Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Философское единство математики в системной репрезентации проблемы обоснования 50
1.1. Использование системной методологии в обосновании математики в контексте саморазвития ее теорий 53
1.2. Роль умеренного платонизма и единства математики в философской проблеме обоснования математики. 76
1.3. Новые кризисы философии современной математики и экспликация системного стиля математического мышления 98 Краткие выводы по главе 1 117
ГЛАВА 2. Сравнительный анализ направлений обоснования и проблемы философии математики .. 120
2.1. Гносеологические предпосылки и установки работающих направлений формализма и интуиционизма 123
2.2. Теоремы Гёделя о неполноте и эволюция обоснования в постгёделевской философии математики 151
2.3. Проблема непротиворечивости математических теорий в философском генезисе понятия математической истины 170
Краткие выводы по главе 2 197
ГЛАВА 3. Системно-методологическая целостность обоснования современной математики 200
3.1. Системный подход к математическому познанию и его возможности в методологии фрактальной геометрии 205
3.2. Философско-методологический синтез направлений обоснования как реализация системно-методологического подхода 229
3.3. Практическая эффективность процесса самоорганизации теорий математики в контексте философии образования 262
Краткие выводы по главе 3 287
Заключение 290
Список литературы
- Роль умеренного платонизма и единства математики в философской проблеме обоснования математики.
- Теоремы Гёделя о неполноте и эволюция обоснования в постгёделевской философии математики
- Системный подход к математическому познанию и его возможности в методологии фрактальной геометрии
- Практическая эффективность процесса самоорганизации теорий математики в контексте философии образования
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Обоснование всего математического знания является центральной проблемой философии математики. Актуальность этой проблемы определяется тем, что, во-первых, надежды на программы обоснования, сформулированные в прошлом столетии, не оправдались, хотя обосновательная деятельность не прекращается. Во-вторых, актуальность темы диссертационного исследования определяется поисками механизмов развития математических теорий и характеризуется степенью разработанности проблемы в научной литературе. В обосновании математики исторически традиционно сосуществуют и взаимодействуют два способа систематизации подходов к обоснованию математики – это теоретический и практический. Теоретическая актуальность определяется как внутренними факторами, так и необходимостью осмысления механизмов, которые обеспечивают выявление целостной системы обоснования математики, которая в условиях разнообразия способов, форм и путей приращения знания связана с обращением к современной математике.
Практическая актуальность связана с важностью методологического обеспечения математических исследований, поскольку философия математики не может существовать без взаимодействия с развивающейся математикой. Тема диссертации актуальна и в методологическом плане, так как включает в анализ обоснования математики ряд таких проблем, как единство математики, статус истинности математических рассуждений, использование компьютерных доказательств, формально-логическую строгость и надежность отдельных математических теорий, что, по существу, характеризует фундаменталистское течение в современной философии математики. Проблема обоснования математики, называемая философской проблемой, в действительности является методологической проблемой. А так как философия математики не может «подменить» математику, то философские проблемы обоснования современной математики, используя анализ и практику профессиональных математиков, осмысливаются в диссертации на основе системно-методологического подхода.
Степень разработанности темы исследования. По поводу степени разработанности темы этого исследования можно сказать, что в настоящее время, как в теории познания, так и в философии математики проведена необходимая подготовительная работа для выработки адекватной модели обоснования современной математики, соответствующей пониманию генезиса и исторического развития математики. Прежде всего, необходимо выделить классические работы таких хорошо известных специалистов в философии и методологии современной математики, как Д. Гильберт, Л. Брауэр, К. Гёдель, Г. Кантор, Б. Рассел, Г. Фреге, Г.И. Рузавин, В.Я. Перминов, В.В. Целищев, а также других известных в мировой литературе философов науки. Некоторые аспекты проблемы обоснования математики достаточно детально обсуждались в связи с рассмотрением различных вопросов философии математики.
Обоснование математики состоит из двух взаимосвязанных уровней – математического и философского. Если сущность первого выявляется через применение направления обоснования к конкретной теории, что составляет чисто математическую работу, то сущность второго характеризуется тем, что каждая программа обоснования нуждается еще и в философском анализе ее соответствия исходной философско-методологической задаче. Математики и философы по-разному обозначали задачу обоснования, так как математическое рассуждение может быть правильным по форме, однако необоснованным по содержанию, хотя, уже в отличие от математических способов обоснования, стандарты аргументации философов могут различаться во взглядах на одну и ту же проблему. Диссертантка утверждает, что обоснование математики сводится к рассмотрению следующих условий: к обоснованию строгости и надежности математических доказательств, а также к обоснованию непротиворечивости фундаментальных математических теорий. Понятие обоснованности является довольно широким, охватывая, например, не только собственно доказательные утверждения, но еще и правдоподобные или вероятностные рассуждения.
В диссертации цитируются высказывания выдающихся математиков
«системного типа», использующих разностороннее осмысление философских
проблем современных областей математики, таких, как В.И. Арнольд, М. Атья, А.А. Болибрух, Г. Вейль, Ж. Дьедонне, Л.В. Канторович, А.Н. Колмогоров, Ю.И. Манин, С.П. Новиков, А.Н. Паршин, А. Пуанкаре, М. Стоун и других видных ученых. Центральный вопрос современной постгёделевской философии математики состоит в том, как следует относиться к пониманию перспектив обоснования математики, то есть должны ли мы оставить цели обоснования, содержащиеся в старых программах, а именно оставить их как идеалистические и недостижимые, или мы должны искать другие подходы к их достижению.
Заметим, что после того, как проблема континуум-гипотезы не была решена в «абсолютном смысле», профессиональный математик не всегда может сделать окончательный выбор в существующих дилеммах. Но, диссертантка не согласна с мнением, что если даже что-то «позволительно» для математика, то это «непозволительно» для философа, наоборот считая, что в современной философии математики недооцениваются рассуждения самих математиков. Как точно подметил американский математик Саундерс Мак-Лейн, в философии математики есть множество мнений, которые не доказуемы математически, значительная часть которых «спекулятивна и необоснованна», поскольку «не опирается на рассмотрение самой математики», и нуждается в критическом анализе. Автор диссертации, посвященной обоснованию математики, старалась избежать упрека в том, что в ней слишком мало самой математики, а также критически выступает против утверждения, что цели обоснования математики являются недостижимыми, так как существуют еще и альтернативные подходы. Автор исследования выявляет не то, что разъединяет, а то, что объединяет, хотя приверженцы разных концепций отстаивают собственную позицию.
Цель и задачи научного исследования. Целью диссертационного
исследования является обоснование гносеологических установок, которые
могли бы стать идейной основой для формулировки новой более широкой
программы обоснования математики. В гносеологическом видении математики
реализация указанной цели осуществляется через последовательное решение
следующих взаимосвязанных философских задач:
– проанализировать современное состояние проблемы обоснования математических теорий для выявления результативности использования нового системно-методологического подхода в обосновательной деятельности;
– рассмотреть гносеологические предпосылки, на которые опирались старые программы обоснования математики – формализм и интуиционизм – на основе философского понимания относительности их противостояния;
– определить методологическое влияние на обоснование современной математики результатов Гёделя с точки зрения финитных доказательств непротиворечивости с помощью выбранных логических средств;
– выявить самостоятельные уровни обоснования математики, которые способны охарактеризовать системный подход в обосновании современных математических теорий с точки зрения методологии познания;
– уточнить перспективу нового теоретического продвижения логико-математической процедуры обоснования, сохраняющей также философские направления, которые нельзя считать полностью исследованными;
– определить философско-методологические контуры нового понимания проблемы обоснования современной математики в контексте выхода из методологического кризиса обоснования математики;
– предложить философско-методологическую концепцию обоснования математики как самоорганизующейся системы на основе гносеологической адекватности и практической значимости системного подхода.
Объект и предмет научного исследования. Объектом исследования диссертационной работы является обоснование современной математики как самоорганизующейся системы, а предметом исследования в рамках философии математики – философско-методологический синтез основных действующих направлений обоснования современной математики как концептуальная реконструкция базовых философских понятий и принципов.
Научная новизна работы достаточно высокая и состоит в следующем:
Впервые поставлена задача философской аргументации использования
системно-методологического подхода в обосновании математики.
Сформулирована философская концепция обоснования современной математики, согласно которой развивающиеся математические теории нельзя обосновать, исходя из единственных принципов математического мышления.
Выявлена философская специфика ограничительных результатов Гёделя о непротиворечивости, не исключающих обоснование в контексте возможных подходов к гносеологическим установкам математических теорий.
Раскрыта философская роль системно-методологической целостности как специфической организации математического знания и математического мышления, характеризующей теоретическое новшество исследования.
Установлено, что обоснование математических теорий на основе главных действующих направлений обоснования, формально ограниченных логико-математическими процедурами, требует нового уточняющего описания.
Показано, что анализ гносеологических предпосылок математических теорий на философско-методологическом уровне выявляет системный синтез направлений как необходимый элемент обосновательной деятельности.
Определен эвристический потенциал системно-методологического
подхода к обоснованию математики и проведена апробация предложенной концепции с помощью содержательных математических примеров.
Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том,
что ее результаты дают новую концептуальную основу для дальнейшего
изучения математики. В работе реализован замысел прояснения положения дел
в контексте предшествующей «обосновательной парадигмы». Но поскольку
вопросы обоснования не решены, то что можно предпринять в такой ситуации?
Естественно воспользоваться таким подходом, который не вызывает сомнений
ни со стороны математиков, ни со стороны философов. Для этого используется
системно-методологический подход в обосновании современной математики,
который открывает новый концептуальный взгляд рефлексивного понимания
внутренней эволюции математических теорий. Автор считает, что обоснование
математики требует системного подхода ко всем стадиям обоснования, начиная
с философско-методологического анализа и выявления целей и кончая выбором
оптимального решения для критериев эффективности концепции обоснования, согласующихся с математической практикой. Сущность системного подхода проявляется в выявлении гносеологических предпосылок, способствующих пониманию отношений и связей между математическими объектами разной природы, и в создании методологического подхода на основе понятия системы. Полученные выводы и положения диссертационного исследования могут быть использованы в курсах философии и методологии науки, философских проблем современной математики, методологии научного творчества, а также при преподавании курсов высшей математики для студентов-философов.
Методология и методы исследования. В проведенном исследовании используются следующие общезначимые философские методы: проблемно-аналитический метод – для установления предмета и объекта исследования, методологической базой которых выступают концептуальные положения, разработанные в трудах философов математики; сравнительный анализ – для изучения и сравнения сложившихся подходов в истории философии науки по проблеме обоснования математики; гипотетико-дедуктивный подход – для формулировки и проверки новых содержательных выводов. Методологической основой проведенного диссертационного исследования является системно-методологический подход, базирующийся на принципе целостности системы, принципе несводимости системы к совокупности ее элементов, принципе самоорганизации системы, которые расширяют потенциал классических программ обоснования и обусловливают новое приращение концептуального содержания математического знания в процессе разрешения тех сомнений, которые вызываются очередными кризисами математики. Так системную составляющую системно-методологического подхода в обосновании отличает акцентирование математики как системы специального вида с философским пониманием сложности ее математических теорий, тогда как методологическая составляющая системно-методологического подхода состоит в исследовании методологии математического познания, соотношения между ее различными
методами и в определении сферы применимости математического знания.
Положения, выносимые на защиту:
1. Защищается положение о том, что крушение программ обоснования
математики, выдвинутых в начале прошлого века, не доказывает того, что
обосновательная деятельность в математике теряет философский смысл, так
как применение новых математических методов для аргументации решений в
различных областях знания снова требует обоснования математических теорий.
Источником кризисной ситуации начала прошлого века стало не обнаружение
теоретико-множественных антиномий, как это принято считать, а наложение на
идеальные математические объекты искусственных ограничений, основанных
на философских соображениях, что говорит о несоответствии использованных
средств обоснования его философским задачам. В обосновании математики
конца прошлого века произошли еще два кризиса, связанные с использованием
компьютера в доказательствах и с реальной проблемой переусложненности
математического доказательства. Диссертантка считает, что кризисные явления
в итоге не приводят к разрушению математики и имеют своим последствием не
прекращение обосновательной деятельности, а пересмотр философской задачи
обоснования математики с помощью системного подхода к этой проблеме.
2. Постгёделевская философия математики поставила под сомнение
традиционный образ математики как строгой и хорошо обоснованной науки.
Автор исходит из положения, согласно которому общая задача обоснования
математических теорий была уже ранее строго определена и ясно выражена в
гильбертовской программе обоснования математики, то есть математическая
теория обоснована если имеются основания верить в ее непротиворечивость,
хотя само понятие обоснованности в современной математике является более
широким по объему, поскольку оно еще охватывает не только доказательные
математические утверждения, но и правдоподобные. Математическая теория
является обоснованной, если процедура обоснования сводится к решению двух
вопросов: к обоснованию надежности математических доказательств, а также к
обоснованию непротиворечивости фундаментальных математических теорий. В
таком фундаменталистском контексте диссертантка критически настроена к
фаллибилистской точке зрения на обоснование математики, не считая, что она отражает направленность математического мышления прошлого века.
-
Обосновывается положение, что ограничивающие теоремы Гёделя о неполноте и непротиворечивости, хотя и закрывают реализацию финитных доказательств непротиворечивости, не исключают перспективы обоснования арифметики и других математических теорий, опирающихся на использование трансфинитной метатеории, которая обоснована на основе гносеологического анализа. Результаты Гёделя указывают на относительную слабость избранных логических средств, поскольку обоснование математики нельзя свести к набору дедуктивных правил, поэтому они не оказали «революционного влияния» на представления о своей науке работающих математиков. Но автор еще также считает, что методологические открытия Гёделя стали первыми очень широко прозвучавшими важнейшими рефлексивными результатами математической логики, и проблему обоснования можно теперь анализировать не только с ее точки зрения, поскольку философский интерес к теоремам Гёделя о неполноте обусловлен тем, что они сделали «профилактическую инъекцию» современной математике, избавляющую от ненужных потуг создать «единую теорию».
-
Исследование проблемы обоснования математики позволяет выделить два относительно самостоятельных уровня обосновательной деятельности: уровень логико-математический и уровень философский, или философско-методологический. Диссертантка по сути считает, что обоснование математики при критической конкретизации системно-методологического подхода, должно включать теоретическое продвижение на обоих этих уровнях. Несмотря на то, что используемый системно-методологический подход не является «прямой дорогой» к истинному знанию, как методологический прием он оптимизирует обосновательную деятельность, делая ее продуктивной. Системный подход в обосновании математики, не как алгоритм действия, а по сути, как множество обобщенных принципов, характеризует направление в методологии познания, основой которого является рассмотрение исследуемого объекта как системы
обоснования, которая ориентирована на раскрытие целостности структуры
математических теорий в контексте единства математического знания и гносеологических предпосылок, учитывающих внутренние и внешние связи.
5. В диссертации защищается общее положение, согласно которому
теоретическое продвижение на логико-математическом уровне в настоящее
время реально осуществляется за счет привнесения некоторых новых методов в
структуру старых программ. Специфика системно-методологического подхода
к обоснованию математики проявляется в том, что в качестве элементов или
объектов системы рассматриваются направления обоснования, но, чтобы
система обоснования была более работоспособной, она должна быть еще и
саморазвивающейся, то есть совершенствующей сами способы взаимодействия
направлений обоснования математики, а по мере развития математических
теорий развиваться вместе с ними. Сущность системно-методологического
мышления в обосновании выявляется в ограниченности противоборствующих
направлений обоснования математики, которые оставляют на критической
основе также перспективу синтеза направлений обоснования, поскольку любой
односторонний подход ограничен и поэтому должен быть компенсирован
противоположным подходом в философско-концептуальной целостности.
6. На философско-методологическом уровне продвижение может
состоять в глубоком анализе вторичной концептуализации предпосылок тех
программ обоснования, которые даже до настоящего времени не являются
критически исследованными в должной мере. В работе намечены конкретные
практические философско-методологические контуры понимания проблемы
обоснования современной математики с помощью системной ориентации на
синтез направлений обоснования. Сущность системного синтеза состоит в том,
что такой философский подход меняет структуру обоснования современной
математики, говоря не о главенстве одного из гносеологически конкурирующих
направлений, а об условиях их совместного существования, обеспечивающего
системную целостность концепции обоснования современной математики,
поскольку изменчивым становится сам идеал обоснования математического
знания. Такая системная ориентация на синтез показана на математическом
материале, который в концептуальном осмыслении направлений обоснования устраняет их противостояние, давая новый импульс процессу обоснования.
7. Выдвигается гипотеза о реализуемости системно-методологического подхода к обоснованию математических теорий, что приводит к выводу о их практической эффективности, хотя обоснование теорий остается в основном внутренним, а главным в обосновании математики является теоретический компонент, включенный в процесс общего развития. Она еще дает основание утверждать, что математическая теория, стремящаяся к непротиворечивости, способна к самоорганизации, получая для этого в системной методологии новые импульсы. Отличие такого подхода к обоснованию, характеризуется системно-методологической целостностью, такой организованностью, которая, дифференцируясь в процессе решения конкретных задач устраняет внутренние противоречия. Специфика этой целостности проявляется еще в том, что каждое направление обоснования основано на поиске гносеологических предпосылок, выявляющих такую часть математики, которая в рамках своего направления характеризуется надежностью доказательств и свободна от противоречий, хотя у системы обоснования будет расширяющее и уточняющее ее описание.
Степень достоверности и апробация результатов. В философско-методологическом аспекте достоверность подтверждена с помощью проверки выдвинутых гипотез в анализе содержательных математических примеров, а с точки зрения апробации результатов исследования, материалы диссертации обсуждались на уровне академического сообщества на ряде конференций за последние 10 лет: Международная междисциплинарная научная конференция Третьи Курдюмовские чтения «Синергетика в естественных науках» (Тверь, 2007), Международная научная конференция «Леонард Эйлер и современная наука» (Санкт-Петербург, 2007), III Международная научная конференция, посвященная 85-летию члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2008), Международная научная конференция «Философия и рациональность в культуре глобализирующегося мира» (Минск, 2009), Международная научная
конференция «Довгирдовские чтения – I: эпистемология и философия науки»
(Минск, 2010), Международная междисциплинарная научная конференция
Седьмые Курдюмовские чтения «Синергетика в общественных и естественных
науках» (Тверь, 2011), Международная научно-практическая конференция
«Математика и информатика в естественнонаучном и гуманитарном
образовании» (Минск, 2012), Международная научная конференция
«Императивы творчества и гармонии в проектировании человекомерных
систем» (Минск, 2012), Третья Всероссийская научная конференция
«Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность»
(Москва, 2013), Международная научная конференция «Философия и ценности
современной культуры» (Минск, 2013), Международная научная конференция
«Интеллектуальная культура Беларуси: истоки, традиции, методология
исследования» (Минск, 2014), Международная научно-практическая
конференция «Методология и философия преподавания математики и
информатики» (Минск, 2015), III Международная научная конференция
«Математическое и компьютерное моделирование» (Омск, 2015),
Международная научная конференция и научно-теоретический семинар «Диалог культур в эпоху глобальных рисков» (Минск, 2016).
Основные результаты исследования отражены в 50 научных публикациях соискателя общим объемом около 85 п.л., в том числе трех монографиях: «Системный синтез программ обоснования современной математики» (Минск, 2008), объемом 19,30 п.л.; «Философско-методологические основания постгёделевской математики» (Минск, 2009), объемом 11,51 п.л.; «Философско-методологический анализ проблемы обоснования современной математики» (Минск, 2013), объемом 32,08 п.л.; а также в 16 статьях в научных журналах из перечня изданий, рекомендованных ВАК при Министерстве образования и науки Российской Федерации, 21 статье в рецензируемых научных журналах и 10 статьях в специализированных сборниках научных трудов.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав,
заключения, списка использованной литературы из 205 наименований, включая
43 иностранных. Общий объем диссертационного исследования – 318 страниц.
Роль умеренного платонизма и единства математики в философской проблеме обоснования математики.
Но, в общефилософском плане обоснование математики необходимо еще и для того, чтобы найти средства, гарантирующие надежность сверхсложных современных математических рассуждений и доказательств. Философско-методологическая суть проблемы обоснования состоит в том, что математическое знание требует еще внешнего обоснования, но в силу упомянутой необходимости математики, например, в естественнонаучных приложениях, она не может быть обоснована ничем внешним. «Парадоксальность математической необходимости состоит в том, что ее доказательство вообще не требует обращения к внешнему опыту» [121, с.9]. Поэтому задача абсолютного обоснования математики теряет смысл, хотя это вовсе не предполагает отказа от самой идеи обоснования.
В качестве еще одного предварительного вопроса необходимо обсудить, что означает термин «современная математика»? Даже для того, чтобы только начать предварительный разговор о философских проблемах математики, необходимо знать основные этапы ее истории. В частности, наиболее известная периодизация истории математики была дана академиком А.Н. Колмогоровым в известной работе «Математика в ее историческом развитии». Согласно его классификации, история математики состоит из четырех этапов. Это период «зарождения математики»; период «элементарной математики», начинающийся в VI–V веках до н.э. и завершающийся в конце XVI века; период «высшей математики», охватывающий XVII–XVIII века, то есть период переменных величин; и наконец, период «современной математики», продолжающийся в XIX–XX веках, для которого характерно сознательное расширение предмета математики. Следует заметить, что наименования второго и третьего периодов «элементарной математики» и «высшей математики», даже с точки зрения альтернативных подходов, связывали содержание целого исторического периода только исключительно со школьным и вузовским образованием, хотя, например, уже инфинитезимальные методы Архимеда относятся к высшей математике.
Обсуждая причины возникновения математики как науки в Древней Греции, А.Н. Колмогоров связал их с высоким уровнем искусства спора и аргументации.
Но если говорить о проблемах обоснования современной математики, то нужно ориентироваться на математику ХХ века или хотя бы иметь некоторое общее представление о ней, поскольку для понимания, например, программ формализма и интуиционизма необходимо профессионально знать математику. Заметим, что основные возражения по приведенной периодизации истории математики относились к описанию современной математики. Но, как отмечает видный историк математики А.П. Юшкевич: «Для современной математики XIX–XX вв. А.Н. [Колмогоров] не нашел, а может быть, не искал лаконичной характеристики в немногих словах всего многообразия направлений исследований. Он подчеркивает огромное расширение предмета математики, проблем обоснования теоретико-множественной концепции и в связи с нею расцвет математической логики, аксиоматического метода построения новых структур и т.д.» [157, с.15]. Из-за огромного содержательного разнообразия предмет и методы современной математики не могут быть охвачены каким-то простым определением, которое выражало бы ее единую сущность, поскольку сама эта сущность системна и многообразна. Но можно ли говорить о последних двух столетиях развития математики как о едином периоде? Автор считает, что, в связи с наступившей «эрой компьютеризации», правильнее говорить о первом этапе нового развития математики. Но при всем богатстве направлений и областей, изучаемых современной математикой, целесообразнее, как это и предлагал сам академик А.Н. Колмогоров, говорить о «современном этапе развития математики», в онтологической основе которого лежат принципиально новые методы исследования самых общих математических отношений.
С точки зрения акта философской рефлексии, концепция обоснования математики сама нуждается в собственном обосновании – математическом и философском. Так, по мнению В.В. Миронова: «Математику и философию сближает то, что обе науки исследуют идеи в наиболее чистом виде на высоком уровне абстрагирования от действительности» [87, с.393]. Математическая составляющая проблемы связана с рассмотрением математической теории в соответствии с принципами принятого направления обоснования большинства существующих математических теорий. А какая часть современной математики более всего нуждается в обосновании? Чаще всего речь идет о математическом анализе, который начинается с теории действительных чисел, то есть, в конечном счете, по сути с натуральных чисел и теории бесконечных множеств. Философская составляющая проблемы опирается на общие философские характеристики научного познания, хотя процедуры конкретизирующего обоснования в философии математики, вообще говоря, выполняются не с той методической последовательностью, достоверностью и строгостью, как это делается в математических науках. Когда основным мотивом какой-либо программы обоснования являются исключительно философские соображения, иногда в чем-то чуждые развитию математики как науки, то ее обоснованность становится зависимой от того, насколько обоснована сама философия.
Распространение теоретико-множественного подхода не является самой последней «метаморфозой» современной математики. С теорией множеств как основанием математики сейчас конкурирует теория категорий, хотя в своих терминах она не может выразить все математические понятия. Их отличает то, что теория множеств раскрывает внутренние характеристики математических объектов, а теория категорий описывает их внешним образом, через связи с другими подобными объектами. На примере алгебраической теории категорий, способствовавшей развитию системного подхода в науке, В.Э. Войцехович выявил общую схему формирования математических теорий, проходящих три этапа: индуктивный, интуитивный и дедуктивный. «Первый, самый длительный этап – формирование предпосылок теории, которые возникают независимо друг от друга в различных областях математики. Затем выявляется сходство между теоремами разных теорий, объединяемых некоторой пока еще туманной идеей. И наконец, возникает необходимость синтеза этих теорем в каком-то новом, еще не созданном объекте (понятии).
Теоремы Гёделя о неполноте и эволюция обоснования в постгёделевской философии математики
Проведенный философский и методологический анализ обоснования математических теорий показывает, что понимание математической сущности выходит за пределы логических понятий. Например, если в начале прошлого века преобладало убеждение, согласно которому философско-методологический вопрос об обосновании математики можно решить в рамках математики, то сейчас стало понятно, что обоснование математических теорий средствами только математики и логики недостижимо. В контексте философии Платона, каждая реальная вещь – это приближенная реализация идеи. С точки зрения реализации разрабатываемых новых идей в философии и математике, определенный баланс между философией и математикой устанавливается только тогда, когда исследование философско-методологических проблем математики доходит до ее «предельных оснований». Можно даже определенно сказать, что такой баланс – это реальное достижение философии науки конца XIX – начала ХХ веков, которое четко зафиксировано в философии современной математики со времени появления первых программ обоснования ее теорий.
Отдельные философы математики считают термин «платонизм» не совсем этимологически удачным, поскольку он иногда даже ассоциируется со специфическими вопросами математического мышления, контекст которых не всегда понятен. Поэтому также употребляют другие термины, например, такой, как «математический реализм», хотя сам термин «реализм» философски перегружен, а понимание реализма обсуждается и в философии математики. В частности, «внутренний реализм», появившийся в философии математики благодаря американскому логику и философу Хилари Патнэму, предполагает, что все суждения о математических объектах определяются содержанием математической теории и ее методологическими особенностями. Напомним также, что термин «реализм» происходит от латинского слова «realis», то есть вещественный. Например, «умеренные реалисты» тоже соотносят некоторые математические объекты с вещественными предметами, хотя они не всегда критически используют существующее представление о математической реальности. В частности, Х. Патнэм высказал убеждение, что принятие реализма в математике является средством, спасающим от превращения математики в «необъяснимое сказочное явление» [192, р.60]. Если объекты, изучаемые в математике, существуют в духе платонизма как абстрактные сущности, то следует признать востребованность платонизма, который вытекает из понимания реальности, обусловленной математическими сущностями, в силу веры в положение дел, существующее независимо от нас, то есть в платонизм.
Известно, что философские направления обоснования математики по-разному трактуют вопрос о существовании математических объектов. Веру в существование абстрактных объектов можно также назвать «математическим платонизмом». Так, например, теоретико-множественная концепция Кантора восходила к учению Платона, хотя современная версия платонизма в математике не слишком похожа на изначальное платоновское видение математического мира, философская суть этого вопроса остается прежней. Она, прежде всего, проявляется в том, что, когда абстрактным объектам придается онтологический статус, их реальное существование рассматривается наравне с существованием конкретных объектов. Математики привычно считают, что математические объекты принадлежат в том или ином смысле «миру идей», и что формально непротиворечивые теории описывают математическую реальность, но по этому поводу высказываются следующие философские возражения. Так, по мнению философа науки и методолога науки С.А. Лебедева, «главными возражениями платонистской концепции существования математических объектов являются: а) противопоставление математической реальности как онтологически двух разных видов реальности, б) существование в математике плюрализма в представлении содержания одних и тех же математических объектов…» [73, с.102]. Но математический платонизм зарождался в процессе отделения математики от физического мира, а его возрождение в сущности можно отнести к XIX веку, когда математики стали свободно пользоваться платонистской объективизацией понятия актуальной бесконечности и новой идеей бесконечного множества.
Критериями существования математических объектов является их логическая непротиворечивость, поэтому возможно потребуются новое понятие множества или даже новые теоретико-множественные аксиомы, которые в итоге позволят устранить иллюзорную парадоксальность существования философских интерпретаций понятия бесконечного множества. В частности, дополнительная философская аргументация необходимости математического платонизма в математическом познании заключается в том, что эта философская идея стала представляться первичным, непосредственно ясным и исходным понятием в отношении понятий, которыми оперирует сейчас теоретическая математика. В философии современной математики платонизм наиболее отчетливо, как утверждает В.В. Целищев, представлен у немецкого логика и математика Готлоба Фреге, который стремился подтвердить свои философские рассуждения математическими результатами: «Действительно, Фреге ответственен за четкую постановку позиции платонизма в отношении математики, по сути различив онтологический платонизм, эпистемологический платонизм и методологический платонизм» [144, с.495]. Это отражает многообразие взглядов, которые в разной степени апеллируют к платонистскому признанию абстрактных объектов. Так в «онтологическом платонизме» роль абстрактных математических объектов приравнивается к физическим объектам, в «эпистемологическом платонизме» дается представление о способах познания абстрактных объектов математики, а в «методологическом платонизме» характерной чертой является использование в логике математических рассуждений таких неконструктивных математических методов, как, например, критикуемый закон исключенного третьего.
Системный подход к математическому познанию и его возможности в методологии фрактальной геометрии
Специфика философии математики как особого раздела философии науки определяется тем, что, являясь частью философии, занимающейся вопросами обоснования математики, она дает философское осмысление математики как важнейшего гносеологического инструмента естественнонаучного знания. В философии математики по-прежнему анализируются взгляды Гильберта и Брауэра как представителей главных философско-математических направлений ХХ века. Философские программы формализма и интуиционизма признаны наиболее удачными и до сих пор все еще оказывают существенное влияние на систему обоснования математики, даже несмотря на то, что в их основе лежит язык теории множеств, которого в качестве «языкового фундамента» для новых теорий современной математики уже не хватает. С точки зрения системного-методологического подхода традиционная «унифицирующая роль» языка теории множеств, в связи с поиском новых математических оснований для физических теорий, со временем перейдет к теории категорий. «Категорная философия» характеризуется тем, что поскольку понятие процесса становится для науки все более фундаментальным, то «любой данный тип объектов нужно рассматривать вместе с преобразованиями объектов данного типа друг в друга и в самих себя» [119, с.71]. Но для математики понятие множества остается тем важнейшим понятием, в терминах которого можно формулировать остальные математические понятия, и поэтому в них обсуждается сейчас актуализация системы обоснования современной математики, где двойственность формализма и интуиционизма как важнейших гносеологических предпосылок обоснования математики непосредственно связана с их взаимной дополнительностью.
Философская интерпретация взаимной дополнительности предполагает, что математические структуры природы представляют собой сложную иерархию двухполюсных систем, подразделяющихся также на «дискретное – связное», «случайное – необходимое», «конечное – бесконечное» и другие системы. Философски дискутируемая тема двойственности «актуальное – потенциальное» интересна с точки зрения реализации подходов к обоснованию математики как теоретически сложной системы, хотя с математической точки зрения в контексте обоснования современной математики понятие актуальной бесконечности является более проблематичным, чем еще и априорный характер потенциальной бесконечности. Согласно «абстракции актуальной бесконечности», бесконечные совокупности и процессы рассматриваются как завершенные объекты, которыми можно свободно оперировать, тогда как, согласно «абстракции потенциальной бесконечности», предполагается выполнимым лишь построение конечных объектов даже сколь угодно сложных и, соответственно, считается выполнимым любое конечное число математических действий. Например, сложность понятия конечности состоит еще в том, что оно оказывается невыразимым на языке классической логики, а философская сущность сложного понятия бесконечности проявляется в том, что бесконечность, не представляемая как завершенная, тем не менее используется в математике как завершенная. Это по сути проявление диалектики в математике, то есть переход в противоположность, точнее, в связи с вопросом о соотношении идеального и материального, изменение понятия бесконечности вплоть до «отождествления противоположностей». В частности, в компьютерной математике, а также компьютерных устройствах обработки информации, мы используем слова «смысл» и «понимание», обозначающие категории человеческого поведения. Поэтому выявление роли субъекта в познавательной математической деятельности занимает сейчас особое место в философском обосновании принимаемых приемов рассуждения.
Известно, что в современном естествознании широко используются два взаимодополнительных способа описания многих физических явлений природы – это классический и квантовый. Средством разрешения эпистемологических проблем, возникающих в связи с разграничением субъекта и объекта, Нильс Бор считал дополнительный способ описания, успешно примененный им в квантовой физике. В своей работе «О понятиях причинности и дополнительности» Нильс Бор писал: «Тот факт, что квантовые явления не могут быть проанализированы на классической основе, означает невозможность отделить поведение атомных объектов от взаимодействия этих объектов с измерительными приборами, необходимыми для определения условий, в которых протекают рассматриваемые явления» [18, с.393]. Он обозначил эту зависимость термином «дополнительность» для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что в противоречащих друг другу явлениях мы имеем дело с различными, но одинаково существенными аспектами единого комплекса сведений об объектах. Похожая методологическая ситуация сложилась по существу с гносеологически противостоящими подходами к проблеме обоснования математики. Особо хочется обратить внимание на роль содержательных рассуждений в проблеме обоснования современной математики, так как в методологических вопросах обоснования математики содержатся не только собственно строго формальные или конструктивные, но также и многие содержательные аспекты. Философское исследование по проблеме обоснования математики тоже не может быть чисто формальным, так как такого рода рассуждения должны иметь содержательный и желательно интуитивно убедительный характер, не исключая нестандартные примеры и контрпримеры из математики. Поскольку абстрактные идеальные элементы и формальные структуры не дают исчерпывающего описания всех возможных математических соотношений, то их описание по сути необходимо дополнять содержательными характеристиками, доступными интуиции.
Практическая эффективность процесса самоорганизации теорий математики в контексте философии образования
Напомним, что в упомянутой ранее гегелевской концепции саморазвития целостное образование порождает «свое иное», которое вступает с прежним целым в рефлексивную связь, затем под его воздействием перестраивается, а после этого такой процесс снова повторяется, но уже на качественно другой основе. В подобном контексте можно выявить философский смысл изменений в гносеологии обоснования математики, а именно, отмену одной целостности и замену ее другой, или «своей иной», то есть в контексте системы обоснования математики «системно-методологической целостностью». Но, что представляет собой эта новая целостность? Системность методологических обосновательных процедур означает, что они выступают неким неразрывным целым, в котором следствия и посылки взаимно поддерживают друг друга, а целостность, в отличие от «суммативности» системы, означает, что изменения в отдельной части системы вызывают изменения других частей. Современная математика устроена так, что ее части или области исследований взаимодействуют между собой, и развитие одного направления исследований затрагивает другие области математики. Заметим также, что в основе системной концепции И. Канта лежит идея систематизирующей роли разума в познании. В результате системного синтеза происходит соединение чувственного созерцания, категорий рассудка и идей разума, что способствует формированию знания как системы, в результате чего оно приобретает закономерный характер. «Сущность системного подхода состоит в следующем: в процессе системного исследования, в отличие от несистемного, производится последовательный переход от свойств и отношений, понимаемых как вещи, к собственно вещам: от концепта и структуры к субстрату» [48, c.45]. Для понимания сути концепции обоснования современной математики надо свести ее направления в общей модели и получить систему обоснования, которую можно анализировать с различных точек зрения в системной методологии, обеспечивающей целостность восприятия.
После попыток внутриматематического обоснования формируется новый уровень рефлексии целостной концепции – системно-методологической целостности, то есть такой ее структурной организованности, которая в процессе генезиса саморазвития математических теорий дифференцируется, порождая новые соотношения в соответствии с философскими и методологическими запросами современной математики. С точки зрения самоорганизующихся или саморегулирующихся систем, категории части и целого включают в свое содержание новые смыслы. Поэтому В.С. Степин необходимость введения понятия «системная целостность» аргументирует следующим образом: «При формировании новых уровней организации происходит перестройка прежней целостности, появление новых параметров порядка. Иначе говоря, необходимо, но не достаточно зафиксировать наличие системного качества целого, а следует дополнить это понимание идеей изменения видов системной целостности по мере развития системы» [128, с.68]. Известно, что удачная философская идея по мере ее развертывания «обосновывает сама себя», и появляется новое понимание процессов взаимодействия в сложных саморегулирующихся системах. В контексте философской идеи системного подхода наиболее адекватным будет определение такой целостности, специфику которой невозможно познать, если исходить только из внутренних характеристик по отношению к обоснованию математических теорий. Например, поскольку даже логическое обоснование математики, в силу известных гёделевских результатов, не достигло желаемых результатов, то вера математиков в непротиворечивость теорий основывается на практическом отсутствии реальных противоречий в этих теориях.
В качестве третьего дополнительного аргумента, поддерживающего главный тезис этого философского исследования, рассмотрим следующий тезис. Основная трудность обоснования математики осложняется также отсутствием однозначного восприятия самого философского понятия «обоснование», что предполагает относительность подходов в исследовании гносеологических предпосылок обоснования. Целесообразно вспомнить о различии правильного рассуждения и его обоснованности в том смысле, что математическое рассуждение может быть правильным по форме, но необоснованным по содержанию. Можно предположить, что понятие обоснованности в современной математике является более широким по объему, поскольку оно охватывает не только доказательные математические утверждения, но и правдоподобные, или, например, вероятностные рассуждения. Следует еще раз особо подчеркнуть, что главная структурная особенность новой целостной концепции обоснования современной математики состоит в синтезе действующих направлений обоснования, существующих в контексте целого. Необходимость философско-методологического синтеза в обосновании современной математики, с точки зрения новых гносеологических предпосылок, обусловлена следующими тремя важными факторами: во-первых, утратой целостности структуры обоснования математики; во-вторых, появлением новых форм математической деятельности; в-третьих, методологическим единством нового математического знания.
Исследование системной целостности концепции обоснования математики предполагает решение двух взаимосвязанных задач. Одна из них связана со структуризацией направлений обоснования математики в соответствии с «принципом целостности», который, следуя определению Ю.С. Владимирова, состоит в том, что «ключевые закономерности теорий (законы, уравнения) должны включать в себя характеристики всех категорий используемой парадигмы» [33, с.126]. Другая задача связана с адекватным отображением на предметно-содержательном уровне также целостных характеристик развития математического знания, например, в соответствии с «метафизическим принципом тринитарности», который в фундаментальной теоретической физике, по мнению Ю.С. Владимирова, принимает «вид троичности в редукционистском подходе и вид триединства в холистическом подходе» [33, с.125]. Заметим, что холистический подход можно охарактеризовать как способ рассмотрения интересующего нас вопроса в виде неразрывного целого, акцентирующий внимание на общую картину, опуская несущественные частности.