Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аппроксимация дифференциала решений эллиптических систем 26
1.1 Постановка задачи 26
1.2 Системы типа Коши–Римана 29
1.3 Приближение дифференциала решений эллиптических систем 45
1.4 Аппроксимация дифференциала решений эллиптических систем по значениям с заданной погрешностью 51
1.5 Случай нелинейных эллиптических систем 58
Глава 2. Геометрические свойства решений эллиптических систем 68
2.1 Постановка задачи 68
2.2 Ориентация симплекса при гомеоморфных отображениях в Rn 70
2.3 K-квазиконформные отображения, сохраняющие ориентацию симплекса 77
2.4 Условия сохранения ориентации симплекса при квазиизометрических отображениях 78
2.5 Гармонические отображения, сохраняющие ориентацию симплекса 87
2.6 Ориентация треугольника при отображениях, являющихся решениями эллиптических систем 93
Литература 100
- Приближение дифференциала решений эллиптических систем
- Аппроксимация дифференциала решений эллиптических систем по значениям с заданной погрешностью
- Ориентация симплекса при гомеоморфных отображениях в Rn
- Гармонические отображения, сохраняющие ориентацию симплекса
Введение к работе
Актуальность темы. При численном решении различных задач широко используются нерегулярные расчетные сетки в виде триангуляций плоских и пространственных областей. Аппроксимации функций, заданных на таких расчетных сетках, а также аппроксимации их производных посвящено множество исследований, в значительной части которых изучается зависимость качества аппроксимации от способа построения триангуляции.
Наличие такой зависимости впервые было отмечено в классическом примере К. Шварца, называемом иногда «сапог Шварца»1. Этот пример демонстрирует, что при измельчении ячеек расчетной сетки сходимость соответствующих производных кусочно-линейных аппроксимаций может не наблюдаться. Последующее изучение этого явления множеством авторов показало, что геометрические характеристики сетки оказывают значительное влияние на аппроксимацию вплоть до отсутствия сходимости.
Традиционным подходом в исследованиях связи качества приближения и способа построения триангуляции является получение оценки погрешности через диаметр треугольника и наибольший (или наименьший) его угол. Первые работы, в рамках которых применялся такой подход, появились в конце 50-х годов прошлого века. В 1957 г. Дж. Синдж изучал интерполяционные многочлены первой степени на треугольнике. Позднее в статьях М. Зламала, Дж. Брэмбла, А. Женишека, П. Сьярле и П. Равьяра были определены условия на минимальный угол треугольника, обеспечивающие приемлемое качество приближения, а A. Азиз и И. Бабушка показали, что качество аппроксимации в методе конечных элементов для триангуляций значительно снижается при стремлении одного из углов треугольника к 180. Начиная с 70—80-х годов, обозначенной проблематикой занимались Ю.Н. Субботин, П. Жаме, Н.В. Байдакова, Н.В. Латыпова, J.R. Shewchuk, В.А. Клячин и другие.
Чтобы увидеть, как в точных формулировках выражается зависимость качества приближения от геометрических характеристик триангуляции, приведем
1Гелбаум Б., ОлмстедДж. Контрпримеры в анализе. — М: Мир, 1967. — 251 с.
подробнее некоторые характерные результаты из упомянутых выше исследований.
Так в работе П. Сьярле и П. Равьяра2 в двумерном случае при аппроксимации функции и ее к-х производных были получены верхние оценки погрешности аппроксимации вида
С1тЛ (sina)~ ,
где / — диаметр триангуляции, а — наименьший угол триангуляции, т — степень интерполяционного многочлена, а С — константа, от триангуляции не зависящая.
В статье Ю.Н. Субботина3 для функции /, принадлежащей описанному в статье классу, доказано выполнение следующей оценки для любого
Ml 2 sin а где D^f — производная по направлению , Р\ — многочлен первой степени, М — константа, / — диаметр триангуляции, а — наименьший угол треугольника.
В работах В.А. Клячина и его совместных работах с учениками Е.А. Пабат и А.А. Широким были получены условия, обеспечивающие сходимость производных кусочно-линейных аппроксимаций. При этом была выявлена тесная связь этих условий с так называемым условием пустой сферы, которое впервые было сформулировано Б. Делоне. Выполнение условия пустой сферы означает, что описанная сфера каждого тетраэдра (описанная окружность каждого треугольника в плоском случае) не содержит внутри себя других вершин триангуляции. Триангуляции, удовлетворяющие этому условию, называют триангуля-циями Делоне. В статье В.А. Клячина и А.А. Широкого4 было показано, что для триангуляций Делоне имеет место сходимость производных кусочно-линейных аппроксимаций при измельчении треугольников. Позднее В.А. Клячиным были построены контрпримеры, показывающие, что в многомерном случае аналогичной сходимости быть не может.
В диссертации решается задача аппроксимации дифференциалов плоских отображений класса С2, удовлетворяющих эллиптическим системам диффе-
2Ciarlet P.G., Raviart P.A. General Lagrange and Hermite interpolation in Rn with applications to finite
element methods // Arch. Rat. Mech. and Anal. — 1972. — Vol. 46. — № 3. — P. 177–199.
3Субботин Ю.Н.Зависимость оценок многомерной кусочно-полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции // Труды Математического института АН СССР. — 1989. —
№ 189. — C. 117–137.
4Клячин В.А., Широкий А.А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и ее аппроксимацион-ные свойства // Изв. вузов. Матем. — 2012. — № 1. — С. 31–39.
ренциальных уравнений, обобщающим системы Коши - Римана и Бельтрами,
вида
дх\ дх2 дх2 (1)
dU dU dV
d h c
dU dU dV
a Ь b
x1 x2 -x1
Отличительной чертой полученных в работе результатов является то, что при указанных условиях наотображения удается найти аппроксимирующие формулы без ограничений на качество треугольников триангуляции. Таким образом, для класса отображений, являющихся решениями эллиптических систем уравнений, удается избавиться от ограничений на углы треугольника и требований типа условия Делоне.
Помимо описанной задачи в диссертации исследуется и еще одна проблема. Построение нерегулярных расчетных сеток осуществляется множеством способов, один из которых состоит в отображении некоторой модельной сетки на заданную область, в которой проводятся расчеты. Он описан и подробно изучен, например, в работах С.К. Годунова, Г.П. Прокопова, А.Ф. Сидорова, П.П. Белинского, Ю.Б. Иванова, И.К. Яненко, В.Д. Лисейкина, С.А. Иваненко, А.А. Чарахчьяна, Б.Н. Азаренок, В.А. Гаранжа, И.Е. Капорина, О.В. Ушаковой. Мы ограничиваемся рассмотрением расчетных сеток в виде триангуля-ций плоских и пространственных областей.
Однако при использовании данного метода возникают некоторые ограничения, связанные с тем, что построение сетки с помощью отображений может привести к появлению пересекающихся ячеек в расчетной области. Необходимо контролировать искажение исходных ячеек, чтобы не допустить пересечения их образов и сохранить триангуляцию. Эта проблема исследовалась в работах Б.Н. Азаренок, О.В. Ушаковой, М.Ф. Прохоровой, В.А. Клячина, Н.А. Бобылева, С.А. Иваненко, А.В. Казунина и других.
В частности, в статьях В.А. Клячина5 и М.Ф. Прохоровой6 сформулированы условия, достаточные для сохранения триангуляции при гомеоморфных отображениях. Одним из наиболее существенных условий является сохранение ориентации каждого симплекса сетки (треугольника в плоском случае). Отсюда возникает задача определения условий, при выполнении которых отображение, используемое для построения расчетной сетки, сохраняет ориентацию
5Клячин В.А. О гомеоморфизмах, сохраняющих триангуляцию // Записки семинара «Сверхмедленные процессы». — 2009. — № 4. — С. 169-182.
6Прохорова М.Ф. Проблемы гомеоморфизма, возникающие в теории сеток // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2008. — Т. 14. — № 1. — С. 112-129.
симплекса (треугольника).
Отметим, что вопрос сохранения ориентации треугольника при іС-квазиконформном отображении конечной плоскости на себя рассматривался уже Л. Альфорсом. Им была доказана теорема о том, что всякий равносторонний треугольник отображается в треугольник с той же ориентацией, если К < л/3 . Позднее В.М. Миклюковым исследовалась задача сохранения ориентации тройки точек при гомеоморфном отображении. Условие сохранения ориентации было записано как неравенство, ограничивающее сверху расстояние между образами точек и их прообразами.
Затем В.А. Клячиным5 рассматривались гомеоморфные, дифференцируемые почти всюду отображения /: D —> D*,D, D* є R2, и был получен следующий результат.
Пусть А є D — треугольник с вершинамиро,Рі,Р2, и А' Є D* — треугольник с вершинамир'0 = f(po),p'i = f(pi),P2 = f{P2). Пусть также xq — некоторая внутренняя точка треугольника А, в которой / дифференцируемо.
Положим
\f(pk) — f(xo) — dX0f(pk — xo)\
р = р(хо, j, А) = max . .
к=0,1,2 \Рк — Xq\
и
11,7 /41 \<Ъ0№\
|| «ж0/ ||= sllP \Т\
Будем обозначать через Zf{x) якобиан отображения / в точке х Є D. Теорема Б (В.А. Клячин). Если якобиан отображения f в точке х0 удовлетворяет неравенству
3f(xo) >\\ dX0j р Ь р ,
о о
где S —площадь треугольника A, a =\pl-polb=\p2-poldl = \р2-х0\ + + \ро — хо\, d2 = \pi — хо\ + \ро — %о\> то треугольник А' имеет ту же ориентацию, что и А.
Таким образом, здесь условие сохранения ориентации треугольника формулируется в виде неравенства, ограничивающего снизу якобиан отображения. В этой же работе аналогичные условия были получены для отображений класса С, С1'", а также конформных, ограниченных отображений.
В диссертации мы обобщаем на n-мерный случай утверждения, полученные В.А. Клячиным для гомеоморфных, дифференцируемых почти всюду отображений. Помимо этого, определяем условия, выполнение которых обеспечивает сохранение ориентации симплексов в пространстве Rn для таких классов
отображений, как K-квазиконформные, квазиизометрические и гармонические отображения. Формулируем также условие сохранения ориентации треугольника для решений эллиптической системы (1), описанной выше.
Цель работы. Целью диссертационной работы является решение двух основных задач.
Первая задача — для дифференциалов плоских отображений класса C2, удовлетворяющих эллиптическим системам дифференциальных уравнений, построить аппроксимирующие формулы без ограничений на триангуляцию областей.
Вторая задача — определить условия сохранения ориентации симплексов в пространстве Rn для таких распространенных классов отображений как гомео-морфные, K-квазиконформные, квазиизометрические, гармонические отображения. Кроме того, определить условие сохранения ориентации плоского треугольника для отображений, являющихся решениями эллиптических систем дифференциальных уравнений.
Методы исследования. Применяются стандартные методы математического анализа, аналитической геометрии, теории дифференциальных уравнений в частных производных.
При решении первой задачи используется подход, основанный на определении верхних оценок нормы разности матрицы Якоби отображения и построенной аппроксимирующей матрицы. Подход к решению второй задачи состоит в получении таких неравенств, ограничивающих якобианы отображений снизу, что выполнение этих неравенств обеспечивает сохранение ориентации.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты, которые являются новыми и выносятся на защиту. Найдены формулы, позволяющие аппроксимировать дифференциалы плоских отображений класса C2, удовлетворяющих эллиптическим системам дифференциальных уравнений. При этом предложенные формулы не накладывают ограничений на триангуляцию области. Приведены условия, при выполнении которых гомеоморфные, K-квазиконформные, квазиизометрические и гармонические отображения сохраняют ориентацию симплекса в Rn. Получено условие сохранения ориентации плоского треугольника для решений эллиптических систем уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Исследование носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в построении нерегулярных расчетных сеток для различных вычислительных задач, а также могут быть использованы специалистами при численном решении задач математической физики, связанных с рассмотренными в работе системами
дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных и российских конференциях: Научном семинаре-совещании «Сети в анизотропных пространствах» (Волгоград, 2011 г.), Международной конференции по современному анализу (Донецк, Украина, 2011 г.), Десятой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2011 г.), Второй всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (Томск, 2011 г.), Десятой всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения-2011» (Казань, 2011 г.), 16-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2012 г.), Школе-конференции по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 2012 г.), XI молодежной научной школе-конференции «Лобачевскиечтения-2012» (Казань, 2012 г.), II международной конференции «Геометрический анализ и его приложения» (Волгоград, 2014 г.), а также на конференциях и семинарах Волгоградского государственного университета и региональных конференциях молодых исследователей Волгоградской области (2011, 2012 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[13]. Из них работы [1] и [2] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов научных исследований.
Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 107 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы. Библиография диссертации содержит 65 наименований, включая работы автора.
Приближение дифференциала решений эллиптических систем
Для удобства изложения опишем еще раз некоторые основные обозначения, данные во введении.
Пусть D с R2 — область, в которой задана последовательность \гт)т=\ конечных наборов точек, Рт = {plmlp2ml ,Pmm}i рг Є D CM2. Для произвольного набора Рт рассмотрим некоторую его триангуляцию Тт. Для всякого треугольника S Є Тт определим длину Is максимальной его стороны. Диаметром разбиения называем величину lm = max ls. Мы рассматриваем такие наборы точек Рт и их триангуляции Тт, для которых выполнены два условия:
Положим dxf — дифференциал / в точке х, и dxfm — дифференциал fm в точке X. Традиционным подходом в задачах аппроксимации является приближение дифференциала dxf дифференциалом dxfm. При таком подходе погрешность аппроксимации оказывается тесно связанной со способом построения триангуляции. Ниже мы приведем пример, демонстрирующий это. Но предварительно конкретизируем, каким образом определяется погрешность.
Для этого понадобится дополнительное обозначение. Пусть Jfm(x) — матрица Якоби отображения fm в точке х Є D. Тогда в качестве погрешности приближения в данном треугольнике S Є Тт рассмотрим величину
Разделим П на к одинаковых прямоугольников отрезками, параллельными оси абсцисс, и на п одинаковых прямоугольников отрезками, параллельными оси ординат. Построим триангуляцию, как на рис. 1.1. х2 V Щ к\ S r п X, Рис. 1.1. В полученной триангуляции рассмотрим, например, треугольник S с вершинами юп = (0,1), %)\ = ( -,7тг), г 2 = (-, f) (на рис.1.1 он закрашен черным цветом). Для данного треугольника по этим трем точкам построим кусочно-линейное отображение fm = {Um,Vm). к f(P) Jf \Р) \\= о " Г Ясно, что эта величина стремится к нулю при п, А; — о (измельчение треугольников), только если 4 — 0. Таким образом, при & равном, например, п3, то есть когда один из углов треугольника стремится к 180, дифференциал отображения fm не может аппроксимировать дифференциал отображения
Предложенный пример показывает наличие зависимости качества приближения от геометрических характеристик ячеек триангуляции, поэтому мы задаемся следующим вопросом: возможно ли для дифференциалов отображений некоторых классов найти аппроксимирующие формулы так, чтобы погрешность аппроксимации не зависела от способа построения разбиения? В данной главе дается положительный ответ на этот вопрос для дифференциалов плоских отображений класса С2, удовлетворяющих эллиптическим системам уравнений.
Вместо описанного выше подхода мы предлагаем следующее. Для аппроксимации матрицы Якоби Jf(x) отображения / строим матрицу Ат(х), х Є S, используя функции Um, Vm и коэффициенты эллиптической системы (1.3). Соответственно, погрешностью аппроксимации дифференциала в треугольнике S Є Тт будем считать величину e(S) = sup Jf(x) — Ат(х) . x ES
В следующих параграфах этой главы будут построены аппроксимирующие матрицы Ат(х) для различных эллиптических систем. Здесь и далее по тексту главы будем использовать введенные ранее обозначения и определения, если не сказано другое. Пусть отображение f = (U,V) является решением эллиптической системы дифференциальных уравнений где а\ = OL\(x), «2 — &2(х) Є Cl(D) и «і(ж) Оі2(х) О для всякого X Є D в силу эллиптичности системы. Прежде чем перейти к основному результату параграфа, докажем несколько вспомогательных утверждений.
Для триангуляции Тт рассмотрим некоторый треугольник S Є Тт (рис. 1.3). Обозначим через ро,рі,Р2 вершины S так, чтобы точки ро и р\ образовывали максимальную сторону длиной Is. Напомним также, что lm = max ls. Тогда справедлива лемма. Лемма 1.2.1. Пусть h: D -+ R, h є C\S) — некоторая функция. Обозначим через u(t), t 0, модуль непрерывности градиента h в S. Тогда для і = 1, 2 выполнено
Рассмотрим теперь функцию /г: D — R, /г Є C2(D), удовлетворяющую квазилинейному эллиптическому дифференциальному уравнению второго порядка [38, гл. 1] вида У a,ij(x,h,\7h) Ь b(x, h, V/i) = 0, (1.8) . f„ OXjOXn где %,& Є C(D x R x R2), x Є D. Эллиптичность означает, что матрица коэффициентов dij положительно определена в области изменения своих аргументов. Тогда справедлива следующая лемма.
Аппроксимация дифференциала решений эллиптических систем по значениям с заданной погрешностью
Докажем следствие, которое демонстрирует, что при использовании предложенной аппроксимирующей матрицы Ат(х) измельчение треугольников в триангуляции (стремление к нулю диаметра разбиения) приводит к тому, что погрешность аппроксимации e(S) также стремится к нулю. При этом не накладывается дополнительных ограничений на триангуляцию области.
Следствие 1.2.1. Пусть в области D с R2 задана последовательность {Рт}=1 конечных наборов точек и их триангуляций Тт, отображение f = (U,V), U, V є C2(D), является решением системы (1.5), матрица Ат(х) имеет вид (1.11). Тогда, если выполнены условия (1.1), (1.2) и G — произвольная компактно вложенная подобласть D, то max e(S) = max sup J/(x) — Am(x) — 0 при m — 00. Доказательство. В теореме 1.2.1 получена оценка e(S) = sup Jf(x) — Am(x) то, по определению величин 6о і(/то),6о 2(/го), Л(4п), h{lm), они также стремятся к0. При этом константы ЛГ1? АГ2, Ca, С/?, a, /3 зависят от системы (1.5), но не зависят от 1т. Следовательно, max e(S) — 0 при m — оо. Следствие доказано. П
Вернемся к примеру 1.1.1 и продемонстрируем справедливость теоремы и следствия для предложенных в нем отображений. который разделен на А; одинаковых прямоугольников отрезками, параллельными оси абсцисс, и на п одинаковых прямоугольников отрезками, параллельными оси ординат, и построена триангуляция (рис. 1.6).
Пусть к п. Рассмотрим треугольник S с вершинами ро = (0, ), Р1 = (±±), р2 = (П) (на рис. 1.6 он закрашен черным). Тогда вектор l, задающий наибольшую сторону треугольника, образован точками р0 и р2, а угол р между этой стороной и осью абсцисс равен 0.
Для данного треугольника построено линейное отображение fm = (Umi Vm), Ясно, что e(S) стремится к нулю при п — оо и к — оо независимо друг от друга. Приближение дифференциала решений эллиптических систем В данном параграфе рассмотрим отображение / = (U, V) такое, что U,V Є С2 (D) —решение эллиптической системы дифференциальных уравнений более общего вида: где а = а(ж), Ь = Ь(ж), с = с(х),Ъ = Ъ(х) Є Cl(D) и ас — ( jr) 0 всюду в D в силу эллиптичности системы.
Отметим, что система (1.5) из предыдущего параграфа представляет собой частный случай данной системы, если положить а = «і, с = «2, b = О, Э = 0в D. Заметим также, что если отображение g(z) = U(xi, Х2) + iV(xi, Х2), z = x\ + 1x2, где U,V — решения системы (1.23), осуществляет гомеоморфное отображение области Di комплексной плоскости переменной z на область D2, то g(z) — квазиконформно ([18, введение], [34, п. 6.1]). Прежде чем переходить к основному результату параграфа, докажем следующую лемму. Лемма 1.3.1. Если функции U, V є C2(D) являются решением системы (1.23), то для і = 1,2 справедливы неравенства
Доказательство. Система (1.23) является эллиптической в D, поэтому согласно, например, [34, п. 6.1], дифференцируя первое уравнение системы по Х2, второе — похі и складывая уравнения, получим, что всюду в D функция U удовлетворяет следующему эллиптическому уравнению второго порядка где p = dist(5 , dD) и Ni, N2,Ca,Cp,a 0, /3 0 — константы, зависящие от системы (1.23). Доказательство. Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 1.2.1 вплоть до неравенства Jf(x) — Ат(х) 4 Jf(x)B — Ат(х)В . (1.26)
Далее появляются отличия из-за различных аппроксимирующих матриц Ат(х), поэтому отсюда запишем вычисления подробно. Так как матрица В имеет вид Из теоремы можем сформулировать следствие, согласно которому матрица Ат(х) вида (1.25) позволяет приближать дифференциалы решений системы (1.23) так, что при измельчении треугольников в триангуляции погрешность аппроксимации e(S) стремится к нулю.
Следствие 1.3.1. Пусть в области D с R2 задана последовательность {Рт}%=1 конечных наборов точек и их триангуляций Тт, отображение f = (U,V), [/,У G С2(D), является решением системы (1.23), матрица Ат(х) имеет вид (1.25).
Ориентация симплекса при гомеоморфных отображениях в Rn
В силу условий на систему (1.41), это уравнение является квазилинейным эллиптическим уравнением второго порядка.
Аналогично, дифференцируя первое уравнение системы (1.43) по х2, второе — по х\ и приравнивая уравнения, в силу равенства смешанных производных получим, что всюду в D функция V удовлетворяет квазилинейному эллиптическому уравнению второго порядка
Таким образом, для U и V справедлива лемма 1.2.2, поэтому, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 1.2.1, для двух первых слагаемых неравенства (1.46) получим и величина p, а также величины a, Ca и /3, С/? определяются из леммы 1.2.2. При этом а = (, Са = С, если в качестве функции h использовать U, и (3 = (, Ср = С, если в качестве функции h использовать V.
Второй этап. Оценка третьего и четверого слагаемого в неравенстве (1.46). В результате поворота системы координат системы (1.42) и (1.43) соответственно примут вид и Заметим, что Ff,G\ получаются из систем (1.42), (1.43) линейным преобразованием. Поэтому, так как функции F\,F2,G\,G2 — непрерывно-дифференцируемы, то F G\, а, следовательно, и Щ,Щ также непрерывно-дифференцируемы.
Напомним, что если для некоторой функции Я, определенной в окрестности Do Є Ш6 точки ZQ = (х\, ж!], Ж3, х% хїіУ) 6, выполнены условия 1. Я — непрерывно-дифференцируема, 2. H(zo) = 0, 3. Hy(zo) Ф 0, то, согласно теореме о неявной функции [41, гл. VIII, 5], существует окрестность точки z0, лежащая в D0, и такая непрерывно-дифференцируемая функция h, что для любой точки х = (жі, Х2, жз, #4, %5,у) из этой окрестности выполнено Н(х\, Х21 Жз, Ж4, Жб, у) = 0 =ї у = h(xi, Х21 Ж3, Ж4, Ж5). Пусть для Щ, Щ всюду в их области определения справедливо Предполагаем, что каждый треугольник S триангуляции Тт настолько мал, что располагается в окрестности, в которой для Щ и Щ справедлива теорема о неявной функции. Следовательно, существуют непрерывно-дифференцируемые функции Hi, Щ такие, что Тогда, так как vu(t), vUm(t), vv(t), vVm(t) — модули непрерывности функций U, Um, У, Ут соответственно то, согласно определению модуля непрерывности, имеем
Таким образом, в рамках первой главы для различных систем эллиптических уравнений были построены формулы, аппроксимирующие дифференциалы решений этих систем. Использование предложенных формул позволяет достичь независимости качества приближения от способа построения триангуляции. Глава 2. Геометрические свойства решений эллиптических систем
При численном решении многих задач математической физики используются различные методы построения расчетных сеток. Один из таких методов использует отображение модельной сетки на область, в которой проводятся расчеты (ссылки на работы, посвященные этому методу, были даны во введении диссертации). Однако он обладает некоторыми ограничениями. Рассмотрим их подробнее для случая расчетных сеток в виде триангуляций плоских и пространственных областей.
Пусть имеется триангуляция конечного набора точек {РІ}І=І в выпуклой области D с Ш2, а также некоторое гомеоморфное отображение / : D — D , D с Ш2 (рис. 2.1). Обозначим Р І = f(Pi) Рис. 2.1. В работе В.А. Клячина [44] имеется следующее замечание. Замечание А (В.А. Клячин). Существует гомеоморфизм, при котором непересекающиеся по внутренним точкам треугольники преобразуются в пересекающиеся (рис. 2.2).
Таким образом, при построении сетки с помощью отображений возможно появление пересекающихся ячеек в расчетной области и, следовательно, необходимо контролировать искажение исходных ячеек, чтобы имело место сохранение триангуляции.
В статьях В.А. Клячина [44, теорема 1] и М.В. Прохоровой [60, теорема 16] сформулированы условия, достаточные для сохранения триангуляции при го-меоморфных отображениях. Одним из наиболее существенных условий является сохранение ориентации каждого симплекса (треугольника) сетки.
Будем говорить, что треугольник ABC имеет положительную ориентацию, если при обходе вершин А, В, С треугольник остается слева.
Нужно заметить, что на рис. 2.2 гомеоморфизм меняет ориентацию треугольника p0pip2. Вообще говоря, способность гомеоморфизма сохранять ориентацию всякого треугольника (симплекса в n-мерном случае) является свойством только аффинных преобразований. Так в работе [47] доказана следующая теорема.
Теорема Б (В.А. Клячин, Н.А. Чебаненко). Пусть D с Шп — область, а T(D) — совокупность всех симплексов с вершинами из D. Тогда если непрерывное отображение /: D — Шп сохраняет ориентацию симплексов S Є T(D), то / — аффинное преобразование.
Таким образом, возникает задача определения условий, при выполнении которых отображения сохраняют ориентацию симплекса. В данной главе мы решаем эту задачу для отображений различных классов. 2.2 Ориентация симплекса при гомеоморфных отображениях в Rn
Гармонические отображения, сохраняющие ориентацию симплекса
Заметим, что согласно определению квазиизометрического отображения, существуют такие положительные П и q, q П, что для любых х,у Є D выполнено Если якобиан квазиизометрического отображения f Є Cl(D) в точке ро симплекса S удовлетворяет неравенству где Is — максимальная из длин сторон симплекса S, аV — его объем, то симплекс S имеет ту же ориентацию, что и симплекс S. Доказательство. Предполагая, что симплекс S положительно ориентирован, покажем, что ориентированный объем V симплекса S также положителен, то есть V 0.
Ход доказательства совпадает с ходом доказательства теоремы 2.2.1, однако из-за различия точек, в которых вычисляется якобиан (ро здесь и хо в теореме 2.2.1) выкладки будут несколько отличаться. Поэтому мы считаем целесообразным записать доказательство в полном виде, опуская лишь некоторые совпадающие части вычислений. Обозначим векторов H(pi1), . . . , H(pik) соответственно. При этом в остальных столбцах стоят компоненты векторов dp0f(pi - p0), где i принимает значения от 1 до n, за исключением значений
Поскольку определитель обладает свойством линейности, то представляя в (2.14) векторы dp0f(pk - p0) + H(pk) как сумму двух слагаемых dp0f(pk - p0) и H{pk) и раскладывая определитель на суммы определителей, получим V = — det(dPoj{pi — ро)} dXoj(p2 — ро)}..., dXoj(pn — ро)) +
Здесь D(ii,...,ifc) — это произведение модулей векторов H(pi1),... ,Н(рік), а также модулей векторов dPof(pi — ро), где і принимает значения от 1 до п, за исключением значений іі,..., i&. Согласно неравенству Адамара для определителей [35, гл. 9, 5, п. 2], выполнено Применим полученное неравенство при различных А; к слагаемым в правой части (2.17), а затем вынесем за скобки множитель X П ІРІ — Pol. Тогда
Докажем следствие из теоремы, в котором условие сохранения ориентации симплекса формулируется без участия якобиана.
Следствие 2.4.1. Если для квазиизометрического отображения f Є С1 (D) выполнено неравенство то симплекс S имеет ту же ориентацию, что и симплекс S. Доказательство. В доказательстве теоремы 2.4.1 получено следующее неравенство Оценим величину 3/(ро) снизу. Будем обозначать через Jf(p0) матрицу Якоби отображения / в точке р0, в то время какЗ/(;Ро) — ее определитель. Пусть Ai(po), Ап(ро) — собственные числа матрицы оператора jJ(po)Jf(po), где Jj(po) — транспонированная матрица Якоби. Обозначим через 3/(ро) определитель матрицы jJ(po)Jf(po). Заметим, что в силу свойств определителя выполнено 3/(ро) = {3f{po)) = М{ро) An(po) Ап(ро), (2.21) где
Пусть Е(х) — единичный собственный вектор матрицы оператора jJ{x)Jf{x), соответствующий минимальному собственному значению Л(ж) в точке х. Рассмотрим систему Пусть $(t) — решение задачи Коши $(0) = ро. В силу квазиизометричности / выполнено (2.12), то есть для х,у Є D верно
В качестве функций, осуществляющих отображение при построении расчетных сеток, часто выбираются решения дифференциальных уравнений или вариационных задач, например, отображения, доставляющие минимум некоторому функционалу (см., напр., [13, 15, 42, 54, 61, 63]). В частности, например, гармонические отображения минимизируют функционал Дирихле. Поэтому пусть теперь является гомеоморфным гармоническим ограниченным отображением, где fi Є C2(D) — гармонические в D функции для всех і = 1,п, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа Рассмотрим компактное подмножество D с D, такое что при некотором 0 в 1 для всех і = 1, п выполнено ро + 6(рі — ро) Є D .
Напомним стандартное обозначение расстояния от точки х Є Шп до множества D сШп dist(ж, D) = inf \х — у\, а также обозначение расстояния между множествами D\ D С Шп dist(Di, D2) = inf \х — у\. Введем следующие обозначения (рис. 2.5) о , = dist(D , dD), о = distfon, dD). Сформулируем теперь вспомогательную лемму. Рис. 2.5. Лемма 2.5.1. Для гомеоморфного гармонического отображения f = (/ь /2, , /п) справедливо неравенство
Доказательство. По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для всякого х Є D, х = (жі, #2, ..., жп), и некоторого жо Є D,
Заметим, что оценка в теореме 2.6.1 позволяет в терминах якобиана решения и коэффициентов системы определить размеры и углы треугольника, гарантирующие сохранение его ориентации.
Таким образом, результаты второй главы определяют условия, выполнение которых обеспечивает сохранение ориентации симплекса в пространстве Жп для таких классов отображений, как гомеоморфные, i -квазиконформные, квазиизометрические и гармонические отображения. Кроме того, сформулировано условие сохранения ориентации треугольника для решений эллиптической системы (2.28).