Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время интерес к теории многочленов, ортогональных на дискретных сетках сильно возрос, она получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. Это вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач.
Система многочленов, ортогональных на дискретных системах точек впервые введена и подробно исследована в целом ряде работ П.Л. Чебышева в связи с задачами математической статистики. 1 В работах А.А. Маркова2, Шарлье, М.Ф. Кравчука, Мейкнера и других изучались системы ортогональных многочленов дискретного переменного, различающиеся выбором сетки и веса.
Дальнейшее развитие теории многочленов, ортогональных на дискретных системах точек связано с работами Хана, Вебера, Аскейа, Никифорова А.Ф., Уварова В.Б., Суслова С.К.3 и других математиков и физиков. Были получены многочисленные их приложения в генетике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье—Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений путем разложений функций, участвующих в этих уравнениях, в ряды по ортогональным многочленам и т.д. Большая часть этих приложений приводят к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках ортогональных многочленов. Исследованию этой задачи посвящен ряд работ Шарапудинова И.И.
1 Чебышев, П.Л. Об интерполировании величин равностоящих (1875) / П.Л. Чебышев // Поли. собр. соч. - М.: Изд. АН СССР. - 1947. - Т. 2. - С. 314—334.
Марков, А.А. О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей / А.А. Марков. - СПб., 1884.
Никифоров, А.Ф. Классические ортогональные многочлены дискретной переменной / А.Ф. Никифоров, С.К. Суслов, В.Б. Уваров. - М.: Наука, 1985. 4Шарапудинов, И.И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и
Соответственно, представляет интерес также задача исследования разности между разлагаемой функцией и частичных сумм Фурье соответствующего разложения в ряд по ортогональным многочленам в зависимости от последовательности наилучших приближений этой функции алгебраическими многочленами. Эти вопросы являются предметом исследования последних двух глав диссертации.
Объект исследования. В работе исследуются асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных дискретных системах точек отрезка [—1,1] и аппроксимативные свойства частичных сумм Фурье по этим многочленам.
Цель работы. Исследовать:
Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [—1,1].
Аппроксимативные свойства частичных сумм S"'^(f,x) ряда Фурье функции / Є С[—1,1] по этим многочленам.
Общие методы исследования. В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, методы теории приближений, а также методы теории ортогональных многочленов.
Научная новизна. Установлена асимптотическая формула, в которой при возрастании п вместе с N, асимптотическое поведение многочленов, ортогональных на произвольных сетках отрезка [—1,1] близко к асимптотическому поведению многочленов Якоби Р"'^(ж)(в частности, при а = /3 = 0 — поведению многочленов Лежандра).
Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа; они могут так же быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.
Апробирование работы. Основные положения и отдельные
приложения / И.И. Шарапудинов. - Махачкала: ДГПУ, 1997.
результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: на научно-методическом семинаре кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (2004—2010гг); на семинаре, проводимом при лаборатории "Теории функций и приближений" Владикавказского научного центра РАН (2007— 2010гг); на семинаре, проводимом при лаборатории "Отдела математики и информатики" Дагестанского научного центра РАН (2007—2010гг); на VI международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" (Владикавказ, 2008г); на 15-й международной конференции Саратовской зимней математической школы "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2010г) и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, в том числе в 2 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК [4], [10].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 50 наименований. Общий объем работы 113 страниц компьютерного набора.
