Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствах Мочалина Екатерина Павловна

/ВД = / т^Л z Є D. (5)

Напомним, что функции ^{t) и 5{t) слабо эквивалентны при t —> to, т.е. 7(0 - 6(t), если ₇(*) = 0(S(t)) и ОД = 0(₇(*)).

¹²Гончар А.А.,О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций.Мат. сб., 1978, Т. 105, Я 2, с. 147-163.

Следующая оценка сверху при р = оо получена А.А. Пекарским¹³, а остальные результаты принадлежат Я.-Э. Андерссону¹⁴.

Пусть носитель конечной меры /і содержится на отрезке [0,1]. Если заданы значения 1 < р ^ оо, а > —1/р и dfi(x) х (1 — x)^adx при х —> 1, то справедливы слабые асимптотики

H^pR_n(jl) х пЛехр < —тгу/2п (а + 1/р) \ .

Фиксируем числа pG (0;1) иа> -1.

1. Если dfi(x) ^ (7(1 — x)^adx, то при 1/р . N имеют место оценки сверху

H^pR_n(j2) < Сіп^ежр |-7г\/2п (а + 1/р) |.

2. Если (7(1 — x)^adx ^ dfi(x)_} то выполнены неравенства

CV~^1/p < H^pR_n{j2)rr^exp U^/2n {а + 1/р) } .

Здесь С и Сі - не зависящие от п положительные величины. Пусть

^= — —

а + 1/р Ъ + 1/р - среднее гармоническое чисел а + 1/р и 6 + 1/р.

Н. С. Вячеславов¹⁵ показал, что если фиксированы параметры р Є (1; +оо],

а, Ъ є (—1/р; +оо) и фх(ж) х (1 — ж)^а(1 + x)^bdx при ж —> ±1, то

+

1Г\/П>С

H^pR_n(fi) х п^е

Цель работы.

В настоящей работе получены условия в терминах наименьших рациональных уклонений функций в некоторых пространствах, обеспечивающих аналитическое или k-мероморфное их продолжение, а также изучаются величины наилучших приближений функций Стилтьеса в равномерной и интегральной метриках.

¹³Пекарский А.А.,Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова.Алгебра и анализ, 1995, Т. 7, с. 121-132.

¹⁴Andersson З.-Е., Rational approximation to function like x^a in integral norms.Analysis Math., 1988, V. 14, N 1, p. 11-25.

¹⁵Вячеславов H.C., Мочалина Е.П.,0 наилучших рациональных приближениях функций Маркова- Стилтьеса.Воронеж;, ВГУ, Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф., 2005, с. 64-65.

Методы исследования.

Результаты диссертации получены с использованием методов теории функций комплексного переменного, математического анализа, теории аппроксимаций и функционального анализа.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

получены два критерия аналитического продолжения некоторых функций из L_p[—1; 1] и пространств Смирнова при р Є (1; +оо) ;

приведены достаточные условия для возможности продолжения элементов из пространств Харди Н^р, 1 < р < +оо в к -ый круг их мероморфности;

доказаны оценки для величин наименьшего рационального уклонения функций Стилтьеса в равномерной и интегральной метриках, являющиеся аналогами известных результатов Я.-Э. Андерссона, А.А. Пекарского и Е.А. Ровбы.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут применяться в теории приближений и ее приложениях.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались

на научных семинарах Механико-математического факультета МГУ: по теории приближений и граничным свойствам функций под руководством профессора Е.П. Долженко(2003-2006гг.), по рациональным аппроксимациям функций под руководством доцента Н.С. Вячеславова ( 2000-2006гг.);

Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2002, 2006гг.);

Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2003, 2005гг.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5], список которых приведен в конце автореферата. Все доказанные в диссертации теоремы получены автором впервые.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 42 наименования. Общий объем работы - 105 страниц.

Аналитическая продолжимость некоторых функций из пространств Лебега Lp[—1; 1] и Смирнова EP(G) при р Є (1; +оо)

При каждом п Є Z+ символом Рп обозначим пространство полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше п. Наименьшее уклонение функции / Є С[—1; 1] от подпространства Рп в равномерной метрике на отрезке [—1; 1] будем обозначать посредством En(f):

В теории аппроксимаций большой интерес представляет тот случай, когда приближаемая функция / является аналитической на отрезке [-1;1], следовательно и в некоторой области, содержащей этот отрезок. С.Н.Бернштейн в 1912 году заметил, что при таких условиях на функцию / наименьшее уклонение En(f) убывает скорее, чем общий член некоторой геометрической прогрессии, доказал теорему во всей общности и, кроме того, вычислил асимптотические значения в некоторых случаях. А именно, пусть Эр - эллипс с фокусами в точках ±1 и суммой полуосей 1/р.

Теорема([2], [3]).Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы функция f(z) была аналитической на отрезке [—1; 1] и, оставаясь аналитической внутри эллипса Эр, имела особенности на Эр, заключается в том, Обозначим посредством rn k = {g/s : g Є Pn, s Є Pk} совокупность рациональных функций порядка (n,k), причем считаем, что rn = гП)П. Для заданной функции / Є Lp[—1; 1] определим величины ее наименьших уклонений в Lp[— 1; 1] от Рп и гп как обычно: Следующая теорема является аналогом приведенного выше результата С.Н. Бернштейна. Теорема І.Если фиксировано число р Є (1; +оо) и для заданной функции / Є Lp[—1; 1] справедливо неравенство то она аналитически продолжима в область, ограниченную Эр и на самом эллипсе Эр имеется хотя бы одна особая точка ее аналитического продолжения. Для любой функции f голоморфной внутри эллипса Эр, имеющей особенности на границе такой области, выполняется соотношение (1). Пространство Харди Нр, р Є (0;+оо), образовано аналитическими в единичном круге D = {z : \z\ 1} функциями, удовлетворяющими условию Функции /, голоморфные и ограниченные в Д образуют пространство Н с нормой Для конкретного значения р Є (0;+оо], фиксированной функции /бЯри заданных целых неотрицательных чисел пик определим величину наилучшего приближения / множеством гП)к ПЯрв пространстве Нр следующим равенством обеспечивает возможность аналитического продолжения f в круг радиуса 1/р и на его границе у функции f имеется хотя бы одна особая точка. Введем стандартные обозначения. Известная теорема К.Жордана утверждает, что каждая замкнутая жорданова кривая Г С С служит границей двух односвязных областей в С: int Г - ограниченная область и ext Г Э со. Для спрямляемого пути Г посредством Г будет обозначаться его длина. Символом G обозначим односвязную ограниченную область со спрямляемой границей Г. Определение . Пространство Смирнова EP(G) образует совокупность функций /, голоморфных в G и таких, что для каждой из них существует последовательность замкнутых жордановых спрямляемых кривых Гп(/) С G, п = 1,2, , со свойствами: Для каждой функции / из пространства Смирнова EP(G) определим величины наименьших уклонений от подпространства Рп и множества гп П EP(G) соответственно равенствами EpEn(f, G) = inf / - SU,(G), EpRn(f, G) = inf / - r\\Ep{a). stf„ гЄгпПіір(Сг) Пусть функция Ф осуществляет конформное отображение внешности области, ограниченной жордановой кривой Г на внешность единичного круга. Причем потребуем, чтобы при этом Ф(оо) = со, Ф (оо) 0. При R 1 посредством Гд будем обозначать линии уровня кривой Г при отображении Ф (то есть Гд - прообраз окружности радиуса R с центром в нуле). Заметим, что определенные выше эллипсы Эул и являются линиями уровня Гд, если Г = [-1;1]. Определение.Будем говорить, что при фиксированном a 6 (0; 1] спрямляемая кривая Г = {Л, [0; Г]} принадлежит классу С(1, а), если ее натуральная параметризация X(s) дифференцируема и X (s) содержится в классе Гель дера Ыра. Следующая теорема является обобщением результата X. М. Махмудова. Теорема 2.Пусть фиксированы следующие величины: замкнутая жорда-нова кривая V, принадлежащая классу С(1, а), область G = int Т, параметр р Є (1; +оо) и функция f Є EP(G). Условие достаточно для того, чтобы функция f аналитически продолжалась в область int Гід, и на ее границе аналитическое продолжение имело хотя бы одну особую точку. Для любой функции f голоморфной в области int Гі/р, имеющей особенность на границе Т\/р, выполняется соотношение (2).

В параграфе два главы 1 рассматривается возможность мероморфного продолжения функций из некоторого класса. Точнее, здесь получена формула для вычисления fc-oro радиуса мероморфности каждой такой функции. Самыми известными результатами в этом направлении являются формула О. Коши для радиуса сходимости степенного ряда и теорема Ж. Адамара о кругах мероморфности аналитической в нуле функции

К - мероморфное продолжение некоторых функций из пространств Харди р, 1 < р < со

Наименьшее уклонение в С[-1; 1] непрерывной на [—1; 1] функции / от совокупности гП)П1 будем обозначать посредством Rn,m(fi [—1; 1]) и определим следующим равенством

Фиксируем некоторую меру г с носителем supp т, содержащимся на множестве R\(—1; 1), для которой определена функция (101). Полагаем знаменатель г неотрицателен на R и функция г 0 на носителе меры supp т}. (122) И, наконец, для рассматриваемой на отрезке [—1; 1] функции т определим величину В этом параграфе мы получим обобщение последнего результата А.А. Пекарского. Теорема 6.Если мера т имеет носитель на R\(—1; 1), функция т определяется согласно равенству (101), причем справедливо условие (104), тогда при любых значениях индексов n m — 1 выполняется неравенство Существование и непрерывность функции т на отрезке [—1; 1] доказывается так же, как и теореме 5. Пусть заданы целые неотрицательные числа пит, удовлетворяющие неравенству п m — 1. Существует функция P /Q Є гп,т, такая что (см., например, [34], стр. 18) Известно, что в случае приближения подпространством элемент наилучшего приближения существует, поэтому в равенстве (128) нижняя грань достигается На НеКОТОрОМ ПОЛИНОМе Іп+т Є Рп+mi то есть Поскольку на отрезке [—1; 1] функция т и полином q2m являются действительнозначными, то можем считать, что коэффициенты полинома 1п+тп -действительные числа. В противном случае в качестве числителя рациональной функции, доставляющей наилучшее приближение г в подпространстве Пусть Sn - пространство алгебраических полиномов с действительными коэффициентами степени п. Далее нам понадобиться обобщение теоремы П.Л. Чебышева об альтернансе. Определение(см. [7], стр. 18). Система заданных на некотором множестве Q метрического пространства (содержащем не менее п+1 точки) непрерывных действительнозначных функций р0(х), (pi(x),--- ,ipn(x) называется чебышевской на этом множестве, если любой обобщенный полином Рп(х) = Pn((pk,ck,x) вида п Jfc=0 где Ck - действительные числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, имеет на О, не больше, чем п различных корней. Теорема обобщенная теорема П.Л. Чебышева, [7], стр. 26). Пусть на сегменте [а; Ъ] заданы чебышевская система функций {у (ж)}=о и непРеРыв ная функция действительнозначная f(x). Тогда для того, чтобы некоторый полином Рп{х) был по сравнению со всеми другими полиномами по системе { Pk(x)}k=Q полиномом, наименее уклоняющимся от f(x), необходимо и достаточно, чтобы на [а; Ь] нашлась по крайней мере одна система изп + 2 точек (альтернанс) а х\ хч хп+2 Ъ, в которых разность f(x)-P {x) = rn{x) 1. поочередно принимает значения разных знаков, 2. достигает по модулю наибольшего на [а; Ь] значения так, что Гп(хі) = -ГП(Х2) (-1)П+1Гп(хп+2) = ±гп(я)с7[а;Ь]. Теорема([7]). Какова бы ни была чебышевская на сегменте [а; Ь] система функций { Рк{х)}к=о, для всякой непрерывной на [а; Ь] функции f(x) существует единственный обобщенный полином Рп(х) ее наилучшего приближения. Применим теперь этот результат к приближению функции т подпространством {o /q2m, о- Є Sn+m}, образованным системой функций Маркова xk/q2m(x) при k = 0,1,--- ,n + т. По теореме Чебышева рациональная функция 1п+т/Я2т реализует альтернанс на отрезке [—1; 1]. То есть на этом отрезке разность f - 1п+т/Я2т меняет знак п + т + 2 раза, значит имеет по крайней мере п + т + 1 нуль на интервале (—1; 1). Обозначим нули этой разности посредством х\,Х2,-" ,xn+m+i. Положим Далее, для доказательства теоремы 5 нам потребуется интерполяционная формула Эрмита. Лемма (см., например, [7]).Пусть G - ограниченная конечносвязанная область со спрямляемой границей; для любой функции / П C(G) и голоморфная в G при заданной системе точек {2г-}=1 С G и при заданных кратностях {ki}si=l

Приближение посредством ортопроекции на подпространство рациональных функций с фиксированным знаменателем

Доказательство. Заметим, что функция т является интегралом типа Коши-Стилтьеса, поэтому она голоморфна в C\supp т. Непрерывность в точках ±1 следует из условия (104). Пусть знаменатель s есть q Є Sm, причем старший коэффициент полинома q равен единице. Положим M (z) = q {z)q (z) и зададим величину рд следующим образомт = Ьп+т + (РД + 0(-l) где 6n+m - коэффициент при zn+m в числителе дроби г . Как видно, относительно б это линейное уравнение, поэтому нам пойдет любое положительное число, не равное

Для доказательства второго утверждения запишем I уравнений Как мы видим, относительно е это линейное уравнение, следовательно, оно имеет либо одно решение, либо их не имеет, либо их бесконечно много. Последние две возможности реализуются только в случае, когда коэффициент при б равен нулю, что в нашем случае, в силу выбора точек dv , v = 1, , I, а тем самым и l/dv (см. (143)), невозможно. Следовательно, решение единственно. Таким образом, существует ровно I точек, в которых Ре будет иметь общие корни с М . Остается выбрать б, не входящее в это множество. Пусть ЬЬп+т - нули разности г — ге внутри А и Докажем этот факт. По неравенству треугольника, в силу определений (145), (142) и (144), видим что поскольку по свойству произведения Бляшке имеем Сейчас введем еще две непрерывные функции на А, которые являются голоморфными внутри круга А: где рациональная функция г задается (142), а функция В определена равенством (144). Тогда, в силу принципа максимума модуля, определения (142) и поскольку по свойству произведения Бляшке \B(z)\ = 1 при z Є дА, имеют место следующие оценки: Применим теперь к сумме функций v + х теорему Руше. Тогда мы можем сказать, что функции т - ге = и + х и х = -(РД + с)5 имеют внутри А одинаковое количество нулей, то есть п+гп нулей с учетом кратности. Дальнейшее рассуждение разобьем на два этапа: случай, когда носитель меры г компактен, поэтому он содержится в объединении двух отрезков из множества R\(—1; 1), и общий случай. Рассмотрим первый случай. Обозначим для удобства объединение отрезков, содержащих носитель г через .0,. то есть причем Oi\ 1 и / — 1. Положим где М задается равенством (142), а Ре определено в (146). Покажем теперь, что у функции т—ге есть также нуль на R\([—1; 1]U9), то есть что разность т — ге имеет п + m + 1 нуль в C\supp т. Функция где р и w определяются равенствами (151) и (148) соответственно, аналитична в C\supp г, так как все нули знаменателя являются устранимыми особыми точками функции ip/w. Фиксируем точку х Є C\supp т. Найдется трехсвязная область G, содержащая точку х и нули полинома w(z), а ее кусочно-гладкая граница Г состоит из внешнего контура Гоо и внутренних компонент Гі и Гг, причем контур Гі охватывает отрезок [/3,/], а Г2 - [ai,a].

Приближение функций типа Маркова-Стилтьеса в равномерной метрике на единичном круге

Пусть С[—1; 1] - пространство непрерывных функций на отрезке [—1; 1] с равномерной нормой - максимумом модуля функции. Рп - подпространство полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше п, а Наименьшее уклонение в С[-1; 1] непрерывной на [—1; 1] функции / от совокупности гП)П1 будем обозначать посредством Rn,m(fi [—1; 1]) и определим следующим равенством Фиксируем некоторую меру г с носителем supp т, содержащимся на множестве R\(—1; 1), для которой определена функция (101). Полагаем Щі,т = (г Є rn,m знаменатель г неотрицателен на R и функция г 0 на носителе меры supp т}. (122) И, наконец, для рассматриваемой на отрезке [—1; 1] функции т определим величину В этом параграфе мы получим обобщение последнего результата А.А. Пекарского. Теорема 6.Если мера т имеет носитель на R\(—1; 1), функция т определяется согласно равенству (101), причем справедливо условие (104), тогда при любых значениях индексов n m — 1 выполняется неравенство Лпт(г, [-1; 1]) Я„т(т, [-1; 1]). (125) Доказательство. Существование и непрерывность функции т на отрезке [—1; 1] доказывается так же, как и теореме 5. Пусть заданы целые неотрицательные числа пит, удовлетворяющие неравенству п m — 1. Существует функция P /Q Є гп,т, такая что (см., например, [34], стр. 18) Известно, что в случае приближения подпространством элемент наилучшего приближения существует, поэтому в равенстве (128) нижняя грань достигается На некотором полиноме Іп+т Є Рп+mi то есть Поскольку на отрезке [—1; 1] функция т и полином q2m являются действительнозначными, то можем считать, что коэффициенты полинома 1п+тп -действительные числа. В противном случае в качестве числителя рациональной функции, доставляющей наилучшее приближение г в подпространстве Пусть Sn - пространство алгебраических полиномов с действительными коэффициентами степени п. Далее нам понадобиться обобщение теоремы П.Л. Чебышева об альтернансе. Определение(см. [7], стр. 18). Система заданных на некотором множестве Q метрического пространства (содержащем не менее п+1 точки) непрерывных действительнозначных функций р0(х), (pi(x),--- ,ipn(x) называется чебышевской на этом множестве, если любой обобщенный полином Рп(х) = Pn((pk,ck,x) вида где Ck - действительные числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, имеет на О, не больше, чем п различных корней. Теорема обобщенная теорема П.Л. Чебышева, [7], стр. 26). Пусть на сегменте [а; Ъ] заданы чебышевская система функций {у (ж)}=о и непРеРыв ная функция действительнозначная f(x). Тогда для того, чтобы некоторый полином Рп{х) был по сравнению со всеми другими полиномами по системе { Pk(x)}k=Q полиномом, наименее уклоняющимся от f(x), необходимо и достаточно, чтобы на [а; Ь] нашлась по крайней мере одна система изп + 2 точек (альтернанс)

Похожие диссертации на Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствах

Теоремы продолжения для пространств функций, определяемых локальными приближениями Шварцман Павел Анатольевич

Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве БергманаЛангаршоев Мухтор Рамазонович

Наилучшее приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди Юсупов Гулзорхон Амиршоевич

Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в круге функций в пространстве ХардиДжурахонов Олимджон Акмалович

О совместных приближениях решениями эллиптических уравнений в пространствах обобщенных функций Воронцов Артем Михайлович

Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди Hp,1p xМиркалонова, Мохирамо Мирафгановна

Вопросы единственности наилучшего приближения в пространстве LфКамунтавичюс, Дарюс-Антанас Гинтаутович

Теоремы вложения и приближения для пространств соболева со смешанной нормойВикторова, Надежда Борисовна

Некоторые вопросы теории приближений на весовом пространстве СоболеваБедельбаева, Лайля Есмухаметовна

Некоторые вопросы теории приближения в весовых пространствах БергманаСаидусайнов, Муким Саидусайнович