Аппроксимации Эрмита-Паде и обобщенные системы Никишина в теории диофантовых приближений и в теории динамических систем Сорокин Владимир Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1 Векторное равновесие на графах и асимптотическое поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина 37

1. Аппроксимации Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина 37

2. Векторное равновесие и асимптотическое поведение совместных аппроксимаций 45

3. Сходимость совместных аппроксимаций Паде для систем Никишина 53

ГЛАВА 2 Обобщенные системы Никишина в теории диофан-товых приближений и трансцендентных чисел 63

1. Полный бинарный граф и обобщенные полилогарифмы 63

2. Совместные аппроксимации Паде для полного бинарного графа 72

3. Мера трансцендентности числа 7г2 93

ГЛАВА 3 Аппроксимации Эрмита-Паде в теории вполне интегрируемых нелинейных динамических систем 135

1. Цепочки Богоявленского и многомерная непрерывная дробь 135

2. Уравнение Лакса-Филлипса и векторная проблема моментов Стилтьеса 157

Список литературы 190

• Векторное равновесие и асимптотическое поведение совместных аппроксимаций
• Совместные аппроксимации Паде для полного бинарного графа
• Цепочки Богоявленского и многомерная непрерывная дробь
• Уравнение Лакса-Филлипса и векторная проблема моментов Стилтьеса

Введение к работе

1. Аппроксимации Паде - это приближения аналитической функции рациональными дробями. Они составляют большой раздел классической теории приближений. Свободные полюсы рациональных дробей хорошо моделируют особенности приближаемой аналитической функции. Поэтому основное предназначение аппроксимаций Паде состоит в эффективном аналитическом продолжении функции, заданной лишь локально своим степенным рядом (см. [1]-[10]).

Аппроксимации Эрмита-Паде - это приближения нескольких аналитических функций рациональными дробями с общим знаменателем. (Существуют и другие аналогичные конструкции, объединенные под этим общим названием.) С точки зрения теории приближений требование общего знаменателя выглядит искуственным. По нашему мнению дело здесь в том, что эти аппроксимации имеют совсем иное предназначение - они призваны решать некоторые конкретные задачи, возникающие в различных областях математики. Именно так аппроксимации Эрмита-Паде возникли исторически. В своей знаменитой работе Ш.Эрмит [11] построил эти аппроксимации с единственной целью - доказать трансцендентность числа е. После работы Эрмита аппроксимации, названные его именем, стали одним из основных инструментов в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений. Достаточно обратиться к работам К.Малера [12],[13] К.Л.Зигеля [14], А.Б.Шидловского [15], Н.И.Фельдмана [16], Г.В.Чудновского [17], Е.М.Никишина [18],[19], Ю.В.Нестеренко [20]. Поэтому большой раздел диссертации посвящен вопросам теории чисел.

Оказалось, что приложения аппроксимаций Эрмита-Паде далеко выходят за рамки теории чисел. Они имеют общематематическое значение. Весьма любопытна связь этих аппроксимаций со спектральной теорией операторов. Эта связь была впервые исследована В.А.Калягиным [21]. Отметим, что в знаменитом исследовании Т.Стилтьеса [22] о непрерывных дробях, по-существу, была доказана первая спектральная теорема. Основы теории ортогональных многочленов были заложены в работах П.Л.Чебышева [23] и А.А.Маркова [24]. Однако прошло много времени прежде, чем был осознан метод обратной спектральной задачи [25] для решения гамильтоновых систем. В диссертации аналогичные задачи решаются с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде.

Столь бурное проникновение аппроксимаций Эрмита-Паде в различные разделы математики потребовало ответов и на внутренние вопросы теории. Основной вопрос анализа - это вопрос об асимптотическом поведении аппроксимаций. Для так называемых систем Анжелеско этот вопрос был полностью решен А.А.Гончаром и Е.А.Рахмановым [26]. При этом был разработан новый метод применения теории логарифмического потенциала к изучению асимптотики рациональных аппроксимаций. С другой стороны, Е.М.Никишин [27] ввел новый замечательный класс аналитических функций, который теперь носит его имя. Системы Никишина хорошо моделируют все реальные случаи приложений аппроксимаций Эрмита-Паде. Однако вопрос об асимптотике аппроксимаций для систем Никишина долгое время оставался открытым. Диссертация содержит решение этой задачи.

2. В первой главе полностью описано асимптотическое поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина в терминах равновесных потенциалов.

Пусть

набор формальных степенных рядов. Фиксируем мультиин-декс

п = (n_b...,n_m) Є Z.

Будем искать многочлен Q_n(.z) со следующими свойствами:

1. Qn ф 0 ;

2. deg Q_n < |n| = щ + ... + rc_m ;

3. для некоторых многочленов P_nj выполняются соотношения:

А

А> J

Тогда P_nj это полиномиальная часть ряда Q_nfj, а нахождение многочлена Q_n сводится к решению системы \п\ линейных однородных уравнений относительно |n| + 1 неизвестных коэффициентов. Следовательно, нетривиальное решение существует.

Рациональные функции

rc,j = 7T> J = l,...,m,

называются аппроксимациями Эрмита-Паде второго типа или совместными аппроксимациями Паде с общим знаменателем для набора степенных рядов (I). Единственности аппроксимаций, вообще говоря, нет. Если для любого решения имеем degQ_n = |п|, то индекс п называется нормальным. В этом случае существует единственный (с точностью до нормировки) многочлен Q_ni и единственный набор аппроксимаций Эрмита-Паде {П„у}

Имеются и другие конструкции аппроксимаций Эрмита-Паде. Формальная теория всех таких аппроксимаций изложена, например, в работе К.Малера [28].

Мы будем изучать аппроксимации Эрмита-Паде для систем, функций марковского типа:

_Ш = ф)= (^d-iM, j = 1,..., m, (3)

J Z X

где Sj~ конечные положительные борелевские меры с компактными носителями на вещественной прямой. Тогда

Cj,k = / x^kd_Sj(x)

- моменты мер Sj. Условия (2) равносильны следующей системе соотношений ортогональности:

/ Qn(^x)x 'dsj(x) = О, к = О, ...,rij — 1, j = 1,..., га. (4)

Будем считать, что меры Sj имеют бесконечные носители. В дальнейшем удобно мерами называть не только положительные, но также знакопостоянные меры.

Через Aj = A(-Sj) обозначим минимальный отрезок, содержащий носитель меры Sj. Предполагаем, что отрезки Aj удовлетворяют следующему условию:

(*) для любых j ф к отрезки Aj и А^ или не пересекаются, или совпадают.

Рассмотрим сначала частный крайний случай, когда все отрезки Aj попарно не пересекаются. Соответствующая система марковских функций (3) называется системой Анже-леско [29],[30]. Из соотношений ортогональности (4) следует, что многочлен Q_n имеет по крайней мере rij перемен

знака внутри отрезка Aj. Следовательно, degQ„ = |тг| , т.е. все мультииндексы нормальные. Поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для систем Анжелеско полностью изучено в работе А.А.Гончара и Е.А.Рахманова [26]. Об аппроксимациях Паде для систем Анжелеско см. также [31],[32].

Рассмотрим другой частный крайний случай, когда все отрезки Aj совпадают: А і = ... = А_то = А . В этом случае Е.М.Никишин [27] предложил следующую конструкцию мер. Пусть F\ и F₂ - непересекающиеся отрезки вещественной оси, (т\ и as - меры с носителями на Fi и F₂ соответственно. Определим следующую меру:

d < о"і,(т₂ >= bido\.

Для системы отрезков Fi,...,F_ra такой, что любые два последовательных отрезка не пересекаются, и мер a_m на этих отрезках по индукции определим меры

Sj =< <7ь ..., aj > = < (7_Ь < cr₂, ..., (Jj >>, j = 1,..., га.

Система марковских функций Sj называется системой Никишина. В [33] Е.М.Никишин исследовал асимптотическое поведение линейных форм для таких систем. Однако, вопрос об асимптотике совместных аппроксимаций оставался открытым. Некоторые результаты были получены в работах [34]-[36]. В 3 первой главы мы докажем сходимость совместных аппроксимаций Паде для систем Никишина. Дальнейшее развитие этих идей см. в [37].

Обобщенная система Никишина соответствует любой системе отрезков Aj, удовлетворяющей условию (*). Прежде чем дать формальное определение рассмотрим примеры для т = 3.

Систему Анжелеско мы связываем с графом (а).

F\ F₂ F3

\ t/¹ о

граф (а)

Кроме корневой вершины этот граф имеет три вершины, соответсвующие дизъюнктным отрезкам Fi, F2, F3 с мерами <ті, <т₂, о"з Система Анжелеско определяется мерами

Sj = Uj на Aj = Fj, j — 1, 2,3.

Систему Никишина мы связываем с графом (Ь),

F₂

Fi

t о

граф (b)

где F\ Г) F2 = 0 и F2 П F3 = 0 . Эта система определяется мерами

si =< о\ > на А\ = Fi «2 =< 0-1,02 > ^wa ^2 = -Fi -53 =< 01,02,03 > на A3 = Fi.

При т = 3 есть еще два графа-дерева (с) и (d).

Для графа (с) имеем Fi П F₂ = 0 и F₂ П F₃ = 0,

F₃

t
Fi F₂

\ S

граф (с)

а соответствующая ему система марковских функций определяется мерами

si = < о\ > на Ai = Fi s₂ =< ai > ма Д₂ = F₂ «з =< ^2,0-3 > на A3 = F₂. Для графа (d) имеем F\ Г) F₂ — 0 и Fi П F3 = 0,

F₂ F₃

\ /

t о

а соответствующая система марковских функций определяется мерами

si =< о\ > на А\ = Fi s₂ =< o"i, (7₂ > на А₂ = Fi S3 =< сгі,сгз > на A3 = Fi.

Все эти системы являются обобщенными системами Никишина (GN-системами).

3. Дадим формальное определение GN-системы.

Пусть G - граф-дерево (ниже просто граф ) с числом вершин, равным т . Другими словами, (G, =4) это частично упорядоченное множество, удовлетворяюшее следующей аксиоме:

(**) каждый непустой отрезок {(3 : (3 -< а] имеет наибольший элемент се_ .

Удобно добавить к графу G корневую вершину: G = G U {и;}, где си 0 G - наименьший элемент G . Будем называть G расширенным графом.

Будем говорить, что элемент а. непосредственно следует за элементом с*_ , и будем писать а_ —> а . Обозначим а₊ множество всех вершин, непосредственно следующих за а. Будем говорить, что элементы (3 ф ^ связаны отношением соседства, и будем писать /3 ч->- ^у , если (3 и 7 непосредственно следуют за одним и тем же элементом cv, т.е. /3,7 Є cv+.

Пусть каждой вершине а Є G соответствует отрезок F_a вещественной прямой и мера а_а с носителем на этом отрезке. Предполагаем, что выполнены следующие условия:

(і) два отрезка F_a и Fp не пересекаются, если вершины а и /3 связаны отношением непосредственного следования (а —> /3, (3 —> а ) или отношением соседства (а <-» (3);

(%%) производная а'_а от абсолютно непрерывной составляющей мерыа_а положительна почти всюду (относительно меры Лебега) на отрезке F_a.

Каждому элементу а G соответствует единственная це-

почка элементов вида

си —» 7 —* Р -> -* ^а-Положим

s_a =< (г_у, ар, ...,о"ог >

Определение. Обобщенной системой Никишина ( GN-системой), соответствующей графу G, называется следующая система функций марковского типа:

f = {fa = s_Q: а G}.

Задача Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина ставится также, как для любой системы степенных рядов (см. п.2), но теперь в качестве нумерующего индекса используются вершины графа G .

А именно, пусть

п - {п_а : а Є G} Є Ъ%

мультииндекс. Тогда существует многочлен Q_n , удовлетворяющий условиям:

2. degQ_n < |n| , где

3. для некоторых многочленов Р_П:а выполнены следующие соотношения:

Яп,_а = Quia - Рп,а = 0(1/*^П"⁺¹), Z -> ОО, а Є G.

Всюду в дальнейшем будем считать, что мультииндекс п удовлетворяет следующему условию:

(***) если а -< (3 , то пр ^ п_а + 1,

другими словами, функция п : G —> Z₊ почти монотонно убывает.

Одним из результатов первой главы является

Предложение 1. Всякий почти монотонно убывающий мультииндекс нормален.

Следовательно, существует единственный (с точностью до нормировки) многочлен Q_n и единственный набор аппроксимаций Эрмита-Паде

П_П)а = -рр, а Є G.

Мы будем нормировать многочлен Q_n условием, что его старший коэффициент равен единице:

Q_n(z) = zW + ...

4. Результаты об асимптотическом поведении аппроксимаций Эрмита-Паде формулируются в терминах задачи равновесия. Приведем здесь необходимые нам факты из теории логарифмического потенциала (см. [38],[114]).

Пусть v - конечная положительная борелевская мера с компактным носителем S{y) в комплексной плоскости. Логарифмическим потенциалом меры v называется следующий

интеграл Лебега (конечный или бесконечный):

V^v(z) = /in, ^l ,du(x), z eC. I \z — x\

Функция V^й - супергармоническая во всей комплексной плоскости и гармоническая вне носителя меры.

Взаимной энергией двух мер называется интеграл

1(»ъщ) = / In _ dvi(x)dv₂{t).

Энергией меры v называется следующая величина:

/(1/) = /(1/,1/).

Исходными данными задачи равновесия для векторных потенциалов являются следующие три объекта:

1. F — {F_a : а Є G} - множество отрезков вещественной прямой Ш ;

2. q = {q_a : а Є G} - множество положительных чисел;

3. А = {а_ар : а,р Є G} - матрица взаимодействия.

В общей постановке G - произвольное множество индексов, a F_a - произвольные регулярные компакты на комплексной плоскости.

Матрицей взаимодействия мы называем любую вещественную симметричную положительно определенную матрицу, удовлетворяющую следующему условию:

^***j элементы а_Л)р = 0 для индексов а ф f3 таких, что компакты F_a и Fp пересекаются.

В электростатической интерпретации F_a - проводник, на который помещен положительный заряд величины q_Q . Матрица взаимодействия устанавливает закон взаимодействия

точечных зарядов, принадлежащих одному и тому же или различным проводникам. Требуется найти равновесное распределение зарядов, т.е. распределение в состоянии статического равновесия.

Для того, чтобы точно сформулировать эту задачу, введем следующие обозначения. Пусть Ш_а = 9Jt_ga(F_a) - множество всех положительных борелевских мер v с носителями на отрезке F_a , полная вариация которых равна \v\ — q_a . Обозначим

ял = 0ап_о

прямое произведение этих множеств. Заметим, что дЯ - выпуклый компакт в * - слабой топологии. Элементы множества 9Л суть векторные меры:

/і = {ц_а : а G}.

Определим векторный потенциал меры /і :

W^t = {WS: а Є G},

W(x)=Y,^a>P^V,ip(^x)> ^xGF-

Обозначим

w = mmW(x), а Е G,

минимум векторного потенциала на соответствующем отрезке. И наконец, определим энергию векторной меры /і как следующую квадратичную форму:

a,p

Заметим, что J(/i) - строго выпуклый вниз и полунепрерывный снизу функционал на выпуклом компакте ЭДТ .

Справедлива

Теорема I.(А.А.Гончар, Е.А.Рахманов).

Каждая из следующих трех задач имеет единственное решение А в классе ЭДТ ; решения этих задач совпадают:

1. J(A) = minJ(A0;

2. W(x)=w^ xeS(X_a), aeG;

3. w^x_a= max <, «EG,

//ЄЙЛ^а(Л)

где максимум берет,ся по мерам [і Є ЭДТ таким, что цр = Л^ для всех /3 ф а .

Доказательство теоремы I содержится в работах А.А.Гончара и Е.А.Рахманова [2б],[39]-[41], см. также монографию [114].

Мера Л , являющаяся решением задач (А), (В) и (С), называется экстремальной или равновесной мерой, соответствующей исходным данным задачи равновесия.

Для изучения асимптотического поведения аппроксимаций Эрмита-Паде мы будем использовать характеризацию меры Л как решение задачи равновесия (В).

5. Зафиксируем произвольную последовательность Л почти монотонно убывающих мультииндексов п такую, что \п\ —> оо, и существуют пределы

hm -j—- = р_а, а Є Сг.

пєА \п\

Здесь {р_а : а Є G} - произвольное распределение вероятно-

стей на графе G, удовлетворяющее условию монотонности:

если а -< /3, то рр ^ р_а.

Рассмотрим векторную задачу равновесия, соответствующую следующим исходным данным:

4. F = {F_a : а Є G} - множество отрезков, входящих в определение обобщенной системы Никишина;

5. q - {q_Q : а Є G} , где

- функция распределения вероятностей;

(3) А — {а_ар : a, /З Є G] - матрица взаимодействия, которая
определяется следующим образом:

^аа,р = 2, если а = (3;

^аа,/з — ^— 1? если индексы связаны отногиением непосредственного

следования, т.е. а —> (3 или (3 — а; ^аа,/3 = 1₅ если индексы связаны отношением соседства : ан/5; ^аа,/3 = 0, в остальных случаях.

Соответствующую равновесную меру обозначим

Л = {A_Q : а Є G}.

Для того, чтобы лучше понять структуру матрицы взаимодействия, рассмотрим примеры для случая т = 3 . Для графа (а) (система Анжелеско) имеем

Заряды, принадлежащие различным проводникам, отталкиваются с силой в два раза меньше, чем заряды, принадлежащие одному и тому же проводнику.

Для графа (Ь) (система Никишина) имеем

z^Ut
П-,¹...П/
l^ni<...^{L l}

Эти функции имеют многочисленные приложения в алгебраической геометрии, аналитической теории дифференциальных уравнений, математической физике, алгебре, комбинаторной и дискретной математике (см., например, [62], [63], где имеются дальнейшие ссылки). В последнее время отмечался повышенный интерес к изучению алгебраических свойств этих функций. Основное алгебраическое свойство заключается в том, что обощенные полилогарифмы образуют базис градуированной алгебры (алгебры Линд єна)

21 =< Li_s > над С.

(Формально полагаем Li$ = 1 .) Это линейное пространство образует алгебру относительно обычного умножения. Градуировка естественная, это порядок мультииндекса

|s| = Si + + .9*-

Алгебра Линдена представляет собой очень естественный объект с точки зрения комплексного анализа. Она состоит из всех многозначных аналитических функций, имеющих лишь три особые точки 2 = 0, 2 = 1 и z = оо , причем все они - чисто логарифмические точки ветвления. Например, любой элемент в окрестности нуля имеет вид

где Лі - некоторые голоморфные в нуле функции. Аналогичное представление справедливо для точек z = 1 и z = оо.

Что же касается арифметических свойств значений обобщенных полилогарифмов, то такая задача долгое время стояла в теории диофантовых приближений, но результатов общего характера получено не было. Нам удалось доказать линейную независимость значений любой совокупности этих функций в рациональной точке, близкой к нулю. Основным результатом здесь является следующая

Теорема 2*. Пусть г = 1,2,3,... Если рациональное число p/q удовлетворяет условию

r\2^r-l

\pjq\ > (2qe^r)

то числа

Li_s(g/p), |s| < г,

линейно независимы над полем рациональных чисел. При этом для любых целых рациональных чисел b_s таких, что

Ъ = max{|6_s| : |s| < г} > О,

справедлива следующая оценка снизу соответствующей линейной формы:

^Tb_sLi_s(q/p)

s^r

In \р\ + г + 4

V =

~-r In I I — In о — г — 1'

2^Г — 1 I g I ¹

ас- некоторая эффективно вычислимая положительная постоянная.

7. Суть доказательства теоремы состоит в том, чтобы перейти к другому базису и воспользоваться идеями первой главы.

Легко видеть, что число обобщенных полилогарифмов данного ранга г (|s| = ?') равно 2^Г~¹. Поэтому мы построим полный бинарный граф:

А/ ₊ А/оо\/₊ А/ ₊

о\ S + - \ S о

\ /¹

- \ S ₊

граф S

Дадим формальное определение. Обозначим S^ множество, элементами которого служат последовательности длины т :

а — (а_ь...,а_то).

Члены последовательности могут принимать три значения, это - символы 0, + и — . При этом выполняются следующие ограничения:

(*) а_х = 0 и а_к ф а_к+и к = 1,...,т - 1.

Положим

S_r= [_\ 5^(m).

m=l

Это и есть полный бинарный граф с г этажами. Добавив к графу S_r корневую вершину (пустую последовательность), получим расширенный граф S_r. Число вершин графа S_r равно

N_r = $S_r = 1 + 2 + 2² + ... + 2⁷""¹ = 2^r - 1.

На множестве степенных рядов вида

⁰⁰ F_n

_{fw = E}

п=\

определим три оператора:

(K-^f)w=EFn^F-

n=l 00 _{1 1} га—1

№лм=Е^^-

00 _{л л} п

Эти операторы связаны соотношением

7г₊ = 7г₀ + 7г_. (6)

Каждой вершине а полного бинарного графа поставим в соответствие степенной ряд fa{z) , а именно, по индукции полагаем

Здесь

а- = (а_ь..., Qf_ro_i)

- элемент, непосредственно предшествующий а . База индукции:

п=1

Корневой вершине по определению соответствует функция

/0 = 1.

Тогда, в силу соотношения (6) набор обобщенных полилогарифмов данного ранга г :

{Li_s(z) : |s| = г}

и набор функций f_a на г -и этаже графа:

связаны между собой невырожденным линейным преобразованием с рациональными коэффициентами. Поэтому во второй главе мы доказываем теорему 2 для функций /_а, а. Є S_r, переформулировкой которой является теорема 2*. Доказательство основано на том факте, что эти функции образуют обобщенную систему Никишина (с точностью до несущественных линейных преобразований).

8. Перейдем ко второму результату второй главы. Он состоит в оценке меры трансцендентности числа 7г².

Впервые существование трансцендентных чисел было доказано Ж.П.Лиувиллем на заседании Парижской академии наук 13 мая 1844 г. [64].

В 1873 г. Ш.Эрмит доказал трансцендентность числа е [11]. Выше мы уже говорили, что аппроксимации Эрмита-Паде появились именно в этой работе, как инструмент для

решения данной конкретной задачи. В дальнейшем метод Эрмита становится одним из основных методов в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений. Более того, долгое время аппроксимации Эрмита-Паде развивались именно в рамках теории чисел.

В 1882 г. Ф.Линдеман [65] применил конструкцию Эрмита для доказательства трансцендентности числа тт. В частности, был получен отрицательный результат в знаменитой задаче древности о квадратуре круга.

В 1932 г. К.Малер [12] получил оценку меры трансцендентности числа 7Г. В 1953 г. [13] он продолжил свои исследования и рассмотрел значения логарифма в алгебраических точках. Метод Малера базируется на аппроксимациях Эрмита-Паде для последовательных степеней логарифмической функции.

Существенное развитие метод Эрмита получил в работах К.Л.Зигеля [14] (1929 г.). А окончательные результаты, относящиеся к, так называемым, Е-функциям (целым функциям с арифметическими ограничениями на тейлоровские коэффициенты), были получены А.Б.Шидловским [66] в 1959 г. Основной вклад в развитие метода Эрмита для G-функций (степенных рядов с конечным радиусом сходимости и арифметическими ограничениями на коэффициенты) внес А.И.Галочкин [67] (1974 г.).

Во второй главе нами доказана следующая

Теорема 3. Для любых целых рациональных чисел ag, fli, > ^ар> где р = 1, 2,3,..., таких, что

a = max |а/| > О, выполняется неравентство

і 2 2ді ^СЫ

х(р) = р 45^,

а с(р) - некоторая эффективно вычислимая положительная постоянная.

Наша теорема улучшает результат К.Малера, у которого

х(р) ~ е^8/> -\пр.

Конечно же, при р —> оо правильную оценку меры трансцендентности числа 7г дает теорема Н.И.Фельдмана [68], [69] полученная методом Гельфонда, а именно:

я{р) = с₀р\пр.

Однако для малых значений р наша оценка лучше из-за большой константы cq .

Доказательство теоремы основано на аппроксимациях Эрмита-Паде первого типа, т.е. линейных формах вида

J^r,n — ^*о,п ~Ь d5\_ne\ 4- Ai,nd>i + ... -f- B_rne_r -+- A_rnd_r,

где Aj_jTl и Bj _п - многочлены степени не выше п , а функции ej и dj образуют бесконечную систему Никишина, соответствующую графу

1 —> ei —> d\ —> e₂ —> d₂ —> . (7)

Эти функции, голоморфные и равные нулю в бесконечности, удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

d'_r(z) = —e_r(z), e'_r(z) = —- -d_r_i(z), г = 1,2,... (d_Q

Z ZyL — Z)

Значения d_r(l) суть суммы Эйлера:

7Г^2Г

_{4(i)= y, Л--Л =}

n{ nl (2r + l)!

Таким образом, нас интересует поведение величин R_r>n(l) . Поэтому изучается модификация конструкции Эрмита-Паде, содержащая помимо стандартного условия на бесконечности:

Я_г,_п(г)=0(1/*^гп+г), *->оо,

также условие на вес:

W_r,n(x)=0((l-x)ⁿ⁺¹), я->1.

Весовая функция определяется формулами Сохоцкого:

W_rt1l(x) = —lmR_rn(x - і 0), 0 < х < 1.

Предложенная нами конструкция служит обобщением аппроксимаций Ф.Бекерса [51], построенных им для графа

1 —> Єї —У d\,

подобно тому, как линейные формы К.Малера, построенные для графа

1 —>е_х —> -е_] —> > -е₁ —у ,

обобщают конструкцию аппроксимаций Паде логарифмической функции в\ , т.е. классических многочленов Лежандра.

Детальное изучение линейныхформ R_rn и приводит к доказательству теоремы.

Также теорема может быть доказана с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде для графа

₁ До ~ Д- ~ Д₊ „ Д_ j А+. ,. Д_

1 > Єї > d\ > Є2 > Gt2 У Єз > ,

несколько отличного от графа (7).

Еще один пример бесконечного линейного графа, для которого аппроксимации Эрмита-Паде хорошо изучены, дают полилогарифмы, о которых мы говорили выше:

д₀ д_ . д_ . д_

1 —> Li! —> L12 —> L13 —>

В 1981 г. Ф.Бекерс [51] предложил доказательство теоремы Р.Апери об иррациональности числа С(3), основанное на некоторых аппроксимациях типа Эрмита-Паде для полилогарифмов. В 1998 г. [109] мы предложили новое доказательство этого результата, основанное на аппроксимациях Эрмита-Паде для следующего графа:

А₀ Д+ , А

1 —> е —> f —) с.

Затем Д.В.Васильев [57] изучал интегралы, связанные с аппроксимациями Эрмита-Паде для несколько более общего графа:

Д₀ А₊ Д_ Д+ Д_

1 —У е —> / —> с —> Ъ —у а.

Эти интегралы приводят к хорошим диофантовым приближениям чисел <С(3) и С(5), но к сожалению не доказывают их иррациональность.

Однако, применение леммы Ю.В.Нестеренко [70] позволяет доказать, например, следующее утверждение:

среди чисел (3), С(5), (7),... есть бесконечно много иррациональных.

Этот результат (с количественными оценками) был получен Т.Ривоалем [53], а также независимо В.В.Зудилиным [54], [56]. При этом применялись кратные интегралы, которые представляют собой решение задачи Эрмита-Паде для графа

_Л Д₀ А+ А- Л₊ Д_ Д₊ Д-

1 > -Л > —^ > У > ,

являющиеся модификацией нашей конструкции.

Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [92], [93]. Другие результаты по теме второй главы опубликованы в работах автора [105]-[111].

9. В третьей главе изучаются приложения аппроксимаций Эрмита-Паде к вполне интегрируемым нелинейным динамическим системам типа цепочек Тоды и Ленгмюра.

В начале 1960-х годов японский физик теоретик Тода предложил новую модель колебания атомов в кристаллической решетке, которая впрочем хорошо описывает и другие физические процессы (см., например,[71]-[73], где имеются дальнейшие ссылки).

Мы рассмотрим лишь простейшую одномерную ситуацию. Пусть х_п = x_n(t) - координаты частиц, при этом

х_п-\ < х_п, п Є Z.

Предположим, что между соседними частицами имеется короткодействующая сила отталкивания, убывающая по экспоненциальному закону. Таким образом, на п-ю частицу действует сила, равная

Р — p-^n-Zn-l) _ -(X_{n + 1}-X_n)

Согласно второму закону Ньютона получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

х_п = F_n, п Є Z, (8)

которая и называется цепочкой Тоды. При t = 0 задают начальные условия: х_п(0) и х_п(0) - начальные положения частиц и их начальные скорости соответственно. Используя обозначения

с_п = е~~(^Хп+і~^ХпЛ> систему (8) можно записать в гамильтоновой форме:

^{

^п — Сп — 1 ^п Сп = C_n(v_n - V_n+i).

При изучении таких систем появляются также их более простые аналоги, так называемые цепочки Ленгмюра:

с_п — с_п(с_п+ї-с_п^і). (9)

Рассмотрим одностороннюю цепочку Ленгмюра, в которой

п = 0,1,2, ...

Тогда помимо начальных условий с_п(0) необходимо задать одно граничное условие:

c_i = 0.

Физический смысл имеют только положительные решения:

с_п > 0, п Є Z+.

В 1975 г. Ю.Мозер [25], [74] проинтегрировал односторонние цепочки Тоды и Ленгмюра. При этом он применил метод обратной спектральной задачи. (См. также [75], [76]).

А именно, рассмотрим симметрический оператор

/ 0 ^ \

д_ \/со 0 у/с[

у/с[ 0 у/сі

\ /

действующий в гильбертовом пространстве 1ч . Тогда существует кососимметрическии оператор В такой, что систему (9) можно переписать в виде пары Лакса:

А = [А,В]. (10)

Обозначим ji спектральную меру оператора А (предполагая, что А - самосопряженный оператор). Тогда уравнение (10) приводит к следующей простейшей изоспсктральной деформации меры її :

/І — Л \і

(без учета нормировки). Тем самым

/z(A,*) =

-j^aV(A,0)

f_Me^x24ii(x,0)

(с учетом нормировки меры). Решая обратную спектральную задачу, т.е. восстанавливая матрицу Якоби А по известным теперь спектральным данным fi(\,t) , получаем решение цепочки Ленгмюра.

10. В 1987 г. О.И.Богоявленский [77], [78] рассмотрел и полностью решил задачу, состоящую в описании всех цепочек, допускающих пару Лакса. Типичная цепочка Богоявленского имеет следующий вид:

С_п — C_nyC_nj_r\...C_n.\__r c_n_i ...С_п__г), V У

где г - произвольное натуральное число.

Эти цепочки представляют собой естественное обобщение цепочки Ленгмюра. Все они являются различными дискретизациями уравнения Кортевега-де Фриза:

щ = 6и и_х - и_ххх.

По-существу, предложенный метод классификации служит алгоритмом решения конечных цепочек. Но оставалась открытой задача, состоящая в решении полубесконечных цепочек Богоявленского.

В 1994 г. В.А.Калягин [21] исследовал связь аппроксимаций Эрмита-Паде со спектральной теорией несимметричных операторов. Он показал, что матричные элементы резольвенты для ленточных операторов выражаются через совместные аппроксимации соответствующих функций Вейля. Эти исследования лежат в основе применения аппроксимаций Эрмита-Паде к решению цепочек Богоявленского. (См. также [79], [80]).

Мы предложили следующий метод решения полубесконечных цепочек Богоявленского. Итак, мы имеем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (11) с граничными условиями

С-_г = 0,... c_i =0,

и с начальными условиями, удовлетворяющими неравенствам

0 < с„(0) < М < +оо, п Z+,

с некоторой положительной постоянной М .

Рассмотрим действующий в гильбертовом пространстве І2 линейный оператор (имеющий т нулевых диагоналей

в центре)

г+1

А =

\

Q>n — c_n ,

b_n = (c„...c_n+r_i )--+1. Этот оператор квазисимметрический, т.е.

^п ^{= а}п ^an+r-l-

Тогда существует оператор Б такой, что система уравнений (11) может быть записана как пара Лакса:

А = [А,В].

Для дальнейшего применения метода обратной спектральной задачи мы построили теорию, обобщающую классическую проблему моментов Стилтьеса [22], [81], [82]. (Другие подходы см. в [83]-[86].)

Из этих исследований вытекает основной результат третьей главы. Для того, чтобы сформулировать этот результат, введем следующие обозначения. Операцию деления вектора

на вектор

в = (Л...,а"-")

d = (S\...,di^r-\

необходимую для построения многомерной непрерывной дроби, определим с помощью алгоритма Эйлера-Якоби-Перрона, (см. [87]-[90]) а именно:

d~\ d^-D ' d(r-i) ''' *' rf(r-i) J Введем следующие векторные обозначения:

Л = (0,...,0,А) Є С, 1 = (1,...,1)єК^г,

C_n — (^ C_w, C_n, . . . , C_n) fc ІК .

и рассмотрим многомерную непрерывную дробь

К(Л | с) =

Л +

С_г-2

c_r_i

Л

Л + ... +

л-...

с= (с₀,с_ьс₂,...).

Обозначим А множество, состоящее из г + 1 лучей на комплексной плоскости, выходящих из начала координат и проходящих через корни (г + 1) - й степени из единицы. Пусть

_НЛ-..,/^)

вектор из конечных положительных борелевских мер с общим компактным носителем на множестве А, инвариантных

относительно поворотов комплексной плоскости на углы, кратные —т. Обозначим

г+1

f(X\t) = (f^(X\t),...J^¹\X\t)) вектор, состоящий из функций марковского типа

рехр(х^г+4)с//і^)(а;)

/W(A|0 =

\i fexp(x^r+4)d/i(^Q){xy д

Основным результатом третьей главы является Теорема 4.

1. Задача Коши для бесконечной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений

С_п — C_nyC_n±\ . . . C_nJ_rr C_n_i . . . С_га_-_Г], П t ^-(-)

с граничными условиями

с__г = 0, ...,c_i =0,

а также положительными и ограниченными начальными условиями

имеет единственное (в классе ограниченных последовательностей) решение на всем промежутке t [0,+оо).

2. Решением служит равномерно ограниченная последо
вательность положительных функций

0 < c_n(t) ^ M_r, M_r = 2^1+1/rM, Є [0, +оо), п Є Z

+

3. Существует единственная (с точностью до нормировки) векторная мера /л, такая что справедлива формула

/(А|*) = К(А|с(*)).

Таким образом, интегрирование цепочки Богоявленского сводится к решению прямой и обратной спектральной задачи. А именно, суммируя непрерывную дробь с известными начальными параметрами c_n(0) , т.е. решая прямую спектральную задачу, мы получаем спектральную меру ц (в нулевой момент времени). Раскладывая затем вектор f(X\t) в непрерывную дробь, т.е. решая обратную спектральную задачу, мы находим параметры дроби c_n(t) в произвольный момент времени t .

Основные результаты третьей главы опубликованы в работе автора [94]. Другие результаты по теме третьей главы опубликованы в работах автора [112],[113].

В заключение отмстим, что в каждом разделе диссертации используются локальные обозначения и локальная нумерация формул.

Векторное равновесие и асимптотическое поведение совместных аппроксимаций

Заметим, что /(//) - строго выпуклый вниз и полунепрерывный снизу функционал на выпуклом компакте ШТ . Справедлива (см. [26], [39]-[41], [114]) Теорема 1.(А.А.Гончар, Е.А.Рахманов) Каждая из следующих трех задач имеет единственное решение А в классе ЭДТ ; решения этих задач совпадают: где максимум берется no мерам \i Є ЭДТ таким, что цр = \р для всех (3 ф а . Мера Л , являющаяся решением задач (А), (В) и (С), называется экстремальной или равновесной мерой, соответствующей исходным данным задачи равновесия. Для изучения асимптотического поведения аппроксимаций Эрмита-Паде мы будем использовать характеризацию меры Л как решение задачи равновесия (В). 2. Зафиксируем произвольную последовательность Л почти монотонно убывающих мультииндексов п такую, что \п\ — ею, и существуют пределы Буд,(3 — 0, в остальных случаях. Соответствующую равновесную меру обозначим 3. Сформулируем основной результат первой главы, состоящий в описании предельного распределения нулей многочленов QU)a Для любого многочлена Р ф. О через //(Р) обозначим ассоциированную с ним дискретную меру, а именно, в каждом нуле многочлена Р сосредоточим массу, равную кратности этого нуля. Запись vn — v в применении к мерам означает слабую сходимость. Теорема 1. Для любого а Є G справедливы предельные соотношения Доказательство теоремы 1 использует задачу равновесия во внешнем поле. Пусть А - отрезок вещественной оси, g - непрерывная функция на отрезке А (д— это внешнее поле). Хорошо известен следующий результат [40]. Теорема II. Существует и единственна вероятностная мера v на отрезке А такая, что выполняются соотношения равновесия: Также мы используем следующую теорему [40] о предельном распределении нулей многочленов, удовлетворяющих соотношениям ортогональности с переменным весом. Теорема III. Пусть р - конечная положительная боре-левская мера на отрезке А вещественной оси такая, что р (х) 0 почти всюду относительно меры Лебега на А . Пусть L - подпоследовательность натурального ряда и gi (І Є L) - последовательность непрерывных функций на Д равномерно сходящаяся на этом отрезке: Обозначим v - решение задачи равновесия (D) во внешнем поле g , и w - соответствующую равновесную постоянную.

Предположим, что последовательность многочленов Рі (І Є L) степени I , с единичным старшим коэффициентом, удовлетворяет следующим соотношениям ортогональности ем называть Л регулярной последовательностью. Здесь {ра : а Є G} - произвольное распределение вероятностей на графе G, удовлетворяющее условию монотонности: если а - (3, то рр ра. Рассмотрим векторную задачу равновесия, соответствующую следующим исходным данным: (1) F = {Fa : « G G}- множество отрезков, входящих в определение обобщенной системы Никишина; (2) q = {qa : а Є G} , где - функция распределения вероятностей; (3) А = {аа,р а,Р Є G} - матрица взаимодействия, которая определяется следующим образом: аа р — 2, если а = (3\ aaj = — 1, если индексы связаны отношением непосредственного следования, т.е. а —) j3 или (3 — а; аа,р — І? если индексы связаны отношением соседства : а О (3; аа,(3 — 0, в остальных случаях. Соответствующую равновесную меру обозначим 3. Сформулируем основной результат первой главы, состоящий в описании предельного распределения нулей многочленов QU)a Для любого многочлена Р ф. О через //(Р) обозначим ассоциированную с ним дискретную меру, а именно, в каждом нуле многочлена Р сосредоточим массу, равную кратности этого нуля. Запись vn — v в применении к мерам означает слабую сходимость. Теорема 1. Для любого а Є G справедливы предельные соотношения Доказательство теоремы 1 использует задачу равновесия во внешнем поле. Пусть А - отрезок вещественной оси, g - непрерывная функция на отрезке А (д— это внешнее поле). Хорошо известен следующий результат [40]. Теорема II. Существует и единственна вероятностная мера v на отрезке А такая, что выполняются соотношения равновесия: Также мы используем следующую теорему [40] о предельном распределении нулей многочленов, удовлетворяющих соотношениям ортогональности с переменным весом. Теорема III. Пусть р - конечная положительная боре-левская мера на отрезке А вещественной оси такая, что р (х) 0 почти всюду относительно меры Лебега на А . Пусть L - подпоследовательность натурального ряда и gi (І Є L) - последовательность непрерывных функций на Д равномерно сходящаяся на этом отрезке: Обозначим v - решение задачи равновесия (D) во внешнем поле g , и w - соответствующую равновесную постоянную. Предположим, что последовательность многочленов Рі (І Є L) степени I , с единичным старшим коэффициентом, удовлетворяет следующим соотношениям ортогональности: 4. Доказательство теоремы 1. Соотношения ортогональности (1.4) можно переписать в следующем виде: Тем самым, QH)a - ортогональные многочлены относительно переменного веса hna . Положим - соответствующая векторная мера. Докажем, что равно весная мера Л единственная предельная точка последо вательности (іп, п Є Л , откуда и будет следовать слабая сходимость цп — А . Пусть

Совместные аппроксимации Паде для полного бинарного графа

В этом параграфе мы изучаем совместные аппроксимации Паде для построенной в 1, п.2 системы функций. Свойства этих аппроксимаций будут лежать в основе доказательства теоремы 2. 1. Поставим следующую задачу об аппроксимациях Эрмита-Паде второго типа. Задача 1. Для данного целого неотрицательного числа п требуется найти ненулевой многочлен Qn{z) степени не выше nNr такой, что для некоторых многочленов Pn)a(z) выполняются следующие интерполяционные условия: Решение задачи 1 существует. В силу леммы 2 задача 1 равносильна аналогичной задаче для функций да. Тогда из предложения 1 (Глава 1, 1, п.2) вытекает единственность решения (с точностью до нормировки). 2. Найдем явный вид решения задачи 1. Рассмотрим следующий дифференциальный оператор: Лемма 3. Справедлива формула Родрига Доказательство леммы 3. Многочлен Qn, определенный формулой Родрига, имеет степень nNr. Из условий ортогональности: Из доказательства леммы 1 вытекает, что эти соотношения ортогональности равносильны следующим: Докажем эти соотношения ортогональности индукцией по г. При г = 1 получаем многочлены Лежандра. Пусть г 1. Запишем Qn — DnQn. Тогда соотношения первой группы проверяются интегрированием по частям. Далее, где pi(x) - некоторые многочлены степени не выше 2п—1. Тогда соотношения второй группы выполняются по индукции (с заменой п на 2п). Соотношения третьей группы справедливы в силу инвариантности многочлена Qn(x) относительно замены їй 1-х. Лемма 3 доказана. 3. Исследуем арифметические свойства решений задачи 1. Обозначим через си наименьшее общее кратное чисел 1,2, ...,7V. Лемма 4. Многочлены имеют целые рациональные коэффициенты. Доказательство леммы 4. Для любого целого неотрицательного числа N дифференциальный оператор переводит многочлен с целыми рациональными коэффициентами снова в многочлен с целыми рациональными коэффициентами, поскольку Следовательно, в силу формулы Родрига многочлен Qn имеет целые рациональные коэффициенты. Далее, из условий задачи 1 следует, что многочлен Рпа равен полиномиальной части произведения двух степенных рядов Qnfai первый из которых, как мы только что показали, имеет целые рациональные коэффициенты. Рассмотрим коэффициенты ряда /а, а S m . Из определения этих рядов (см. 1, п.2) следует,что где параметры si,S2,..., St могут принимать два значения 1 и 2, а параметры Є\, ...,et-i также два значения 0 и 1, но в соответствии со специальным правилом. А именно, если si = 2, то Єї может быть как нулем, так и единицей, если же 5/ = 1, то Єї = 0, когда /_і = 1, и / = 1, когда ei-\ = 0, при этом Є\ = О при si = 1. Параметр t = 1,2,3,... любой, лишь бы выполнялось равенство Тогда умножая первые N коэффициентов этого ряда на о;, получим целые рациональные числа. Лемма 4 доказана. 4. Оценим знаменатели совместных аппроксимаций.

Доказательство леммы 5. Все нули xnj многочлена Qn{x) лежат на интервале (0,1). Обозначим qn модуль старшего коэффициента этого многочлена. Тогда задачи 1 и леммы 1 следует, что общий знаменатель аппроксимаций Эрмита-Паде единственным образом (с точностью до нормировки) определяется следующими соотношениями ортогональности: Из доказательства леммы 1 вытекает, что эти соотношения ортогональности равносильны следующим: Докажем эти соотношения ортогональности индукцией по г. При г = 1 получаем многочлены Лежандра. Пусть г 1. Запишем Qn — DnQn. Тогда соотношения первой группы проверяются интегрированием по частям. Далее, где pi(x) - некоторые многочлены степени не выше 2п—1. Тогда соотношения второй группы выполняются по индукции (с заменой п на 2п). Соотношения третьей группы справедливы в силу инвариантности многочлена Qn(x) относительно замены їй 1-х. Лемма 3 доказана. 3. Исследуем арифметические свойства решений задачи 1. Обозначим через си наименьшее общее кратное чисел 1,2, ...,7V. Лемма 4. Многочлены имеют целые рациональные коэффициенты. Доказательство леммы 4. Для любого целого неотрицательного числа N дифференциальный оператор переводит многочлен с целыми рациональными коэффициентами снова в многочлен с целыми рациональными коэффициентами, поскольку Следовательно, в силу формулы Родрига многочлен Qn имеет целые рациональные коэффициенты. Далее, из условий задачи 1 следует, что многочлен Рпа равен полиномиальной части произведения двух степенных рядов Qnfai первый из которых, как мы только что показали, имеет целые рациональные коэффициенты. Рассмотрим коэффициенты ряда /а, а S m . Из определения этих рядов (см. 1, п.2) следует,что где параметры si,S2,..., St могут принимать два значения 1 и 2, а параметры Є\, ...,et-i также два значения 0 и 1, но в соответствии со специальным правилом. А именно, если si = 2, то Єї может быть как нулем, так и единицей, если же 5/ = 1, то Єї = 0, когда /_і = 1, и / = 1, когда ei-\ = 0, при этом Є\ = О при si = 1. Параметр t = 1,2,3,... любой, лишь бы выполнялось равенство Тогда умножая первые N коэффициентов этого ряда на о;, получим целые рациональные числа. Лемма 4 доказана. 4. Оценим знаменатели совместных аппроксимаций. Доказательство леммы 5. Все нули xnj многочлена Qn{x) лежат на интервале (0,1). Обозначим qn модуль старшего коэффициента этого многочлена. Тогда Окончательно получим

Цепочки Богоявленского и многомерная непрерывная дробь

Неравенство (69) выполняется при любом г го. Найдем наименьшее значение функции р(г) при rg г +оо. Имеем _ rln(45r/2) " " 1п(45г/2) -1п(45 )" Поэтому будем искать наименьшее значение функции где х = ln(45r/2), XQ = 1п(45 ). Имеем h (x) = 0, если х1 — XQX — XQ = 0. Откуда находим точку минимума х = (XQ + A/ Q + 4жо)/2. Поскольку х ж о + 1 при жо — сю, то, подставив в (70) получим Таким образом, оценка (1)-(2) доказана для всех р /э . Численные расчеты показывают, что эта оценка справедлива для всех р = 1,2,3,.... Теорема 3 доказана. В этой главе мы проинтегрируем полубесконечные цепочки Богоявленского. Решения цепочек даются в терминах многомерных непрерывных дробей. Доказательство опирается на метод обратной спектральной задачи и существенно использует аппроксимации Эрмита-Паде и многомерный аналог проблемы моментов Стилтьеса. Основные результаты третьей главы опубликованы в работе автора [94]. Другие результаты по теме третьей главы опубликованы в работах автора [112],[113]. В этом параграфе мы формулируем основной результат третьей главы и изучаем многочлены совместной ортогональности, связанные с аппроксимациями Эрмита-Паде и многомерными непрерывными дробями, которые лежат в основе доказательства этого результата. 1. Полубесконечной цепочкой Богоявленского называется следующая бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений (см. введение, пи.9, 10): с граничными условиями: Здесь г - произвольное фиксированное натуральное число. Эти цепочки служат обобщением хорошо известной цепочки Ленгмюра (которая получается при г = 1 ). Они были введены О.И.Богоявленским в 1987 г. в процессе классификации всех дискретных аналогов уравнения Кортевега-де-Фриза, допускающих пару Лакса. Для системы (1.1) ставится задача Коши с положительными и ограниченными начальными данными: Решение ищется на промежутке t [0,+ос). Для того, чтобы сформулировать основной результат этой главы, введем следующие обозначения.

Операцию деления вектора необходимую для построения многомерной непрерывной дроби, определим с помощью алгоритма Эйлер а-Якоби-Перрона, а именно: Введем следующие векторные обозначения: и рассмотрим многомерную непрерывную дробь Обозначим А множество, состоящее из г + 1 лучей на комплексной плоскости, выходящих из начала координат и проходящих через корни (г + 1) - й степени из единицы. Пусть вектор из конечных положительных борелевских мер с общим компактным носителем на множестве А, инвариантных относительно поворотов комплексной плоскости на углы, кратные - рг. Обозначим вектор, состоящий из функций марковского типа Основным результатом третьей главы является Теорема 4. 1. Задача Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями а также положительными и ограниченными начальными условиями имеет единственное (в классе ограниченных последовательностей) решение на всем промежутке t Є [0,+ос). 2. Решением служит равномерно ограниченная последо вательность положительных функций 3. Существует единственная (с точностью до норми ровки) векторная мера //, такая что справедлива формула Таким образом, интегрирование цепочки Богоявленского сводится к решению прямой и обратной спектральной задачи. А именно, суммируя непрерывную дробь с известными начальными параметрами cn(0) , т.е. решая прямую спектральную задачу, мы получаем спектральную меру fi (в нулевой момент времени). Раскладывая затем вектор /(А) в непрерывную дробь, т.е. решая обратную спектральную задачу, мы находим параметры дроби cn(t) в произвольный момент времени t . 2. Зафиксируем натуральное число г . Введем ряд обозначений. Пусть множество всех последовательностей действительных чисел таких, что Обозначим множество всех последовательностей из , нормированных условием SQ = 1. Рассмотрим бесконечную матрицу Обозначим "H бесконечную матрицу, полученную из 7-/() удалением j первых строк, где j = 1, ...,г. Главные угловые миноры порядка п матрицы Ц будем называть обобщенными определителями Ганкеля и будем обозначать По определению полагаем 7iQ = 1. Определение. 1. Последовательность s Є будем называть несингулярной, если все ее обобщенные определители Ганкеля отличны от нуля. 2. Последовательность s Є будем называть позитивной, если все ее обобщенные определители Ганкеля положительны: Множество всех позитивных последовательностей обозначим +, а множество всех позитивных последовательностей о о из обозначим S+. Пусть Ш[Х] линейное пространство, состоящее из всех многочленов с вещественными коэффициентами от переменной Л. Каждой последовательности s Є S соответствует линейный функционал который многочлену соответствие число Функционал (З будем называть позитивным (несингулярным), если соответствующая ему последовательность моментов позитивна (несингулярна). Обозначим примитивный корень (г + 1) - й степени из единицы, и G = Zr+i циклическую группу порядка г + 1, состоящую из следующих поворотов комплексной плоскости: 3. Поставим следующую задачу. Задача (Н). Для каждого п Є Z+ требуется найти многочлен Нп{Х) такой, что 1)ЯП(А) 0; 2) deg#„(A) щ 3) многочлен Нп(Х) инвариантен относительно группы G, т.е. 4) многочлен Нп(Х) удовлетворяет следующим соотноше ниям ортогональности:

Уравнение Лакса-Филлипса и векторная проблема моментов Стилтьеса

В этом параграфе мы завершим доказательство теоремы 4. 1. Запишем систему уравнений (1.1) в форме Лакса. Обозначим В бесконечную ленточную матрицу, содержащую г -+- 1 ненулевых диагоналей, а именно: Формально полагаем еп = 0, если п 0. Пусть (і) ап и /% - произвольные положительные параметры, где п Є Z+, j = 1,..., г. Напомним, что оператор А действует следующим образом: При этом где со, сі,... некоторые положительные параметры. Прежде всего выясним, при каких условиях на параметры матрицы В коммутатор матриц содержит лишь две ненулевые диагонали, а именно, те же, что у матрицы А . Имеем Таким образом, коммутатор [А, В] содержит, вообще говоря, ненулевые диагонали с матричными элементами, имеющими следующие номера: где 1-й индекс - это номер строки, а 2-й - номер столбца. Потребуем, чтобы все элементы с номерами (п — г — 2, п) были равны нулю: Решая это разностное уравнение относительно ап, получим: где D - произвольная постоянная. Потребуем теперь, чтобы равнялись нулю элементы с номерами (п + г2 + 2г, п) : Решая это разностное уравнение относительно /% , получим: где (г) - произвольная постоянная. Потребуем, чтобы равнялись нулю элементы с номерами (n + Мы получили неоднородное разностное уравнение. Вначале решим однородное уравнение: Оно имеет следующее частное решение: Общим решением однородного уравнения является где D произвольная постоянная. Для того, чтобы решить неоднородное уравнение, применим метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа), т.е. будем считать, что D = Dn зависит от п. Тогда приходим к следующему разностному уравнению: Решая это уравнение, получим где D r 1 - произвольная постоянная. В силу однородности конструкции положим Z)(r_1) = 0. Окончательно имеем Рассуждая аналогичным образом по индукции, мы приходим к следующим формулам: + и j = 0,..., г — 1. Формально полагаем an (г) = 1. Итак, мы получили условия, при которых коммутатор [А, В] содержит лишь две ненулевые диагонали, а именно, те же, что матрица А . Этими условиями матрица

В определена однозначно, с точностью до двух произвольных констант ) и D . Вычислим матричные элементы коммутатора с номерами (п — Вычислим матричные элементы коммутатора с номерами (п + г, 1 Таким образом, если положить Лемма 5. Пусть А и В определенные выше матрицы. Утверждается, что последовательность положительных функций сп = cn(t) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (1.1) с граничными условиями (1.2), тогда и только тогда, когда матрицы А и В образуют пару Лакса, т.е. удовлетворяют дифференциальному уравнению 2. Получим систему дифференциальных уравнений на степенные моменты. Лемма 6. Ограниченная последовательность положительных функций сп = cn(t) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (1.1) с граничными условиями (1.2), тогда и только тогда, когда соответствующая ей последовательность моментов sn = sn(t) удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений: Доказательство леммы 6. 1) Перепишем (2.1) в виде S(r+l)n+j — s(r+l){n+l)+j — S(r+i)n+jsr+b п Є +і І = 0, . . . ,7і — 1. Эти уравнения равносильны следующим уравнениям на со-ответсвующие степенные ряды: fU){x) = (Xr+1-sr+1)f (X)-SjXr \ j = 0,...,r-l. (2.2) Заметим,что 2) Для того, чтобы доказать соотношения (2.2), нам пона добится резольвента оператора А. Если последовательность положительных чисел {сп} ограничена, то матрицы А и В определяют ограниченные операторы в гильбертовом про странстве І2- Определим резольвенту оператора А следую щей формулой: где Е - единичный оператор, о-{А) - спектр оператора А . Вычислим матричные элементы резольвенты. Обозначим X матрицу оператора R\. Эта матрица удовлетворяет следующим матричным уравнениям: В дальнейшем нам понадобятся только г первых столбцов и первая (нулевая) строка матрицы X . Рассмотрим второе уравнение в (2.3): Пусть х = х( - нулевой столбец матрицы X . Тогда Записывая это уравнение в координатах

Похожие диссертации на Аппроксимации Эрмита-Паде и обобщенные системы Никишина в теории диофантовых приближений и в теории динамических систем

Некоторые экстремальные задачи теории приближения функций сплайнами Шумейко Александр Алексеевич

Некоторые вопросы теории приближений и теоремы вложения Симонов Борис Витальевич

Некоторые вопросы теории приближений на весовом пространстве СоболеваБедельбаева, Лайля Есмухаметовна

Экстремальные задачи теории приближений и нелинейные колебанияБуслаев, Александр Павлович

Прямые и обратные теоремы теории приближенийХатамов, Ахтам

Экстремальные задачи теории приближения аналитических функций комплексной переменнойВакарчук, Сергей Борисович

Функциональные пространства и некоторые вопросы теории приближения на группе SU(2)Рзаев, Сеймур Фахраддин оглы

Исследования по экстремальным задачам теории приближения для классов периодических функций многих переменныхРоманюк, Анатолий Сергеевич

Мультипликаторы в пространствах Харди и некоторые вопросы теории приближенийВолчков, Виталий Владимирович

Методы суммирования рядов Фурье-Якоби и некоторые вопросы теории приближенийВагабов, Ибрагим Алиевич