Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Каверин Денис Сергеевич

Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР
<
Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Каверин Денис Сергеевич. Влияние технологических и эксплуатационных факторов на характеристики сверхпроводящих токонесущих элементов для катушек тороидального поля магнитной системы ИТЭР: диссертация ... кандидата технических наук: 05.09.02 / Каверин Денис Сергеевич;[Место защиты: Национальный исследовательский университет "МЭИ"].- Москва, 2016.- 128 с.

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Проблемы при изготовлении кабелей и проводников для УТС (литературный обзор) 12

1.1. Сверхпроводимость в УТС 12

1.2. Сверхпроводящие провода 14

1.3. Сверхпроводящие токонесущие элементы 16

1.4. Проводники для магнитной системы ИТЭР, их изготовление и испытания

1.4.1. Изготовление проводников 21

1.4.2. Испытания проводников под полной нагрузкой

1.5. Стабилизация проводников и RRR 30

1.6. Постановка задачи исследования 34

ГЛАВА 2. Материалы и методики 36

2.1. Методология исследования повреждения сверхпроводящих волокон Nb3Sn провода после испытаний на установке «SULTAN» 36

2.2. Методология исследования изменения RRR сверхпроводящего провода в процессе изготовления и испытаний проводников 37

2.3. Методология исследования процесса раскручивания кабеля при

затягивании в оболочку 40

ГЛАВА 3. Исследование дефектов в сверхпроводящих проводах после испытаний российского проводника TFRF3 на установке «SULTAN» 43

3.1. Разработка методики подготовки образцов сверхпроводящего провода для исследования его структуры 44

3.2. Выбор оборудования и отработка режимов съемки для исследования поверхности образцов 48

3.3. Отбор исследуемых образцов 50

3.4. Виды типичных дефектов 51

3.5. Разработка программ и алгоритмов для количественного анализа дефектов в сверхпроводящем проводе

3.5.1. Обработка изображений и разработка программы для определения координат дефектов 53

3.5.2. Разработка программы для подсчёта площади пор, формирующихся в бронзовой матрице во время термообработки 54

3.5.3. Разработка программы для подсчёта площади и длины сверхпроводящих волокон 56

3.6. Результаты исследования дефектов в сверхпроводящих проводах,

взятых из проводника RFTF3 прошедшего испытания на установке

«SULTAN» 58

3.6.1. Зависимость числа дефектов в сверхпроводящем проводе от деформации изгиба 58

3.6.2. Поры, как фактор, влияющий на образование дефектов в сверхпроводящих волокнах 59

3.6.3. Влияние положения проводов в поперечном сечении проводника и уровня внешнего магнитного поля на образование дефектов в сверхпроводящих волокнах 62

3.7. Выводы к главе 3 65

ГЛАВА 4. Изменение относительного остаточного сопротивления Nb3Sn проводов в процессе изготовления и испытаний проводника 67

4.1. Изменение RRR сверхпроводящего Nb3Sn провода в процессе подготовки к изготовлению кабеля 68

4.2. Влияние технологических процессов изготовления проводника на изменение RRR 74

4.3. RRR после диффузионной термообработки 77

4.4. Влияние электромагнитного и теплового циклирования при испытаниях на установке «SULTAN» на изменение RRR 79

4.4.1. Исследование RRR проводов, отобранных в зоне низкого поля (ЗНП) образца проводника TFRF3, испытанного на установке «SULTAN» 80

4.4.2. Исследование RRR проводов, отобранных в зоне высокого поля (ЗВП) образца проводника TFRF3, испытанного на установке «SULTAN» 4.5. Обобщение результатов по изменению RRR при изготовлении и испытаниях проводника TFRF3 83

4.6. Выводы к главе 4 86

ГЛАВА 5. Определение шага скрутки вдоль кабеля после затягивания в оболочку 89

5.1. Физическая модель затягивания кабеля в оболочку 90

5.2. Измерения и эксперименты

5.2.1. Исследование дифференциальных механических характеристик образца кабеля 97

5.2.2. Определение параметра, учитывающего механические и конструкционные характеристики кабеля 100

5.2.3. Эксперименты и измерения на кабелях штатных длин

5.3. Сравнение расчётов с прямыми измерениями 105

5.4. Способы предотвращения раскручивания переднего конца кабеля при затягивании в оболочку 106

5.5. Выводы к главе 5 109

Выводы по материалам диссертации 111

Заключение 114

Список цитируемой литературы

Проводники для магнитной системы ИТЭР, их изготовление и испытания

Магнитная система ИТЭР состоит из сверхпроводящих катушек различной функциональности. Каждая из катушек состоит из множества компонентов [47-58], а основным элементом любого вида катушек является сверхпроводящий ТНЭ – проводник [59].

Сам проводник имеет сложную конструкцию и состоит из нескольких элементов [60]. Основным компонентом проводника являются сверхпроводящие и медные проволоки с покрытием из хрома или никеля в зависимости от типа проводника, которые скручиваются по определённой схеме в субкабели, которые обматываются стальной лентой [61-65]. В конструкцию проводника входит спираль для прокачки хладагента и стальная лента для обмотки кабеля. Внешняя часть проводника представляет собой трубу из нержавеющей аустенитной стали. Общий вид проводника для катушек тороидального поля ИТЭР (TF катушки) представлен на рисунке 1.9. Рисунок 1.9 – Вид проводника для катушек тороидального поля ИТЭР

Проводники для катушек изготавливаются длинами вплоть до 900 метров. Возможность изготовления таких длинномерных проводников впервые показа в середине 1990 годов в России [66]. Разберём процесс изготовления проводника на примере проводника для катушек тороидального поля ИТЭР. Условно этот процесс можно поделить на 4 больших этапа: изготовление кабеля и параллельно ему процесс изготовления длинномерной оболочки, затягивание кабеля в оболочку и компактирование (обжатие) до нужного размера с последующей намоткой в транспортный однослойный соленоид [65].

Сверхпроводящий провод поступает от ОАО «ЧМЗ» [67] в ОАО «ВНИИКП», где на провод наносят гальваническое покрытие и проводят часть приёмочных измерений [68]. После этого провода с гальваническим покрытием скручивают между собой в кабель по схеме, изображённой на рисунке 1.10.

На первой стадии вместе скручиваются 2 сверхпроводящих провода и одна медная проволока, образуя триплет, а на второй 3 триплета скручивают вместе. На 3-ей стадии вместе скручивают 5 вторых стадий вместе, а после этого на 4-ой стадии скрутки 5 третьих стадий скручивают вместе вокруг сердечника, скрученного из 12 медных проволок, и всю эту конструкцию обматывают стальной лентой, образуя субкабель. На финальной стадии скрутки 6 субкабелей скручивают вокруг спирали с последующей обмоткой стальной лентой. Рисунок 1.10 – Схема скрутки кабеля для катушек тороидального поля ИТЭР

Параллельно, во время изготовления кабеля, на участке изготовления проводника проходит подготовка оболочки. Из отдельных секций труб сваривают длинномерную оболочку длиной около 770м. Трубы свариваются между собой встык посредством аргонно-дуговой сварки. Качество каждого сварного шва контролируется четырьмя методами [68] – визуальный контроль, испытания на герметичность с помощью гелиевого течеискателя, радиографический контроль и капиллярный метод (метод пенетрантов).

Если хотя бы по одному из этих методов результаты испытаний не удовлетворительные, то сварной шов вырезается и проводят новую сварку [68]. Когда необходимая длина оболочки изготовлена переходят к следующему этапу – затягиванию кабеля в оболочку. Для этого к одному из концов кабеля крепят трос, который протянут через всю длину оболочки. Затем, прикладывая к тросу усилие с помощью лебёдки, установленной на противоположном конце линии затягивания, кабель начинают втягивать в оболочку. На конце линии установлен измеритель усилия затягивания, который непрерывно, с дискретностью 1с, измеряет силу, с который затягивается кабель. Схематично процесс затягивания изображён на рисунке 1.11.

Было замечено, что в процессе затягивания кабель внутри оболочки вращается вокруг своей оси. Данный эффект раскручивания, который можно наблюдать у всех тел, имеющих в составе своей конструкции элементы, скрученные по спирали или у тел, обладающими обладающих геликоидальной анизотропией. Эффект раскручивания таких тел впервые был открыт J. J. Thwaits в 1977г [69], но при проектировании проводников ИТЭР он не был учтён.

Все тела, обладающие геликоидальной анизотропией, например, несколько проводов, скрученные вместе, или кабель раскручиваются под действием аксиальной нагрузки в сторону, противоположную направлению анизотропии [70]. Очень подробно кручение тел, обладающих спиральной анизотропией, было исследовано В. М. Мусалимовым [71-73]. Раскручивание кабеля сопровождается увеличением шага скрутки финальной стадии, что в конечном итоге приводит к увеличению потерь на переменном токе (режим ввода тока в катушки и режим нестационарной работы магнитной системы). Как показано в работе G. Rolando [74] увеличенный на 10% шаг скрутки приводит к увеличению потерь на 1м проводника за один цикл на 5-7%.

Для определения количества оборотов, которое совершает кабель во время затягивания, компанией High Performance Magnetics (Талахаси, Флорида, США) был разработан датчик вращения [75]. Этот датчик устанавливается между тросом и кабелем перед затягиванием, для того, чтобы после затягивания получить данные о количестве оборотов, совершивших передним концом кабеля, от величины затягивающего усилия или длины затянутой в оболочку части кабеля. Этим датчиком пользуются многие производители проводников для ИТЭР. В частности, на рисунке 1.12 представлено несколько зависимостей количества оборотов кабеля от величины приложенного усилия для разных производителей [7]. Как видно из данных этого рисунка и ссылаясь на измерения, проведённые в Японии [11], России [76] и Китае [13] можно констатировать тот факт, что степень вращения кабелей, изготовленных в разных странах отличается.

Методология исследования изменения RRR сверхпроводящего провода в процессе изготовления и испытаний проводников

Для измерения относительного остаточного сопротивления Nb3Sn проводов производили отбор образцов на разных стадиях производства проводника: 1) В состоянии поставки; 2) После электрохимического травления; 3) После хромирования. 4) После диффузионного отжига по разным временным циклам (Цикл «А» и Цикл «Б»); 5) После изготовления проводника. По совокупности этих данных был определен средний тренд деградации RRR Nb3Sn проводов на стадиях её изготовления.

Для определения RRR сверхпроводящих проводов в проводнике, прошедшем электромагнитное и тепловое циклирование на установке «SULTAN», отбирали образцы от проводника TFRF3 [100]. Во избежание повреждения проводов сначала из проводника с помощью электроэрозионной резки вырезали куски длиной около 140-160мм; затем снимали оболочку, также используя электроэрозионную резку; после чего переходили к извлечению образцов сверхпроводящих проводов.

Образцы сверхпроводящих проводов отбирали от разных мест образца проводника как по воздействию электромагнитного поля (высокопольная зона, ЗВП, внешнее магнитной поле 10,78Т и низкопольная зона, ЗНП, внешнее магнитное поле 0,4Т), так и в различных местах поперечного сечения проводника, согласно схеме, изображённой на рисунке 2.1.

Вид установки, на которой проводили измерения, показан на рисунке 2.5. На этом рисунке обозначены следующие позиции: 1 – криостат Janis STVP-200; 2 – источник тока GWInstes PSS-205; 3 – термоконтроллер Lakeshore m 336; 4 – нановольтметр Kiethley Instruments 2181A.

RRR образцов проводов измеряли контактным методом в резервуаре с жидким гелием при температуре 20К. Для нагревания гелия до заданной температуры во вставке смонтирован нагреватель. Общий вид вставки для измерений показан на рисунке 2.6. Погрешность, полученных в результате измерений данных, находится в диапазоне ±1%. Рисунок 2.5 – Общий вид установки для измерения Рисунок 2.6 – Вставка для измерения RRR RRR

Электрические контакты от вставки подсоединены к восьмиканальному нановольтметру. Ток на образцы подаётся через вставку. RRR измеряется при двух значениях тока – 0,1 и 1,0А. Разница в измерениях RRR при разных значениях тока обычно составляет не более 1%. Реальное значение RRR находится как среднее арифметическое между двумя измерениями. Для снижения градиента температур на концах образцов с каждой стороны их прижимали медной пластиной через изолирующие прокладки.

Применяемая методика измерения электрического сопротивления и определение RRR Nb3Sn сверхпроводящих проводов соответствует стандартам МЭК [102]. Обработку экспериментальных данных по RRR проводили с использованием программы EXCEL и Matlab.

Экспериментальный набор данных по изменению шага скрутки в зависимости от приложенного усилия проводили на 5-ти метровых образцах российских кабелей, с использованием разрывной машины горизонтального типа, находящейся на заводе «Hitachi-Cable» (Хитати, Япония) [103]. Общий вид разрывной машины представлен на рисунке 2.7. Для реализации этого эксперимента один из концов образца жёстко закреплялся, а другой конец, к которому непосредственно прикладывалось растягивающее усилие, напротив, мог свободно вращаться. В ходе эксперимента проводили измерения шага скрутки кабеля в контрольных точках. Для определения угла вращения кабеля на него были установлены сенсоры, в виде пи-линеек, намотанных вокруг по периметру кабеля (рисунок 2.8). Сенсоры находились на участках, по-разному удалённых от того конца кабеля, к которому непосредственно прикладывалось растягивающее усилие.

Кабель подвергался ступенчатой растягивающей нагрузке с шагом каждой ступени 5кН, начиная с усилия 5кН и заканчивая усилием 50кН. При этом, после каждой ступени нагружения растягивающие усилие снижали до величины 5кН. За один экспериментальный цикл принималось увеличение растягивающего усилия до номинальной величины и его снижение до 5кН.

На рисунке 2.9 представлена диаграмма хода испытаний, на которой показаны величина приложенного усилия и удлинение кабеля. При максимальной нагрузке на каждой ступени и после снижения растягивающего усилия проводили измерения шага скрутки кабеля в 3 контрольных точках. По повороту каждой пи-линейки определяли на какой угол повернулся кабель в каждом измеряемом сечении. Схематично места расположения пи-линеек и места измерений шага скрутки кабеля представлены на рисунке 2.10.

Разработка программ и алгоритмов для количественного анализа дефектов в сверхпроводящем проводе

Помимо выявления всех структурных составляющих провода (Nb3Sn волокон, бронзовой матрицы с присущей ей после диффузионного отжига пористостью, Nb и Та диффузионных барьеров), главной задачей при разработке методики подготовки образцов для металлографических исследований являлась возможность выявления дефектов в сверхпроводящих волокнах, образовавшихся в результате механического и температурного воздействия. При этом при подготовке образцов необходимо было предотвратить образование новых дефектов в сверхпроводящих волокнах, которые затруднили бы количественную оценку воздействия испытаний.

Методика подготовки образцов Nb3Sn сверхпроводящего провода описана в литературе в работах Sheth и Willams [107, 108], но рекомендуемые способы подготовки образцов подразумевали использование редкого, дорогостоящего оборудования, которое не было доступно в период написания работы, а также занимают значительное время (около 80 часов). В работе [109] описана методика подготовки образцов провода с применением полуавтоматического полировально-шлифовального станка, но предложенная методика хоть и занимает меньше времени (около 6-8 часов), но при подготовке уходит значимое количество расходных материалов. Целью являлось разработать методику более дешёвую и быструю.

Разработку методики проводили на двух типах образцов сверхпроводящего Nb3Sn провода после термообработки. Первый тип – это образцы проводов, не подвергавшееся никаким механическим воздействиям после термообработки, то есть изначально не содержащие дефектов в структуре. Второй тип – это провода, подвергнутые множественным изгибам вручную, в сверхпроводящих волокнах которых заведомо должны были быть дефекты. От куска провода отрезали образцы длиной около 50 мм, которые помещали в цилиндрическую оправку и заливали пластмассой специального состава (рисунок 3.1). После застывания пластмассы переходили к подготовке поверхности шлифов. Методика подготовки поверхности образцов состояла в выборе шлифовальных и полировальных сукон, а также подборе абразивных составов для полировки с различным размером частиц. Подготовку образцов осуществляли на станке для шлифовки и полировки марки SAPHIR 5000 (рисунок 2.2). Варьируя временем шлифовки, добивались того, чтобы поперечный размер образца был максимальным, т.е. соответствовал диаметру провода. После каждого этапа шлифовки или полировки поверхность образца исследовали на оптическом микроскопе «Carl Ziess» Axiover 40 MAT (рисунок 2.3). Критерием качества поверхности провода на каждом этапе шлифования являлась однородность ее шероховатости и отсутствие глубоких царапин.

При отработке методики подготовки поверхности применялись шлифовальные диски различной зернистости, различного вида полировальные сукна и различные суспензии для полирования и шлифования. Кроме этого регулировали время шлифования/полирования, скорость вращения диска и силу нажима на образец. В результате многочисленных экспериментов была разработана методика подготовки поверхности образцов, поэтапно представленная в таблицах 3.1 и 3.2. Особое внимание было обращено на многостадийную полировку поверхности образцов (таблица 3.2), поскольку характерная пористость бронзовой матрицы в процессе шлифовки «замазывается» более мягкой составляющей провода – медью стабилизатора. На первом этапе полирования использовали сатиновое сукно (сукно 2TS2 «LamPlan» [110]) и суспензию с размером коллоидных частиц 9мкм («LamPlan»). На этом этапе полирование длилось 10 минут, а прижимная сила на образец составляла 10кг. Далее, на двух следующих этапах полировки использовалось сукно на основе длинных вискозных волокон (сукно 4FV1 «LamPlan»), но при этом использовали суспензию с различным размером коллоидных частиц – 3мкм и 1мкм. Полировка на каждой из применяемых суспензий длилась 10 минут, а усилие на образец составляло 10кг.

Финальное полирование проводили на сукне из микропористого пенополиуретана (сукно 4MP1 «LamPlan») в 3 этапа. На каждом этапе финального полирования применялась суспензия с размером коллоидных частиц 0,05мкм при одинаковой скорости вращения полировального диска. Изменялась только сила давления на образец - 10, 5 и 2,5кг соответственно для каждого этапа финального полирования. Изменение вида поверхности образцов на этапах полировки показано на рисунке 3.2. Как следует из приведенных фотографий, после финальной полировки хорошо выявляются поры в прореагировавшей бронзовой матрице.

Заключительным этапом подготовки образцов являлось химическое травление в смеси плавиковой и азотной кислот [111]. При травлении необходимо было добиться того, чтобы трещины и другие дефекты в сверхпроводящих волокнах стали видимыми, но при этом необходимо было не перетравить образец и, тем самым, не внести ложные дефекты.

Применяя один и тот же раствор кислот, варьировали длительностью травления образцов. В работе M.C. Jewell [1] время травления поверхности образцов составляло около 10 секунд, однако применение рекомендаций этой работы к нашим образцам привело к сильному перетраву поверхности (рисунок 3.3а). При длительности травления 1 - 2 секунды (рисунок 3.3б) структура сверхпроводящих волокон не выявляется. Выбранная в результате экспериментов длительность травления 5 секунд обеспечивает выявление всех структурных составляющих сверхпроводящего провода, не повредив при этом сверхпроводящие волокна. При этой длительности травления полностью проявляются и структура сверхпроводящих волокон, вплоть до того, что на поверхности образца можно видеть ниобиевый сердечник, который не прореагировал с оловом при термообработке (рисунок 3.3в).

RRR после диффузионной термообработки

Как показано в главе 1 процесс затягивания кабеля является одним из ключевых при изготовлении всех проводников для ИТЭР, включая проводник TF. Одним из явлений, которое наблюдается при этом процессе, является раскручивание переднего конца кабеля, которое приводит к увеличению шага скрутки вплоть до выхода за пределы требований спецификации [132]. Увеличенный шаг скрутки приводит к изменению дифференциальных гидравлических характеристик кабеля [138-140] и увеличению электрических потерь в динамических режимах работы магнитной системы [74, 141]. Согласно данным от разных производителей проводников для ИТЭР степень раскручивания кабеля для каждого производителя различная [11, 13, 76]. Это можно связать не только с применением материалов с другими свойствами, но и с технологическими параметрами изготовления кабелей [8].

Для прогнозирования изменения шага скрутки кабеля во время затягивания были предприняты попытки разработать математические модели, но они не всегда имели достаточно высокую сходимость с экспериментальными данными [142], либо были очень сложны в описании [77, 78]. Сложность математического описания процесса раскручивания для кабеля состоит в том, что дифференциальные параметры раскручивания зависят от механических и геометрических характеристик кабеля в каждом поперечном сечении.

При применении уравнений механики для спирально анизотропного стержня [69], каким является кабель, можно получить систему уравнений с 12 неизвестными, часть из которых необходимо определить эмпирическими способами, что зачастую является нетривиальной задачей [73].

В настоящей работе предложена простая математическая модель, на основании которой шаг скрутки по всей длине кабеля после затягивания можно описать с помощью параметров, которые легко можно измерить в процессе изготовления проводника: число оборотов кабеля, его длину и усилие затягивания. Для реализации предложенной модели эмпирическим способом необходимо определить один параметр, который учитывает все механические и конструкционные особенности конкретного типа кабеля.

Особенностью всех кабельных конструкций является то, что конструктивные элементы кабеля (субкабели), скрученные вокруг одного центра (спираль), представляют собой систему геликоидов (спиральных линий). При приложении аксиальной нагрузки к телам, обладающим геликоидальной анизотропией, они приводятся во вращение за счёт того, что сила, приложенная к одному из концов такого тела, индуцирует вращающий момент, который его раскручивает [69]. Момент, возникающий на конце кабеля, к которому непосредственно приложена сила [143], и силу, при которой начинается вращение кабеля, можно записать, используя соотношения (3.2а) и (3.2б) соответственно [121].

Согласно уравнениям (5.2) величина вращающего момента зависит от величины приложенного усилия. Согласно уравнению (5.1) на каждый участок кабеля, находящегося внутри оболочки, действует различная сила трения и, согласно уравнениям (5.2), на каждом из этих участков возникает различный по величине вращающий момент. Вращающий момент поворачивает каждый участок кабеля на угол, соответствующий величине вращающего момента, а соответственно, и величине приложенной силы. За счёт поворота участка кабеля происходит увеличение шага финальной стадии скрутки. Таким образом, чтобы оценить увеличение шага скрутки кабеля, необходимо узнать, на какой угол повернулся кабель при приложении аксиальной нагрузки.

Для определения этих соотношений была разработана простая математическая модель со следующими граничными условиями и допущениями: 1) Все деформации, возникающие в результате затягивания кабеля - малые (выполняется условие о плоских сечениях [144]); 2) Объём малого участка кабеля не изменяется в результате любых малых деформаций [145]; 3) Деформация спирали незначительна; 4) Увеличение силы затягивания кабеля, как результат трения между оболочкой и кабелем, есть величина линейно возрастающая и описывается уравнением (5-1); 5) До приложения аксиальной нагрузки на кабель все его параметры, такие как шаг скрутки кабеля, радиус кабеля, радиус спирали, одинаковы по всей его длине и равны номинальным величинам; 6) Не учитывается увеличение шага скрутки кабеля только за счёт чистого растяжения; 7) Кабель, в том месте, где он начинает заходить в стальную оболочку, не совершает никаких оборотов, поэтому здесь число оборотов равно нулю, ()=0 = 0; 8) Удлинение кабеля, в том месте, где он только начинает входить в трубу, равно нулю, ()=0 = 0.

Сформировав, таким образом, граничные условия и допущения, и определившись с видом модели раскручивания кабеля, переходили к математической реализации модели. Для этого рассмотрим любой малый участок кабеля, подвергаемого растягивающей нагрузке (рисунок 5.1), длиной .

Условно примем, что левое сечение элемента остаётся неподвижным, а правое поворачивается на величину , за счёт момента , создаваемого силой [146, 147]. Так как мы рассматриваем малый элемент кабеля, считаем, что сила , а значит и вращающий момент одинаковы по всей его длине. Поскольку были рассматрены малые деформации, то это даёт нам право воспользоваться гипотезой о плоских сечениях [148].

Рассмотрим более детально малый участок кабеля (рисунок 5.2). До деформации этот участок имел длину , радиус кабеля 0 и радиус спирали . После деформации длина участка кабеля увеличилась на величину , а радиус уменьшился до величины г. Согласно нашим допущениям радиус спирали rsp остался прежним.

Учитывая допущение о том, что при малых деформациях реальные кабели практически не меняют своего объёма [145], можно записать уравнение о равенстве объёмов участка кабеля до и после приложенной деформации (5.3). r02 - rsp2)dz = n(r2 - rsp2){dz + Adz), (5.3) Для удобства решения полученного уравнения в дальнейшем обозначим относительную деформацию согласно уравнению (5.4). = А2-1, (5.4) где А - параметр, учитывающий механические и конструкционные характеристики кабеля. В уравнение (5.4) входит параметр А, который учитывает все механические и конструкционные характеристики кабеля. Этот параметр зависит как от величины растягивающего усилия, так и от геометрических размеров кабеля. Этот параметр характеризует степень удлинения кабеля в зависимости от величины прикладываемого усилия и длины участка кабеля.