Введение к работе
Актуальность темы. Задача о характеризации всех конечнопоро-жденных идеалов в данном кольце, совпадающих со всем этим кольцом, исследовалась многими авторами в различных разделах алгебры и анализа и имеет ряд важных приложений (например, в теории уравнений типа свертки и теории интерполяции). В диссертации она исследуется для весовых пространств целых в C'v функций и заключается в следующем:
Пусть Е - некоторое кольцо целых в С^ функций; 3" = (/ь ..., fm) -(риксированный набор ненулевых элементов из Е. Необходимо решить
вопрос о том, когда идеал Е[3] := {f = Yl 9jfj 9j Є Е, 1 ^ j < m}
і-і с образующими Ji,..., fm совпадает со всем кольцом Е. Такие идеалы
мы условимся в дальнейшем называть порождающими.
В такой постановке задача о характеризации порождающих идеалов
исследовалась А.Ф.Леонтьевым [0], В.В.Напалковым [7), Л.К).Тимо
феевым [8]-[10], [18], Ф.А.Шамояном ]11], W.Hcnnckcmper'oM [13].
L.Hormander'oM [14], J.J.Kelleher'oM и В.А.ТауІог'ом [15], [1G], H.Scoda
[17]. Начиная с работы L.Carleson'a [12], относящейся к кольцу ана
литических ограниченных в единичном круге функций, условия, при
которых система функций порождает конкретное кольцо целых функ
ций, даются через оценку снизу \fi(z)\ -j 1- |/m(')|-
В [13] W.Hennekemper рассмотрел кольцо всех целых в комплексной плоскости функций конечного порядка:
[оо,0)с:={/ЄЯ(С)| 3p>0 3C>0:\n\f(z)\<\z\<> + C,VzC}. .
Он показал, что [00,0)^3] совпадает с [оо,0)с тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:
Существует р > 0 такое, что при любом z Є С хотя бы одна из функций набора 3" не обращается в нуль в круге {?« С| \w — z\ < p~l ехр(—\z\p)}.
Кроме того, там же установлено, что [со, 0)с[3\] = [со, 0)с тогда и только тогда, когда [оо, 0)с[Э"] - дифференциальный идеал, то есть, идеал, инвариантный относительно операции дифференцирования.
Позже была сделана попытка получить аналогичные результаты для колец [р, 0]с всех целых в С функций минимального типа при порядке р (см. [9], [18]) и [р, оо]с - всех целых в С функций, имеющих порядок не выше р ([10]). Но, как показано в диссертации, соответствующие результаты [9], [10], [18] ошибочны. Более того, установлено, что для этих колец характеризация в терминах функции dy(z) невозможна.
В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача об описании порождающих идеалов через нулевые множества их образующих в кольцах целых функций, задаваемых весовыми функциями, удовлетворяющими некоторым достаточно общим свойствам.
Цели работы. В диссертации исследованы следующие аспекты сформулированной выше задачи:
характеризация порождающих идеалов для колец целых функций многих переменных, определяемых радиальными весами и весами, зависящими от модулей переменных, в зависимости от распределения нулевых множеств их образующих;
описание порождающих идеалов в этих кольцах через функцию расстояния до нулевых множеств образующих;
выделение классов весов, для которых дифференциальные идеалы совпадают с порождающими;
характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора;
применение полученных результатов к задаче о факторизации оператора свертки и системам уравнений свертки.
Методика исследований. В диссертации применяются методы теории целых функций одной и нескольких комплексных переменных и элементы теории плюрисубгармонических функций.
Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение к задачам о факторизации операторов типа свертки и разрешимости систем сверточньгх уравнений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (руководитель - профессор Ю.Ф.Коробейник), на Международной конференции по комплекс-' кому анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф.Леонтьева (Нижний Новгород, июнь 1997 года), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау Дюрсо, сентябрь 1998 года), па Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2000 года).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата. Результаты главы I опубликованы в [20]-[22], [24], главы II - в [19] - [23], [25], главы III - в [26]. В совместных с научным руководителем работах [20]-[22], [24] по результатам главы I, А.В.Абаиину принадлежат постановки задач и введение характеристик нулевых множеств целых функций, в терминах которых дается описание порождающих идеалов в соответствующих кольцах целых функций, а автору - разработка методов решения рассматривав- . мых задач и проведение доказательств. То же самое касается п. И. 1.4 и 11.2 главы II (работы [19]-[22]). Остальные результаты главы II и все результаты главы Ш выполнены автором самостоятельно.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 44 наименований. Объем диссертации - 103 страницы машинописного текста.