Содержание к диссертации
Введение
1 Бифуркационный анализ краевых задач вариационного исчисления методами функционального анализа . 20
1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях 20
1.2 Леммы Морса 24
1.3 Фредгольмовы уравнения с параметрами. 26
1.4: Схема Ляпунова-Шмидта (локальная) 27
1.5 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта 29
1.6 Редукция Морса- Ботта 32
1.7 Обобщенная редукция 34
1.8 Приближенное вычисление ключевой функции 36
1.9 Дискриминантные множества — 40
1.10 О топологическом сравнении ключевых функций и условиях конечной определенности . 40
2 Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3-мерной сборки . 43
2.1 Точка минимума фредгольмова функционала с особенностью многомерной сборки. 44
2.2 Некоторые общие утверждения о бифуркации экстремалей из точки минимума с особенностью сборки 48
2.3 Нормальные формы трехмерной сборки. 54
2.4 Вторичная редукция для трехмерной сборки 57
2.5 Дискриминантный анализ бифуркации экстремалей из точки минимума типа 2—мерной сборки 61
2.6 Каустика в случае 2—мерной сборки, четной по одной из переменных 64
2.7. Максимальные bif-расклады критических точек возмущенных двумерных сборок 66
2.7.1.Класс Кх 66
2.7.2 G максимальных раскладах критических точек для 3—мерных сборок 68
2.7.3 Класс 1. 69
2.7.4 Класс 2. 71
2.7.5 Графические изображения максимальных раскладов. 72
Бифуркационный анализ нелинейной краевой задачи для ОДУ шестого порядка . 74
3.1 Трехмодовые.вырождения в краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка 74
3.2 Точки 3—мерного вырождения 76
3.3 Построение главной части ключевой функции 79
3.4 Анализ главной части ключевой функции 82
3.4.1 Редукция к функции двух переменных 82
3.4.2 Исследование ключевой функции для случая (а) . 85
3.4.3 Исследование ключевой функции для случая (b) . 88
3.5 Плоские сечения каустики '...,. 90
Литература 94
- Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта
- О топологическом сравнении ключевых функций и условиях конечной определенности
- Дискриминантный анализ бифуркации экстремалей из точки минимума типа 2—мерной сборки
- Трехмодовые.вырождения в краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка
Введение к работе
В оптимальном управлении и теории упругих систем, в теории фазовых переходов и теории нелинейных волн, а также в ряде других разделов современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи вида
Vx(x) — inf,
где V\(x) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционал на банаховом пространстве Е. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей из вырожденной точки локального минимума.
При решении таких задач достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции [22], [46] в соответствии с которым исследование бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала заменяется анализом критических точек ключевой функции. Все топологические и аналитические понятия, характеризующие тип стационарной точки (кратность, локальное кольцо особенности, версальная деформация, бифуркационная диаграмма и т.д. [1]) для таких функционалов вводятся через ключевые функции и их нормальные формы. Найденная нормальная форма ключевой функции помогает организовать детальный анализ "качественной картины бифуркаций" критических точек. Так, сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, А.В. Бе-логлазовым, А.В. Гнездиловым, О.Ю. Даниловой, М.А. Хуссаином и О.В. Швыревой на этой основе был получен ряд существенных результатов по анализу бифуркаций экстремалей из угловых особых точек края банахова многообразия. В задаче о бифуркации минимальных
поверхностей с ограничениями новые результаты были получены Л.В. Стенюхиным [49]-[50].
Вместе с тем до сих пор остается недостаточно изученной задача о бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью п—мерной сборки при п > 3, весьма часто встречаемой в приложениях. Вслучаеп — 2 имеется полная классификация раскладов бифурцирующих экстремалей и имеется достаточно подробное описание геометрического строения дис-криминантного множества (каустики). В случае п — 3 указаны лишь отдельные расклады бифурцирующих экстремалей и изучены лишь некоторые фрагменты каустики.
Напомним, что условие "ключевая функция W имеет в точке а особенность типа го—мерной сборки" означает, что в некоторой локальной системе координат с центром в точке а функция W имеет вид
^ OiijklXiXjXkXl + o(j|x||4) + ^CTr^, (1)
X = \Xi, . ,^тл/з У. ~ \Уіі * і.Уп—т)і \&т\ = ^г
с условием, что начало координат в Ст является изолированной стационарной точкой для комплексного продолжения квартичной части цг(4) этой функции. На квартичную часть обычно накладывается условие "выживаемости" (условие Ландау—Хиггса), состоящее в требовании строгой минимальности нулевого значения полинома W^. Особенности такого типа встречаются, например, в задачах описания устойчивых состояний упругих материалов [6] и стабильных фаз сегнето-электрических кристаллов [20].
Если квартичная форма W^ находится в общем положении, то чис-
ло бифурцирующих из нуля стационарных точек функции- XV нечетно и не превосходит Зт (этому числу равна кратность нулевой стационарной точки квартичной формы общего положения). Из положительной определенности W^ следует, что вблизи нуля появляется не более одной точки локального максимума W при её возмущениях [10],
Как известно из теории Морса [40], каждую гладкую функцию W на конечномерном многообразии М, имеющую липы, морсовские критические точки, можно изобразить клеточным комлексом, каждая клетка которого взаимно однозначно соответствует критической точке функции W. Размерность клетки равна индексу Морса соответствующей критической точки, а примыкания клеток в комплексе соответствуют взаимным примыканиям критических точек (как особых точек динамической системы —~—gradW{^)). Причем гомотопический тип изображающего комплекса совпадает с гомотопическим типом многообразия М. В частности, наборы стационарных точек функций на плоскости и в трехмерном пространстве можно изображать графами (одномерными остовами изображающих клеточных комплексов). Если функция W коэрцитивна, то изображающий ее комплекс гомото-пически тривиален (гомотопен точке). Следовательно, изображающий граф (одномерный остов изображающего комплекса) в случае коэрцитивной функции связен.
При тп = 3 количества минимумов, седел индекса (Морса) 1 и седел индекса 2 будем обозначать /о, 1\ и fa- В силу (2.4) имеем следующие соотношения:
h - к + h = 2, (2)
если существует точка максимума,
/0-/1 + /2 = 1 (3)
— в случае отсутствия точки максимума.
Целочисленный вектор Iq, k, l2, h называется bif~раскладом [11] -[16].
Изображающий клеточный комплекс состоит из Iq вершин, 1\ ребер и І2 двумерных клеток. Он полностью определяется своим одномерным остовом (изображающим графом). Вершины графа взаимно однозначно соответствуют точкам минимума, а ребра — седлам индекса 1. При этом две вершины соединяются ребром, если существует кривая, соединяющая соответствующую им пару точек минимума, составленная из пары линий кратчайшего спуска (интегральных кривых поля градиентов), связывающих пары "седло - минимум" (малым шевелением функции или метрики можно добиться того, что любая интегральная кривая, вытекающая из седла, втекает в точку локального минимума). Двумерные грани соответствуют точкам максимума. За счет изменения метрики в областях вида {с\ < W < с2}, не содержащих критических точек, можно переносить финальные точки сепаратрис из одних локальных минимумов на другие (то есть сепаратрисы будут втекать в другие точки локальных минимумов). За счет таких переключений можно получать разнообразные соединения ребрами вершин в пределах одного расклада стационарных точек. Переключениям сепаратрис соответствуют гомологические преобразования графа.
Раскладам бифурцирующих критических точек, полученным при возмущениях особенности 3—мерной сборки, соответствуют несколь-
ко сотен изображающих комлексов. Если ограничиться рассмотрением сборок и их возмущений с симметрией параллепипеда (т.е. четных по каждой переменной), то.получится около пятидесяти изображающих комплексов [7] - [9]. Полного списка изображающих комплексов для 3—мерных сборок в настоящее время нет. Однако созданные в последнее время новые геометрические методы [10] - [17] выглядят весьма обнадеживающими и создающими впечатление реальной возможности разработки эффективных алгоритмов перечисления bif—раскладов для трехмерной сборки.
Настоящая диссертация посвящена исследованию дискриминантно-го множества и bif—раскладов для точки минимума с особенностью трехмерной сборки. Основной исследовательский инструмент (помимо метода - Шмидта [22], [4], [3], [46]) — повторная редукция ключевой функции. Отдельные случаи симметрии (например, четности по отдельным группам переменных), дают возможность повторной редукции к функции на двумерной сфере и к функции от двух переменных..
Случай Щ~симметрии ключевой функции (инвариантности относительно трех коммутирующих инволюций) полностью исследован А.В. Гнездиловым [7, 8] (для особенности трехмерной сборки). В диссертации рассмотрен случай Z|—симметрии ключевой функции (инвариантности относительно двух коммутирующих инволюций). Этот случай разбивается на два подслучая, в первом из которых коразмерности зеркал обеих инволюций равны единице, а во втором коразмерность зеркала одной из инволюций равна двум. Оба случая исследованы в диссертации посредством повторной редукции к функции от двух переменных.
В диссертации получено также приложение развитой общей методики к изучению 3—модовых бифуркации решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка.
Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала из точки минимума с трехмерным вырождением и разработка приложений к нелинейным задачам математической физики.
В математических конструкциях, диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.
Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Построена нормальная форма ключевой функции возмущенного фредгольмова функционала в точке минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии Z|—симметрии.
Развита новая методика изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в критической точке минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии Z|—симметрии.
Приведены примеры возмущений, дающих максимальные расклады экстремалей, бифурцирующих из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки в случае Т\—симметрии. Установлено существование экзотического расклада.
Вычислена главная часть ключевой функции в задаче о 3—модовых бифуркациях решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого
порядка.
5. Проведен бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка в случае 3—мерного вырождения.
Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей из критической точки с многомерным вырождением.
Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.
Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).
Результаты диссертации опубликованы в восьми работах [60] - [67].
Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 22 параграфа, и списка цитируемой литературы из 67 наименований. Общий объем диссертации — 104 стр.
Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (10 рисунков), выполненной в средах Maple, Математика и посредством визуа-лизатора СМ. Семенова.
В первой главе изложены основы бифуркационного анализа нели-
нейных краевых задач вариационного исчисления методами функционального анализа и теории особенностей гладких функций. Дано определение класса фредгольмовых уравнений и описание основных свойств уравнений из этого класса. Изложены основные редуцирующие схемы и их обобщения. Приведен алгоритм вычисления главной части ключевой функции, приведены необходимые сведения из теории особенностей гладких функций. Сделан краткий обзор близких результатов других авторов.
Во второй главе дано описание развитого автором диссертации метода исследования бифуркаций экстремалей из точки минимума типа 3—мерной сборки для абстрактных фредгольмовых функционалов.
Как известно из теории нормальных форм по луквазиоднородных особенностей [1], для mm—особенности типа 3—мерной сборки можно подобрать такие локальные координаты, в которых функция приобретет следующий вид:
Nq(xi, xi, х) — d x^x^xl + c\ x\x\x\+ oix%xix\ + c%x\x\x^-\- (4)
+xf + x\ + ^3 + a\ x\x\ + aix\x\ + 03 x\x\-\-
+6l х\хч.Х% + &2 X\x\x^ + 63 #1^2^3,
где {о», bj, Cfc, d} — фиксированный набор коэффициентов, заданный с условием, что квартичная часть имеет 27—кратную особенность в нуле. Соответственно, нормальная форма версальной развертки для этой особенности имеет следующий вид:
N(xi,X2,Xs) — dx\x\x\ + Ci Х\х\х\ +С2 х\х2х\ + Сз х\х\х$+ (5)
-\-х\ + х\ -\-х\ + а\ х\х\ + аг х\х\ + а3 х\х\л-
+bi x\x2xz,+ Ь2Хіх\х^+ &з xix2x\+
+/?1,2 ^2+^2,1 ^1^2+/^1,3 ^1^3+^3,1 ^1^1+^2,3 ^3+^3,2 ^2^3+7 ^2^3+ +8i-x\ + 62 x\+ 63 x\ + 1,2^1 + 1,3^1^3 + ^2,3^2^3+ +^1^1 + ^2^2 + 92^2,
где {at, bj, Ck, d, flijidj, Cij, qi 7}—параметры деформации.
В случае четной особенности нужно отбросить все мономы нечетной степени, что приводит к развертке
№(хі,Х2,Хз) = dx{x2XJ +
(6)
+х\ + х\ + х\ + а\ х\х\ + а2 х\х\ + а% х\х\+
+&1 х\х2Х$ + 62 ^1^2^3 + &3 ^1^2^3+ +5i х\ + 52 х\ + ( х\ + ^1,2^1^2 + ^1,3^1^3+^2,3^2^3-
В случае Z^—эквивариантной особенности имеем развертку (см.
pi, т
N(xi, х2, х3) = d х\х\х\ + (7)
+х\ + #2 + #3 + ai ос\х\ + а2 х\х\ + аз ^#2+ +6іхі+62хі + 5зхі.
Как известно, существуют два типа (Z2)2—симметрии трехмерной сборки, связанные с действиями группы (Z2)2 (в соответствующих координатах), порожденных следующими парами инволюций:
5!
So:
Соответственно, для каждого из этих типов симметрии получаем (посредством усреднения по действию группы ()2 (см. [58]) соответствующей нормальной формы из списка (2.13) - (2.16) следующие нормальные формы версальных деформаций:
N(x\, X2, #з) — d ^1^2^3 + с ^1^2^3+
(8)
+х\ + х\.+ х\ + а>\ х\х\ + а,2 х\х\ + аз х\х\+
+Д х\х% + / х\хъ+ +Ьх х\ + 52 х\ + 63 ^3+
+9^3
— в случае типа Si-и
iV(xi,x2,x3) = dx\x\x\+ (9)
+х\ + х\-\-х\ + ах х\х\ Л- 0,2 х\х\ + аз х\х\ + Ь х\х2х%+ +8х х\ + 82 х\ + 3 ^з + є х?хз
— в случае типа S2-
В диссертации дано описание подхода к изучению геометрического строения каустики (теорема 1) и раскладов бифурцирующих экстремалей. В частности дано описание семи максимальных bif—раскладов для двумерных сборок. Множество всех невырожденных сборок естественным образом делится на три класса Ki, K_i, К_з, каждый из которых определяется значением топологического индекса соответствующего поля градиентов (равный нижнему индексу в символе класса).
Лемма 3. При а Є (—1, ^р-) и є ф 0 функция
Щх,у,є) = {х2 - єу)2 + 2а(х2 - eytf + у4
имеет особенность А? в нуле и пару морсовских критических точек на оси х = Ос индексами Морса-О-и 1. Теорема 2. Для двумерной сборки
U{x,y)=xA + 2ax2y2 + y*
при а (—1, ^р) существует bif—расклад (5,4,0).
Имея это утверждение, легко получить некоторые результаты о максимальных bif—раскладах для трехмерных сборок.
Теорема 3. В случае симметрии типа »% допускаются только стандартные bif—расклады: (6,12,8,1) и (8,12,6,1);
Теорема 4. В случае симметрии типа Si допускается экзотический расклад (10,13,4,0) (помимо стандартных bif—раскладов).
Теорема 5. Для класса К-\ допускаются следующие максимальные bif—расклады:
(3,5,1) (1,5,3) (2,5,2).
Теорема 6. Для класса К-z допускаются максимальные bif—расклады (2,6,1) u:(1,6,2).
В третьей главе проведен бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи для нелинейного ОДУ шестого порядка в случае 3—мерного вырождения (на основе методики, развитой во второй главе).
Нелинейные ОДУ шестого порядка исследовались в работах В.Г. За-дорожнего, Е.В. Корчагиной и А.В. Попова в связи с обратной задачей
вариационного исчисления и задачей о многочастотиых колебаниях в системах нелинейных осцилляторов [18], [21], [19], [39];
В третьей главе диссертации показано, что изучение экстремалей функционала
V(ft«l^,a).=./(g!g;*p).«fa (10)
с лагранжианом С в виде
I(@)2-ki(S)2+k2(I)2-
«Р2):+7 (И)
при краевых условиях
и локализации параметров
a = a + <5b кі = кг + й, К2.= «2.+ ^зі.
(«і, /. ol)T = (п2 + т2'+ г2, тг2т2 + m2J2 + п212, п2т212)т,
сводится к изучению бифуркаций критических точек некоторого полинома четвертой степени от трех переменных.
После пересечения точкой (/сі, «2) а) характеристической плоскости (в пространстве управляющих параметров) нулевая функция теряет стабильность и рождается ненулевое стабильное состояние. Характеристические плоскости задаются через линеаризованное уравнение:
.. Л d4h d2h . п
/=*?+Л1*+^+ОА=0- (13)
(при краевых условиях (12)), т .е. характеристические плоскости состоят из тех и только тех точек («і, к2, а), для которых уравнение (13) имеет ненулевое решение. Поиск нетривиальных решений линеаризованного уравнения приводит к характеристическому уравнению
А6 + гсіЛ4 Ч- к2\2 + а = 0.
Учет краевых условий с необходимостью приводит к соотношениям
А2 = -п2, п = 1,2:....
Отсюда получаем набор соотношений а = /^2 — к,\п4'+ гс6, задаю
щих характеристические плоскости LitL/2,.., Ln, Огибающая по
верхность L семейства характеристических плоскостей ограничивает
ту область управляющих параметров, для которых функционал дей
ствия имеет единственную точку минимума (в нуле). При пересече
нии точкой в пространстве управляющих параметров поверхности L
происходит бифуркация рождения нетривиального стабильного состо
яния. Поверхность L является ломанной (кусочно линейной), гранями
которой служат плоские многоугольники, ограниченные линиями по
парных пересечений характеристических плоскостей. Эти линии будем
называть характеристическими. Наша ближайшая цель — проверка
существования общих точек для отдельных пар характеристических
линий. Такие точки будем; называть характеристическими точками.
Интерес к этим точкам вызван тем, что они дают эффект трехмодо-
вого вырождения.
Пересечение поверхности L по внутренней точке грани, принадлежащей ':Ln) приводит к одномерной бифуркации с модой
еп = у — sm(nx). 17
Пересечение же L по точке излома, принадлежащей линии (характе-ристистической) пересечения плоскостей 1>п, Lm приводит к двумерной бифуркации с модами еп,ет. Соответственно, пересечение же L по характеристической точке, являющейся точкой пересечения плоскостей Li, приводит к трехмерной бифуркации с модами en, ет, е;. Теорема 7. Три характеристические плоскости Lmy Ln, Li, отвечающие произвольной тройке попарно различных натуральных чисел т, riyl, пересекаются по единственной точке
(«і, «2, а)- (п2 + т2 + 12,п2т2 + т212"+ п212,п2т212).
Теорема 8. Для ключевой функции (3.6) имеет место следующее асимптотическое представление:
+«(|«|4) + 0(|«|4)0(«5),
(п, т, 0 = (1, 2, 3),
Ai = — $1 — S2 + S3,
А2= -Si -16 + 4^з, A3 = -^-81+ 9.
На основе этой формы проведен анализ бифуркационных эффектов.
Автор выражает благодарность Ю.И. Сапронову, Ф.А.Белых, А.Ю. Борзакову, О.Ю. Даниловой, Е.В. Ладыкиной, М.А. Хуссаину и О.В. Швыревой за обсуждение материалов диссертации и замечания.
Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта
Изображающий клеточный комплекс состоит из IQ вершин, 1\ ребер и І2 двумерных клеток. Он полностью определяется своим одномерным остовом (изображающим графом). Вершины графа взаимно однозначно соответствуют точкам минимума, а ребра — седлам индекса 1. При этом две вершины соединяются ребром, если существует кривая, соединяющая соответствующую им пару точек минимума, составленная из пары линий кратчайшего спуска (интегральных кривых поля градиентов), связывающих пары "седло - минимум" (малым шевелением функции или метрики можно добиться того, что любая интегральная кривая, вытекающая из седла, втекает в точку локального минимума). Двумерные грани соответствуют точкам максимума. За счет изменения метрики в областях вида {с\ W с2}, не содержащих критических точек, можно переносить финальные точки сепаратрис из одних локальных минимумов на другие (то есть сепаратрисы будут втекать в другие точки локальных минимумов). За счет таких переключений можно получать разнообразные соединения ребрами вершин в пределах одного расклада стационарных точек. Переключениям сепаратрис соответствуют гомологические преобразования графа.
Раскладам бифурцирующих критических точек, полученным при возмущениях особенности 3—мерной сборки, соответствуют несколько сотен изображающих комлексов. Если ограничиться рассмотрением сборок и их возмущений с симметрией параллепипеда (т.е. четных по каждой переменной), то.получится около пятидесяти изображающих комплексов [7] - [9]. Полного списка изображающих комплексов для 3—мерных сборок в настоящее время нет. Однако созданные в последнее время новые геометрические методы [10] - [17] выглядят весьма обнадеживающими и создающими впечатление реальной возможности разработки эффективных алгоритмов перечисления bif—раскладов для трехмерной сборки.
Настоящая диссертация посвящена исследованию дискриминантно-го множества и bif—раскладов для точки минимума с особенностью трехмерной сборки. Основной исследовательский инструмент (помимо метода - Шмидта [22], [4], [3], [46]) — повторная редукция ключевой функции. Отдельные случаи симметрии (например, четности по отдельным группам переменных), дают возможность повторной редукции к функции на двумерной сфере и к функции от двух переменных..
Случай Щ симметрии ключевой функции (инвариантности относительно трех коммутирующих инволюций) полностью исследован А.В. Гнездиловым [7, 8] (для особенности трехмерной сборки). В диссертации рассмотрен случай Z—симметрии ключевой функции (инвариантности относительно двух коммутирующих инволюций). Этот случай разбивается на два подслучая, в первом из которых коразмерности зеркал обеих инволюций равны единице, а во втором коразмерность зеркала одной из инволюций равна двум. Оба случая исследованы в диссертации посредством повторной редукции к функции от двух переменных. В диссертации получено также приложение развитой общей методики к изучению 3—модовых бифуркации решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка.
Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала из точки минимума с трехмерным вырождением и разработка приложений к нелинейным задачам математической физики.
В математических конструкциях, диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми. 1. Построена нормальная форма ключевой функции возмущенного фредгольмова функционала в точке минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии Z—симметрии. 2. Развита новая методика изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в критической точке минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии Z—симметрии. 3. Приведены примеры возмущений, дающих максимальные расклады экстремалей, бифурцирующих из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки в случае Т\—симметрии. Установлено существование экзотического расклада. 4. Вычислена главная часть ключевой функции в задаче о 3—модовых бифуркациях решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка. 5. Проведен бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка в случае 3—мерного вырождения. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей из критической точки с многомерным вырождением. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом. Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ). Результаты диссертации опубликованы в восьми работах [60] - [67]. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 22 параграфа, и списка цитируемой литературы из 67 наименований. Общий объем диссертации — 104 стр.
О топологическом сравнении ключевых функций и условиях конечной определенности
На квартичнуто часть обычно накладывается условие "выживаемости" (условие Ландау — Хиггса), состоящее в требовании строгой минимальности пулевого значения полипома W . Особенности такого типа встречаются, например, в задачах описания устойчивых состояний упругих материалов [6] и стабильных фаз сегнето-электрических кристаллов [20].
Если квартичиая форма W находится в общем положении, то число бифурцирутотцих-из нуля, стационарных точек функции. И7 нечетно и не превосходит Зт (этому числу равна кратность нулевой стационарной точки квартичной формы общего положения). Из положительной определенности W следует, что вблизи ігуля появляется не более одной точки локального максимума W при её возмущениях [10].
В теории гладких функций на гладких многообразиях одной важнейших характеристик морсовской критической точки является ее топологический индекс /, определяемых! как знак гессиана или, что эквивалентно, произведение знаков всех собственных значений матрицы Гессе Н в этой точке. Важность роли топологического индекса в при- кладных задачах объясняется наличием соотношения
(сумма берется по всем особым точкам). Символом deg(gradW) обозначена топологическая степень отображения на окрестности нуля, содержащей все ответвленные от нуля критические точки.
Как известно из теории Морса [40], каждую гладкую функцию W на конечномерном многообразии М, имеющую лить морсовские критические точки, можно изобразить клеточным комлексом,. каждая клетка которого взаимно однозначно соотвествует критической точке функции W. Размерность клетки равна индексу Морса соответствутотдей критической точки, а примыкания, клеток в комплексе соотвествуют взаимным примыканиям критических точек (как особых точек динамической системы = — gradW()). Причем гомотопический тип изображающего комплекса совпадает с гомотопическим типом многообразия М. В частности, наборы стационарных точек функций на плоскости и в трехмерном пространстве можно изображать графами (одномерными остовами изображающих клеточных комплексов). Если функция W коэрцитивна, то изображающий ее комплекс гомото-пически тривиален (гомотопен точке). Следовательно, изображающий граф (одномерный остов изображающего комплекса) в случае коэрцитивной функции связен.
Пусть. Обозначив через /о, h и h количества минимумов, седел индекса (Морса) 1 и седел индекса 2, получим в силу (2.4) следующие соотношения: если существует точка максимума, — в случае отсутствия точки максимума. Целочисленный вектор ї0, її, Ї2, їз называется bif—раскладом [11] Изобража.юптдй клеточный комплекс состоит из їо верттіин, 1\ ребер и fa двумерных клеток. Он полностью определяется своим одномерным остовом (изображающим графом). Верпгиньт графа взштміго однозначно соответствуют точкам минимумов, а ребра — седлам индекса 1. При этом две верпгиньт соединяются ребром, если существует кривая, соединяющая соответствуюттгую им пару точек минимумов, составленная из пары линий кратчайшего спуска (интегральных кривых поля градиентов), связывающих пары "седло - минимум" (малым шевелением функции или метрики можно добиться того, что любая интегральная кривая, вытекающая из седла, втекает в точку локального минимума). Двумерные грани соответствуют точкам максимума. За счет изменения метрики в областях вида {с\ W сг}, не содержавших критических точек, можно переносить финальные точки сепаратрис из одітих локальных минимумов па другие (то есть сепаратрисы будут втекатт. в другие точки локальных минимумов). За счет таких переключений можно получать разнообразные соединения ребрами вертттин в пределах одного расклада стационарных точек. Переключениям сепаратрис соответствуют гомологические преобразования графа. Пусть граф Г получен из графа Г через последовательность следующих трох операций: 1) удаление любого ребра, соединяющего пару внутренних (некраевых) вершин А, В, 2) склеивание оставшихся (после удаления ребра) частей графа по вершинам А, В (за точкой стыка сохраним обозначение А) и 3) приклеивание к точке стыка Л, нового "висячего" ребра (вторая вершина приклеєного ребра — краевая точка). Тогда говорят (см. [10]), что граф Г получен из графа Г прямым гомологическим преобразованием, а граф Г получен из Г обратным гомологическим преобразованием." Если граф Г получен из графа Г через последовательность нескольких прямых и обратных гомологических преобразований, то графы Г и Г называются гомологичными. Очевидно, что гомологические преобразования сохраняют количества вершин и ребер графа. Большой прикладной интерес представляют вопросы, связанные с раскладами бифурцируюпщх морсовских критических точек при возмущениях квартичной формы кубическими и квадратичными мономами [17].
Дискриминантный анализ бифуркации экстремалей из точки минимума типа 2—мерной сборки
Рассматриваемая задача связана с описанием некоторых вариантов возникновения стабильных и метастабилъных состояний физической; системы после трехмодовой потери стабильности в основной (нулевой) фазе. Предпологается, что изучаемые фазовые состояния моделируются решениями нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка и при этом отбор решений, соответствующих стабильным фазам, производится посредством правила Максвелла с использованием функционала действия (3.1). Стабильным состояниям соответствуют тс решения данной краевой задачи, которые реализуют глобальный минимум этого функционала, метастабильным состояниям соответствуют точки локальных минимумов.
Бифуркации решений аналогичного уравнения 4-го порядка изучались многими специалистами (при различных краевых условиях). Например, анализ бифуркаций по одной моде для подобного уравнения проводился в работе [2]. в связи с описанием форм колебаний упругой балки на упругом основании. Ранее в работах [57], [48] описаны простейшие одномодовые бифуркации решений такого уравнения в связи некоторыми задачами теории фазовых переходов в кристаллических сегнетоэлектриках. Двухмодовьте бифуркации были недавно описаны Б.М.Даринским и Ю.И.Сапроновым [12].
В данной работе указаны локализации управляющих- параметров (в сформулированной въптте краевой задаче), которым соответствуют трехмодовые бифуркации. В основе построений работы находится редуцирующая схема Ляпунова - Шмидта.
Рассмотрим нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение шестого порядка (3.4)-на отрезке [0, тг] числовой оси при краевых условиях (3.3). Стандартным (порождающим) решением задачи (3.4) -(3.3) является нулевая функция. После пересечения, точкой («і, к , а) характеристической плоскости (в пространстве управляющих параметров) пулевая функция теряет стабильность и рождается ненулевое стабильное состояние. Характеристические плоскости задаются через линеаризованное уравнение: (при краевых условиях (3.3)), т .е. характеристические плоскости состоят из тех и только тех точек («і, «2, &), для которых уравнение (3.5) имеет ненулевое решение. Поиск нетртшиальных решений-линеаризованного уравнения приводит к характеристическому уравнению Учет краевых условий с необходимостью приводит к соотношениям
Отсюда получаем набор соотношений: задающих характеристические плоскости Ьи L2i.., Lm Огибающая поверхность L семейства характеристических плоскостей ограничивает ту область управляюттщх параметров, для которых функционал действия имеет единственную точку минимума (в нуле). При пересечении точкой в пространстве управляющих параметров поверхности L происходит бифуркация рождения нетривиального стабильного состояния. Поверхность L является ломанной (кусочно линейной), гранями которой служат плоские многоугольники, ограниченные линиями попарных пересечений характеристических плоскостей. Эти линии будем называть характеристическими. Наша ближайшая цель — проверка существования общих точек для отдельных пар характеристических линий. Такие точки, будем называть характеристическими точками. Интерес к этим точкам вызван тем, что они дают эффект трехмо-дового вырождения. Точки характеристических линий, отличные от характеристических точек, дают эффект двухмодового вырождения. Пересечение поверхности L по вігутрештей точке грани, принадлежащей L„, приводит к одномерной бифуркации С МОДОЙ:
Пересечение же L по точке излома, принадлежащей линии (характери-стистической) пересечения плоскостей Ln, Lm приводит к двумерной бифуркации с модами еп, ет. Соответственно, пересечение L по характеристической точке, являющейся точкой пересечения плоскостей Ln, Lm, Li, приводит, к трехмерной бифуркации с модами еп, ет, ei.
Трехмодовые.вырождения в краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка
Изображающий клеточный комплекс состоит из IQ вершин, 1\ ребер и І2 двумерных клеток. Он полностью определяется своим одномерным остовом (изображающим графом). Вершины графа взаимно однозначно соответствуют точкам минимума, а ребра — седлам индекса 1. При этом две вершины соединяются ребром, если существует кривая, соединяющая соответствующую им пару точек минимума, составленная из пары линий кратчайшего спуска (интегральных кривых поля градиентов), связывающих пары "седло - минимум" (малым шевелением функции или метрики можно добиться того, что любая интегральная кривая, вытекающая из седла, втекает в точку локального минимума). Двумерные грани соответствуют точкам максимума. За счет изменения метрики в областях вида {с\ W с2}, не содержащих критических точек, можно переносить финальные точки сепаратрис из одних локальных минимумов на другие (то есть сепаратрисы будут втекать в другие точки локальных минимумов). За счет таких переключений можно получать разнообразные соединения ребрами вершин в пределах одного расклада стационарных точек. Переключениям сепаратрис соответствуют гомологические преобразования графа.
Раскладам бифурцирующих критических точек, полученным при возмущениях особенности 3—мерной сборки, соответствуют несколь ко сотен изображающих комлексов. Если ограничиться рассмотрением сборок и их возмущений с симметрией параллепипеда (т.е. четных по каждой переменной), то.получится около пятидесяти изображающих комплексов [7] - [9]. Полного списка изображающих комплексов для 3—мерных сборок в настоящее время нет. Однако созданные в последнее время новые геометрические методы [10] - [17] выглядят весьма обнадеживающими и создающими впечатление реальной возможности разработки эффективных алгоритмов перечисления bif—раскладов для трехмерной сборки.
Настоящая диссертация посвящена исследованию дискриминантно-го множества и bif—раскладов для точки минимума с особенностью трехмерной сборки. Основной исследовательский инструмент (помимо метода - Шмидта [22], [4], [3], [46]) — повторная редукция ключевой функции. Отдельные случаи симметрии (например, четности по отдельным группам переменных), дают возможность повторной редукции к функции на двумерной сфере и к функции от двух переменных..
Случай симметрии ключевой функции (инвариантности относительно трех коммутирующих инволюций) полностью исследован А.В. Гнездиловым [7, 8] (для особенности трехмерной сборки). В диссертации рассмотрен случай Z—симметрии ключевой функции (инвариантности относительно двух коммутирующих инволюций). Этот случай разбивается на два подслучая, в первом из которых коразмерности зеркал обеих инволюций равны единице, а во втором коразмерность зеркала одной из инволюций равна двум. Оба случая исследованы в диссертации посредством повторной редукции к функции от двух переменных. В диссертации получено также приложение развитой общей методики к изучению 3—модовых бифуркации решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка.
Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала из точки минимума с трехмерным вырождением и разработка приложений к нелинейным задачам математической физики.
В математических конструкциях, диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.
Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
1. Построена нормальная форма ключевой функции возмущенного фредгольмова функционала в точке минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии Z—симметрии. 2. Развита новая методика изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в критической точке минимума с особенностью 3—мерной сборки при условии Z—симметрии. 3. Приведены примеры возмущений, дающих максимальные расклады экстремалей, бифурцирующих из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки в случае Т\—симметрии. Установлено существование экзотического расклада. 4. Вычислена главная часть ключевой функции в задаче о 3—модовых бифуркациях решений 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка. 5. Проведен бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи для ОДУ шестого порядка в случае 3—мерного вырождения. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей из критической точки с многомерным вырождением. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом. Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ). Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 22 параграфа, и списка цитируемой литературы из 67 наименований. Общий объем диссертации — 104 стр.
