Введение к работе
Актуальность темы. Аналитические и топологические методы изучения экстремалей гладких параметрических семейств гладких функционалов V{x,\) на банаховых многообразиях представляет интерес как для общей теории особенностей гладких функционалов, так и для "соседних" областей науки — теории управления, теории фазовых переходов в кристаллах и родственных материалах, теории бифуркаций решений вариационных краевых задач и т.д.
В бифуркационном анализе экстремалей выделяются следующие две важнейшие задачи: 1) описание геометрического строения каустик1 ( бифуркационных диаграмм функций) и 2) описание Ьг/—раскладов, соответствующих компонентам связности дополнения к каустике (в базе произвольной деформации).
Решение этих задач достаточно продуктивно осуществляется на основе схем конечномерной редукции2,3.
Первый шаг в локальном изучении особых экстремалей — определение и вычисление мод бифуркации {е,}=1, что в конечном итоге дает возможность представления любой ветви бифурцирующих
экстремалей в форме ,е_, + о(), где f = (&, ... ,„)т — критическая точка ключевой функции (зависящая от закритического приращения управляющего параметра).
Вслед за построением бифуркационных мод возникает задача построения и анализа нормальной формы ключевой функции. Основу для ее решения дают схемы конечномерных редукций и
'Каустика Е семейства функционалов V(i, А) — это совокупность тех управлений А, при которых V(, А) имеет вырожденную критическую точку (в достаточно малой окрестности нуля)
'Красносельский М.А , Бобылев Н А , Мухамадиев Э М Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// ДАН СССР -1978. - Т 240, N 3 - С 530-533.
'Сапронов Ю И Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи ма-тем. наук. - 1996. - Т 51, выя. 1. - С.101-132.
1 I члпг
РОС НАЦИОНАЛЬНА** БИБЛИОТЕКА ! СПс О»
конструкции теории особенностей гладких функций4.
Таким образом, локальную параметризацию каустики (бифуркационной диаграммы функций) в конечнократной особой точке для гладкого параметрического семейства гладких фредгольмо-вых функционалов в принципе можно производить посредством схем конечномерной редукции. Однако данный подход, при всех своих достоинствах, требует в практических применениях, во-первых, выполнения условия версальности, гарантирующего конечную определенность ключевой функции, и, во-вторых, весьма трудоемких вычислений (при приближенном построении канонического отображения пространства управляющих параметров на базу ограниченной миниверсальной деформации генотипа особенности).
В диссертации предложен прямой подход к построению параметризации каустики, свободный от условия версальности и требующий существенно меньше вычислений. Этот подход основан на теории Релея - Шредингера5 возмущений симметричных линейных операторов.
Классический алгоритм Релея - Шредингера в своем первоначальном виде был создан Лордом Релеєм (1894) при исследовании колебаний твердых тел, а затем обобщен Шредингером (1926) при разработке методов вычисления энергии возмущенной квантовой системы. Впоследствии этот алгоритм развивался физиками Лен-нардом - Джонсом, Вигнером, Бриллюэном и др., а также математиками — Реллихом, Секефальви - Надем, Като, Блохом, Фри-дрихсом и др. Первая наиболее полная математическая разработ-
4 Арнольд В И , Варченко А Н , Гусейн-Заде С М Особенности дифференцируемых отображений Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. М.- Наука, 1982 -304 с Особенности дифференцируемых отображений Монодромия и асимптотики интегралов. М . Наука, 1984 - 336 с
'Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969 - 232 с.
і .**.- гонг..»».? : * t»« ш. er- t
ка была дана Ф. Реллихом (1936), применившим принцип сведения (редукции) к соответствующей задаче построения асимптотических разложений собственных векторов и собственных значений для операторов в конечномерном пространстве (для точечного спектра).
На идее редукции спектральной задачи для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве (с точечным спектром) к аналогичной задаче в конечномерном пространстве основан и известный "метод промежуточных задач" Ароншайна - Вейнстейна.
Следует подчеркнуть, что подавляющая совокупность работ была посвящена случаю однопараметрического пучка операторов. Так, Реллих рассматривал лишь отдельные примеры операторных пучков с двумя параметрами, вскрывающие трудности переноса теории на случай многопараметрических пучков.
Некоторые аспекты многопараметрических спектральных задач изучали Ф. Аткинсон, С.Г. Крейн, В.П. Трофимов, Т.Я. Ази-зов, А.Г. Баскаков и др.
Подход к решению задач теории возмущений для общих операторных пучков (с дискретным спектром), основанный на методе Ляпунова - Шмидта, развивался в работах В.А. Треногина.
Изучение гладких операторных пучков методами теории особенностей гладких отображений было начато В.И. Арнольдом.
В данной работе изложены теоретические основы нового подхода, разработанного автором диссертации, и описаны некоторые его применения.
Основной объект изучения — абстрактный гладкий фредголь-мов функционал V, заданный на банаховом пространстве Е с условием, что он имеет в нуле конечнократную особенность. Как обычно, гладкой деформацией особенности V в нуле называется любое включение функционала V в гладкое Л—параметрическое семей-
ство гладких функционалов V(x, A), V(x, 0) = V(x), определенных на некоторой окрестности нуля в Е, Л Є i/, U — некоторая окрестность нуля в пространстве значений управляющего параметра.
Цель работы — изучение подходов к разработке алгоритмов параметризации каустик гладких семейств фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях, требующих меньше вычислительных затрат по сравнению с алгоритмами, основанными на переходе к ключевым функциям.
Методика исследования. В диссертации использованы метод Релея - Шредингера из теории возмущений линейных симметричных операторов и метод квазиинвариантных подмногообразий6 фредгольмовых функционалов.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты работы являются новыми.
-
Разработан новый подход к выводу формул Релея - Шредингера и предложено новое обощение алгоритма Релея - Шредингера в случае возмущения кратного собственного значения и многомерного или бесконечномерного параметра.
-
Разработан новый подход к решению задачи параметризации каустики, требующий меньше вычислительных затрат по сравнению с традиционными подходами.
3. Получены приложения нового подхода к изучению каустик
в случаях одномерных и двумерных особенностей фредгольмовых
функционалов и в конкретных краевых задачах, подтвердившие
его эффективность.
Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при изучении бифуркаций экстремалей функционалов
6 Сапронова Т.Ю О методе квазвинвариаятпых подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов // В кн Топологические методы нелинейного анализа - Воронеж: ВГУ, 2000 - С.107-124.
вариационного исчисления и при изучении фазовых переходов в физических средах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: "Дифференциальные уравнениям и динамические системы" (Суздаль, 2002), "Диф-ферециальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002), на Воронежской зимненей математической школе (Воронеж, 2000, 2001 гг.); а также на семинарах отдела нелинейного анализа НИИМ ВГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [8].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 11 параграфов и списка литературы, включающего 72 наименования. В тексте работы находится 1 иллюстрирующий рисунок. Общий объем диссертации - 95 страниц.