Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы 9
1.1 Общие сведения о цунами 9
1.2 Теория длинных волн 12
1.3 Волны цунами: оперативный прогноз и способы регистрации
1.4 Остаточные вихревые поля в очагах цунами 25
Глава 2. Остаточные гидродинамические поля. Статические задачи 29
2.1 Однородный океан 29
2.1.1 Физическая модель и математическая постановка задачи 29
2.1.2 Осесимметричная задача. Аналитическое решение 32
2.1.3 Свойства осесимметричных остаточных полей 34
2.1.4 Влияние пространственной формы и неоднородностей источника на остаточные поля
2.1.5 Параметры остаточных полей в зависимости от моментной магнитуды землетрясения
2.2 Стратифицированный океан 47
2.2.1 Физическая модель и математическая постановка задачи 47
2.2.2 Приближенное аналитическое решение 50
2.2.3 Влияние стратификации на остаточные поля 53
2.3 Выводы к Главе 2 58
Глава 3 Динамика формирования остаточных полей 60
3.1 Учет вращения Земли в гидродинамических моделях цунами 60
3.2 Физическая модель и математическая постановка задачи 61
3.3 Динамика формирования остаточных полей в океане постоянной глубины
3.4 Осесимметричная динамическая задача 67
3.5 Выводы к Главе 3 76
Глава 4 Горизонтальные движения водного слоя при прохождении волн цунами по данным густой сети глубоководных станций уровня моря
4.1 Новые возможности восстановления волнового поля цунами по данным густой сети глубоководных станций уровня моря
4.2 Предварительная обработка данных 79
4.3 Восстановление горизонтальных движений: метод и результаты
4.4 Выводы к Главе 4 90
Основные результаты диссертации 91
Список работ автора по теме диссертационной работы 93
Список литературы 95
- Волны цунами: оперативный прогноз и способы регистрации
- Осесимметричная задача. Аналитическое решение
- Физическая модель и математическая постановка задачи
- Восстановление горизонтальных движений: метод и результаты
Волны цунами: оперативный прогноз и способы регистрации
Цунами, что в переводе с японского означает «волна в гавани», представляет собой серию низкочастотных волн, вызванных мощным воздействием на водный слой. Такие волны обычно наносят колоссальный ущерб прибрежной инфраструктуре и сопровождаются большим количеством жертв, так как данное явление практически невозможно предотвратить. По крайней мере, как показал опят катастрофического цунами 11 марта 2011 года в Японии, береговые дамбы далеко не всегда представляют собой надежную защиту. Однако, в большинстве случаев волны цунами можно спрогнозировать, - именно в этом направлении развиваются исследования этой грозной природной катастрофы.
Подробные сведения о географии, физике, гидродинамике, методах моделирования и прогноза волн цунами можно найти в монографиях [Мурти, 1981; Марчук и др., 1983; Пелиновский, 1996; Левин, Носов, 2005; Bryant, 2008; Levin, Nosov, 2016] и обзорах [Voit, 1987; Okal, 2011; Носов, 2014; Рабинович, 2014; Гусяков, 2014].
Фактическая информация о цунами-событиях ранее собиралась в каталогах [Соловьев, Го, 1974, 1975; Соловьев и др., 1986, 1997; Heck, 1947; Imamura, 1949; Takahasi, 1951; Iida, 1956; Lander et al., 2002]. В настоящее время основной источник фактической информации - исторические электронные базы данных по цунами. Отметим два наиболее известных источника. Первый источник Historical Tsunami Database for the World Ocean (HTDB/WLD) - база данных, которая создана и поддерживается В.К.Гусяковым (ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск). Второй источник NGDC/WDS Global Historical Tsunami Database (NOAA).
На настоящий момент в базах данных содержится информация о более чем 2500 событиях в океанах и морях, которые привели к цунами. Из них 1589 относится к Тихому океану, 470 к Средиземному морю, 181 к Атлантическому океану, 107 к Карибскому морю и 23 к Черному и Каспийскому морям.
Опасность, которую несут с собой волны цунами, связана в первую очередь со следующими тремя факторами [Левин, Носов, 2005; UNESCO-IOC. Tsunami Glossary, 2006]: внезапным затоплением части суши, волновым воздействием на сооружения и эрозией. Сильные потоки воды, достигающие скоростей в десятки метров в секунду, способны ломать и перемещать дома, подмывать фундаменты зданий, разрушать мосты, портовые конструкции. Потоки воды часто несут в себе обломки зданий и прочих сооружений, деревья, малые и большие суда, что не оставляет шансов на выживание у человека, попавшего в такой поток. Ущерб, наносимый цунами, может быть также связан с пожарами, загрязнением окружающей среды, эпидемиями, возникшими в результате разрушения береговой инфраструктуры.
Несмотря на успехи в изучении цунами, разработанные методики прогноза и предупреждения, оказалось невозможным предотвратить катастрофические события последних лет. Волны, обрушившиеся на побережье Японии 11 марта 2011 г., в очередной раз продемонстрировали, что даже такая высокотехнологичная страна, обладающая наиболее богатым историческим опытом в практических исследованиях волн цунами, оказалась уязвимой перед лицом стихии. Максимальная высота заплеска при этом цунами превышала 50 метров, а горизонтальный заплеск достигал почти 8 км [HTDB/WLD]. Количество жертв составило более 18 тыс. погибших. Материальный ущерб, нанесенный Японии волнами цунами, оценивается в четверть триллиона долларов USD Тяжелые экологические последствия радиационной аварии на АЭС Фукусима-1 ещё долго будут напоминать о себе. Удар цунами вывел из строя внешние средства электроснабжения и резервные дизельные генераторы, что явилось причиной неработоспособности всех систем нормального и аварийного охлаждения и привело к расплавлению активной зоны реакторов на энергоблоках в первые дни развития аварии.
Другой яркий пример катастрофы XXI века — цунами в Индонезии 26 декабря 2004 г. Отсутствие региональной системы предупреждения о цунами привело к беспрецедентному количеству жертв более 227 тыс. погибших [Levin, Nosov, 2016].
В соответствии с исторической базой данных о цунами в Мировом океане HTDB/WLD большинство событий (73%) вызываются сильными подводными землетрясениями. В некоторых случаях образование цунами обязано оползням (3.4%), извержениям вулканов (4.7%) и метеорологическим причинам (3.6%). В некоторых случаях цунами было результатом комбинации событий: землетрясения и оползня (3.6%), извержения вулкана и землетрясения (0.5%) и извержения вулкана и оползня (0.4%). Для оставшихся событий источник установить не удалось. Активно обсуждается возможность генерации цунами при падении в океан метеоритов [Crawford, Mader, 1998; Solem, 1999; Paine, 1999; Ward, Asphaug, 2000; Gisler et al., 2011; Kozelkov et al., 2015], но за все время существования нашей цивилизации таких событий зарегистрировано не было.
Главной причиной разрушительных цунами являются резкие вертикальные смещения участков дна при сильных подводных землетрясениях. Основной механизм генерации цунами землетрясением связан с вытеснением некоторого объема воды остаточной деформацией дна [Левин, Носов, 2005]. Вытесненный объем воды при цунамигенных землетрясениях варьируется от единиц до десятков кубических километров [Bolshakova, Nosov, 2011]. При очень сильных событиях, таких как Япония 2011 вытесненный объем может достигать ста кубических километров [Носов и др., 2011]. По мере распространения волны из области источника, вытесненный объем распределяется (растекается) по близлежащей области под действием силы тяжести. Этот процесс сопровождается заметными остаточными перемещениями частиц воды в горизонтальном направлении. На подобное движение воды влияет вращение Земли, что сказывается на характере её движения, которое приобретает вихревую составляющую из-за сил Кориолиса. Причем интенсивность движения (скорость) напрямую зависит от мощности землетрясения, а направление вращения - от направления движения дна (поднятие или опускание) во время землетрясения. Настоящая диссертационная работа во много посвящена анализу деталей этого процесса.
Волны цунами отличаются от других природных катастроф тем, что способны сохранять свою разрушительную силу при распространении на многие тысячи километров [Гусяков, 2014, Levin, Nosov, 2016]. Так, например, Гавайские острова периодически подвергаются воздействию волн цунами, которые вызываются удаленными источниками – землетрясениями, происходящими по периметру Тихого океана в так называемом огненном кольце. Специалистам хорошо известны катастрофические проявления Чилийского цунами 1960 г. на противоположном берегу Тихого океана (на расстоянии около 17 тыс. км!) в Японии (138 погибших и $50 миллионов ущерб – по данным USGS, Historic Earthquakes) и на дальневосточном побережье России (ущерб 30 млн. руб. СССР). Впечатляющий пример разрушительного дальнодействия цунами связан также с волной, вызванной землетрясением 1946 г. у Алеутских островов. Преодолев расстояние около 16 тыс. км, волна повредила хижину английской экспедиции на острове Винтер вблизи Земли Грэхема в Антарктиде [Fuchs, 1982; Гусяков, 2014]. Есть свой пример трансокеанского цунами и в Атлантическом океане: землетрясение в Лиссабоне 1755 г. сопровождалось волнами с амплитудой более 3 м на островах Карибского моря (расстояние от источника свыше 5 тыс км).
Осесимметричная задача. Аналитическое решение
Система обсерваторий DONET-2 в целом эквивалентна системе DONET-1. Система DONET-2 включает 29 станций. Первая станция начала работу в марте 2014 г. К настоящему времени установка станций полностью завершена. (http://www.jamstec.go.jp/donet/e/). Основная цель данного проекта – исследование сейсмической зоны Нанкай, которая считается одной из самых активных и потенциально опасных у побережья Японии.
Гидродинамическое моделирование цунами все еще представляет собой весьма трудоемкую вычислительную задачу. В оперативном режиме такое моделирование не всегда возможно. В этой связи появились интересные технологии оперативного прогноза, использующие предварительные расчеты цунами от набора «единичных источников». Вначале такие разработки появились в Японии [Tatehata (1998); Handbook for Tsunami Forecast (2001)], а затем и в PMEL/NOAA [Titov et al., 2003; Gica, 2008]. Технология, созданная в PMEL/NOAA, именуется SIFT (Shorterm Inundation Forecasting for Tsunamis). В настоящее время она используется для защиты побережья США. В случае потенциально цунамигенного землетрясения из «единичных источников» составляется композиция, аппроксимирующая очаг цунами. Из серии заранее проведенных численных расчетов, соответствующих выбранным «единичным источникам», формируется линейная комбинация - прогноз цунами для заданного участка побережья. По своей сути эта технология напоминает японскую систему прогноза. Но есть и принципиальное отличие. Важнейшей прогрессивной особенностью системы SIFT является заложенная в нее возможность корректировать прогноз по мере того, как волна цунами начинает регистрироваться сначала ближайшей к источнику, а затем и более удаленными глубоководными станциями уровня моря DART. Видно, что и в этом случае глубоководные станции играют важнейшую роль в обеспечении надежного прогноза.
Глубоководные станции уровня моря, безусловно, зарекомендовали себя как надежное и удобный способ регистрации волн цунами в открытом океане. Но это не единственно возможный способ. Волны цунами также может быть зарегистрированы с использованием GPS буев [Kato et al, 2000; 2008; 2011], спутниковых альтиметров (радиовысотомеров) [Okal et al, 1999; Куликов и др., 2005], береговых радаров [Barrick, 1979; Lipa et al, 2012]. Еще один перспективный метод обнаружения цунами - анализ ионосферных возмущений, образуемых смещением поверхности воды. В частности, описание ионосферных проявлений цунами Тохоку 2011 можно найти в работах [Куницын, Воронцов, 2014; Makela et al., 2011].
Перечисленные выше способы регистрации цунами основаны на прямом или косвенном измерении колебаний уровня моря. Но, наряду с информацией об уровне моря (вертикальные движения), немаловажную роль в оценке опасности цунами может играть информация о горизонтальных движениях воды в районе источника цунами [Носов и др., 2011; Nosov, 2011]. Известно, что в длинноволновых процессах (кН«1, где к -волновое число, Н - глубина океана), к которым относятся волны цунами, амплитуда горизонтальных движений Ах существенно превосходит амплитуду вертикальных движений Az, то есть выполняется соотношение: Ax/Az=l/kH [Лайтхилл, 1981]. В настоящий момент роль информации о горизонтальных движениях, по-видимому, недооценена. Недооценка, скорее всего, связана с тем, что техническая возможность регистрации горизонтального движения возникла сравнительно недавно (последние десятилетия). В то время как регулярные измерения уровня моря ведутся более столетия.
Горизонтальные движения воды могут быть зарегистрированы, например, следующими методами: (1) дрифтерами (буями), оборудованными ГЛОНАС/GPS приемниками, или акселерометрами [Okal and MacAyeal, 2006], (2) при обработке последовательности спутниковых снимков высокого разрешения [Etaya et al, 2005], (3) донными регистраторами скорости течения [Mikada et al, 2006]. Особо хотелось выделить работу [Okal and MacAyeal, 2006], в которой описана регистрация цунами сейсмометром (акселерометром), установленном на айсберге в море Росса. Прибор успешно записал горизонтальные и вертикальные движения айсберга при прохождении цунами, вызванного землетрясением в Индонезии 26 декабря 2004 г. Амплитуда горизонтальных движений составила 1.33 м, а амплитуда вертикальных движений - 0.14 м. Примечательно, что это регистрация явления в дальней зоне. Нет сомнений, что вблизи источника аналогичная регистрация показала бы более значительные величины.
Физическая модель и математическая постановка задачи
В этом разделе в рамках линейной теории длинных волн получена система уравнений, описывающая потенциальное и вихревое остаточные гидродинамические поля, возникающие во вращающемся стратифицированном (двухслойном) океане в процессе генерации цунами косейсмическими деформациями дна. Для модельного случая цилиндрически симметричной деформации дна найдено приближенное аналитическое решение задачи. На основе этого решения для условий, свойственных реальным очагам цунами, проанализированы особенности остаточных полей, обязанные наличию стратификации.
Будем рассматривать безграничную вдоль горизонтальной плоскости несжимаемую двухслойную жидкость на вращающейся Земле. Постановка задачи схематически представлена на Рис. 2.2.1.1. Верхний слой имеет толщину H1 и плотность
р, а нижний слой - толщину H2 и плотность р + 5р (5р 0). Сферичностью Земли пренебрежем. Начало прямоугольной системы координат расположим на свободной невозмущенной поверхности верхнего слоя. Ось 0z направим вертикально вверх, а оси 0x и 0y - на восток и на север соответственно.
Для описания движений жидкости применим уравнения линейной теории длинных волн, записанные с учетом силы Кориолиса и предположения о малости перепада плотностей между слоями (5р/р « 1) dv, дЕ, г где w. и v; - компоненты горизонтальной скорости течения / -го слоя (/ = 7, 2 ) вдоль осей Ох и 0 соответственно, . - смещение поверхности / -го слоя от равновесного положения, г) - смещение поверхности дна от исходного положения, g - ускорение силы тяжести, / - параметр Кориолиса (/ = const).
Пусть до землетрясения положение дна определяется формулой zb = -Н, и оба слоя находятся в состоянии покоя w. = v. = . = 0. После землетрясения дно перемещается в новое положение zb = -Н + rjx (х, у), где rjx (х, у) - остаточная деформация дна (77оэ ), которая является причиной формирования остаточных гидродинамических полей в рассматриваемой системе. Подход к решению задачи (2.2.1.1)–(2.2.1.3) аналогичен тому, который был использован в предыдущей главе. Вначале поле скорости течения представляется как сумма потенциальной и вихревой компонент где q i - потенциал, у/ - функция тока / -го слоя. Компоненты скорости течения, выраженные через потенциал и функцию тока посредством формул (2.2.1.4), подставляются в уравнения (2.2.1.1) - (2.2.1.3), которые затем интегрируются по времени от 0 до оо. В итоге получаем систему стационарных дифференциальных уравнений, которая описывает потенциальное и вихревое остаточные поля в двухслойной вращающейся жидкости (2.2.1.7) где гЪо - остаточное смещение г -й поверхности в геострофическом вихре, \/гоо - функция тока, описывающая остаточное вихревое поле, Фг = Гфг dt - потенциал смещений, по которому рассчитывается вектор остаточного смещения частиц воды в горизонтальном направлении D!OD = УФ!..
Исключая из уравнений (2.2.1.5)-(2.2.1.7) функции \/г и Фг, приходим к следующей системе: R0 AioD = (1 + у)(%1х -2оэ), (2.2.1.8) л; Д д2оэ - д2оэ = (7?»+ 7І?ІОО), (2.2.1.9) 7 + RQ = CO//, R-i=ci/f , co = \g(Hі + 2) , c; = gSpH1H2 p(Hl + H2) где R0 и R} - баротропный и бароклинный радиусы деформации Россби [Gill, 1982], с0 -скорость длинных гравитационных волн в однородной жидкости, с, - скорость длинных внутренних волн в двухслойной жидкости [Gill, 1982], у = Н2/Н1 - отношение толщин нижнего и верхнего слоев.
В качестве граничных условий для задачи (2.2.1.8)-(2.2.1.9) следует потребовать стремление к нулю решений Е,1х и 2оэ на бесконечном удалении от источника.
Остаточное смещение Di00 и компоненты скорости вихревого течения ujoB и vjoB также должны стремиться к нулю на бесконечности. Кроме того, решение, конечно, должно быть ограниченным. По заданной остаточной деформации дна т]х из решения системы (2.2.1.8)-(2.2.1.9) определяются функции Е,1х и 2оэ, по которым - с использованием уравнений (2.2.1.5) и (2.2.1.6) - рассчитываются все остальные искомые функции Ф. и y/ix : 1сю 1сю Ф; = Jhin, (2.2.1.10) Я („ Sp „ \ е[, So „ \ 2оо= Ьіаз + ?2 ю , 2 = 2 Ь1оо+ %2оо . (2.2.1.11) f\PJ f — С Ф = =2 V Р J
Вообще говоря, формулы (2.2.1.10), (2.2.1.11) верны с точностью до функции, являющейся частным решением плоского уравнения Лапласа, например, С0 + С;х + С2у, где С0, С1 и С2 - константы интегрирования. В силу того, что искомые величины (остаточное смещение частиц воды и скорость в геострофическом вихре) выражаются через производные 1-го порядка по пространству от функций Ф. и y/ix, величина константы С0 не имеет значения. А из условия стремления решения к нулю на бесконечности следует С] =С2 =0. Для иного частного решения уравнения Лапласа, например, Cjln(x2 +у2) + С0, константа интегрирования С1 = 0 в силу ограниченности решения в начале координат (величина С0 вновь не имеет значения). Кроме приведенных выше двух примеров, уравнение Лапласа, конечно, имеет и другие частные решения [Полянин, 2001]. Но во всех случаях, по указанным выше причинам, константы интегрирования в этих решениях следует выбирать равными нулю.
Восстановление горизонтальных движений: метод и результаты
На первом этапе вариации давления приводились к нулевому уровню путем вычитания из сигнала среднего значения за временной интервал 4.5 сут (с 09:00/10.03.2011 до 21:00/14.03.2011). Именно в указанный временной интервал все 10 станций работали без сбоев. Приведение сигнала к нулевому уровню необходимо для устранения статических погрешностей в измерениях придонного давления.
На втором этапе из вариаций давления отфильтровывались высокочастотные компоненты, которые не имеют отношения к длинным гравитационным волнам. Известно, что в монохроматической волне смещение свободной поверхности воды относительно равновесного положения , связано с вариациями придонного давления р следующей классической формулой [Лакомб, 1974]: р = , (4.2.1) pg, cosh(kH) где g — ускорение силы тяжести, Н — глубина океана, р — плотность воды, к — волновое число, связь которого с циклической частотой волн дается дисперсионным соотношением со2 = gk tanh(kH). Из формулы (4.2.1) следует, что короткие (высокочастотные) волны проявляются в вариациях придонного давления с ослаблением или не проявляются вовсе, в то время как длинные волны проявляются без ослабления - в соответствии с законом гидростатики р = pg,. Это свойство используется при интерпретации измерений гравитационных волн донными датчиками давления [Рабинович, 2014; Кузнецов и др., 2014; Levin, Nosov, 2016]. Итак, при удалении высокочастотных компонент сигнала, которые не могут иметь отношения к длинным гравитационным волнам, частота отсечки фильтра /c выбиралась таким образом, чтобы вариации придонного давления р соответствовали закону гидростатики р = pg, с точностью не хуже 10% [Носов, Григорьева, 2015; Levin, Nosov, 2016]: /c « 0.0718д/g/H . (4.2.2) Станции системы DONET установлены на глубинах от 1924 м (B8) до 3511 м (C9), причем большинство из них — на глубинах около 2000 м. Для глубины 2000 м частота отсечки фильтра, рассчитанная с применением формулы (4.2.2), составляет /c « 0.005 Гц. Для дальнейшей обработки данных важно, что минимальные длины рассматриваемых гравитационных волн (Хс = -JgH / fc 13.9Н « 28000 м) соответствуют, а в ряде случаев и превосходят, расстояние между станциями. Рис. 4.2.3. Положение свободной поверхности воды (результат интерполяции) в последовательные моменты времени UTC (указаны на рисунке), восстановленное по данным донных датчиков давления системы DONET. Черными точками показаны фактические данные для местоположения станций DONET.
Результат выделения низкочастотной составляющей вариаций давления (частота отсечки фильтра f c 0.005 Гц), зарегистрированных станцией A2, представлен на рис. синей кривой. Видно, что высокочастотные компоненты сигнала, соответствующие сейсмическим и гидроакустическим волнам, подавлены, а проявления приливных волн и волн цунами остались без изменения. Корректность выделения сигнала цунами с использованием такой фильтрации подтверждается в работе [Носов, Григорьева, 2015] путем сопоставления расчетных и реальных мареограм. Расчетные мареограмы получены на основе записей DONET, а реальные представляют собой фактические измерения береговыми станциями JMA.
На третьем этапе обработки частота оцифровки сигнала уменьшалась с 10 Гц до 0.1 Гц. После фильтрации эту процедуру можно было проводить без потери информации. Затем для каждого дискретного момента времени по значениям давления в 10 опорных точках, местоположение которых определяется географическими координатами станций DONET, строилась интерполяционная функция (сплайны), описывающая пространственное распределение давления внутри области постановки станций.
В итоге обработки исходных рядов данных мы имели аналитическое по пространству и дискретное во времени представление для поля придонного давления р(Ьоп,ЬаЩ), где Lon — долгота, Lat — широта, ti — дискретные моменты времени. Еще раз подчеркнем, что смещение свободной поверхности мы полагали связанным с придонным давлением законом гидростатики "t,(Lon,Lat,ti) = р(Ьоп,ЬаЩ)/pg. Для численных расчетов использовались следующие значения плотности воды и ускорения силы тяжести: р = 1030 кг/м3, g = 9.8 м/с2.
Примеры интерполяции свободной поверхности вместе с десятью опорными точками, по которым эта интерполяция проводилась, представлены на Рис. 4.2.3. Из рисунка хорошо видно, что при прохождении волн цунами (вступление около 07:00 UTC) поверхность всегда остается достаточно гладкой и при этом ее положение точно соответствует данным в опорных точках. До вступления цунами вариации уровня обязаны приливам, в этом случае гладкость поверхности также несомненна.
На Рис. 4.3.1а показана динамика уровня моря, рассчитанная с использованием интерполяционной функции р(Ьоп,ЬаЩ) для трех точек, которые расположены на разном удалении от берега, внутри области постановки станций DONET (I: Lon=136.6o в.д., Lat=33.7o с.ш., II: Lon=136.65o в.д., Lat=33.45o с.ш., III: Lon=136.8o в.д., Lat=33.2o с.ш.). Местоположения этих точек показаны на карте, изображенной на Рис. 4.2.1 красными кружками с римскими цифрами. Из Рис. 4.3.1а видно, что в колебаниях уровня моря проявляются как приливные волны, так и волны цунами. Амплитуда колебаний уровня ( 1 м) существенно уступает глубине океана в рассматриваемой области (Н 2000 м), что обеспечивает возможность использования линейной теории длинных волн [Пелиновский, 1996; Levin, Nosov, 2016]. Наблюдаемый период волн цунами ( 1 ч) заметно меньше периода вращения Земли вокруг своей оси. Это дает основание пренебречь в уравнениях силой Кориолиса, а также и приливообразующими силами.
Уровень моря (а), долготная и широтная компоненты скорости течения (б), долготная и широтная компоненты смещения частиц воды (в) при прохождении волн цунами Тохоку 2011, восстановленные по данным станций DONET в точках с координатами I: Lon=136.6o в.д., Lat=33.7o с.ш., II: Lon=136.65o в.д., Lat=33.45o с.ш., III: Lon=136.8o в.д., Lat=33.2o с.ш. (красные кружки с римскими цифрами на Рис. 4.2.1). Масштабы величин (1 м, 0.01 м/с, 10 м) показаны вертикальными отрезками. Вертикальной линией отмечен момент начала основного землетрясения (Mw9.0) С учетом всех высказанных выше предположений динамическое уравнение теории длинных волн приобретает простой вид dU „ „ = -gyg . (4.3.1) dt где U = (ULon, ULat) — вектор горизонтальной скорости течения и его долготная и широтная компоненты, V — дифференциальный оператор, действующий по горизонтали. Компоненты вектора V, рассчитывались по интерполированному полю придонного давления ptLo LatJi ) с использованием связи = р / pg. Зная правую часть уравнения (4.3.1), можно рассчитать поле горизонтальной скорости путем прямого интегрирования уравнения по времени. Начальное поле скорости течения будем полагать нулевым. Заметим, что на самом деле мы, конечно, рассчитываем не саму скорость, а «добавку» к существующим в океане фоновым течениям, — линейность задачи позволяет использовать принцип суперпозиции.
Процедура интегрирования по времени в частотной области эквивалентна делению на частоту. Следовательно, эта процедура приводит к «усилению» низкочастотных компонент сигнала. Интегрирование по времени функции, которая известна приближенно (из натурных измерений), обычно приводит к ошибкам, возрастающим во времени. Для исключения таких эффектов временные ряды, представляющие собой компоненты вектора V,, подвергались дополнительной обработке по следующей схеме. Каждый ряд обрабатывался скользящим средним с Гауссовым окном. Затем из исходного ряда вычитался усредненный ряд. Фактически такая обработка представляла собой фильтр низких частот, который гарантированно приводит исходный ряд к нулевому среднему уровню. Ширина окна фильтра подбиралась таким образом, чтобы без искажения воспроизводить сигнал с периодами до 3600 с, а более длиннопериодные возмущения подавлять. В итоге, с учетом предварительной обработки данных, описанной в разделе 1, мы имели дело с сигналом в диапазоне периодов от 200 до 3600 с, что соответствует классическому диапазону периодов волн цунами [Пелиновский, 1996; Levin, Nosov, 2016].