Дискретные вейвлеты на локальных полях положительной характеристики Крусс Юлия Сергеевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Локальные поля положительной характеристики, топология, характеры, функции Радемахера 17

1. Нульмерные группы, основные понятия и факты 18

2. Прямое произведение нульмерных групп 32

3. Группы Виленкина и группы P-адических чисел 40

4. Локальные поля положительной характеристики 44

Глава 2. Построение всплесков (вейвлетов) на локальных полях положительной характеристики 54

1. Кратномасштабный анализ. Масштабирующая функция 55

2. Ступенчатая масштабриующая функция с компактным носителем 58

3. N-валидные деревья в теории всплесков 61

4. Обобщение алгоритма на случай дробных значений 72

5. Обобщение алгоритма на локальные поля положительной характеристики 77

6. Число шагов в алгоритме 83

7. Несепарабельный кратномасштабный анализ 86

8. Построение базисов всплесков для N-элементарных функций на локальных полях 88

9. Построение базисов всплесков. N-валидные деревья на локальных полях 95

10. Построение базисов всплесков. Пример 100

Заключение 105

Список литературы.

• Прямое произведение нульмерных групп
• Локальные поля положительной характеристики
• Ступенчатая масштабриующая функция с компактным носителем
• Несепарабельный кратномасштабный анализ

Введение к работе

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Общая теория вейвлет-анализа началась в 80-е годы XX века. В работах С. Малла и Й. Мейера появилось понятие кратномасштабного анализа (далее КМА). Основное предназначение КМА состоит в том, что на его основе можно построить ортогональный базис, полученный с помощью сжатий и сдвигов некоторой функции (или нескольких функций) которые называются вейвлетами или всплесками. В своих работах С. Малла и Й. Мейер описали метод построения КМА в пространстве ₂(R) по заданной (подходящей) функции, а также явные формулы для нахождения соответствующего вейвлета. В дальнейшем понятие КМА было перенесено на другие алгебраические структуры: нульмерные группы, поля -адических чисел, локальные поля.

Определение КМА на локальных полях ⁽⁾ положительной характеристики появилось в 2004 году в работе H. Jiang , D. Li , N. Jin. ¹ В указанной выше работе приводится схема построения всплесков, которая является обобщением стандартной схемы построения всплесков в ₂(R). Таким образом, вейвлет-базис строится с помощью преобразования Фурье масштабирующей функции. О методах нахождения самой масштабирующей функции не говорится, предполагается, что она нам известна.

В 2012 году B. Behera и Q. Jahan опубликовали необходимое и достаточное условия, для того чтобы функция ₂(⁽⁾) порождала КМА. О способе нахождения или построения такой функции также не говорится. Стоит отметить, что поиск подходящей функции представляет

¹H. Jiang, D. Li, N. Jin. Multiresolution analysis on local felds // J. Math. Anal. Appl., 294(2004), p. 523–532.

²И.Я Новиков, В.Ю. Протасов, М.А. Скопина. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005. - 616 с.

³B. Behera, Q. Jahan. Wavelet packets and wavelet frame packets on local felds of positive characteristic // J. Math. Anal. Appl., 395(2012), p. 1–14.

собой отдельную задачу. В конце своей работы B. Behera и Q. Jahan приводят пример построения всплесков по заданной функции . В качестве функции рассматривается характеристическая функция единичного шара (D) = 1. Всплески построенные по такой функции, авторы предлагают называть всплесками Хааровского типа. Других примеров в работе не приводится.

Отметим, что в указанных выше работах при рассмотрении локального поля ⁽⁾ используется подход, основанный на понятии образующего элемента⁴. В 2014 году С.Ф. Лукомский и А.М. Водолазов предложили другой подход к локальным полям положительной характеристики. Они рассматривают локальное поле ⁽⁾ положительной характеристики как линейное пространство над конечным полем ().

С.Ф. Лукомский и А.М. Водолазов приводят алгоритм построения масштабирующей функции из класса ступенчатых функций с компактным носителем D(_-^{( )} ) по дереву с дополнительным ограничением: функция должна быть 1-элементарной (т.е. = 1 и значения преобразования Фурье функции по модулю равны 1 либо 0). В своих рассуждениях авторы статьи используют результаты полученные в 2013 году С.Ф. Лукомским для групп Виленкина.

Таким образом, к 2015 году сложилась следующая ситуация. В теории КМА на локальных полях появилось достаточно много теорем о свойствах КМА и трудно проверяемых условий на масштабирующую функцию, при которых она порождает ортогональный КМА. Единственным примером КМА на локальных полях положительной характеристики долгое время

⁴M.H. Taibleson. Fourier Analysis on Local Fields. Princeton, Princeton University Press, 1975.

⁵S.F. Lukomskii, A.M. Vodolazov. Non-Haar MRA on local felds of positive characteristic // J. Math. Anal. Appl., 2016, vol. 433(2), p. 1415–1440.

⁶А.М. Водолазов, С.Ф. Лукомский. КМА на локальных полях положительной характеристики // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 4(2). С. 511-–518.

⁷S.F. Lukomskii. Trees in Wavelet analysis on Vilenkin groups // Preprint arxiv.org/abs/1303.5635.

оставался КМА Хаара. Поэтому возникла естественная задача научиться строить на локальных полях нехааровский КМА. Частично эта задача была решена в работах С.Ф. Лукомского и А.М. Водолазова, где были построены ступенчатые масштабирующие функции, порождающие ортогональный нехааровский КМА. Но это достаточно узкий класс масштабирующих функций, преобразование Фурье которых по модулю равно 1 либо 0 и которые постоянны на смежных классах по шару радиуса ¹ . Кроме того оказалось, что конкретных алгоритмов построения вейвлетов на локальных полях положительной характеристики по известной масштабирующей функции нет. Есть только условный результат, что если существует некая унитарная матрица, то, используя ее, можно построить вейвлеты по масштабирующей функции.

Цели и задачи. Целью диссертации является дальнейшее развитие теории вейвлет-анализа на локальных полях положительной характеристики для класса ступенчатых функций с компактным носителем.

Для реализации указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Научиться строить на локальных полях положительной характеристики ступенчатые -элементарные масштабирующие функции, носитель которых лежит в произвольном шаре радиуса и которые порождают ортогональный КМА.

2. Избавиться от ограничения на модуль преобразования Фурье масштабирующей функции, заключающееся в том, что он может принимать только два значения 0 и 1.

3. Разработать алгоритм построения всплесков (вейвлетов) по найденной масштабирующей функции.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации явля-

ются новыми в теории всплесков на локальных полях положительной характеристики и дают возможность построения дискретных вейвлетов. Разработаны алгоритмы, позволяющие производить такие построения.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты работы дают возможность строить дискретные вейвлеты, которые могут быть использованы при обработке многомерных сигналов. Результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории вейвлет-анализа на локальных полях положительной характеристики.

Методология и методы исследования. В диссертации использовались методы абстрактного гармонического анализа, функционального анализа, теории групп, теории чисел, теории графов.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Алгоритм построения на локальных полях положительной характеристики -элементарных ступенчатых масштабирующих функций, носитель которых лежит в произвольном шаре радиуса и которые порождают ортогональный КМА.

2. Алгоритм построения на локальных полях положительной характеристики ступенчатых не обязательно -элементарных масштабирующих функций с компактным носителем, которые порождают ортогональный КМА.

3. Алгоритм построения на локальных полях положительной характеристики всплесков (вейвлетов) по найденной масштабирующей функции.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов обоснована теоретическими выкладками и строгими математическими доказательствами.

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на научных конференциях сотрудников и аспирантов механико-математического факультета Саратовского государственного университета (г. Саратов, 2015 г., 2016 г.), на Международных симпозиумах «Ряды Фурье и их приложения» (г. Новороссийск, 2014 г., 2016 г.), на XIII Всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения -2014» (г. Казань. 2014 г.), на Международной конференции «Функциональные пространства и теория приближения функций», посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М. Никольского (г. Москва, 2015 г.), на Международной конференции «Wavelet and applications» (г. Санкт-Петербург, 2015 г.), на XII международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (г. Казань, 2015 г.), на 18-й международной Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (г. Саратов, 2016 г.), на Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (г. Казань, 2016 г.), на научном семинаре «Ортогональные ряды» кафедры математического анализа Саратовского государственного университета под руководством проф. С.Ф. Лукомского (г. Саратов, 2014-2016 г.), на научном семинаре по ГТФКП кафедры математического анализа Казанского федерального университета под руководством проф. Л.А. Аксентьева (г. Казань, 2014 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11]. Из них работы [1-4] опубликованы в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 108 страниц. Список литературы содержит 32 наименования.

Прямое произведение нульмерных групп

Для изложения основного результата данной работы мы используем конструкцию локального поля положительной характеристики. Локальное поле положительной характеристики мы будем рассматривать как линейное пространство над конечным полем. Аддитивную группу локального поля положительной характеристики мы будем рассматривать как группу Виленкина. Поэтому целесообразно использовать существующую терминологию теории нульмерных групп и теории локальных полей.

В 1 приведены основные сведения о нульмерных группах, включая вопросы меры и интегрирования. Также рассматривается двойственная к группе структура – группа характеров. В 2 рассматривается прямое произведение нульмерных групп. Описывается процесс преобразования многомерной группы в одномерную с помощью уплотнения цепочки подгрупп. Для полученной одномерной группы приводится явный вид аннуляторов. В 3 дано описание классического примера нульмерных групп – групп Виленкина, основным отличием которых от других нульмерных групп является специальным образом заданная операция сложения. Также здесь приводятся некоторые сведения о другом примере нульмерных групп – о группе p-адических чисел. 4 посвящен вопросу о локальных полях положительной характеристики. Дается описание классического подхода к локальным полям в терминах образующего элемента, а также другого подхода, благодаря которому удается установить связь локальных полей и групп Виленкина. Кроме этого рассматриваются характеры аддитивной группы локального поля положительной характеристики, а также аналоги функций Радемахера и их основные свойства.

Определение 1.1. [14] Группа G называется топологической группой, если она обладает топологической структурой и при этом групповая операция и операция перехода к противоположному элементу непрерывны в данной топологии. Последнее означает, что: 1) для любой окрестности U{x+y) элемента х+у найдутся такие окрестности и(х) и U(y), что и{х)+и{у) С U{x-\-y); 2) для любой окрестности U(—x) элемента х существует U(x) такая что —U(x) С и(—х). Замечание 1. В обозначении операции + точка ставится для того, чтобы отличать операцию сложения на группе от обычной операции сложения. Замечание 2. В данной работе рассматриваются только коммутативные группы.

Обычно для того чтобы задать топологию на некотором множестве описывают множетсва базы этой топологии. Однако в нашем случае достаточно задать лишь систему Во окрестностей нуля. Для любого элемента а Є G отличного от нулевого система окрестностей элемента а представляет собой множества вида (a+U), где U Є Во. Таким образом, по множеству Во строится множество 23 = {a+U U Є 23о, о. Є G} окрестностей элементов группы G. Для того чтобы множество 23 было базой некоторой топологии, необходимо чтобы система 23о окрестностей нуля была полной, т.е. чтобы выполнялось условие Уи С 23о ЗУ С 23(: V С U. Этот факт а также свойства полной системы окрестностей нуля отражены в следующей теореме. Теорема 1.1. [14] Пусть(Є, +) - топологическая группа, Во – некоторая полная система окрестностей нуля. Тогда В = {a+U \ U Є В, а Є G} - есть полная система окрестностей в группе (G,+), а система Во удовлетворяет следующим условиям: 1) f] U = О; 2) У U,V Є Во 3VK Є Во: М С U П У; 3) У U Є Во ЗУ Є Во: У+(—У) С U; 4) У U є Во, Va є U 3V є Во: У+о. С U. Спрведливо и обратное утверждение. Теорема 1.2. [14] Пусть (G, +) - алгебраическая группа и Во – некоторая система подмножеств множества G, удовлетворяющая условиям теоремы 1.1. Тогда в множестве G можно ввести топологию и притом единственным способом, так что при этом групповая операция + будет непрерывна в этой топологии и система Во будет полной системой окрестностей нуля. Для топологических групп, как и для алгебраических, вводятся понятия подгруппы, смежного класса, фактор-группы. Определение 1.2. [1] Множество Н С G называется подгруппой топологической группы G, если 1) Н - подгруппа G в алгебраическом смысле; 2) Н - замкнутое подмножество в топологии G. Одно из важных свойств подгрупп топологической группы G отражено в следующей теореме. Теорема 1.3. [1] Всякая открытая подгруппа Н топологической группы G замкнута. Рассмотрим цепочку вложенных подгрупп (Gn): G = Go D G\ D D Gn ID ..., таких что f] Gn = {0}. Несложно убедиться, что данные подгруппы п удовлетворяют условиям теоремы 1.2. Таким образом, мы можем рассматривать цепочку подгрупп {Gn) как полную систему окрестностей нуля в группе (G, +). Множества Н-\-а = {у Є G : у = х+а х Є Н}, а Є G образуют смеж 20 ные классы группы G по подгруппе Н. Также множества Н-\-а часто называют сдвигом подгруппы Н на элемент а. Смежные классы (Н+а) либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, группу G можно представить в виде дизъюнктного объединения смежных классов по подгруппе Н. Совокупность смежных классов по подгруппе Н образует топологическую группу, которая называется фактор-группой и обозначается G/H. Топологию в фактор-группе G/H можно задать множествами H+U, где U Є Во [14]. Нулевым элементом в фактор-группе является Н, обратным элементом к Н+а - элемент Н—а, а результатом сложения двух элементов Н+а и Н+Ъ - элемент Н+а+Ъ.

Свойства топологической группы G определяются топологией, заданной на ней. В зависимости от того какими свойствами обладает топологическое пространство группы G, выделяют разные виды топологических групп. Так, если топологическое пространство группы G компактно, то топологическая группа G называется компактной, и соответственно, если оно локально компактно, то группа G называется локально компактной.

Группа G называется нульмерной, если связная компонента нуля в группе G есть нуль. Известно, что, если в каждой окрестности нуля топологической группы G содержится открытая подгруппа, то группа G - нульмерна [1]. Рассмотрим компактную группу (G, +), топология в которой задается счетной системой вложенных подгрупп G = Go D G\ D D Gn ID ..., (1.1) причем P Gn = {0}, 0 - нулевой элемент группы G. Система подгрупп (Gn) n=0 образует полную систему окрестностей нуля, и из (1.1) становится очевидно, что каждая окрестность содержит открытую подгруппу, поэтому рассматриваемая нами группа (G, +) нульмерна. Рассмотрим ее свойства. Всевозможные сдвиги Gn+g (g Є G) образуют базу топологии. Так как группа G компактна, каждая подгруппа Gn открытое множество, а следовательно по теореме 1.3 является замкнутым. Таким образом, Vn Є No группа Gn компактна. Поэто 21 му число смежных классов по каждой подгруппе Gn конечно, и следовательно все фактор-группы Gn/Gn+\ конечны. Обозначим порядки фактор-групп через \Рп)п=о, т.е. {Gn/Gn+i) = Рп. В общем случае числа рп являются натуральными 2. Однако цепочку подгрупп (1.1) можно уплотнить, т.е. добавить некоторые подгруппы, так, чтобы числа рп стали простыми. Возможность такого уплотнения следует из теоремы Силова.

Теорема 1.4. ( [6], теорема Силова). Пусть G - конечная группа, р -порядок группы. Если число qa делит р (q - простое, а Є N), то в группе G существуют подгруппы порядка qa.

Цепочку подгрупп (1.1), для которой порядки рп фактор-групп Gn/Gn+i есть простые числа, называют основной цепочкой подгрупп, а саму последовательность (рп) - образующей. Более подробно процесс уплотнения цепочки подгрупп до основной будет рассмотрен в следующем параграфе.

Топология, порожденная основной цепочкой, которая получается после уплотнения, эквивалентна топологии, порожденной исходной цепочкой. Поэтому мы всегда будем задавать топологию основной цепочкой подгрупп.

Локальные поля положительной характеристики

В данной главе изложены основные результаты диссертации. В 1 дается определение КМА на локальных полях положительной характеристики. Приводятся основные результаты для построения всплесков (вейвлетов), при условии, что масштабирующая функция нам известна, а также необходимое и достаточное условия для того, чтобы функция порождала КМА. В 2 рассматривается класс ступенчатых функций с компактным носителем на локальных полях положительной характеристики. В 3 дается определение N-валидных деревьев, а также описание алгоритма построения всплесков (вейвлетов) по таким деревьям на группах Виленкина для N-элементарных функций. Для случая N = 1 приводится подробный пример построения. В 4 приводится описание алгоритма построения масштабирующей функции по N-валидным деревьям на группах Виленкина для класса ступенчатых функций с компактным носителем. 5 посвящен обобщению алгоритма из предыдущего параграфа на локальные поля положительной характеристики. В 6 дается оценка числа шагов алгоритма из 5. В 7 исследуются вопросы сепарабельности построенного по алгоритму КМА. 8 и 9 содержат описание алгоритма построения всплесков (вейвле-тов) на локальных полях положительной характеристики для N-элементарных функций и функций из класса ступенчатых функций с компактным носителем соответственно. В 10 приводится пример построения всплесков (вейвлетов) на локальны полях полжительной характеристики, по алгоритму изложенному в 9. 1. Кратномасштабный анализ. Масштабирующая функция

Понятие КМА было введено в конце 80-х годов XX века С. Малла и Й. Мей-ером в пространстве L2(K). Основное предназначение КМА состоит в том, что на его основе можно построить ортогональный базис, полученный с помощью сжатий и сдвигов некоторой функции (или нескольких функций). Такие функции называются всплесками или вейвлетами, а базис - всплесковым базисом или вейвлет-базисом соответственно.

В дальнейшем понятие КМА было перенесено на другие алгебраические структуры: нульмерные группы [12,15-18,20,24,27-30], поля р-адических чисел [19], локальные поля [3,8,10,21-23,26,31].

Определение КМА на локальных полях положительной характеристики появилось в 2004 году в работе H. Jiang, D. Li, N. Jin [26].

Определение 2.1. [26] Пусть F s локальное поле положительной характеристики. Совокупность замкнутых подпространств {Vn}nez Є L2(F S ) называется КМА в L2{F S ), если выполнены следующие аксиомы: A1) Vn С Vn+i; A2) [J Vn = L2(F S ); neZ A3) P Vn = {0}; neZ А4) f{x) Є Vn Ф f{Ax) Є Vn+\, Л - оператор растяжения; A5) существует функция ер Є Vo такая, что система сдвигов {(p(x—h)}heH0 образует ортонормированный базис в Vo. Щ - множество сдвигов. Функция ср из аксиомы A5 называется масштабирующей функцией для данного КМА. Пусть ср масштабирующая функция, тогда из аксиомы А1 следует, что (р(х) = У Ch iAx—h), У \сь\ +оо, (2.1) he Н0 he Н0 где Ch Є С Уравнение (2.1) называется масштабирующим уравнением. Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (2.1), его можно записать в виде ф(х) = m (х)Ф(х А ), (2.2) где т \х) = ch(xA ljh)- маска уравнения (2.1). he Н0 В работе [26] установлено, что функция т (х) является интегрально-периодической, т.е. периодична с любым периодом г г 2... г , v є N,&j є GF(ps), j = l,z/, Tj - функции Радемахера.

В работе [26] приводится схема построения всплесков, которая является обобщением стандартной схемы [13] построения всплесков в L2(K). Пусть нам известна некоторая функция (/?, сдвиги которой образуют ортонормированный базис в пространстве Vo Vo = span ((p(x—h))heH0 Таким образом, Vo определяется по функции ср. Также по функции ср с помощью оператора растяжения Л определяются и все остальные пространства Vn: Vn = span ((p(Anx—h))heH0- (2.3) Если при этом выполняются аксиомы А1-А4, т.е. если построенные подпространства {Vn} образуют КМА, то выбранная нами функция ср является масштабирующей для данного КМА. Также говорят, что функция ср порождает КМА в L2(F S ).

Обозначим через Wn ортогональное дополнение Vn в пространстве Vn+\. Таким образом, Vn+\ = Vn (J) Wn, где (J) - знак прямой суммы. Получаем последовательность подпространств {Wn}nez пространства L2(F S ) такую, что Vn-LWn, WnJ-Wk, V п,к Є Z, n/fcиVn GZ, n к Vn = Vk ф Wk (J) (J) Wn-i. Таким образом, ф Wn = L2(F S ). Для подпространств Wn имеет место аналог аксиомы А4, а именно f(x) Є Wn Ф f(A nx) Є Wo.

По масштабирующей функции ср с помощью вспомогательных функций тил1), 1 Є GF(ps), 1 ф О строятся функции /л1) Є Wo, 1 Є GF(ps), 1 0.

Теорема 2.1. [26] Пусть F - локальное поле положительной характеристики р, р - простое число. Если система замкнутых подпространств {Vj}jez в - ( ) удовлетворяет аксиомам 1-5 определения 2.1 и существуют интегрально-периодические функции т 1 Є GF{ps), 1 0 такие, что матрица М{х) = [m (xro)} (l, Sk) Є GF{ps), г о - функция Радемахера) унитарна, то существует ортонормированный базис вейвлетов ф у1\Апх—К), 1 Є GF{ps), 1 ф 0, h Є Щ в L2(F yS ), где ф {х) = т (х)Ф(хА 1), 1 Є GF{ps), 1 ф 0, ш() - маска масштабирующего уравнения.

Таким образом, вейвлет-базис строится с помощью преобразования Фурье масштабирующей функции. О методах нахождения самой масштабирующей функции в работе [26] не говорится, предполагается, что она нам известна.

В 2012 году в работе [21] B. Behera и Q. Jahan опубликовали необходимое и достаточное условия, для того чтобы функция if Є L2{F S ) порождала КМА. Теорема 2.2. [21] Обозначим через U = {г 1... г ", &j Є GF{ps), v Є No}, Tj - функции Радемахера. Функция tp Є L2(F S ) удовлетворяет аксиоме А5 КМА (определение 2.1) тогда и только тогда, когда для любых г- сЛ )-1 / lvKx)l = - (2.4) lim (х --7)! = 1, для п.в.х Є X (2.5) j- oo и существует интегрально-периодическая функция т \х) - 2( 1 ) такая, что для п.в. % Є X справедливо равенство (2.2) in і л/ ) = ТТЬ ( Л7 ) LP ("Yь/v ) Таким образом, задача построения всплесков сводится к построению мас 58 штабирующей функции (/?, удовлетворяющей условиям теоремы 2.2. О способе нахождения или построения такой функции ср в работе [21] также не говорится. Стоит отметить, что поиск подходящей функции ср представляет собой отдельную задачу. В конце работы [26] авторы приводят пример построения всплесков по заданной функции ср. В качестве функции ср рассматривается характеристическая функция единичного шара (/?( ) = 1. Всплески, построенные по такой функции, авторы предлагают называть всплесками Хааровского типа. Других примеров в работе не приводится.

Ступенчатая масштабриующая функция с компактным носителем

В теореме 2.23 установлено, что М не превышает Н — N. Покажем, что случай М Н — N невозможен. Иными словами, требуется доказать, что в массивах А п единицы стоят только на местах, соответствующих вершинам уровня / N + п в дереве Т и нигде больше.

Докажем по индукции.

1) База индукции. Рассмотрим массив А . В лемме 2.21 доказано, что в данном массиве на местах, соответствующих вершинам уровня I N в дереве Т, стоят единицы. Докажем, что других единиц в А нет. Для этого рассмотрим элемент массива А , соответствующий вершине (іі,І2,i/v) уровня / N. Согласно (2.17) такой элемент имеет вид: (Ц = ЛІ1)І2,...,ІДГ,ОГАІ2)ІЗ,...,ІЛГ,О,ОГAiWjo,...,o2. Доказательство будем проводить от противного. Предположим, что а\ j = 1, следовательно, т. к. все Aj1j2r..jArjAr+12 Є [0,1], единице равняется каждый из сомножителей. Т. к. ЛІЬІ2;...;ІЛГ;О2 = 1, это означает, что наша вершина соединена ребром с вершиной (І2, із,..., i/v, 0). Т. к. Ai2;i3r..;iW;o,o2 = 1, следовательно вершина (І2,із,i/v50) соединена ребром с вершиной (із, І4, , i/v5 0, 0). Продолжая наши рассуждения получим путь: (іі, І2,..., ідг) — (І2, із,..., i/v, 0) — (із, І4, ідг, 0,0) — (0, 0,..., 0), где (0,0,... ,0) - корень дерева, а количество вершин в пути не более чем N + 1. Таким образом, вершина (іі,І2,..., i/v) является вершиной уровня / TV, что противоречит условию / N.

2) Предположение индукции. Предположим, что в массиве А п 1" единицы стоят только на местах соответствующих вершинам уровня / N + п — 1 и нигде больше.

3) Шаг индукции. Докажем, что в массиве А п единицы стоят только на местах соответствующих вершинам уровня / N + п и нигде больше. Согласно (2.18) элементы А п имеют вид: (п) \ г і л i2 ("-—1) (],. . = А - : \ П., . . Il,l2 ,...,ljv / j І Ч 2т--іШіЛ\ l2 ,l3 ,...,lJV,J Рассмотрим элемент А п, соответствующий вершине А = (іі, І2,..., i/v) уровня / N + п. Предположим, что он равняется единице, т. е. У !ІСГ Ї?Л Л lAj, i„ i„ i2a; ; ; : = 1. Среди могут быть единицы, а мо-гут быть числа из [0,1). Разобъем сумму на две части: где Aibi2r..;iwj, (j : aj j j = 1)- это связи вершины А с вершинами уровня / N + n — 1. Следует отметить, что изначально вершина А не была связана с вершинами этих уровней. Дополнительная связь могла появиться только при построении графа Г. Поэтому возможно, что все такие Ai1;i2;...;iJvj = 0;

Ai1,i2,...,iAr,j, (j : и; j j - = 1) – это связи вершины А с вершинами более низкого уровня, кроме уже рассмотренных вершин уровня / N+n—1. Следует отметить, что хотя бы одно из Ai1;i2;...;ijvj отлично от нуля, т. к. иначе окажется, что А изолированная вершина. Так как на значения Ai1;i2;...;iJV;j наложено условие (2.15), следовательно / j / ii,i2)"-jijVjj I /_j I ilji2j"-jijV j I j-a i і і i = l J:a i і і І7 Поэтому равенство (2.19) можно преобразовать к следующему виду: - - 7 j АІЬІ2,...,ІДГ + / J Aibi2,...,ijv,j ai2,i3,...,iJvj — 1-і (0) i2,i3,...,iN ,j j-a i і і 5 7 1 J-a i І І 5 7 1 / j l/ il,i2)"-jijV j I V І2 Іч ... Ідг j/ O-i) /1 i-a i 2 ,i 3 ,...,i N j L Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, когда каждое из слагаемых равно нулю. Поскольку щ1 j - 1, следовательно Ai1;i2;...;iJvj = 0, что невоз можно, т. к. хотя бы одно из них должно быть отлично от нуля. Получили противоречие. 7. Несепарабельный кратномасштабный анализ В 5 изложен алгоритм построения масштабирующей функции, порождающей КМА на локальных полях положительной характеристики. Как известно (теорема 1.16), в случае s 1 аддитивная группа локального поля положительной характеристики изоморфна произведению групп Виленкина, т.е. является кратным случаем. Если масштабирующая функция некоторого многомерного КМА не является тензорным произведением функций одной переменной, то такой КМА называют несепарабельным [13]. В связи с этим возникает вопрос будут ли хотя бы какие-то из построенных по алгоритму КМА несепарабель-ными. Ответ на этот вопрос изложен в работе автора [8]. Теорема 2.25. [8] Функция ір(х) Є м( _дг) из теоремы 2.23 порождает как сепарабельные так и несепарабельные КМА. Доказательство Рассмотрим частный случай р = s = 2, N = 1. Рассмотрим следующее 1-валидное дерево Т (см. рисунок 14) (0,1) (О, 0) — (1,1) (1,0) Рисунок 14. 1-валидное дерево Т

Аддитивную группу F 2 + локального поля F 2 мы можем рассматривать как произведение групп Виленкина G х G. В этом случае, построенные по алгоритму масштабирующая функция ср и ее преобразование Фурье ф определены на множествах G-\ х G-\ и G\ х G\ соответственно и принимают значения в соответствии с таблицами на рисунках 15 -

Масштабирующие функции сепарабельных КМА имеют специальный вид, а именно являются тензорным произведением одномерных функций. Так как на G\ х G\ наша двумерная масштабирующая функция ср принимает значение 1, то и каждая из одномерных на G\ должна равняться 1. Далее, т.к. на G\ х G\+{ 1,1) ?о наша двумерная функция равна 1, то одномерные должны равняться 1 на Gi+go. Но тогда наша двумерная функция должна быть равной 1 на G\ х Gi+(1, 0) 7о, G\ х Gi + (0,1) ?о. Но как мы видим по рис. 15 это не так. Таким образом, данную двумерную функцию нельзя представить в виде тензорного произведения каких-либо двух одномерных масштабирующих функций. Если рассмотреть тот же случай р = s = 2, N = 1, но 1-валидное дерево Т выбрать другим (см. рисунок 17) (0, 0) — (1,1) (0,1) (1,1 (1,0) Рисунок 17. 1-валидное дерево Т То функция ср будет представлять собой характеристическую функцию множества Go х Go и может быть представлена в виде тензорного произведения характеристической функции множества Go саму на себя.

Несепарабельный кратномасштабный анализ

В 5 изложен алгоритм построения масштабирующей функции, порождающей КМА на локальных полях положительной характеристики. Как известно (теорема 1.16), в случае s 1 аддитивная группа локального поля положительной характеристики изоморфна произведению групп Виленкина, т.е. является кратным случаем. Если масштабирующая функция некоторого многомерного КМА не является тензорным произведением функций одной переменной, то такой КМА называют несепарабельным [13]. В связи с этим возникает вопрос будут ли хотя бы какие-то из построенных по алгоритму КМА несепарабель-ными. Ответ на этот вопрос изложен в работе автора [8].

Теорема 2.25. [8] Функция ір(х) Є м( _дг) из теоремы 2.23 порождает как сепарабельные так и несепарабельные КМА.

Доказательство Рассмотрим частный случай р = s = 2, N = 1. Рассмотрим следующее 1-валидное дерево Т (см. рисунок 14) Аддитивную группу F 2 + локального поля F 2 мы можем рассматривать как произведение групп Виленкина G х G. В этом случае, построенные по алгоритму масштабирующая функция ср и ее преобразование Фурье ф определены на множествах G-\ х G-\ и G\ х G\ соответственно и принимают значения в соответствии с таблицами на рисунках 15 - 16. Go

Масштабирующие функции сепарабельных КМА имеют специальный вид, а именно являются тензорным произведением одномерных функций. Так как на G\ х G\ наша двумерная масштабирующая функция ср принимает значение 1, то и каждая из одномерных на G\ должна равняться 1. Далее, т.к. на G\ х G\+{ 1,1) ?о наша двумерная функция равна 1, то одномерные должны равняться 1 на Gi+go. Но тогда наша двумерная функция должна быть равной 1 на G\ х Gi+(1, 0) 7о, G\ х Gi + (0,1) ?о. Но как мы видим по рис. 15 это не так. Таким образом, данную двумерную функцию нельзя представить в виде тензорного произведения каких-либо двух одномерных масштабирующих функций.

То функция ср будет представлять собой характеристическую функцию множества Go х Go и может быть представлена в виде тензорного произведения характеристической функции множества Go саму на себя. 8. Построение базисов всплесков для N-элементарных функций на локальных полях В 5 изложен алгоритм построения масштабирующей функции по TV-валидному дереву на локальных полях положительной характеристики. Но в работах [23,31] ничего не говорится о построении всплесков. Если рассматривать случай TV-элементарных функций, то для них можно обобщить алгоритм изложенный в [30]. Приведем сначала некоторые вспомогательные утверждения.

Теорема 2.27. [31] Пусть F - локальное поле положительной характеристики р. Пусть множество Е С F - (TV, М) -элементарное множество. Если функция \ф{х)\ = 1Е{Х) на множестве характеров X, тогда система сдвигов (ip(c—h))heH0 есть ортонормированная система на F s .

Изложим алгоритм построения всплесков по TV-валидному дереву Т на локальном поле положительной харктеристики для TV-элементарных функций. Шаг 1. Выберем простое число р и зафиксируем его. Строим TV-валидное дерево Т на локальном поле согласно определению 2.4. Шаг 2. Определяем значения маски т 0 по дереву Т и находим преобразование Фурье ф масштабирующей функции по формуле (2.9). Обозначим через

В силу определения оператора растяжения на группе характеров выражение (хкЛ 1, hj) равносильно {xk, A lhj). Т.к. hj Є Щ , а щ С і7_дГ_1, следовательно A lhj С F_ . F_f - компактная группа. В силу ортогонально (s) 1 7 т сти Хк на F_ матрица s(jV+1) [XkA , /ij) системы уравнений (2.20) унитарна, а значит система имеет единственное решение.

Рассмотрим функции Q(x)m {х)гР (х) Так как Q(x) принадлежат Ь2( ), а т (х) = т (хrо ) ограничена на F0 r0, то Q(x)m (x) (FQ r0), а значит, Q(x)m 1)(x) L/2(FQ r0). Элементы h Є Щ рассмотрим как функции, определенные на (F0 rо)- Так как сужения элементов h Є Щ п& F0 образуют ортонормированный базис в L2(F0 ), то элементы h(xro ) образуют ортонормированный базис в L2(F0 r0). Поэтому при каждом l Є GF(ps), l 0: Шаг 6. В силу теоремы 2.28 подпространства (Vj)jez образуют КМА в F i{F(s ) следовательно функции (фі(Лпх—/г)), / Є 1,р — 1, п Є Z, h Є Дэ образуют ортогональную систему в L2(F(S)). 9. Построение базисов всплесков. TV-валидные деревья на локальных полях

В параграфе 8 был изложен алгоритм построения всплесков по TV-валидному дереву Т на локальных полях положительной характеристики для TV-элементарных функций. Напомним, что такие функции принимают в качестве своих значений только те комплексные числа, что равняются единице по модулю, либо ноль. Поэтому был поставлен вопрос обобщения алгоритма из 8 для функций из класса M(F_ ). Однако оказалось, что точно такой же алгоритм не подходит. Рассмотрим формулу тп (х) = m ЧХго ). Для TV-элементарных функций справедлива лемма 2.29, согласно которой Vk ф 1 m (x)rn (x) = 0. В силу построения маски т 0 для функций из класса Х м( _лг) может оказаться, что при некоторых значениях к ф 1 т (х)т 1 (х) Ф 0. В связи с этим возник вопрос, какому условию должны удовлетворять маски тил1), чтобы система сдвигов всплесков (ф (х-к)), 1 Є GF(ps), h Є Но, построенных по маскам т , образовывала ортонормированную систему.