Двойственные задачи теории некоммутативного интегрирования Новиков Андрей Андреевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Полунормы, ассоциированные с положительными операторами, и характеризация операторов, присоединенных к центру алгебры фон Неймана 22

1.1 Полунормы на упорядоченных векторных пространствах 23

1.2 Полунормы, ассоциированные с положительными элементами С -алгебр и алгебр фон Неймана

1.3 Полунормы, ассоциированные с положительными операторами, присоединенными к алгебре фон Неймана 36

1.4 Характеризация центральных элементов операторных алгебр неравенствами 43

Глава 2. 1-пространства, ассоциированные с положительными операторами, присоединенными к алгебрам фон Неймана, и меры на ортоидеалах 53

2.1 Конструкция и представление 1-пространств 54

2.2 Вложение нормальных полуконечных весов в 1 60

2.3 Меры на ортоидеалах 66

2.4 Пополнение пространства непрерывных линейных функционалов на С -алгебре 69

Выводы 74

Список условных обозначений 76

Список литературы

• Полунормы, ассоциированные с положительными элементами С -алгебр и алгебр фон Неймана
• Полунормы, ассоциированные с положительными операторами, присоединенными к алгебре фон Неймана
• Вложение нормальных полуконечных весов в 1
• Пополнение пространства непрерывных линейных функционалов на С -алгебре

Введение к работе

Актуальность работы. Теория интегрирования одна из магистральных теорий XX века. Её основание составила теория А. Лебега, явившаяся результатом развития математического анализа в XIX веке. Непосредственно после завершения принципиальной части абстрактной теории интеграла Лебега возникла качественно новая теория, которая получила название некоммутативной теории интегрирования, чьё появление и развитие было продиктовано потребностями математического обоснования квантовой физики. Основополагающим явился цикл работ Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея.^12,14 Формирование общей теории интегрирования относительно унитарно-инвариантных мер в полуконечных алгебрах фон Неймана было осуществлено И. Сигалом в 1953 г.⁵⁶ Теория Сигала охватила теорию интегрирования относительно нормального следа. Классическая теория интегрирования на пространстве с мерой вкладывалась в построенную им схему как частный случай. Идеи и методы общей теории интегрирования относительно унитарно-инвариантных мер позволили изучить важный класс задач, возникающих в теории квантовых измерений и выходящих за рамки обычной постановки в терминах пространства элементарных исходов. Это, в свою очередь, привело к созданию некоммутативной теории статистических решений. Последовательное построение этой теории осуществил А.С. Холево.'

В связи с успехами в теории алгебр фон Поймана и увеличением количества сфер её приложения стала актуальной задача распространения теории интегрирования Сигала на нормальные веса в произвольных алгебрах фон Неймана. На семинаре «Алгебры операторов и их приложения» (Казанский государственный университет) была разработана общая концепция некоммутативной теории меры и интеграла в алгебрах фон Неймана.

Murray, F.J. On rings of operators / FJ. Murray. J. von Neumann // Ann. Math. - 1936. - V.37. - X*l. -p. 116-229.

'Murray, F.J. On rings of operators II / F.J. Murray. J. von Neumann // Trans. Amer. Math. Soc. - 1937.

- V.41. - №2. - p. 208-248.

von Neumann. J. On rings of operators HI / J. von Neumaim / Ann. Math. - 1940. - V.41. - №1. - p. 94-161.

'Murray, F.J. On rings of operators IV / F.J. Murray. J. von Neumann Ann. Math. - 1943. - V.44. - №4.

- p. 716-808.

''Segal. I.E. A non-commutative extension of abstract integration / I.E. Segal // Aim. Math. - 1953. V.57.

- №3. - 401-457.

^BSegal, I.E. Algebraic integration theory / IJ2. Segal // Bull. Amer. Math. Soc. - 1965. - V.71. - №3. - p. 419-489.

'Holevo. A.S. Conmiutative superoperator of a state and its application in the noncommutative statistics / A.S. Holevo // Rep. Math. Phys. - 1977. - V.12. - №2. - p. 251-271.

:i

В 1970-х А.Н. Шерстнёвым⁸ был предложен подход к построению пространства типа Li, ассоциированного с точным нормальным иолу конечным весом (р на алгебре фон Неймана, как пополнения пространства самосопряженных операторов М по норме || ||_v-, заданной равенством

||х||^ := inf{ip(xi) + ip(x₂) \ х = Xi - х₂ (хі, х₂ Є М⁺)}_}

а также предложена реализация этого пространства в виде пространства по-луторалинейных форм. Имея в виду двойственности (А4*<А4) и (.4, А*)> в настоящей работе были введены двойственные конструкции пространств типа Li, ассоциированные с положительными операторами, присоединенными к алгебрам фон Неймана, а также с положительными элементами С*-алгебр, выступающие двойственными аналогами пространств L\, ассоциированных с весами.

Целью настоящей работы явилась разработка теории функциональных пространств, ассоциированных с операторами, присоединенными к алгебрам фон Неймана, в определенном смысле двойственных по отношению к некоммутативным пространствам L\ и Ь_х, ассоциированными с точными нормальными полуконечными весами.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать различные варианты определения норм на пространствах функционалов, ассоциированных с положительными операторами, и выделить критерий точности этих полунорм.

2. Исследовать возможность представления функциональных пространств типа L\ и Loci ассоциированных с положительными операторами.

3. Исследовать возможность вложения нормальных весов в пространства L\{a).

4. Исследовать взаимосвязь вложений нормальных весов и мер на ор-тоидеалах.

Основные положения, выносимые на защиту:

5. Охарактеризованы неравенствами элементы центра С*-алгебры и элементы, присоединенные к центру алгебры фон Неймана.

6. Для положительного элемента а алгебры фон Неймана Л4 найдено естественное представление пространства L_x(a) в виде пространства полуторалинейных форм специального вида, а также получе-

"Шерстнев. А.Н. К общей теории состояний на алгебрах фон Неймана / АЛ. Шерстнев // Функц. анализ и его прил. - 1974 - Т.8. - №3. - с. 89-90.

ны естественные изометрические изоморфизмы пространств Li(o), L^a), L^a) и Лі*, Л4, М* соответственно.

3. Доказано, что пространство Ь\(а) можно считать линейной оболочкой множества ограничений Иь+(а) нормальных полуконечных весов (р таких, что <р(а) < +оо, причем в общем случае Li(a) не исчерпывается такими ограничениями, как следствие получен пример нерегулярных мер на ортоидеалах.

4. Доказано, что несколько различных подходов к определению нормы г_а являются эквивалентными. В частности, для случая полуконечной алгебры фон Неймана со следом г доказана формула г«(А:г) = т(\а*ка*\).

Научная новизна:

1. Впервые определены и изучались пространства типа L\ и L^ для положительных элементов С*-алгебры и положительных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана,

2. Впервые дано представление пространства Ь_ж(а) в виде пространства билинейных форм специального вида.

3. Было выполнено оригинальное исследование по характеризации положительных центральных элементов С*-алгебры и положительных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана.

4. Было выполнено оригинальное исследование связи нормальных полуконечных весов с элементами Ь\(а).

Практическая значимость. Конструкции некоммутативных пространств L\ и Ьэс развивают теорию некоммутативного интегрирования и могут оказаться полезными в некоммутативной теории вероятностей, теории квантовой информации и квантовой теории поля.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими математическими дока (ателье гвами. Ре їультатьі находя гея в русле современных результатов, полученных другими авторами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

5. XI летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы», г. Казань, 2013, 22-28 августа,

6. XIII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения», г. Казань, 2014, 24-29 октября,

7. XII летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы», г. Казань, 2015, 27 июня - 4 июля,

8. Уфимская международная математическая конференция, г. Уфа, 2016, 27 сентября - 30 сентября.

Также доклады на тему диссертации были сделаны

9. на семинаре под руководством иностранного члена Национальной академии наук Армении профессора С.А. Григоряна в Казанском государственном энергетическом университете, г. Казань, 2016, 21 сентября,

10. на семинаре под руководством профессора ОТ. Смолянова в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, Москва, 2016, 17 октября,

11. на семинаре «Математическая физика» Института прикладной математики им. Келдыша Российской академии наук, Москва, 2016, 20 октября.

Личный вклад. В работах |А2, А3|, опубликованных в соавторстве, постановка задачи и некоторые предлагаемые методы решения принадлежат научному руководителю, решение принадлежит автору диссертации. Также автором написана статья |А1|.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в восьми [А1-А8| печатных изданиях, из которых три |А1-А3| в журналах, рекомендованных ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, раздела предварительных сведений и обозначений, обзора литературы, двух глав рс [ультатов. выводов, списка обозначений и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 92 страницы. Список литературы содержит 122 наименования.

Полунормы, ассоциированные с положительными элементами С -алгебр и алгебр фон Неймана

Конструкция, предложенная А.Н. Шерстневым в работах [26–28], в существенном использует определение полунормы, ассоциированной с нормальными полуконечными весами. В первом разделе настоящей главы введен прямой аналог указанной полунормы для общего случая упорядоченных векторных пространств. Во втором и третьем разделе даны соответствующие определения этих полунорм для пространств ассоциированных с положительными элементами С -алгебр и положительными самоспоряженными операторами, присоединенными к алгебрам фон Неймана. В дальнейшем указанные конструкции будут использованы во второй главе для построения пространства типа 1.

Естественным вопросом, возникающим при определении новых норм, является вопрос, не эквивалентны ли они ранее определенным. В теореме 4 доказано, что нормы, ассоциированные с проложительными элементами C -алгебр, эквивалентны стандартной норме в том и только том случае, если элемент обратим. В третьем разделе дано определение 1-полунормы, ассоциированной с положительным самоспоряженным оператором, присоединенным к алгебре фон Неймана, а также получен ряд формул для этой полунормы.

Ещё одним естественным вопросом, связанным с определениями полунорм, рассматриваемых в этой главе, является вопрос, можно ли определить более простые полунормы, по аналогии с коммутативными пространствами, как отображения типа (). В четвертом разделе настоящей главы дан отрицательный ответ на этот вопрос и доказано, что в общем случае для отображения такого типа не выполняется «неравенство треугольника», а если «неравенство треугольника» все-таки выполняется, то отображение совпадает с рассматриваемой полунормой. 1.1 Полунормы на упорядоченных векторных пространствах

Пусть X - вещественное упорядоченное векторное пространство с порождающим конусом Х+ положительных элементов, а F := Xа1 - векторное пространство всех линейных функционалов на X. В таком случае определено множество всех положительных линейных функционалов F+ := {/ Є F \ Ух Є Х+ f(x) 0}. Для / Є F+ определим 1(f) := {д Є F I — Xf g Xf для некоторого Л Є М+}. Легко проверить, что /(/) является линейным подпространством в F, причем конус I(f)+ = 1(f) П F+ является порождающим для /(/), а / является порядковой единицей в /(/). Кроме того, формула Цдіу := inf{A Є Ш+ — Xf д Xf} задает норму на /(/), причем относительно этой нормы /(/) является полным пространством с порядковой единицей (определение см. [31, гл.2]). Единичный шар {д Є F \ — f д /} обозначен I\(f). Для / Є F+ полунорма г/ на X определена равенством T f(x) := inf{/(lEi) + f(xo) I X = X\ — X2 (Xi, X2-, Є +)} По определению Xffi = {x Є X \ rj(x) = 0}, Х/д := {x Є X \ rj(x) 1}. Замечание 1. Если f,gE F+ и / g, то r/ rg и \\g в том смысле, что ff(x) rg(x) для всех х Є X и \\h\\f \\h\\g для всех h Є /(/) С 1(g). Из замечания непосредственно следует, что для всех /, # Є F+, для которых определены / V д и / Л д, выполняются цепочки неравенств Tfl\g T f Л Гд Г/ V Гд T f\/g] — У У У W9 — У У \\9 Предложение 1. Для f,g E F+ верно, что Ух Є X (rj(x) + Гд(х) rj+g{x))] V/i Є /(/) П 1(g) (\\h\\f+9 \\h\\f + /і5). Доказательство. Для х Є X очевидно, что T f(x) + Т д(х) = mt{f(xi) + f(x2) I X = Х\ — Х2 (х\, Х2 Є Х+)} + + mi{g(x\) + #(#2) I х = Х\ — Х2 (х\, Ж2 Є +)} inf{(/ + д)(х\) + (/ + д)(%2) Ж = Жі — Ж2 (Жі, Ж2 є +)} = rf+g(x). Второе неравенство выполняется в силу замечания 1, поскольку / + д /, f + д д, верно, что /iK+5r II -IKJ ll lK+sr ІІ ІІ5 Для всякого /г Є /(/) П 1(g), таким образом /i +5, ll lK V \\h\\9 \\h\\f + /г5 (/г Є /(/) П 1(g))- Предложение 2. Для / Є F+ и X Є Ш+ выполняются равенства Ух є X (r\f(x) = Xrf(x))] V/г Є 1(f) (Х\\ Доказательство. Пусть х Є X и А Є М+. Тогда T Xf(x) = mt{Xf(xi) + Xf(x2) І Ж = Жі — Ж2 (жі, Ж2 Є Х+)} = = Ainf{/(iri) + f(x2)) \ х = х\ — Х2 (х\, Х2 Є Х+)} = Xvf(x). Пусть h Є /(/) = I(Xf), тогда X\\h\\ = Ainf{/i є Ш+\ — fiXf h fiXf} = = inf{A/i є Ш+\ — fiXf h fiXf} = \\h\\. Лемма 1 (предложение 1 [12]). I\(f) является полярой множества Xf . Доказательство. Пусть — / д /, х Є /, Жі, х Є Х+, ж = ж і — Ж2 и /(жі) + f{x i) 1 + є, где є 0. Тогда \д(х)\ = \д{х\ — XQ)\ ?(жі) + 1 ( 2)1 /( і) + /(#2) 1 + є] откуда получается, что \д(х)\ 1, т.е. д Є Х? Пусть g Є Х . Если ж Є Х+ П Худ, то ?(ж) /(ж), следовательно, f(x) #(ж) /(ж) Для любого х Є Х+, т.е. — / д f . П Предложение 3. Пусть Y - такое подпространство в F, что 1(f) С Y и каноническая билинейная форма (X, F) ставит в отношение двойственности X и Y, тогда г/ - норма в том и только том случае, если 1(f) плотно в Y в a (Y X)-топологии.

Доказательство. Пусть г/ - норма, тогда по лемме 1 (1(f), ) является сопряженным пространством к (X, г/), поэтому каноническая билинейная форма, определяющая двойственность (X, F), ставит в двойственность X и /(/). Следовательно, /(/) является т(У,Х)-плотным в Y [106].

Пусть /(/) плотно в У в т(У,Х)-топологии. Возьмем произвольный X из Х/;о. Поскольку х Є АХ/д для всех А 0, из полярного исчисления и леммы 1 следует, что д(х) = 0 для всех д Є 1(f)- Следовательно д(х) = 0 для всех д Є У, откуда ж = 0.

Пример 1. Пусть X - упорядоченное банахово пространство с замкнутым порождающим конусом Х+. Если / - положительный линейный функционал на X, тогда он автоматически является непрерывным по теореме Лозановского [10, теорема 2.1], [29, следствие 2.5], и /(/) является линейным подпространством X , что следует из теоремы Крейна-Шмульяна [31, теорема 2.1.2]. В таком случае, предложение 3 говорит, что г/ является нормой тогда и только тогда, когда 1(f) плотно в X в т(Х ,Х)-топологии.

Полунормы, ассоциированные с положительными операторами, присоединенными к алгебре фон Неймана

Определим форму x(j) на и(а2) с помощью равенства x(j) := xyipf). Для /, g из и(а2 ) определим полуторалинейную форму x(j,g) на D(a2 ) х и(а2 ) поляризационным тождеством x(f,g) := i(x(f + g) — x(f — g) + ix(f + ig) — ix(f-ig)). Заметим, что x(tp) принимает вещественные значения для каждого (р из Т)\.

Непосредственные вычисления приводят к равенству x(f,g) = x(g, f) и линейности по первому аргументу Из изложенного выше следует, что для любого х из L ya) существует полуторалинейная форма х на D (а2 ) х и (а2 ) такая, что 20 \ J О ) = 00 ( Q t ). Рассмотрим полуторалинейную форму у, определяемую равенством . У „ . У 1 „ 1 т У ч т 1 I Ч У „ „Ч I y{Ji9) = ж(а 2J?a 2#) на lni( 2.2) х lm(a2 ). Из равенств \y(j,j)\ = і ч у — р 1 / \ і 11 X X р \\0 11 г 119 - \х(а 2j,a 2j)\ \\а2а 2j\\ = \\j\\ следует, что у ограничен, следовательно существует у Є Л4 такой, что y(f,g) = (yf-,9)- Также x(f,g) = y(a2f\a2g) = I — P — \ P 7 \ / — - — — \ya2j a2g) для любых j и g из D(a2 ) и x = a2ya2 по определению. Поскольку і г \ ./ р ./ 1 р X / X X р / р i р\ і р \ \УІі9) = y\Ji9) = х(а 2/?а 29) = х(а 29ia 2J) = y\9J) = \У9іі) = \ІіУ9)і верно, что у самосопряжен. Поэтому, отождествим х Є 1(a) с а2уа2 Є Sa(.Msa). Равенство і і жа = inf{A — Ха х Ха} = inf{A — Xa2la2 а2уа2 Аа2іа2} = ра[а2уа2) завершает доказательство. Замечание 8. Если оператор а инъективен, то о Г л I л — — л 1 ММ ini{A — Ха а2ха2 Ха\ = \\х\\ і і и из последнего равенства следует, что отображение х ь- а ха2 - изометрический изоморфизм A4S& на ( Sa(.Msa),pa).

Замечание 9. В случае, если а является инъективным, пространства /(a), S(.Msa), Ls (a) отождествляются между собой. Следствие 11. Для инъективного оператора а отображение и : х Є A4S& ь- 0,2X0,2 Є Ls (a) - изометрический изоморфизм A4S& на Ls (a). Более того, сопряженное отображение и1 - изометрический изоморфизм (Ц (а)) на Л4 .

Замечание 10. Для инъективного оператора а элементы Т) отождествляются с соответствующими элементами L\(a). Также, поскольку (Lj (a)) изометрически изоморфен второму сопряженному L\(a), удобно отождествлять элементы L\{a) с соответствующими элементами (L (a)) . Тогда для и1 из следствия 11 и tp Є 23а выполняется равенство иур) = а2сра2, поскольку и [ip)ух) = Lp(u(x)) = (руа2ха2 ) = a2tpa2yx) для всех х Є Л4 . Определение 5. Для инъективного оператора а и линейного функционала tp Є (L (ajj через a2ipa2 обозначено и (ер) Є [АЛ ) , где и изоморфизм из следствия 11.

Теорема 14. Для инъективного оператора а отображение v : (р Є Ll(a) ь- а2(ра2 Є АЛ - изометрический изоморфизм L\(a) на АЛ . Доказательство. Следует заметить, что v - ограничение на L\(a) отображения и1 из следствия 11. Пусть ф - элемент АЛ. Последовательность (-і \ —і \ —і 1 і \ ( 1 і \ Ь 22 1р Ь 22 П П лежит в Т) . Поскольку а2{- + а2) 1 / 1, верно, что v(ibn) = а2фпа2 сходится к гр поточечно (т.е. lim а2грпа2 (х) = гр(х) для каждого х Є Лч), следовательно п—т +00 и(!І)д) слабо плотно в АА . Заметим, что f(!9 ) также плотно в .М в топологии стандартной нормы [11, теорема 3.12], поэтому L\{a) изометрически изоморфно М\. П

Подытоживая результаты изложенные в этом разделе, если а инъективен, то (Sa(A4s&)iPa) изометрически изоморфно .Л/Ра, поскольку АЛ является ест-вественной комплексификацией ,Msa, выглядит разумным отождествить ком-плексификацию Sa{AAs&) с Sa(A4): продолжая ра на Sa(A4) с помощью равенства ра(а2ха2) = \\х\\. Для инъективного а далее будем отождествлять L00(a) с Sa(AA), также комплексификация L\{a) обозначена как Li(a), причем а т Ґ ММ М — — М продолжается на L\{a) с помощью равенства \\ща = \\а2 ра2\\ Утверждение ниже легко получить из теоремы 13 и следствия 11. Следствие 12. Для инъективного оператора а отображение (7:ієМ аїхаї Є L00(a) - изометрический изоморфизм АЛ на L0Q(a), а сопряженное отображение т ті т ± / \ — — л ± и : р Є L ya) ь- а2ра2 Є АЛ - изометрический изоморфизм Ll0(a) на АЛ . При этом ограничение V := Ut\ill(a) - изометрический изоморфизм L\{a) на АЛ . Последнее следствие является аналогом [18, теорема 2].

Определение 6. Элемент [а2ха2 ] Є L00(a) называется положительным, если выполняется неравенство а2ха2 а2 0а2 (или, что эквивлентно, xq 0). Положительность [а ха2 ] обозначается [а ха2 ] Є L 0(a) Определение 7. Элемент р Є L X)(a) называется положительным, если выполняется неравенство р([аїхаї]) 0 для всех [а хаї] Є L+ (a). Положительность р обозначается как р Є (L C)(a))+. Для инъективного оператора а элементы L\{a) отождествляются с соответствующими элементами L X)(a). Пересечение (L C)(a))+ П L\{a) обозначается как L (a). Лемма 10. Элемент р Є (L lajy тогда и только тогда, когда а2ра2 Є (АЛ )+. Доказательство. Имеем [а2 а2] є L 0(a) тогда и только тогда, когда xq 0. Действительно, если а2ха2 а2 0а2 , то {xa2j,xa2j) 0 для всех / Є L)(a2 );

Вложение нормальных полуконечных весов в 1

Последний результат является прямым аналогом [15, теорема 1]. Определение 8 ( [16]). Пусть Ф - нормальный полуконечный вес на АЛ. Вес Ф называется регулярным, если для любого ер Є АЛ ( р ф 0) существует си Є АЛ 1 (ш ф 0) такой, что си ср и си Ф.

По [16, теорема 4] нормальный полуконечный вес Ф на АЛ регулярен тогда и только тогда, когда всякая полуторалинейная форма в Ь (Ф) замыкаема в смысле [71]. Нормальный полуконечный вес на В(Н) регулярен тогда и только тогда, когда Ф = кТт [16, теорема 6], где к - положительный, самосопряженный оператор в Н такой, что у него существует ограниченный обратный оператор.

Теорема 17. Пусть dimH = оо. Для инъективного оператора а в Ci(H) существует элемент ф Є Li(a) такой, что ф не может быть представлен как образ при вложении полуконечного нормального веса.

Доказательство. Пусть Ф = аТт - нормальный функционал на В(Н). Из следствий 15, 6 и [16] получаем, что отображение х Є В(Н) ь- хТт определяет изометрический изоморфизм Ь\(Ф) на L\(a), описанный в [16].

Если каждый элемент Li(a) может быть представлен как вложение положительного нормального полуконечного веса, то по [90, теорема 5.12] для каждого элемента ф из L (a) существует соответствующий самосопряженный оператор кф 0 такой, что ф = кфТт. Соответствующая полуторалинейная форма кф Є Ь±(Ф) (кф(/,д) := {klf k g)) замыкаема [71, теорема 1.27]. По [16, теорема 6] вес не регулярен. Следовательно, по [16, теорема 4] существует положительная незамыкаемая билинейная форма из L ((/?), откуда следует противоречие. Замечание. Доказательство указанной теоремы 17 существенно использует результаты Н.В. Трунова, касающиеся замыкаемых положительных интегрируемых полуторалинейных форм и регулярных весов [17; 18; 21; 24] (см. также [16;27]).

Можно рассматривать элементы L\(a) как линейные функционалы на Ц (а) и писать Ф(Ъ) для Ь Є Ц (а) и Ф Є L\(a). Конус {Ф Є L1(a) I Ф(Ъ) 0 для каждого Ъ Є Ц (а) П Л4+} совпадает с Ь\(а). Доказательство нижеследующей леммы стандартно (см. [9, теорема IV.2 ]). Лемма 11. Пусть {Ьа} - сеть в Ls (a) такая, что 1) 3d Є Ц (а) Уа (—d Ъа d), 2) Ьа — Ъ Є Ls (a) (а-слабо). Тогда Ф(Ъа) — Ф(Ъ) для каждого Ф Є L\(a). Пусть г\) - нормальный полуконечный след на Л4, который удовлетворяет условию ifj(a) +оо. Тогда формула Фф(Ь) = ф(Ь\) — ф(Ьо) (&і, Ь і є Ls (a) П Л4+; b = b\ — 62) корректно определяет элемент Фф в Ь\(а), теорема 16. По теореме 16 каждый Ф Є L\{a) может быть представлен в виде "01 4 2 1 где фі: г\)2- нормальные полуконечные веса на Л4: фі(а) +оо, фч(а) +оо (ср. [14]). Теорема 18. Пусть а - инъективный положительный оператор из АЛ. Тогда Л4рт П Ц (а) = Ха - ортоидеал в Л4рт. Для каждого Ф Є L\{a) отображение [іф : Ха — К. определено равенством Цф{р) = Ф{р) вполне аддитивно. Отображение Ф ь- ц,ф {Ф Є L\{a)) инъективно. Доказательство. Из определения Ц (а) легко видеть, что Ха - ортоидеал. По лемме 11 ііф вполне аддитивный для всех Ф Є L\(a). Для доказательства инъективности Ф ь- /іф, достаточно показать, что каждый Ф Є L\(a) можно определить значениями [іф(р), р Є Ха. Очевидно, что если оператор Ъ имеет вид к Ь = / Х,РІ (X 0, pi є Ха), І=\ к тогда Ф{Ъ) = 2 ХІІІ(РІ). І=І Пусть о произвольный положительный оператор из Ц {а). Тогда из спектральной теоремы следует, что существует последовательность {Ьп} операторов, имеющих форму 2 г=і XlAPi)- которая, возрастая, сходится ков топологии нормы. Поскольку Ъп 6, следует, что Ф{Ъп) — Ф{Ъ) по лемме 11. Для завершения доказательства достаточно показать, что конус Л4+ П Ц (а) порождает Щ (а). Следствие 16. Если Ф Є Ь\(а), то \іф - полуконечная мера на ортоидеале Ха. Доказательство. Необходимо только показать, что \іф полуконечна. Достаточ но доказать, что последовательность спектральных проекторов оператора а, соответствующих отрезку [-, 1ЫП, лежит в Ха и, возрастая, сходится к едини це. П Следствие 17. Пусть Ф - элемент L (a) и ф - нормальный полуконечный вес на Л4 такой, что \іф = ф\ха- Тогда Ф = Фф.

Доказательство. Следует рассмотреть последовательность {/«,} положительных ступенчатых функций на [0, а], которая возрастает и равномерно сходится к функции f(x) = х. Тогда для всех натуральных п верно: О fnip) о. и Ф(/п(а)) = ф(/п(а)). По лемме 11 получается Ф(а) = НтФ(/п(а)) = \ітф(/п(а)) = ф(а), следовательно ф(а) +оо. Из теоремы 18 следует, что Ф = Фф. Поскольку каждый Ф Є L\{a) может быть представлен в виде Ф = Ф\—Ф і, для любого Ф Є L\{a) отображение \іф : Ха — К. может быть представлено как разность двух регулярных мер на Ха. Следующая теорема показывает, что действительно существуют нерегулярные меры на Ха вида \іф (Ф Є Ь\{а)).

Теорема 19. Пусть а - положительный инъективный ядерный оператор в отделимом гильбертовом пространстве Н, и В(Н) обозначает алгебру фон Неймана всех ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н. Существует нерегулярная полуконечная мера на ортоидеале Ха в B{H)W, которая может быть представлена как разность двух регулярных полуконечных мер на Ха.

Доказательство. По теореме 17 существует Ф Є Ь\(а), который не может быть представлен в форме Ф = Фф с любым полуконечным нормальным весом ф на В(Н), и по следствию 17 - соответствующая мера \іф нерегулярна. Имея в виду что каждый Ф Є L\(a) может быть представлен в виде Ф = Ф\ — Ф2, доказательство завершено.

В этом разделе а - положительный элемент С -алгебры А. В первой главе диссертации нормы га рассматривались в том числе на пространствах непрерывных линейных функционалов на C -алгебрах. В теореме 3 было дано необходимое и достаточное условие точности га на А . Теорема 3. Для а Є А+ отображение га является нормой на А тогда и только тогда, когда для каждого f Є А + \ {0} верно неравенство f(a) 0.

В этом разделе введено соответствующее пополнение Lh(a) нормированного векторного пространства (А ,га) и показана связь L(a) и L\(a) в случае, когда в качестве C -алгебры рассматривается алгебра фон Неймана.

Пополнение пространства непрерывных линейных функционалов на С -алгебре

В этом разделе а - положительный элемент С -алгебры А. В первой главе диссертации нормы га рассматривались в том числе на пространствах непрерывных линейных функционалов на C -алгебрах. В теореме 3 было дано необходимое и достаточное условие точности га на А .

Теорема 3. Для а Є А+ отображение га является нормой на А тогда и только тогда, когда для каждого f Є А + \ {0} верно неравенство f(a) 0.

В этом разделе введено соответствующее пополнение Lh(a) нормированного векторного пространства (А ,га) и показана связь L(a) и L\(a) в случае, когда в качестве C -алгебры рассматривается алгебра фон Неймана.

Определение 9. Для j Є L{a) непрерывный линейный функционал a2ja2 Є А определяется равенством a2ja2yx) := jya2xa2 ). — р — Следует обратить внимание на то, что а2 ja2 непрерывен, поскольку лине II — Р — II І I Г І I ен и a2ja2 = /а. Кроме того, согласно следствию 12, если а удовлетворяет условия теоремы 3, то отображение V : (р Є Л/ ь- 7г(а)2(/97г(а)2 Є Л/ задает изометрический изоморфизм Ь\(ті(а)) на М\, причем V(Af ) плотно в ЛГ . Следуя тому, что отображение ж является изометрическим изоморфизмом А на Л/" 1, верно, что отображение V := (ттг) о V о 7г : v4Jj ь- „4 задает изометрический изоморфизм Lh(a) на ,А.

Теорема 20. Пусть а Є v4+ таков, что V/ Є 44\{#} /(а) 0; отображение V : j Є -Ца) ь- a2 j а2 Є - изометрический изоморфизм Lh(a) на А . Доказательство. Следует лишь заметить, что (7г) (7г(а)27г (j)7i(a)2) = a2 fa2, и применить теорему 14. Определение 10. Для а Є А+ определено вещественное векторное пространство 1(a) = {х Є А\х = а2уа2 ,у Є v4}; снабженное нормой а; определенной равенством \\х\\а = inf{A Є М+ — Ла х Ха}. Следствие 18. Для а Є А+ такого, что У/ Є А ,\{0} f(a) 0; отображение q„ — — т- / \ и : х Є А ь- а2ха2 Є J (а) - изометрический изоморфизм As& на (/(а), а). Доказательство. Верно, что кег7г(а) = { 0 }, поэтому отображение Т Т К Г / \ — / \ — 7 / / и : х Є ЛІ ь- - 7г(а)2Ж7г(а)2 є Ьоо(7г(а)) является изометрическим изоморфизмом АҐ на Ь00(тт(а)) по следствию 12, причем пространство Ь00(тт(а)) представимо в виде пространства операторов / \ — л Г / \ — / \ — / \ — к Г \ л Г 7г(а)2Л/7г(а)2 = {7г(а)22/7г(а)2 Є Л/ у Є Л/}.

Таким образом, ясно, что /(а) С 4 естественным образом вкладывается в Ц (ті(а)) С Л/" с помощью отображения 7 = тг/(а) : х (а)(с v4) ь- 7г(ж) Є L (7r(a))(c Л/") (иначе говоря, 7Г(1(a)) С L (-7r(a))), причем жа = 7г(ж)а = 7(ж)а для всех х Є 1(a). Следует также отметить, что для всех х Є As& U О 7Г(Ж) = 7г(а) 27г(ж)7г(а) 2 = 7Г о 6/(ж) и (ж)а = 7Г О Ы(х)\\К а = \\U О 7г(ж)7 а) = 7г(ж) = ж. Таким образом, отображение Ы является изометрическим изоморфизмом As& на 1(a). Следствие 19. Для а Є v4+ такого, что V/ Є v4 _ \ {#} (/(а) 0); нормированное пространство (1(a), а) является банаховым, и отображение

Замечание 11. Если оператор а обладает ограниченным обратным оператором, тогда а - норма на Л , поскольку и -ц. Также из последнего неравенства следует, что L(a) совпадает с А как топологические векторные пространства.

Условие теоремы 3 может быть интерпретировано различным образом для различных С -алгебр. Если рассматривать а = (ап) Є А = Со, тогда указанное условие эквивалентно следующему Vn Є N ап 0. Если же рассматривать а = (ап) Є А = с, тогда из условия следует, что Vn Є N ап 0 и lim ап 0, следовательно для оператора а = (ап) существует ограниченный обратный оператор а 1 = (—) Є с.

Замечание 12. Пусть Л - алгебра фон Неймана. Если оператор а Є Л удовлетворяет условиям теоремы 3, тогда он также удовлетворяет условию теоремы 5. Поэтому возможно построить два пространства L\{a) и L(a). Возможно естественным образом вложить L\(a) в L(a) как линейное подпространство. Если dim(H) = +оо, то А и А не совпадают. Согласно следствию 11, L\(a) и L(a) не являются изометрически изоморфными А и А соответственно. Поэтому, если dimН = +оо, то L\(a) и L(a) не совпадают.

Пример 3. Для указания примера такого оператора а, который удовлетворял бы условиям теоремы 5, но не удовлетворял бы условиям теоремы 3, следует рассмотреть А = оо.

Поскольку IQQ - абелева алгебра фон Неймана, которая действует в гильбертовом пространстве Н = І2, возможно построить L\(a) для инъективного оператора а. Инъективность опреатора а эквивалентна условию, что ап 0 для каждого п Є N. Например, (ап) = (-) Є + инъективен.

Пусть а удовлетворяет условию теоремы 3. Согласно замечанию 11, если а обладает ограниченным обратным оператором, то а удовлетворяет условию теоремы 3. Предполагая, что а не обладает обратным оператором, верно одно из двух: либо существует ап = 0, либо существует подпоследовательность (аПк) такая, что limanfc = 0. Легко видеть, что для каждого ап существует функционал срп Є такой, что (рп(а) := ап, поэтому Vn Є N ап 0. Также для каждого аЄ существует банахов предел сра Є такой, что фа{р) = liminf ап. П—7 00 Следовательно, liminf ап 0, поэтому а обладает ограниченным обратным опе П—7 00 ратором. Однако, (-) не обладает ограниченным обратным оператором, поэто n му не удовлетворяет условиям теоремы 3. Пример 4. Для того, чтобы дать некоммутативный пример, следует рассмотреть Л = В{Н) (dimH = оо). Тогда существует инъективный положительный ядерный оператор а Є Сі(Н). Для инъективного оператора а возможно построить Li(a), но для любого ядерного оператора существует след Диксмье ер Є В +(Н), для которого (р(а) = 0. Поэтому такой оператор а не удовлетворяет условиям теоремы 3.