Содержание к диссертации
Введение
1. МГД-волновод во внешней магнитосфере 14
1.1. Параметры магнитосферы и солнечного ветра обуславливающие существование волновода 14
1.2. Одномерно неоднородная модель волновода
1.2.1. Краткое описание модели 15
1.2.2. Основные уравнения 17
1.2.3. Граничные условия в магнитосфере и солнечном ветре 18
1.2.4. Приближение ВКБ 20
1.2.5. Собственные частоты и собственные моды 21
1.3. Двумерно неоднородная модель волновода 28
1.3.1. Введение азимутальной неоднородности 28
1.3.2. Приближение ВКБ по азимуту 35
1.3.3. Собственные частоты и собственные моды 37
1.4.Заключение к Главе 1 38
2. Возбуждение собственных мод МГД-волновода неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца 40
2.1. Эффекты конечного значения параметра а 42
2.2.Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца как неустойчивость собственных мод 43
2.2.1. Решение дисперсионного уравнения 43
2.2.2. Инкремент неустойчивости с учетом альфвеновского резонанса 49
2.2.3. «Пересоединение» мод 55
2.2.4. Пространственная структура мод 58
2.3. Заключение к Главе 2 66
3. Возбуждение собственных мод МГД-волновода гидромагнитными волнами, проникающими из солнечного ветра 68
3.1. Задача о падении и отражении волны 71
3.1.1. Основные уравнения 71
3.1.2. Определение коэффициента отражения з
3.2. Проникновение волн в магнитосферу 77
3.2.1. Исследование коэффициента отражения 77
3.2.2. Поток энергии и мощность накачки 87
3.3. Заключение к Главе 3 90
4. Распределение энергии колебаний вдоль МГД-волновода 92
4.1. Погонная плотность энергии вдоль волновода 93
4.2. Азимутальная зависимость инкремента неустойчивости 95
4.3. Азимутальная зависимость мощности накачки 97
4.4. Уравнение переноса энергии и его аналитическое исследование 104
4.5. Распределение энергии пульсаций РсЗ иРс5 ПО
4.5.1. Механизмы генерации пульсаций РсЗ иРс5 ПО
4.5.2. Распределение энергии для второй моды диапазона РсЗ 110
4.5.3. Распределение энергии для нулевой моды диапазона Рс5 115
4.6. Заключение к Главе 4 119
Заключение 120
Список литературы
- Граничные условия в магнитосфере и солнечном ветре
- Введение азимутальной неоднородности
- Инкремент неустойчивости с учетом альфвеновского резонанса
- Азимутальная зависимость мощности накачки
Граничные условия в магнитосфере и солнечном ветре
Структура магнитного поля и характер распределения плазмы во внешней магнитосфере обеспечивают существование в этой области МГД-волновода для быстрых магнитозвуковых волн (БМЗ) [Dmitrienko, 2013; Mann et. al, 1999; Walker, 1998; Wright and Mann, 2006; Wright, 1994]. Экваториальное и меридиональное сечения этого волновода изображены на рис. 1. Внешней границей волновода является магнитопауза, на которой резкий скачок скорости быстрого магнитного звука приводит к его отражению от этой границы и запиранию внутри магнитосферы. Существование внутренней границы волновода обусловлено быстрым нарастанием скорости Альфвена по направлению к Земле — как поперек магнитных оболочек, так и вдоль силовых линий геомагнитного поля. Как известно, БМЗ-волны отражаются от области больших значений ско 15 рости Альфвена. В результате образуется волноводный канал, лежащий в приэкваториальной области, примыкающий к магнитопаузе и протянувшийся в хвост магнитосферы на неопределенно большое расстояние.
На рис. 1. изображена также область альфвеновского резонанса — резкого усиления поля колебания, лежащего в области непрозрачности для БМЗ, на тех силовых линиях, где частота колебания равна собственной альфвеновской частоте. Альфвеновский резонанс является неотъемлемой частью рассматриваемого явления. Собственно, колебание в волноводе и в окрестности альфвеновского резонанса — это одно колебание. В волноводе оно обладает свойствами быстрого магнитного звука, а в окрестности альфвеновского резонанса — свойствами альфвеновской волны. В силу последнего обстоятельства область альфвеновского резонанса имеет малый масштаб поперек магнитных оболочек и вытянута вдоль силовых линий геомагнитного поля. БМЗ-колебания волновода не достигают Земли и их наземные проявления обусловлены именно альфве-новским резонансом. Кроме того, в бесстолкновительной магнитосфере диссипация альфвеновской волны на ионосферных торцах является главным механизмом затухания рассматриваемых колебаний.
Схематическое изображение фланговой области магнитосферы и прилегающей к ней части солнечного ветра, а также используемая одномерно-неоднородная модель этих областей представлены на рис. 2. Из этого рисунка видно соответствие между различными элементами модели и реальной системы.
На рис. 3 представлены схематические графики зависимости от х существенных параметров модели — альфвеновской скорости СА(Х) В магнитосфере и скорости звука cs(x) в солнечном ветре. Монотонная зависимость сА(х) означает, что игнорируется наличие таких структурных элементов магнитосферы как, например, плазмосфера. На интересующие нас крупномасштабные колебания такие структурные элементы не оказывают существенного влияния. В большей части магнитосферы Р 1, а часто и р«1 (где fi=8nPo/Bo — отношение газокинетического давления плазмы к магнитному). Поскольку учет конечной температуры плазмы в магнитосфере слабо влияет на свойства рассматриваемых в работе БМЗ-волн, то для упрощения теоретического анализа плазма магнитосферы считается холодной и в ней пренебрегается скоростью звука по сравнению со скоростью Альфвена. Будем считать, что магнитосферное магнитное поле Вм направлено по оси z, условие равновесия дает B const. Аналогично, в солнечном ветре постоянно давление плазмы: p const. Равновесие на магнитопаузе означает, что BM2/8n=pw.
Для оценок по порядку величины примем следующие значения: САМ=400 КМ/С, CSHT=50 КМ/С, где нижние индексы М, W обозначают параметры в магнитосфере и в солнечном ветре соответственно. В развиваемой ниже теории отношение CSW/CAM будет считаться малым параметром, что обусловлено большим скачком плотности на магнитопаузе: Соответствие элементов реальной среды и используемой одномерной модели. В левой части рисунка изображено экваториальное сечение магнитосферы (вечерней полусферы), в правой части — ее одномерно неоднородная модель. Точка х=хм — координата магнитопаузы.
Зависимость проекции вектора смещения плазмы от координат и времени выберем в виде ,х(х, у, z, t)= x(x)Qx\ (ikyy+ikzz-mt). Все другие возмущенные величины имеют аналогичную зависимость.
Уравнение, описывающее структуру колебания по координате х, в приближении идеальной МГД имеет вид [Duhau and Gratton, 1975]: Граничное условие для уравнения (1.1) при JC— -оо, где расположена область непрозрачности, сводится к требованию ограниченности решения. При JC— оо может располагаться как область непрозрачности, так и область прозрачности (распространения) рассматриваемых колебаний. В первом случае граничным условием также является требование ограниченности решения при х— оо. Во втором — в интересующей нас задаче о собственных модах БМЗ-волновода требование убегания волны, т. е. отсутствие волны падающей из бесконечности.
Введение азимутальной неоднородности
Их можно рассматривать как решения краевых задач, определяющих собственные значения параметра и и соответствующие собственные функции. Обозначим собственные значения и собственные функции, отвечающие условию (1.15) через йп и с,Мп(х) = с,м(х,йп), где номер п = 0, 1, 2,... равен числу экстремумов функции с,Мп(х) внутри магнитосферы. Аналогично собственные значения и собственные функции, отвечающие условию (1.16), обозначим через йп и с,Мп(х) = с,м(х,-йп). Номер п равен числу нулей собственной функции с,Мп(х) внутри магнитосферы, На магнитопаузе находится (и+1)-й экстремум функции с,Мп(х) и (и+1)-й нуль функции с,Мп(х). В пренебрежении влиянием альфвенов ского резонанса собственные значения йп и йп вещественны. Их величины чередуются следующим образом: й0
Найдем собственные значения йп и йп исходя из решения (1.29). Экстремумы и нули функции Ai(z) отрицательны. Обозначим их соответственно (-цп) и (-г\п). Величины х\п и f[n чередуются: f0 f0 fi1 f1 ... Для первых двух номеров fi0 «1.02, -q0 «2.34, f\x «3.25, f «4.09. Уравнения (1.15) и (1.16), очевидно, имеют решения
Для решений в солнечном ветре асимптотическая область х—»оо может быть как областью непрозрачности, так и областью прозрачности. В последнем случае граничным условием для собственных мод является требование убегания энергии волны. Поскольку энергия волны распространяется с групповой скоростью, то это требование означает, что групповая скорость волны должна быть направлена от магнитопаузы. В движущейся среде солнечного ветра из-за до-плеровского сдвига частоты, знаки групповой и фазовой скоростей могут различаться. В рамках приближения ВКБ из уравнения (1.7) имеем
Выражения (1.35), (1.36) и (1.37) можно непосредственно применять для вещественных значений w в интервале (-1, +1). Для остальных, в том числе и комплексных значений w, эти функции следует получать аналитическим продолжением из указанного интервала. Результат такого продолжения зависит от пути, по которому осуществляется обход точек ветвления двузначной функции K(W) . Если обойти эти точки сверху, то на вещественной оси w будем иметь vi(w) = -isjw2-\ при w \ и Kiw) = i4w2-\ при w -\. При таком обходе решение (1.35) перейдет в волну, убегающую по групповой скорости.
Двумерно неоднородная модель волновода 1.3.1. Введение азимутальной неоднородности В настоящей работе также используется двумерно-неоднородная модель среды, изображенная на рис. 6. В отличие от реальной магнитосферы эта мо 29 дель однородна по оси z, силовые линии геомагнитного поля прямолинейны.
Таким образом, все параметры плазмы и магнитного поля являются функциями двух координат — координаты х поперек магнитных оболочек (поперек волновода) и азимутальной координаты у (вдоль волновода).
В плазме солнечного ветра р»1(где Р — отношение газокинетического давления плазмы к давлению магнитного поля), а в большей части магнитосферы р 1, а часто и р «1. Поскольку учет конечной температуры плазмы в магнитосфере слабо влияет на свойства рассматриваемых в работе БМЗ-волн, то для упрощения теоретического анализа плазма магнитосферы считается холодной и в ней пренебрегается скоростью звука по сравнению со скоростью Аль-фвена. В солнечном ветре, наоборот, именно скорость звука определяет свойства БМЗ-волн, поэтому в солнечном ветре мы пренебрегаем наличием магнитного поля. Таким образом, колебания в БМЗ-волноводе во внешней магнитосфере рассматриваются как быстрый магнитный звук в холодной плазме, а в прилегающей к нему области солнечного ветра — как обычный звук. Из условия равновесия на магнитопаузе следует соотношение csl сш (рм/р )1/2, где
САМ — скорость Альфвена на магнитопаузе, рми р — плотности плазмы во внешней магнитосфере и солнечном ветре соответственно. Поскольку рм в 10-КЗО раз меньше, чем pw, то параметр a = csl сАМ достаточно мал. В аналитической части работы используется теория возмущения по малому параметру а.
В условиях реальной магнитосферы характерный масштаб неоднородности Lx по координате х в несколько раз меньше, чем характерный масштаб неоднородности Ly по координате у. Для построения аналитической теории мы будем считать, что Lx«Ly. Тогда можно применить метод разных масштабов, который позволяет свести решение двумерно-неоднородной задачи к последовательному решению двух одномерно-неоднородных задач.
Рис. 6. Используемая двумерно-неоднородная модель среды. Выделены область прозрачности для БМЗ-волн и область альфвеновского резонанса, хм — координата магнитопаузы, XR — внутренняя точка отражения БМЗ, ХА — точка альфвеновского резонанса. Геомагнитное поле направлено вдоль оси z.
Сделаем важное замечание. Введенные выше координаты х и у не являются декартовыми из-за искривленности волновода. Характерный радиус кривизны по порядку величины совпадает с масштабом Ly. Нас будут интересовать колебания, длина волны которых вдоль волновода Ху много меньше Ly. Из простых соображений ясно, что для таких колебаний искривленность волновода не имеет существенного значения. Поэтому далее при написании уравнений мы будем рассматривать координаты х и у как декартовые.
Солнечный ветер будем считать однородным по оси х. Фактически, масштаб его неоднородности по осям х и у одного порядка и совпадает с масштабом Ly в магнитосфере. Другими словами, неоднородность плазмы солнечного ветра по нормали к магнитопаузе существенно слабее, чем та же неоднородность в магнитосфере. Это и оправдывает сделанное предположение. В работе [Мазур, Чуйко, 2013 а] было исследовано влияние на неустойчивость Кельвина-Гельмгольца нормальной к магнитопаузе неоднородности солнечного ветра и выяснено, что не слишком сильная неоднородность не меняет качественным образом свойства неустойчивости.
Инкремент неустойчивости с учетом альфвеновского резонанса
Выражение (2.11) не применимо в некоторой малой окрестности точки и=\. При и=\ точка отражения совпадает с магнитопаузой и решение (2.12) нельзя использовать для вычисления функции /к и). Но для таких значений и возможен другой подход, основанный на использовании уравнения Эйри [Мазур и Чуйко, 2011]. Он показывает, что функция fU(u) в точке и=\ регулярна. Схематический график функции fiJu) в пределе є =0, 5 =0 (когда она является вещественной) изображен на рис. 5.
Далее будем рассматривать fiJu) как функцию комплексного переменного и. Координаты полюсов этой функции есть йп -isn, а координаты нулей — un-izn.
Учет альфвеновского резонанса приводит к малым поправкам в условиях (2.2). Но, по-прежнему, можно считать, что в окрестности точки у = й вели чина w имеет малое значение. Поэтому в левой части уравнения (2.1) можно положить fw(w) = -w2. В правой части, в аргументе функции по этой же причине можно пренебречь малым слагаемым aw. Используя вблизи точки v = unl для функции Ум второе или третье из выражений (1.17), имеем
Верхний знак соответствует затухающей ветви, а нижний — неустойчивой. Значение v = unl является порогом неустойчивости по параметру v (фактически — по скорости солнечного ветра). Конечные, но малые значения є : приводят в выражениях (2.21) и (2.22) к малым поправкам. Однако эти поправки практически ничего не меняют с физической точки зрения. В области v unl инкремент неустойчивости в (2.21) получает малую, не представляющую интереса поправку. Возникающий в области v й х инкремент настолько мал по сравнению с характерным инкрементом в области v й х, что им можно пренебрегать и по-прежнему считать моду устойчивой. Поэтому мы и далее будем называть величину v йп1 порогом неустойчивости и игнорировать поправки, обусловленные параметром є : ниже и вблизи этого порога.
Единственное интересное с физической точки зрения следствие конечности параметра є : — возможность связать между собой две ветви ниже и выше порога неустойчивости, что невозможно в пределе гп1 = 0. Согласно формуле (2.20), точка ветвления функции w(v) смещается в комплексную плоскость. Непрерывное продолжение по вещественным значениям параметра v (которые только и имеют смысл) задает правило обхода точки ветвления. Нетрудно убедиться, что согласно этому правилу нижняя ветвь переходит в неустойчивую, а верхняя — в затухающую. Поэтому далее мы будем называть неустойчивую ветвь нижней, а затухающую — верхней.
Решение (2.22) можно продолжить в сторону увеличения v, используя в левой части уравнения (2.1) для функции fijw) полное выражение (1.37), но, по-прежнему, в правой части, опуская слагаемое aw в аргументе функции /м. Тем самым допускаем значения М 1, но предполагаем, что аМ много меньше расстояния между й _х и йп, которое по порядку величины равно (ktlM) 2/3. Тогда (2.1) дает
Это выражение позволяет проследить изменение функции w = wn(v) от окрестности точки v йп1 до окрестности ТОЧКИ V = йп. Приближение величины v к йп и связанный с этим рост модуля w приводят к двум последствиям. Во-первых, для функции fw(w) можно использовать упрощенные выражения fw(w) = ±\w (для верхней и нижней ветвей соответственно). Во-вторых, нельзя игнорировать в уравнении (2.1) слагаемое aw в аргументе функции fM, но зато для нее можно использовать первое из выражений (1.17). Тогда уравнение (2.1) принимает вид где обозначено Д„ =у2оф . Каждому из двух знаков в уравнении (2.24) соответствует два решения квадратного уравнения, т. е. всего — четыре решения. Выбор двух нужных нам решений определяется требованием сращивания с решением (2.23). Свойства решения (2.25) критическим образом зависят от соотношения параметров гп и Д„. Ограничимся случаем гп
Таким образом, с учетом конечности а, и диссипацией в области альфве-новского резонанса получены выражения для безразмерной частоты. Рассуждения, описанные в предыдущем разделе применимы также и для отрицательных значений v. Поэтому функция ип{у)может быть определена для отрицательных значений v. Далее приводятся соответствующие графики её действительной и мнимой частей.
Напомним, что в пределе 8 =0 графики Rew v) для двух ветвей в области у й1 совпадают (рис. 11). Этот общий график расположен ниже прямых u=v и и = й1 и асимптотически стремится к последней из них в пределе V—»оо. Ветви различаются своими мнимыми частями, которые, в свою очередь, равны по модулю и отличаются только знаком. Рис. 14. Схематические графики безразмерных действительных и мнимых частей частоты нулевой моды колебаний как функций безразмерной скорости солнечного ветра. В.в и н.в. означают верхнюю ветвь и нижнюю ветвь соответственно. Конечное значение дА приводит к различию для двух ветвей, как графиков Rew v), так и графиков Imw v). Детали их поведения отражены на рис. 14. Для того чтобы указанные на рисунке особенности графиков действительно имели место необходимо, чтобы расстояние между характерными точками на графи 56 ках, равное Д„/є„, было меньше расстояния между собственными частотами (ktlM) m. Это равносильно условию 8А а. Оно означает, что влияние альфвеновского резонанса не должно быть слишком мало. В противном случае графики двух ветвей Reww(v) (также как и
Азимутальная зависимость мощности накачки
Во всех цитированных в предыдущих разделах работах по теории проникновения волн в магнитосферу и теории неустойчивости Кельвина-Гельмгольца используются одномерно-неоднородные модели среды, учитывающие неоднородность магнитосферы только поперек магнитных оболочек. Они не позволяют изучать влияние неоднородности вдоль магнитного поля и азимутальной неоднородности волновода, которые, конечно, существуют в реальной магнитосфере. В работе [Leonovich and Mazur, 2001] рассмотрены собственные БМЗ-моды в аксиально-симметричной, дипольно-подобной модели магнитосферы, в которой плазма и магнитное поле неоднородны поперек магнитных оболочек и вдоль магнитного поля. С математической точки зрения это двумерно-неоднородная модель среды. В работе были определены частоты основных мод такого волновода и их пространственная структура. Если параметры внешней магнитосферы соответствуют ее лобовой части, то основные моды волновода лежат в диапазоне РсЗ-Рс4, а для параметров, отвечающих флангам они лежат в диапазоне Рс5. Область прозрачности (распространения) для собственных мод в меридиональном сечении качественно совпадает с той, что изображена на рис. 3. В азимутальном направлении такой волновод, очевидно, однороден.
Настоящая Глава посвящена исследованию роли азимутальной неоднородности, как в распределении параметров самого магнитосферного волновода, так и условий его накачки неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца или проникновением внемагнитосферных волн [Ghosch, 2009; Thomson at. al., 2001, 2002; Stephenson and Walker, 2010a, 2010b]. Мы используем модель среды однородную вдоль геомагнитного поля, при этом силовые линии этого поля считаются прямыми. Таким образом, наша модель неоднородна поперек магнитных оболочек и в азимутальном направлении. Характер неоднородности такой модели в некотором смысле дополнителен характеру неоднородности модели в работе [Leonovich and Mazur, 2001]. Мы полагаем, что в совокупности результаты ра 93 боты [Leonovich and Mazur, 2001] и настоящей работы дают достаточно полное представление о свойствах реального трехмерно-неоднородного волновода.
Пусть В((),ку,х,у) — спектральная плотность энергии колебаний в волноводе. Это означает, что E((u,ky,x,y)d(udkydxdydz — энергия, содержащаяся в интервале частот d D, в интервале волновых векторов dky и в элементе объема dxdydz. В силу однородности нашей модели по координате z, функция Е от нее не зависит. Кроме того, предполагается, что у волнового вектора kz = nN/Lz фиксировано волновое число N (фактически мы ограничиваемся основной гармоникой N = \). — погонная (на единицу длины волновода) спектральная плотность энергии, a S — интегральный поток энергии по оси у. Поскольку Sy = VgyE, а групповая скорость v не зависит от х, то S = VgyW. Величина Sx(xM) есть плотность потока энергии по оси х на магнитопаузе. Поскольку в нашей модели ось х направлена от магнитосферы, то -Sx(xM) есть плотность потока энергии, проникающего в магнитосферу, то есть то, что мы ранее называли мощностью накачки магнитосферного резонатора Q. Очевидно, что Q = Q(G ,ky,y). Итак, уравнение (4.1) принимает вид М = 2уЖ+0. (4.2)
В нулевом порядке по параметру а при заданных значениях со и у величина имеет строго определенное (собственное) значение ку = куП(у, х ). Это означает, что W(G),ky,y) Цку -ку„(у,(й)]. Заметим, что если имеется интервал непрозрачности (0,yR), то в нем следует полагать W = 0. При ненулевом, но малом значении а спектр по волновому вектору ку уширяется, но остается узким. При а Ф О появляются два эффекта — неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и накачка внешними волнами. Первая приводит к появлению инкремента неустойчивости, что при заданном вещественном значении со следует трактовать как появление мнимой части волнового вектора Ьпку =-ylvgy- Наличие мнимой части ку равносильно уширению спектра по ку на величину 1тку. Накачка внешними волнами также приводит к уширению спектра. Из рис. 26 ясно видна резонансная зависимость мощности накачки Q от частоты волны. Но при заданной частоте она превращается в резонансную зависимость от волнового вектора — внешние волны накачивают волновод в узком интервале ку вблизи значения ку=куп(у,(й). Это явно будет продемонстрировано чуть ниже.