой подход предложен в работах [74, 75], где автор обобщенный вектор характеризует проекциями на оси пространственной (трехмерной) декартовой системы координат, равными мгновенным значениям соответствующих фазных величин. То есть автор, по сути, предлагает отказаться от плоских трехфазных систем координат в пользу трехмерных декартовых. Данный подход характеризуется четким обоснованием с точки зрения аналитической геометрии и векторной алгебры и обеспечивает математически строгое описание и анализ процессов в многофазных цепях на основе понятия результирующих векторов. Однако, при этом теряется связь с традиционно принятыми в электротехнике плоскими координатными системами, имеющими весьма прозрачную физическую интерпретацию. Оси трехфазной плоской координатной системы - суть проекции магнитных осей обмоток трехфазных индукционных источников и потребителей электрической энергии на плоскость их поперечного сечения.
Предлагается совместить эти два подхода, введя в соответствие плоской трехфазной системе сигналов иа, щ, ис (рисунок 1.4, а) некоторый пространственный вектор ЇЇ, характеризуемый координатами ual, щх, Uyt (рисунок 1.4, б) [93].
Уравнения и структурные схемы асинхронной машины инвариантные к скорости вращения системы координат
Как отмечено выше, уравнения (1.3.8) – (1.3.11), (1.4.12), (1.4.13) обобщенной электрической машины (рисунок 1.8) являются универсальной основой получения математических моделей конкретных типов реальных электрических машин. Для этого в уравнениях обобщенной машины достаточно учесть те особенности, которые присущи электрической машине, математическую модель которой хотим получить.
Особенностью асинхронной трехфазной машины с короткозамкнутым ротором является то, что обмотки как статора так и ротора симметричны по всем параметрам. Отклонения возможны лишь в пределах допустимых технологических погрешностей изготовления. Таким образом, можно считать, что Las — Lbs — Lcs — Li Ras — Rbs — Res — Rs Rar = Rbr = Rcr = R7 Будут равны и амплитудные значения Lm коэффициентов взаимоиндукции между обмотками статора и ротора. Тогда матрицы параметров обобщенной электрической машины примут вид: Rs = Rs 0 0 0 Rs 0 0 0 Rs , Ls = Ls 0 0 0 Ls 0 0 0 Lls Lm — 0 0 0 0 0 0 0 rir = Rr 0 0 0 Rr 0 0 0 Rr - r = Lr 0 0 0 Lr 0 0 0 Ll V Здесь Rs, Ls - активное сопротивление и полная индуктивность фазы обмотки статора трехфазной асинхронной машины; Rr, Lr - приведенные к статору активное сопротивление и полная индуктивность фазы обмотки ротора; Lm - значение коэффициента взаимоиндукции между трехфазными обмотками статора и приведенными к статору трехфазными обмотками ротора; Las, Llr - собственные индуктивности фазы обмотки статора и фазы приведенной обмотки ротора для токов нулевой последовательности [74]. Заметим, что все символы, которыми обозначены встречающиеся в настоящей работе переменные и параметры, скомпонованы в приложении А. Там же дана их детальная расшифровка.
В работе [75] показано, что похожие соотношения можно получить и для несимметричных трехфазных обмоток.
Другой особенностью рассматриваемой трехфазной машины является то, что обмотка ротора выполняется короткозамкнутой.
Вследствие этого в уравнении (1.3.9) вектор напряжения Ur необходимо положить равным нулю. В скалярных уравнениях (1.3.14) это соответствует тому, что Uar = Upr = Uyr = 0. Кроме того здесь, как и в системе уравнений (1.3.16), с учетом вида матрицы Lm коэффициентов взаимоиндукции, необходимо исключить из рассмотрения третьи уравнения.
Полученные в результате указанных уточнений уравнения полностью описывают процессы в электромагнитных контурах трехфазной асинхронной машины с короткозамкнутым ротором.
Дополнив их формулой электромагнитного момента из уравнений (1.4.12) и уравнением движения электропривода (1.4.13) получим математическую модель трехфазной асинхронной машины с короткозамкнутым ротором в наиболее общем виде.
В рассмотренных выше уравнениях асинхронной машины с короткозамкнутым ротором все переменные и параметры представлены реальными абсолютными физическими величинами.
В технической литературе и при выполнении научных исследований широкое применение получили математические модели, в которых переменные и параметры объекта исследования представлены в безразмерной долевой форме относительно соответствующих базисных величин. Не вдаваясь в оценку преимуществ использования математических моделей в относительных единицах [75] и в сравнительный анализ используемых в настоящее время систем относительных единиц, констатируем, что все дальнейшие исследования представлены в относительных единицах Использована система относительных единиц, в которой в качестве основных базисных величин приняты амплитудные значения номинальных фазных напряжения и тока статора и номинальное значение угловой частоты напряжения статора [75].
Таблица основных и расчетных (производных) базисных величин, а также процедура перехода от уравнений в абсолютных переменных к уравнениям в относительных единицах приведена в приложении Б.
Скалярные уравнения, связывающие между собой проекции результирующих векторов на ось у, образуют автономную структуру, не связанную с остальной частью полной математической модели асинхронной машины (1.3.13 - 1.3.16) [74, 75]. Эта часть математической модели асинхронной машины не зависит также ни от вида, ни от угла поворота (скорости вращения) координатных систем вокруг оси у (1.2.13) и не участвует в формировании электромагнитного момента (1.4.12). Поэтому при анализе динамических режимов асинхронной машины с короткозамкнутым ротором указанные уравнения из математической модели могут быть исключены вовсе, либо, при необходимости, рассматриваться отдельно. В относительных единицах они имеют вид:
Выше изложенное позволяет, без потери общности рассуждений, представить асинхронную машину, как объект исследования, не трехмерной, а двухмерной математической моделью. При этом появляется возможность использовать более компактный, простой и наглядный, относительно векторно-матричного исчисления, математический аппарат комплексных чисел. Для этого достаточно вместо двухмерных векторов-столбцов напряжения, тока, пото-косцепления ввести соответствующие им комплексные переменные: й = иа + jup = и eJ6u = u(cos ви + ] sin ви), і = ia+jip = і ej8i = i(cos6t + jsinflj), "Ф = "Фа + І"Фр = "Ф е/б = (cosfl , +; sin ). (1.5.3)
Математическая модель асинхронной машины в полярных координатах, учитывающая насыщение главной магнитной цепи для полных уравнений
Преобразование уравнений (2.2.2) - (2.2.7) к виду (2.2.9) - (2.2.14) не только упрощает их структуру и делает их физически более прозрачными для анализа, но и устраняет необходимость дублирования вычислительных операций при цифровом моделировании процессов в асинхронных машинах структурным методом. Соответствующие уравнениям (2.2.9) - (2.2.14) структурные схемы асинхронной машины представлены на рисунках 2.7 - 2.12.
При питании асинхронной машины линейно независимой системой трехфазных сигналов математические модели становятся трехмерными и структурные схемы (рисунки 2.2 - 2.12) необходимо дополнить автономным каналом, связывающим между собой третьи компоненты соответствующих результирующих векторов (рисунки 1.9 а, б). Тем самым, математические модели асинхронной машины трансформируются из полярной в цилиндрическую систему координат.
В заключение отметим, что все рассмотренные в данном параграфе математические модели инвариантны к скорости о)к вращения системы координат, а фигурирующие в них переменные ограничены по величине и в установившемся режиме имеют постоянные значения.
С помощью каждой из разработанных моделей (рисунки 2.1 - 2.12) в пакете MATLAB выполнены исследования самых различных режимов работы большого количества асинхронных машин серии 4А. Исследовались процессы прямого и плавного пуска, реверса, наброса и сброса постоянной нагрузки, частотного управления скоростью по различным законам в разомкнутых системах и т.д. для двигателей различной мощности, с различными номинальными параметрами и различным числом пар полюсов.
Целью исследований являлись проверка работоспособности предлагаемых математических моделей, то есть оценка принципиальной возможности их
Структурная схема асинхронной машины в переменных is—ir инвариантная к сок использования для исследования процессов в асинхронных машинах, а так же сравнительная оценка получаемых с их помощью результатов с результатами, полученными на широко используемых в инженерной практике моделях в декартовых координатах.
В результате установлено, что при нулевых начальных значениях модулей векторных переменных, организация вычислительного процесса в цифровой форме как для моделей в полярных координатах, так и для моделей инвариантных к скорости вращения системы координат вызывает определенные затруднения, обусловленные наличием операций деления переменных.
Эти затруднения легко устраняются введением пренебрежимо малых по величине начальных значений модулей векторных переменных (устраняется деление на ноль). При выполнении практических расчетов задавались начальные значения, не превышающие 0,00001% базового значения соответствующей переменной.
Выполнение указанного условия обеспечивает работоспособность всех вариантов математических моделей, что характеризует принципиальную возможность их использования в практике. Следует заметить, что исследование одних и тех же режимов работы асинхронной машины на моделях в полярных координатах и моделях инвариантных к скорости вращения системы координат для сочетаний векторных переменных is —ip ,тр — ,is— p,ir— иіг — -ф дает практически идентичные результаты, т. е. в этих случаях графики и значения как выходных переменных (электромагнитного момента Мэ и скорости вращения ротора со), так и графики изменения соответствующих координат векторных переменных для всех рассматриваемых вариантов математических моделей практически совпадают. Эти результаты весьма точно соответствуют результатам, полученным для аналогичных режимов на моделях в декартовой системе координат.
В общем-то, это ожидаемый результат, поскольку все рассматриваемые в настоящем разделе математические модели асинхронной машины разработаны на базе одних и тех же допущений, которые положены так же в основу построения моделей в декартовых координатах. Отличия в характере протекания процессов здесь возможны лишь вследствие различной чувствительности моделей к качеству (точности) выполнения вычислительных процедур и их структурных особенностей. Математическая модель в полярных координатах и модель инвариантная к скорости вращения системы координат в переменных is — ir (рисунок 2.5) и (рисунок 2.11) при указанном условии также работоспособны и при моделировании одних и тех же режимов работы асинхронной машины дают идентичные между собой результаты. Но эти результаты несколько отличаются от результатов, полученных на моделях для других сочетаний векторных переменных и на модели в декартовых координатах. На наш взгляд это обусловлено большей чувствительностью предлагаемых моделей в переменных is — ir к качеству выполнения вычислительных процедур.
Математические модели устройств плавного пуска
Вытеснение тока ротора сопровождается изменением активного сопротивления и индуктивности рассеяния пазовой части обмотки ротора. Сопротивление и индуктивность лобовых частей при этом остаются практически неизменными [40-42, 75, 103, 107]. Поэтому при описании процессов в асинхронной машине с учетом эффекта вытеснения тока ротора принято [75, 103, 107] активное сопротивление и индуктивность рассеяния представлять суммой двух составляющих:
Ядр 6 - базисная эквивалентная глубина проникновения тока, см. Она представляет собой глубину проникновения тока в стержень обмотки ротора в режиме короткого замыкания при номинальной (базисной) частоте питающего двигатель напряжения. При стандартной частоте питающей сети (50 Гц) для медной короткозамк-нутой обмотки ротора НщЛ к 1см. Для литой алюминиевой обмотки Н б к 1,41см [75, 103]. Величина /? в формуле (3.2.5) характеризует относительную частоту тока в обмотке ротора. В установившихся режимах эта величина равна абсолютному скольжению ротора D.s — zpft, выраженному в относительных единицах [75]:
Это равенство обусловлено тем, что в установившихся режимах результирующие векторы всех трехфазных переменных асинхронной машины неподвижны относительно друг друга. Для динамических режимов справедливо другое, более общее, соотношение, которое в относительных единицах имеет вид: где pir - фазовое смещение результирующего вектора тока ротора относительно вращающейся с произвольной скоростью cjk полярной оси полярной системы координат (вещественной оси декартовой системы координат). Выражение (3.2.8) в отличие от (3.2.7) характеризует не установившееся, а мгновенное значение частоты тока ротора в любых режимах работы асинхронной машины.
При использовании математических моделей асинхронной машины, в которых в явном виде фигурирует в качестве переменной состояния аргумент pt результирующего вектора тока ротора, переменную — можно непосредственно наблюдать на входе интегратора, на выходе которого этот аргумент формируется. Для математических моделей с другим набором векторных переменных, для вычисления удобно воспользоваться следующей процедурой.
Следует отметить, что физическая картина процессов вытеснения тока имеет весьма сложный характер, и изначально формализуется в виде математических соотношений достаточно приближенно [87, 103-105]. Вследствие этого, как отмечается в работе [75], при моделировании как установившихся так и динамических режимов работы асинхронной машины для вычисления /? допустимо использовать упрощенное выражение (3.2.7). При этом погрешность, возни sin ir cos ir Н s dir кающая вследствие пренебрежения dt составляющей , практического dt d(Q влияния на качество расчетов не Рисунок 3.6 - Схема вычисления dt оказывает, но математические мо дели асинхронной машины, в ряде случаев, становятся заметно проще.
Параметры rriU, Zrn, rrjl и lrjl можно определить с помощью формул приведенных, например, в [87], опираясь на справочные данные о габаритах, геомет 112 рии, конструкции и материалах короткозамкнутого ротора конкретного асинхронного двигателя [102]. Однако более удобным представляется использовать для этого непосредственно уравнения (3.2.1) и (3.2.2), подставив в них сначала справочные значения и 1 [102] для рабочего режима ( = 1), а затем, для режима короткого замыкания (0 = 1, = К) [102]. Полученные таким образом параметры пазовых и лобовых частей короткозамкнутой обмотки ротора двигателей 4А160М2УЗ и 4А250S4УЗ приведены в приложении В.
Процедура получения уравнений и структурных схем, описывающих динамические режимы асинхронных машин с учетом эффекта вытеснения тока ротора в полярных координатах, не отличается от рассмотренных ранее. Поэтому приведем их здесь без вывода.
Математическая модель в полных переменных включает в себя: уравнения электромагнитных контуров статора и ротора: рфя = щ cos( pUs - p s) -rs-is- cos( pis - p s) ; Система уравнений (3.2.9) - (3.2.13) полностью определяет математическую модель асинхронной машины в полярных координатах в полных переменных при условии постоянства ее параметров. Для получения модели, учитывающей эффект вытеснения тока, систему уравнений (3.2.9) - (3.2.13) необходимо дополнить набором соотношений определяющих характер изменения, в результате вытеснения тока, коэффициентов при переменных в этих уравнениях. При этом целесообразно этот набор соотношений разбить на два блока
Первый блок - это соотношения определяющие гТ и 1га как функции частоты тока ротора/?. Он включает в себя уравнения (3.2.1) - (3.2.8) и остается неизменным для всех вариантов математических моделей, учитывающих эффект вытеснения тока. Второй блок составляют уравнения, определяющие значения коэффициентов непосредственно фигурирующих в уравнениях в функции гги\га. Конфигурация этого блока зависит от варианта модели. Так для модели в полных переменных имеем: